II-Distances :
| Sur le plan la distance entre deux points A et B est la mesure du segment [AB]. Or au segment du plan correspond un arc de la géodésique sur la sphère (dessin 4) | |
Pour mesurer la distance AB nous allons utiliser l’angle au centre de l’arc AB
Nous noterons : AB = AOB
Si l’on se donne deux points sur la sphère, il existe une infinité de plans passant par ces deux points ; il existe donc une infinité d’arcs de cercles tracés sur la sphère joignant ces deux points.
Parmi tous ces arcs de cercle, lequel est le plus court ?
Démonstration :
Soit une sphère S de centre O. A et B sont deux points distincts de la sphère
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Le plan P1 passant par A, B et O, non alignés, coupe la sphère suivant le grand cercle C1 (dessin 5)
Dans le plan P1, l’arc de cercle C1 formé par l’intersection du plan et de la sphère donne la figure suivante : (dessin 7 )
l est la longueur de l'arc AmB
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Le Plan P2 passant par A et B, mais pas par O, coupe la sphère suivant le cercle C2 de centre I (dessin 6)
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Si nous superposons ces deux figures sur un même plan, nous obtenons cette troisiéme figure. O et I sont sur la médiatrice de [AB]. (dessin 9) On constate que plus le centre du cercle est éloigné du segment [AB], plus l’arc AB est court. Nous en donnerons une preuve. |
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