[Article en cours d'analyse et de
vérification : les passages entre crochets sont des
éditeurs]Comptes Rendus MATh.en.JEANS 03-06
Enseignants : Martine BARGOIN, Mariette
DONNET, Cyril FOUQUET (Clg. G. Philippe) ; Sylvie BOUTHORS (Clg. des
explorateurs).
Chercheur : Hervé PAJOT (Univ. de
Cergy-Pontoise).
Jumelage MATh.en.JEANS entre le
collège Gérard Philipe et le collège des
explorateurs de Cergy (95). Ateliers de Pratique Scientifique,
Année scolaire 2002-2003.
[Article en cours d'analyse et de
vérification : les passages entre crochets sont des
éditeurs]|
[Résumé (par les éditeurs). Placés autour d'une table circulaire, ni deux hommes ni deux femmes ni mari et femme ne doivent se trouver côte à côte. Pour un nombre de couples fixé, n, combien de dispositions sont possibles ? La réponse est donnée pour n = 2, 3 et 4] |
[Introduction]
L'ambassadeur adore recevoir ! Tous les samedis, un dîner réunit à l'ambassade les 4 mêmes couples. L'ambassadeur souhaite que femmes et hommes se succèdent à table, une femme ne doit jamais être à côté de son mari et que d'une semaine sur l'autre de l'année le plan de table soit différent. Au bout de combien de semaines l'ambassadeur sera obligé de reprendre un plan de table déjà utilisé ? [note 1]
Pour simplifier nous
nommerons F les femmes et H les hommes. Le couple F1, H1 correspond
au mari et à sa femme, ils ne doivent pas se trouver
côte à côte.
A. Si l'ambassadeur ne reçoit que deux couples
Soit F1, H1, F2, H2 à placer.
Plaçons F1. Si à sa droite on place H2, à sa gauche il y aura H1. Ce qui est contraire au désir de l'ambassadeur.
Donc le plan de table n'est pas
possible.
B. Si l'ambassadeur reçoit trois couples
Soit F1, H1, F2, H2, F3, H3 à placer.
Faisons un arbre pour voir les différentes possibilités :
Les différentes possibilités sont :
F1 ; H2 ; F3 ; H1 ; F2 ; H3
F1 ; H3 ; F2 ; H1 ; F3 ; H2.
[Conclusion] Il y a donc 2 possibilités, dont voici les plans de tables :
Remarque. Ces plans de table ne diffèrent que par
le sens de rotation des places. Nous avons considéré
que ces plans étaient différents, car pour nous ce
n'est pas la même situation d'être à droite ou
à gauche à une table : le service se fait à
gauche des convives par exemple et respecte un sens de rotation. Donc
dans ce cas il lui faudra reprendre le premier plan de table la
troisième semaine.
C. Si l'ambassadeur reçoit quatre couples
L'arbre est représenté sur la page suivante
Les différentes situations retenues sont [...] au nombre de 12 sur l'arbre :
Conclusion. Ces 12 possibilités entraîneront 12 semaines de différents plans de tables. Donc au bout de deux mois et 3 semaines, il devra reprendre le premier.
voici les plans de tables avec 4 couples
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Notes des
éditeurs
Note 1. (Commentaire du Chercheur) Ce problème apparaît (certainement pour la première fois) en 1891 dans le livre "Théorie des Nombres" du mathématicien français Edouard Lucas (1842-1891). Il a été résolu par les français M. Laisant et M. C. Moreau, puis par l'anglais H. M. Taylor (vers1900).
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MOTS
CLEFS
PERMUTATIONS DINERS DE L4AMBASSADEUR COUPLES ENUMÉRATIO DÉNOMBREMENT
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Comptes Rendus MATh.en.JEANS 03-06 |
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