Établissement
Collège Jacques Prévert (Watten)
Année
2020-2021
Résumé
Au fond d’un grenier, j’ai trouvé une machine qui sert à transformer les nombres. Cette machine
ne reconnaît que les nombres entiers positifs dont l’écriture ne comporte aucun zéro. Par exemple, le
nombre 478. Afin d’expliquer la manière dont cette machine fonctionne, précisons quelques notations
et définitions :
— Si M et N sont deux nombres entiers positifs, on note MN le nombre obtenu en écrivant dans
l’ordre d’abord les chiffres de l’écriture de M, puis à la suite ceux de l’écriture de N. Par
exemple, si M désigne 28 et N désigne le nombre 473, alors MN représente le nombre 28473.
— Si X est un entier positif, on appelle associé de X le nombre de la forme X2X. Ainsi, l’associé
de 3 est 323 et l’associé du nombre 528 est 5282528.
— La machine fonctionne uniquement avec une certaine catégorie de nombres qui sont appelés
les nombres acceptables. Lorsque l’on introduit un nombre X acceptable dans la machine, il en
ressort un certain nombre Y . On dit alors que X donne Y .
La machine fonctionne en obéissant à deux règles :
— Règle 1 : Pour tout nombre X, le nombre noté 2X, formé du chiffre 2 suivi des chiffres de X,
est acceptable et il donne X. Par exemple, 253 donne 53, et 25674 donne 5674.
— Règle 2 : Si X est un nombre acceptable qui donne Y , alors 3X est acceptable et il donne
l’associé de Y . Par exemple, d’après la première règle, 27 est acceptable et donne 7. Ainsi, par
la seconde règle, 327 est acceptable et donne 727.
1. Tester la machine avec quelques exemples.
2. Que donne un nombre de la forme 32X ?
3. Montrer que 3327 donne 7272727.
4. Que donne 33327 ? Que donne 333259 ?
5. J’entre un nombre dans la machine. Il en ressort 48248248248248. Quel nombre ai-je entré ?
6. Que donne 32X ? 332X ? 3332X ? etc.
7. Que peut-on dire des nombres acceptables ?
ne reconnaît que les nombres entiers positifs dont l’écriture ne comporte aucun zéro. Par exemple, le
nombre 478. Afin d’expliquer la manière dont cette machine fonctionne, précisons quelques notations
et définitions :
— Si M et N sont deux nombres entiers positifs, on note MN le nombre obtenu en écrivant dans
l’ordre d’abord les chiffres de l’écriture de M, puis à la suite ceux de l’écriture de N. Par
exemple, si M désigne 28 et N désigne le nombre 473, alors MN représente le nombre 28473.
— Si X est un entier positif, on appelle associé de X le nombre de la forme X2X. Ainsi, l’associé
de 3 est 323 et l’associé du nombre 528 est 5282528.
— La machine fonctionne uniquement avec une certaine catégorie de nombres qui sont appelés
les nombres acceptables. Lorsque l’on introduit un nombre X acceptable dans la machine, il en
ressort un certain nombre Y . On dit alors que X donne Y .
La machine fonctionne en obéissant à deux règles :
— Règle 1 : Pour tout nombre X, le nombre noté 2X, formé du chiffre 2 suivi des chiffres de X,
est acceptable et il donne X. Par exemple, 253 donne 53, et 25674 donne 5674.
— Règle 2 : Si X est un nombre acceptable qui donne Y , alors 3X est acceptable et il donne
l’associé de Y . Par exemple, d’après la première règle, 27 est acceptable et donne 7. Ainsi, par
la seconde règle, 327 est acceptable et donne 727.
1. Tester la machine avec quelques exemples.
2. Que donne un nombre de la forme 32X ?
3. Montrer que 3327 donne 7272727.
4. Que donne 33327 ? Que donne 333259 ?
5. J’entre un nombre dans la machine. Il en ressort 48248248248248. Quel nombre ai-je entré ?
6. Que donne 32X ? 332X ? 3332X ? etc.
7. Que peut-on dire des nombres acceptables ?