Interrupteur excessif - Collège Léon Cazeneuve (L Isle en Dodon)

Titre du sujet
Interrupteur excessif
Établissement
Collège Léon Cazeneuve (L’Isle en Dodon)
Année
2015-2016
Résumé
On considère une maison  dont les pièces sont modélisées par un réseau de points à coordonnées entières de largeur p et de hauteur q.
Chaque pièce peut être  allumée  ou  éteinte .
Au départ, toutes les pièces sont éteintes. Chaque fois qu'on appuie sur l'interrupteur dans une pièce, on change le statut non seulement de cette pièce, mais des quatre pièces voisines (à gauche, à droite, au-dessus, en-dessous). Tout ce qui était allumé s'éteint et tout ce qui était éteint s'allume.
Si un point est au bord, seules les pièces voisines dans la maison sont concernées.
Peut-on trouver un moyen d'arriver à l'état où toutes les pièces sont allumées ?
Est-ce que cela dépend des dimensions de la maison ?
Et que se passe-t-il si on a une maison de forme biscornue (en L par exemple) ?
Et si le cas 2-D est trop facile, que se passe-t-il à trois dimensions ?
(Il faut alors préciser le nouveau problème dans ce cas).