Des objets dans des boites - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)

Titre du sujet
Des objets dans des boites
Établissement
Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Année
2016-2017
Résumé
Étant donné une collection de n objets placés dans n boites (chaque boite contient exactement un objet), on appelle permutation une façon de déplacer les objets dans les boites. Il n'y a pas 2 objets dans la même boite et donc il n'y a pas de boite vide après le déplacement.

Exemple de permutation dans 5 boites :
1 2 3 4 5
2 3 1 5 4
L'objet n°1 est dans la boite n°3, le n°2 est dans la boite n°1 ...


On peut « itérer » (répéter) cette permutation :

1 2 3 4 5
2 3 1 5 4
3 1 2 4 5

Ainsi, la « double permutation » revient à la permutation suivante :
1 2 3 4 5
3 1 2 4 5

Théorème : Pour toute permutation, au bout d'un certain nombre d'itérations, on retombe sur la configuration initiale.

Question : Considérer l'ensemble des permutations sur un ensemble à 100 éléments (par exemple). Quel est le plus grand nombre de répétitions nécessaires pour retomber sur la configuration initiale ?
Sujet complet