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Article : Fractions Egyptiennes - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)

Résumé de la production: 
Cet article, rédigé en anglais, propose au cours des 43 pages d’étudier différentes méthodes pour trouver la décomposition d’une fraction inférieure à 1 (« proper fraction ») en somme de fractions égyptiennes (fractions dont le numérateur est 1). Les auteurs commencent par présenter la méthode de Fibonacci. Elle est simple et les preuves utilisent essentiellement les résultats sur les fractions. Mais elle est peu efficace. L’algorithme de calcul est dit « glouton » : il prend vite du temps. Elle a aussi l’inconvénient de donner des décompositions où les dénominateurs deviennent vite grands. Les auteurs proposent ensuite d’étudier la méthode de Golomb. Plus complexe, elle s’appuie sur les le théorème de Bézout et l’algorithme d’Euclide. Les preuves sont de bons exercices d’arithmétique avec un travail d’encadrement utilisant la partie entière. En outre, l’algorithme permet d’avoir une décomposition en fraction égyptienne avec des dénominateurs moins grands que la première et bornés par b(b-a) où b est le dénominateur de la fraction initiale. L’approfondissement des méthodes se poursuit avec l’utilisation des nombres « pratiques » c’est à dire les nombres dont les sommes de leurs diviseurs recouvrent tous les nombres qui leur sont inférieurs. Plusieurs résultats sont intéressants notamment avec les nombres premiers. Ainsi le théorème 3.2.3 affirme que si vous faites le produit de puissances des premiers nombres premiers sans en oublier, alors ce produit est pratique. Les démonstrations sont moins rigoureuses en particulier les hypothèses ne sont pas toujours bien posées. Certains résultats mériteraient d’être détaillés et d’autres sont superflus. La lecture peut en devenir complexe. Cette partie se termine par des programmes en C++. La quatrième partie propose une résolution graphique de la recherche des décompositions égyptiennes de la fraction a/b. L’étude commence par le cas n=2 qui utilise conjointement une résolution graphique et une résolution algébrique en utilisant les intersections de courbes et les polynômes du second degré. Le cas n=3 réinvestit ces 2 techniques mais en obligeant à passer à un travail sur le régionnement du plan. Le chapitre se termine par le cas général avec un travail algébrique plus complexe qui met en œuvre les techniques précédentes mais avec une notation indiciaire et des sommations. Le cinquième chapitre fait la synthèse des 4 méthodes développées précédemment résumant leurs avantages et leurs limites. Le sixième passe à un nouveau niveau avec un nouveau contexte. Partant de l’égalité, les décompositions sont présentées comme les feuilles d’un arbre. Deux formes récursives permettent de passer d’une ligne à l’autre. La finesse du travail est alors de les regrouper en une seule. Pour cela les auteurs font preuve d’une grande imagination en construisant une fonction signe à partir de la valeur absolue et de la fonction inverse. La notation employée est celle des algorithmes récursifs.
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Compte_rendu | by Dr. Radut