Racines de nombres infinis - Lycée V. et H. Basch (Rennes)

Les nombres infinis sont nombres qu’on écrit comme des entiers mais avec une infinité de chiffres vers la gauche. On utilise les mêmes règles de calcul que d’habitude. Par exemple : ...999999999999999999 + 1 = 0 (donc ...9999 = −1 !) 3 ∗ ...909090909090 = ...272727272727272727270 ...101010101010101010101010101012 = 151413121110090807060504030201 Questions : Quels sont les nombres infinis qui peuvent s’écrire comme le carré d’un nombre infini ? Est-ce certains entiers (finis) qui ne sont pas des carrés d’entiers peuvent s'écrire comme carré d’un nombre infini ? Est-ce que −1 peut s'écrire comme le carré d’un nombre infini ? Est-ce qu’un nombre peut avoir plusieurs racines carrées ? Combien ? Pouvez-vous mettre au point un algorithme de calcul de racine carrée de nombre infini (lorsqu’elle existe) ?