Somme des carrés de chiffres - Collège Jacques Prévert (Watten)

Titre du sujet
Somme des carrés de chiffres
Année
Résumé
A un entier N positif on associe la somme des carrés de ses chiffres en base 10. Et on applique la même procédure au résultat obtenu et ainsi de suite.

Par exemple, 74916+81=9781+49=1301+9+0=101+0=111
qu’on appelle « trajectoire associée au nombre 7 ». Autres exemples :
…/ …

4163758894542204
et
63645175025298589
et on connaît déjà la trajectoire de 89 qui est dans le cycle de 4.

Toutes les trajectoires, pour des valeurs raisonnables de N, aboutissent-elles soit à 1 soit au cycle de 4 ?
Peut-on identifier certaines (ou toutes les) catégories de trajectoires ?
Peut-on, pour des valeurs raisonnables de N, trouver des trajectoires qui croissent indéfiniment ?
Si non, peut-on prouver qu’aucune trajectoire ne croît indéfiniment ?