Sommes des carrés de chiffres. - Collège Pierre et Marie Curie (Gravelines) Collège du Septentrion (Bray-Dunes)

A un entier N positif on associe la somme des carrés de ses chiffres en base 10. Et on applique la même procédure au résultat obtenu et ainsi de suite.

Par exemple, 7 -> 49 -> 16+81=97 -> 81+49=130 -> 1+9+0=10 -> 1+0=1 -> 1 -> 1
qu’on appelle « trajectoire associée au nombre 7 ». Autres exemples :
…/ …

4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4
et
6 -> 36 -> 45 -> 41 -> 17 -> 50 -> 25 -> 29 -> 85 -> 89
et on connaît déjà la trajectoire de 89 qui est dans le cycle de 4.

• Toutes les trajectoires, pour des valeurs raisonnables de N, aboutissent-elles soit à 1 soit au cycle de 4 ?
• Peut-on identifier certaines (ou toutes les) catégories de trajectoires ?
• Peut-on, pour des valeurs raisonnables de N, trouver des trajectoires qui croissent indéfiniment ?
• Si non, peut-on prouver qu’aucune trajectoire ne croît indéfiniment ?

Après quelques calculs « à la main », on pourra bien entendu utiliser un tableur. Mais le tableur ne peut pas non plus explorer les trajectoires de tous les entiers N, puisqu’il en existe une infinité. Il faudra donc, à un moment, imaginer des raisonnements généraux.

On pourra ensuite remplacer la somme de carrés de chiffres par la somme des chiffres, la somme des cubes des chiffres, etc.