Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-06 

Jumelage MATh.en.JEANS entre les lycées d'altitude de Briançon (05) (Atelier Scientifique et Action "Passion Recherche") et Jean Moulin de Pézenas (34), année scolaire 2000-01.
Enseignants : Hubert PROAL (Briançon), avec la participation de Luc SAVIGNEUX (Pézenas)
Chercheur (correspondant) : Patric VEROVIC

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[Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

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[NDE : les dessins et notations originaux ont été conservés ; de temps en temps, du texte au dessin, le point "A" ne s'appelle plus "A" mais "a" ; le lecteur fera les adaptations nécessaires sans difficulté.]

DEFINITION : La cycloïde est la courbe décrite par un point fixe d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite.

Comment tracer une cycloïde sans connaître son équation ?

Prenons le point A placé sur le cercle C de rayon R. Lorsque le point A revient en contact avec la droite, le périmètre est déroulé, donc la distance AA' est égale à 2R (périmètre du cercle). On en a déduit que quand le cercle avait parcouru la moitié de la distance le point A faisait un angle de 180° avec la verticale. Quand il en avait parcouru le quart, il faisait un angle de 90° (ainsi de suite par proportionnalité).

La distance parcourue par le cercle est proportionnelle à l'angle a que fait le point A avec la verticale :

360°2R

aD

De cette manière, grâce à la distance et à l'angle, nous avons pu tracer la cycloïde point par point.

Recherche d'une équation de la cycloïde.

Les calculs sont effectués avec R = 15. [NDE : Il semble que l'on aurait pu remplacer 15 par R, ce qui est fait par ci par là.]

Dans le triangle AOE, rectangle en E, on a :

calcul de l'angle a  en fonction de t :

ta

2R360°

et les équation deviennent [NDE : rappelons que R = 15] :

x = t - 15 sin(360t/2R)

y = 15 - 15 cos (360t/2R)

En radian :

360° = 2 rad. Ce qui donne :

Que se passe-t-il si la roue patine ?

Si la roue patine, elle tourne plus rapidement. Ainsi, la distance AA' est inférieure à 2R. Plus la roue patine, plus elle prend l'apparence d'un cercle (courbe obtenue lorsqu'il n'y a plus de déplacement mais seulement une rotation). [NDE. Ce "cas critique", où il n'y a plus de déplacement mais seulement rotation est très spécial ; tant qu'il y a un déplacement, même très lent, le centre du cercle décrit une droite, même s'il la décrit lentement ; quand il n'y a plus de déplacement, brutalement, il ne décrit plus une droite mais reste sur place : la longueur de son déplacement était toujours infinie, elle devient brutalement nulle.]

Que se passe-t-il si la roue glisse ?

Si la roue glisse, elle met plus longtemps à effectuer un tour. Ainsi, la distance AA' est supérieure à 2R. La courbe prend donc une apparence plus " allongée ". Plus la roue glisse, plus elle prend l'apparence d'une droite (courbe obtenue lorsqu'il n'y a plus de rotation mais seulement un déplacement). [NDE. Ici aussi, ce "cas critique" s'obtient de façon brutale : tant qu'il y a rotation, il y a une infinité d'arches successives ; brutalement, quand il n'y a plus de rotation, il n'y a plus d'arche, et plus de point anguleux.]

Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-06

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