La marche de l’ivrogne - Lycée de la Versoie (Thonon les Bains)

Titre du sujet
La marche de l’ivrogne
Établissement
Lycée de la Versoie (Thonon les Bains)
Année
2018-2019
Résumé
Un ivrogne se déplace dans une ville. A chaque intersection, il choisit au hasard le chemin qu’il va prendre.

On va s’intéresser au temps que l’ivrogne va mettre pour rentrer chez lui. Sur certains graphes simples, pour un point de départ et une destination donnée, nous allons étudier la probabilité qu’il rentre chez lui avant un temps t minutes (on suppose qu’il passe par une intersection par minute).
Vous pouvez vous poser les questions suivantes :

a) Calculer la pour des petites valeurs de t,
b) Essayer d’en trouver des bornes supérieures et inférieures. (en fonction de t).
c) Quand t devient très grande, est ce que cette probabilité peut être arbitrairement proche de 1 ?

Il y a deux cas possible : l’ivrogne choisit parmi toutes les routes de l’intersection, y compris celle par laquelle il est arrivée, et l’ivrogne ne retourne pas sur ces pas, sauf qu’il est au bout d’un cul de sac.