Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
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Article : Le pingpong - Collège Jacques Prévert (Saint Orens) Collège Jean Jaurès (Castanet)
Étude d'un jeu sur un plateau rectangulaire dont on cherche à retourner tous les pions. L'unique coup consiste à choisir un pion et retourner tous ses voisins. Recherche des plateaux faisables et des stratégies associées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie gagnanteArticle : Les Feux de l Amour - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On suppose que plusieurs personnes sont debout dans une salle. Au même instant, ils décident tous de marcher en direction de leur voisin de gauche. Vont-ils finir par se rencontrer ?
Les auteurs démontrent que la forme de la pièce, la distance parcourue à chaque pas et le nombre de participants peuvent influencer le résultat.
Les logiciels Geogebra et Algobox ont été utilisés pour simuler les différentes situations.
Mots clés : vecteur, distance, récurrenceLes auteurs démontrent que la forme de la pièce, la distance parcourue à chaque pas et le nombre de participants peuvent influencer le résultat.
Les logiciels Geogebra et Algobox ont été utilisés pour simuler les différentes situations.
Article : Cryptographie, des textes à décoder... - Lycée Jean Puy (Roanne)
L'article considère plusieurs systèmes de cryptographie. Il présente le principe et la cryptanalyse des codages de César et par substitution, mais aussi du codage de Vigenère sans connaître la longueur de la clé. L'article termine par la mise en œuvre du procédé de Diffie Helman, qui permet à deux personnes de se mettre d'accord à distance sur une clé pouvant servir par la suite à coder un message.
Mots clés : cryptographie, décoder, codage, coder, code, César, substitution, codage de Vigenère, codage de Diffie HellmanArticle : Jeu de Nim et variantes - Lycée Jean Puy (Roanne)
Trois types de jeux combinatoires impartiaux sont abordés dans cet article: tout d'abord le jeu de soustraction {1,2,3} est présenté puis résolu pour une taille de tas quelconque (l'exemple de stratégie gagnante est donné pour 18 jetons). Le second jeu est celui où à partir d'un tas de n jetons, les deux joueurs peuvent retirer soit 1 soit (k+1) jetons, où k est le nombre de jetons retirés par le précédent joueur. Des stratégies gagnantes sont prouvées grâce au graphe des situations de jeu pour n=3,4,8,15. Enfin, les élèves ont résolu le jeu Chomp pour quelques tailles particulières (3x3, 3x2,4x3).Le cas du carré est conjecturé comme toujours gagnant pour le premier joueur.
Mots clés : jeu, stratégie, stratégie gagnante, Chomp, arbre de possibilités, disjonction de cas, jeu combinatoire, jeu de NimArticle : Tas de sable numériques - Lycée Esclangon (Manosque)
Les tas de sables numériques sont un exemple simple de modélisation d'effondrement en chaine. Une question naturelle est de déterminer les configurations stables que l'on peut obtenir après écroulement. Dans cet article on trouvera une description exhaustive de ces positions dans le cas de la dimension un (écroulement sur une ligne). L'implémentation d'un algorithme simulant l'effondrement des tas de sables a également permis d'émettre quelques conjectures en dimension deux (sur un carré), et de faire émerger l'existence de configurations neutres . De tels tas de sables peuvent être superposés à d'autre de tel sorte que l'effondrement qui en résulte ramène à la configuration de départ.
Mots clés : tas de sable, algorithme, nombre entier, groupeArticle : Jeux infinis - Lycée Fustel de Coulanges (Massy)
Deux joueurs choisissent tour à tour un 1 ou un 0 , indéfiniment. Le jeu est déclaré gagné par le premier joueur ou le second selon que certaines séquences de chiffres, convenues à l'avance, apparaissent une infinité de fois ou non. Dans les exemples étudiés ici, des stratégies gagnantes sont fournies par de simples automates.
Mots clés : jeu, infini, mot, binaire, motif, graphe, automate, état, nombre, chiffre, décimaleArticle : Comment plier un triangle - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Comment plier un triangle rectangle de telle façon que l'aire du polygone obtenu soit la plus petite possible (on ne fait qu'un seul pli et le polygone étudié est celui qui est couvert par une ou par deux épaisseurs de papier) ? Les auteurs conjecturent que le meilleur pli est toujours obtenu par un bissectrice et en font l'hypothèse. Si le plus grand des 2 angles aigus est compris entre 45° et 51°, le meilleur pli sera la bissectrice de l'angle droit. Si l'angle est supérieur à 52°, le meilleur pli sera la bissectrice du plus petit des angles aigus. La question des triangles quelconques reste ouverte.
Mots clés : triangle, aire, minimum, triangle rectangle, angle, bissectriceArticle : Le jeu de Gründy - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Au départ : plusieurs tas d'allumettes. A chaque tour, un des tas est partagé en deux tas inégaux. Le dernier à jouer gagne. Les auteurs établissent une classification des diverses situations de jeu en "types", ce qui permet d'attribuer une valeur à chaque situation de jeu. Une méthode simple de calcul est conjecturée. Elle permettrait, avec l'aide d'un ordinateur, de jouer parfaitement à ce jeu.
Mots clés : nombre entier, jeu, jeu de Gründy, tas d'allumettes, jeu de Nim, fonction de Gründy, Nim-addition, somme, type, stratégie gagnante, situation gagnante, situation perdanteArticle : Géometrie sur la sphère - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Le sujet que nous avons choisi est l'étude de la géométrie sur la sphère et sa comparaison à la géométrie plane. Il s'est d'abord agi d'établir des correspondances entre les deux géométries, de "traduire" les figures élémentaires du plan. Pouvant alors "voyager" du plan à la sphère, nous avons pu comparer des objets plus complexes tels que les polygones. Si la recherche ne fut pas toujours évidente, nos efforts furent bien récompensés par des découvertes parfois étonnantes. Traitant un sujet proche d'un autre proposé il y a quelques années :"Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré ?", notre exposé comporte quelques références à la géographie; elles ont pour but de faciliter la bonne compréhension du lecteur.
Mots clés : géométrie, sphère, sphérique, géodésique, plus court chemin, angle, polygone, trirectangle, biangle, grand cercle, cercleArticle : Droites et Plans - Lycée d’Altitude (Briancon)
En combien de zones (régions), n droites coupent-elles le plan ? Les réponses sont données dans le cas de n droites parallèles, de n droites concourantes et de n droite "en position générale". Il est conjecturé que si p+c-1 droites sont réparties p droites parallèles et c droites concourantes, l'une des c droites concourantes étant confondue avec l'une des p droites parallèles, le nombre de régions est p(c+1).
Mots clés : plan, région, droite, parallèle, concourant, dénombrement, position généraleArticle : L énigme de Goldbach - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Romain Rolland (Goussainville)
En 1742 Goldbach envoya une lettre à Euler pour lui poser la question suivante :" Tous les entiers supérieurs ou égaux à 5 sont-ils somme de trois entiers premiers ?"Alors Euler formula une autre question :"Tous les entiers pairs supérieurs ou égaux à 4 sont-ils somme de deux nombres premiers ?" Les auteurs étudient des représentations graphiques pour l'ensembles L(n) des nombres qui sont somme de deux entiers premiers inférieurs à n et remarquent que tout entier premier a pour reste 1 ou 5 quand on le divise par 6. Ils proposent de chercher des liens autre que l'inclusion entre L(n) et L(n+2).
Mots clés : Goldbach, Euler, nombre premier, conjecture, somme, congruenceArticle : Zelliges - Lycée de l’Hautil (Jouy le Moutier) Lycée Camille Saint Saens (Deuil La Barre)
Les zelliges sont des mosaïques colorées basées sur des dessins géométriques qui apparaissent sur les murs des mosquées au Maroc et en Espagne...
Dans certains cas on peut retrouver avec la règle et le compas les règles empiriques qui ont guidées leur construction.
Mots clés : angle, arabe, compas, Islam, mosaïque, parallèle, règle, rosace, zellige, médiatrice, bissectriceDans certains cas on peut retrouver avec la règle et le compas les règles empiriques qui ont guidées leur construction.
Article : Partitions d un entier - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Prenons un nombre entier positif n. De combien de façons peut-on écrire n , comme somme de nombres entiers positifs ? Le sens de la question varie selon que l'on considère des sommes ordonnées ou non : une composition de n sera une suite d'entiers positifs de somme n (ainsi (1,2,2) et (2,1,2) seront deux compositions distinctes de l'entier 5) tandis qu'une partition de n sera une liste d'entiers positifs, de somme n, rangée par ordre croissant (ainsi 1+2+2 et 2+1+2 seront des écritures différentes de la même partition du nombre 5, soit (1,2,2)). Les auteurs montrent que le nombre A( n) de compositions de n vaut 2^(n-1). Pour le nombre P( n) de partitions de l'entier n, ils donnent une expression simple de la série génératrice correspondante, c'est à dire de la somme infinie 1+ P(1)X^1+ P(2)X^2+ P(3)X^3+ ...
Mots clés : nombre entier, somme, partition, partage, décomposition, nombre polygonal, tableau de Young, série génératrice, série formelle, polynôme, produit infini, division par puissances croissantes, suite géométrique, Mac Mahon, Euler, combinatoire, Ramanujan, récurrence, somme infinieArticle : Nœuds - Lycée de l Hautil (Jouy le Moutier) Lycée Camille Saint Saëns (Rouen)
Lorsque deux ou plusieurs boucles de ficelle (on ne considère que des boucles fermées sur elles-mêmes) sont entremêlées dans l'espace, elles forment un entrelacs. Par définition, on considère que l'entrelacs ne change pas lorsqu'on les déforme les boucles ou qu'on en change la position dans l'espace (mais il est exclu de les couper). Pour représenter un entrelacs, on peut dessiner son ombre sur un plan en prenant soin d'indiquer, pour chaque croisement qui apparaît, quelle portion de ficelle passe au dessus et quelle portion passe au dessous. Le dessin obtenu est appelé diagramme de l'entrelacs. Il y a évidemment plusieurs diagrammes possibles pour un même entrelacs.
Les auteurs étudient les diagrammes équivalents et quelques simplifications possibles de ces diagrammes. Ils trouvent un codage pour les diagrammes de nœuds (une seule boucle enmêlée à elle-même). En utilisant l'idée d'enroulement et de torsion, ils prouvent que certains entrelacs sont…
Mots clés : nœud, diagramme d'un nœud, diagramme, entrelacs, code de Gauss, torsion, tourLes auteurs étudient les diagrammes équivalents et quelques simplifications possibles de ces diagrammes. Ils trouvent un codage pour les diagrammes de nœuds (une seule boucle enmêlée à elle-même). En utilisant l'idée d'enroulement et de torsion, ils prouvent que certains entrelacs sont…
Article : Le Dobble - Lycée Esclangon (Manosque)
Ce texte propose une étude du Jeu « Dobble », un jeu de réflexes. Le jeu se compose de 55 cartes portant 8 symboles différents chacune, de plus deux cartes différentes ont toujours un seul symbole en commun. L'auteur commence par étudier des jeux satisfaisant les mêmes contraintes que le « Dooble » mais n'utilisant qu'un nombre réduit de symboles par cartes. Cela permet d'établir des conjecture sur le nombre de cartes des jeux de type « Dobble », complets, à n symboles par cartes. Ces conjectures sont ensuite démontrées. Puis l'article se concentre sur la construction de jeux en utilisant une méthode mêlant arithmétique et géométrie. Les jeux ainsi construit présentent une structure mathématique riche (plus riche que celle du jeu du commerce !), l'auteur présente de nouvelles règles du jeu qui tirent parti de cette richesse.
Mots clés : jeu, Dobble, combinatoire, arithmétique, géométrie projective, corps fini, congruenceArticle : Les interrupteurs défectueux - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Dans cet article, les auteurs étudient les réseaux d'interrupteurs défectueux. Les interrupteurs sont défectueux dans le sens où, appuyer sur un interrupteur changera l'état de celui-ci mais aussi les états de ses plus proches voisins. Partant d'un réseau dont tous les interrupteurs sont fermés, peut-on arriver à avoir tous les interrupteurs ouverts en même temps? Les auteurs ont donné des méthodes de résolutions pour les réseaux cycliques ainsi que ceux formés par deux cycles ayant une suite d'interrupteurs successifs en communs. Dans chacun de ces cas, les auteurs ont montré que le réponse est positive.
Mots clés : graphe, matrice, interrupteur, réseau, cycle, jeuArticle : La Multiplication pour les nuls - Collège Mario Meunier (Montbrison)
Pour quelques nombres entiers n, il s'agit de trouver un moyen de multiplier n'importe quel nombre entier par n, et ce, sans utiliser les tables de multiplication. Plus précisément, on n'a le droit que d’additionner et de soustraire des chiffres, et le but étant d'utiliser le moins d'opérations possibles. L'article propose des méthodes pour n=11 et 6 (avec justifications) puis pour 5,7,8,9 (sans justifications).
Mots clés : multiplication, addition, soustractionArticle : Combien de points faut-il pour définir une courbe? - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Comment déterminer une courbe avec quelques points seulement ? Deux approches sont présentées ici : (a) Une parabole d'axe vertical est déterminée par 3 de ses points. (b) 2 points-extrémités et des "points de contrôle" supplémentaires permettent le tracé "vectoriel" des courbes de Bézier. Cette dernière méthode est couramment utilisée par les logiciels de dessin. (Résumé par les éditeurs)
Mots clés : point, courbe, parabole, Bézier, barycentre, triangle de Pascal, dessin vectoriel, équation paramétriqueArticle : Aires et distances - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
[Résumé. (fait par les éditeurs) Comment déterminer l'aire d'un polygone lorsqu'on n'a accès qu'aux mesures de distances entre sommets du polygone ? Des méthodes simples sont proposées pour les quadrilatères remarquables et une formule est donnée pour les quadrilatère généraux, qui sont partagés en deux triangles.
Mots clés : aire, distance, polygone, quadrilatère, triangulation, triangle, théorème de PythagoreArticle : Combiner deux carrés - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Il s'agit de trouver les entiers naturels N pouvant s'écrire sous la forme :
N = x^2+ ay^2
Mots clés : carré, somme, différence, équation de Pell, absurdeN = x^2+ ay^2
Article : Le problème du cavalier - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un cavalier se déplace le long dπune bande, divisée en cases numérotées par les entiers naturels, n étant le numéro attribué la nième case en partant de lπorigine. Le cavalier peut se déplacer soit de p cases, soit de q cases (), en avant ou en arrière. On place sur cette demi-droite un mur, auquel correspond le numéro m (), qui empêche le cavalier de passer par une quelconque case dont le numéro est strictement supérieur à celui du mur.
On demande si lπon peut placer le mur de manière à ce que le cavalier, en partant de la case 0, puisse atteindre toutes les cases situées entre la case 0 et la case m (au sens large), et, si cela est possible, quelles valeurs peut on donner à m.
Mots clés : saut de cavalier, pgcd, vecteur entier, combinaison linéaire, FrobeniusOn demande si lπon peut placer le mur de manière à ce que le cavalier, en partant de la case 0, puisse atteindre toutes les cases situées entre la case 0 et la case m (au sens large), et, si cela est possible, quelles valeurs peut on donner à m.
Article : Les ponts de la ville de Königsberg - Collège des Explorateurs (Cergy)
La ville de Königsberg (Prusse orientale) comptait 7 ponts.
L’histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ces habitants.
Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des 7 ponts de la ville?
Mots clés : pont, Kœnigsberg, Königsberg, graphe, circuit eulérien, Euler, arbreL’histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème qui préoccupait fortement ces habitants.
Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des 7 ponts de la ville?
Article : Labyrinthes - Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
[Résumé. (par les éditeurs) Un moyen infaillible de sortir d'un labyrinthe situé sur un plan (et donc où les notions de gauche et de droite permettent de s'orienter), au moins dans le cas où la sortie donne sur l'extérieur.]
Mots clés : labyrinthe, graphe, planaire, sortie, algorithmeArticle : Des carrés dans les rectangles. - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Un rectangle a deux dimensions, disons sa largeur et sa hauteur et la proportion largeur/hauteur donne la forme du rectangle. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion largeur/hauteur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme. A tout nombre positif correspond une forme de rectangles.
Si vous cherchez à quel nombre correspond un rectangle, vous pouvez bien sûr mesurer sa largeur et sa hauteur avec la règle et faire la division, mais ce n'est pas une méthode exacte.
Voici une méthode géométrique.
Mots clés : fraction continue, nombre rationnel, nombre irrationnel, rectangle, carré, anthyphérèse, racine carrée, approximation, format de papier, découpage, pliageSi vous cherchez à quel nombre correspond un rectangle, vous pouvez bien sûr mesurer sa largeur et sa hauteur avec la règle et faire la division, mais ce n'est pas une méthode exacte.
Voici une méthode géométrique.
Article : Les réceptions de l ambassadeur - Collège Gérard Philippe (Cergy)
Placés autour d'une table circulaire, ni deux hommes ni deux femmes ni mari et femme ne doivent se trouver côte à côte. Pour un nombre de couples fixé, n, combien de dispositions sont possibles ? La réponse est donnée pour n = 2, 3 et 4
Mots clés : permutation, circulaire, couple, enumération, dénombrement, combinatoire énumérativeArticle : Pavable ou pas ? - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Avec des losanges identiques dont les angles sont 60° et 120°, on essaye de "paver" une forme polygonale, c'est à dire de couvrir exactement leur surface sans chevauchement ni lacunes. On trouve des conditions nécessaires liées aux idées de parité et de coloration. On montre que ces conditions suffisent dans le cas des formes convexes. Pour les formes quelconques une conjecture générale est proposée. Elle fait apparaître une certaine "fonction de hauteur", évaluée sur le bord des formes considérées.
Mots clés : pavage, losange, triangle, hexagone, convexe, parité, récurrence, condition nécessaire et suffisanteArticle : Le découpage de la France - Collège Gérard Philipe (Cergy)
En 2050, le ministre de l'intérieur décide de faire un découpage de la France en départements. Pour simplifier son travail, il assimile la France à un hexagone régulier, chaque département doit avoir la forme d'un triangle, et il n'utilise que des diagonales pour faire le découpage . Pouvez-vous l'aider ? (note 2)
Nous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.
[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.
Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].
Mots clés : Erdös, triangle, isocèle, Ramsey, configuration de points, plan, Euler, GoldbachNous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.
[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.
Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].
Article : A la Erdös - Collège des Explorateurs (Cergy)
On considère 4 points distincts dans le plan. Est-on sûr de pouvoir former un triangle non isocèle avec trois d'entre eux ? Et si on considère 5, 6 ou 7 points ? (note 2)
Nous cherchons à faire des figures ne comprenant que des triangles isocèles.
Remarque : Les segments de même longueur ont la même couleur.
Mots clés : Erdös, triangle, isocèle, Ramsey, configuration de points, planNous cherchons à faire des figures ne comprenant que des triangles isocèles.
Remarque : Les segments de même longueur ont la même couleur.
Article : La marelle - Collège Gérard Philipe (Cergy) Collège des Explorateurs (Cergy)
Paul et Virginie aiment jouer à la marelle, mais ils en ont changé les règles [note 1]. On part de la TERRE pour aller au CIEL en passant par 4 cases numérotées de 1 à 4. La règle est la suivante: sur chaque case, le joueur lance une pièce. Si la pièce tombe sur " pile ", le joueur reste sur place. Si elle tombe sur " face ", le joueur avance d'une case. Comme on a une chance sur deux d'avancer, Virginie parie qu'en au plus de 10 coups, elle arrivera au CIEL.
Qu'en pensez-vous? Imaginer d'autres règles et d'autres paris (par exemple avec des dés ou avec une pièce truquée ou si la piste de jeu est un échiquier.
Mots clés : probabilité, modélisation, modèle, marelle, arbre de possibilités, statistiqueQu'en pensez-vous? Imaginer d'autres règles et d'autres paris (par exemple avec des dés ou avec une pièce truquée ou si la piste de jeu est un échiquier.
Article : Approche de la solution de cos(x)=x - Lycée Blanche de Castille (Le Chesnay)
Nous avons cherché à résoudre des équations irrésolvables par le calcul. C'est pourquoi nous avons décidé d'utiliser un autre outil mathématique : la méthode graphique.
Pour illustrer notre démonstration nous avons choisi l'exemple de l'équation : cos(x)=x.
C'est à dire trouver le zéro de la courbe représentative de f(x)=cos(x)-x.
Mots clés : équation, fonction, cosinus, solution, zéro, approximation, résolution numérique, barycentre, dichotomiePour illustrer notre démonstration nous avons choisi l'exemple de l'équation : cos(x)=x.
C'est à dire trouver le zéro de la courbe représentative de f(x)=cos(x)-x.
Article : Une invitation a la topologie symplectique. - IUFM Midi-Pyrénées (Narbonne)
Archimède s’est beaucoup intéressé aux solides de l’espace que sont le cône, le cylindre et la sphère. Sont données ici deux preuves d’un résultat célèbre qui figure dans ses œuvres et qui concerne le cylindre et la sphère: la preuve initiale d’Archimède, datant du 3ème siècle avant Jésus-Christ, utilise des outils du collège aujourd’hui; la seconde preuve utilise des outils de calcul différentiel et intégral appliqués à la géométrie qui ont été construits au dix-septième siècle et que l’on apprend aujourd’hui au lycée. Les outils plus sophistiqués de cette deuxième preuve permettent de comprendre l’essence du résultat qui devient alors un exercice de géométrie différentielle ou symplectique (Voir [McDS], p.82).
Le point de départ de ce travail a été un exposé au colloque “MATh.en.JEANS” 2002 qui s’est tenu à l’université d’Orsay-Paris XI. Ce texte peut intéresser aussi les professeurs de mathématiques de collège et de lycée. Il a été proposé à mes étudiants du PLC1Maths de l’IUFM Midi-Pyrénées, en…
Mots clés : topologie, symplectique, Archimède, sphère, cylindre, calcul différentiel, calcul intégral, géométrie différentielleLe point de départ de ce travail a été un exposé au colloque “MATh.en.JEANS” 2002 qui s’est tenu à l’université d’Orsay-Paris XI. Ce texte peut intéresser aussi les professeurs de mathématiques de collège et de lycée. Il a été proposé à mes étudiants du PLC1Maths de l’IUFM Midi-Pyrénées, en…
Article : Tous les chemins mènent à Rome - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Un marcheur évolue dans un quadrillage en ne faisant que des pas de longueur unité, vers la droite ou vers le haut. Les auteurs montrent comment la formule du binôme permet de trouver le nombre de chemins possibles depuis l'origine jusqu'à un noeud quelconque du quadrillage (point à coordonnées entières positives ou nulles). Une généralisation au réseau cubique (tridimensionnel) est proposée, qui permet une approche du cas (bidimensionnel) du réseau triangulaire. ]
Mots clés : combinatoire énumérative, chemin, réseau carré, réseau triangulaire, réseau cubique, grille, probabilité, coefficient binomial, triangle de PascalArticle : Le meilleur pli - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Comment plier une forme plane donnée en en cachant le plus possible ?
Mots clés : aire, pliage, triangle, symétrie, minimum, bissectriceArticle : Aux antipodes l’un de l’autre - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Des astronautes escargots sont sur une boîte à chaussures, perdus en plein milieu de l'espace. Ils se rejettent la responsabilité de l'erreur qui les a mis dans une telle situation. Depuis, ils se font la tête au point de chercher à se placer sur cette boîte de manière à être le plus loin possible les uns des autres.
Où peuvent-ils se mettre ?
Mots clés : cube, distance, distance sur un cube, plus courte distanceOù peuvent-ils se mettre ?
Article : Colliers de perles - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
On dispose de n perles, chaque perle étant grise ou violette. Combien de colliers fermés circulaires différents peut-on constituer avec ces perles ? Les colliers ne différant que par une rotation sont considérés comme identiques. [...]
Mots clés : collier, circulaire, dénombrement, compter, couleur, permutation, pgcd, perleArticle : Le billard circulaire - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Deux boules sont placées sur un billard de forme circulaire. Dans quelle(s) direction(s) faut-il frapper la première de sorte qu'elle rebondisse une seule fois sur le bord et touche ensuite la deuxième ? Deux méthodes sont proposées : (1) une méthode mathématique : trouver, en passant par une équation du 4 ème degré, une ellipse qui soit tangente au cercle et qui ait les deux boules pour foyers (2) une méthode physique : remplacer le billard par une tasse circulaire à font plat, la première boule par une source lumineuse et utiliser l'enveloppe des rayons réfléchis (caustique).
Mots clés : billard, circulaire, cercle, ellipse, caustique, bissectrice, foyer, équation, quatrième degréArticle : La cycloïde - Lycée d’Altitude (Briancon)
La cycloïde est la courbe décrite par un point fixe d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite.
Comment tracer une cycloïde sans connaître son équation ?
Mots clés : cycloïde, roulette, cercle, roulementComment tracer une cycloïde sans connaître son équation ?
Article : Construire un surplomb - Lycée d’Altitude (Briancon) Lycée Jean Moulin (Pézenas)
Les auteurs cherchent à réaliser un empilement stable de n briques de manière à obtenir le plus grand surplomb possible de la n-ième brique par rapport à la première. Les auteurs se placent dans le cas où l'on évolue que dans un seul sens (sans revenir en arrière!) et appliquent le principe suivant. Pour que l'ensemble des briques tienne en équilibre, il suffit que pour chaque brique l'isobarycentre des briques posées au dessus d'elle soit à l'aplomb de son bord. Les auteurs conjecturent que n-1 décalages égaux à 1/n donnent un empilement stable. Ils prouvent, par récurrence, que n-1 décalages successifs de valeur 1/(2k) (k variant de n-1 à 1) donnent une solution stable (solution que l'on peut conjecturer optimale) et posent la question : le surplomb ainsi obtenu devient-il arbitrairement grand quand n augmente ?
Mots clés : surplomb, Kapla, centre de gravité, isobarycentre, série harmonique, équilibre, récurrenceArticle : La période trouble des inverses - Ecole Jules Ferry (Melun) Collège Frédéric Chopin (Melun)
Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre N, peut-on trouver un nombre dont la période est N ?
Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...
Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?
Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...
Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?
Article : Les bananes dans le désert - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Dans un désert de 1000 km, nous devons transporter 3000 bananes avec un chameau ne pouvant porter que 1000 bananes sur son dos.
En sachant qu'il consomme 1 banane par km parcouru.
Exemple: 100 km = 100 bananes consommées
Quel est le plus grand nombre de bananes
que vous pouvez ramener au bout du désert?
En sachant qu'il consomme 1 banane par km parcouru.
Exemple: 100 km = 100 bananes consommées
Quel est le plus grand nombre de bananes
que vous pouvez ramener au bout du désert?
Article : Les mathématiques des engrenages - Lycée d’Altitude (Briancon)
On trouve dans de nombreuses machines des systèmes d'engrenages destinés à multiplier ou à démultiplier une vitesse d'entrée pour obtenir une vitesse de sortie bien particulière.
Les exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges. Nous disposons d'un arbre tournant à une vitesse angulaire W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où k=0,23 (par exemple).
Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus grand), qui ont par exemple entre 15 et 50 dents pour obtenir le rapport k
Mots clés : engrenage, fraction, rapport, vitesse angulaire, nombre premierLes exemples sont nombreux, comme les boites de vitesse de nos voitures, ou encore les engrenages des montres et des horloges. Nous disposons d'un arbre tournant à une vitesse angulaire W. A la sortie on veut une vitesse angulaire k.W où k=0,23 (par exemple).
Il faut donc essayer de trouver une méthode générale pour placer des engrenages (dont on définira le plus petit et le plus grand), qui ont par exemple entre 15 et 50 dents pour obtenir le rapport k
Article : La géométrie non euclidienne - Lycée d Altitude (Briancon)
En prenant comme "espace plan" un demi-plan bordé par une droite (H), comme "droites" les demi-cercles centrés sur (H) et comme "points" ceux du demi-plan, on obtient une géométrie qui vérifie les axiomes de la géométrie classique euclidienne sauf l'axiome des parallèles. Que deviennent les polygones ? La somme des angles n'est plus constante !]
Mots clés : demi-plan de Poincaré, droite, triangle, angle, perpendiculaireArticle : Le nœud de trèfle ne se dénoue pas - Université de Franche-Comté (Besançon)
Reconnaître un noeud est un problème ardu, étudié en mathématiques depuis le XIXème siècle à l'aide de diagrammes. L'idée de propriété invariante permet de prouver que certains noeuds sont différents ; l'exemple de la "tricolorabilité", ici illustré, permet de prouver que le noeud de trèfle ne peut se réduire à une simple boucle...]
Mots clés : nœud, nœud trivial, nœud de trèfle, nœud de huit, invariant, invariant mathématique, symétrie, coloration, diagramme d'un nœud, croisement, mouvement de ReidemasterArticle : Economisez les pipe-lines - Lycée Henri Moissan (Meaux)
Des forages ont permis de localiser des gisements de pétrole et de décider d'emplacements pour des puits de pétrole : A,B,C,D,etc. Ces puits devront être reliés à une raffinerie par un réseau de pipes-lines.
La figure 1 montre un exemple de projet pour 6 puits A,B,C,D,E,F : les puits sont reliés par 6 pipes-lines rectilignes [AB],[BC],[CD],[DE],[EF] et [FA]; la raffinerie R est placée à mi-chemin entre A et B.
Pouvons-nous améliorer ce projet initial en proposant un réseau plus court ?
Mots clés : réseau, minimum, Steiner, distance, puits, point de rencontre, triangle, équilatéral, Toricelli, Fermat, pipelineLa figure 1 montre un exemple de projet pour 6 puits A,B,C,D,E,F : les puits sont reliés par 6 pipes-lines rectilignes [AB],[BC],[CD],[DE],[EF] et [FA]; la raffinerie R est placée à mi-chemin entre A et B.
Pouvons-nous améliorer ce projet initial en proposant un réseau plus court ?
Article : Trajectoires sur un écran - Collège Elsa Triolet (Saint-Denis)
On considère un écran d'ordinateur ou de télévision composé de pixels [note 1].
Un point lumineux s'y déplace en diagonale [à 45°]. Quand il arrive dans le coin de l'écran il fait demi-tour et lorsque il arrive sur le bord de l'écran il continue sur l'autre diagonale [voir Figure 1].
On a représenté l'écran par un rectangle (ou un carré) et les pixels par des [petits] carrés semblables [égaux]. On obtient ainsi un quadrillage régulier du rectangle.
Mots clés : billard, diagonale, période, pixel, rectangle, trajectoireUn point lumineux s'y déplace en diagonale [à 45°]. Quand il arrive dans le coin de l'écran il fait demi-tour et lorsque il arrive sur le bord de l'écran il continue sur l'autre diagonale [voir Figure 1].
On a représenté l'écran par un rectangle (ou un carré) et les pixels par des [petits] carrés semblables [égaux]. On obtient ainsi un quadrillage régulier du rectangle.
Article : Jeu de poursuite sur un échiquier - Lycée Frédéric Joliot Curie (Dammarie-lès-Lys)
Par le biais d'un échiquier [carré] de dimension n, deux joueurs s'affrontent de la façon suivante : Le premier L'un, nommé B, possède un ballon et est symbolisé par un pion O (le défenseur). Le deuxième L'autre, nommé A, possède plusieurs pions symbolisés par X (l'attaquant). A joue en premier, il se déplace comme un roi aux échecs, son objectif est de prendre la balle à B en se plaçant sur la même case que celui-ci. B se déplace de la même manière et a pour objectif de ne pas se faire prendre. On s'est proposé de répondre à la question suivante : Combien faut-il au minimum d'attaquant(s) pour prendre la balle au défenseur ?
Article : Sauts de puce sur un cercle - Collège Elsa Triolet (Saint-Denis)
Une puce saute sur un cercle par bonds réguliers : c'est à dire que l'angle au centre formé entre deux positions consécutives de la puce est toujours le même.
La puce va-t-elle revenir à son point de départ ? Quelles positions va-t-elle pouvoir atteindre ?
Mots clés : nombre, entier, diviseur, multiple, angle, rationnel, irrationnel, fraction, billard, cercleLa puce va-t-elle revenir à son point de départ ? Quelles positions va-t-elle pouvoir atteindre ?
Article : Les déboires mathématiques d un jeune carreleur - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Quels rectangles peut-on paver avec des pavés allongés de dimension 1 x k ? Les auteurs conjecturent que seuls les rectangles ayant un coté multiple de k sont pavables et prouvent cette conjecture lorsque k vaut 3 ou plus généralement lorsque k est un nombre premier. Il étudient le problème du carrelage d'un carré de 7x7 cases en utilisant (a) 7 trimino en L (3 cases disposées en L) (b) 7 triminos droits (barre de 3 cases alignées) (c) 7 cases noires (taille 1x1) qui doivent être placées dans des lignes et des colonnes différentes. Ils déterminent le nombre de dispositions possibles des cases noires et conjecturent que le pavage est impossible.
Mots clés : pavage, pavage en L, rectangle, nombre premier, polymino, polymino droit, trimino, triominoArticle : Marcel et ses wagons - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Marcel est un cheminot de la SNCF qui a la tâche suivante : ranger des trains.
Dans son hangar (représenté ci-contre) arrivent le soir par la gauche des wagons numérotés dans un ordre quelconque.
Le soir, le wagon 1 doit sortir le premier à droite, puis le 2, puis le 3 etc., formant ainsi (quand on lit de gauche à droite ) le train 4321 avec 4 wagons.
Ce hangar possède une voie principale et une dérivation. Les wagons transitent par l'une de ces deux voies. Mais un wagon ne peut jamais faire marche arrière, ainsi il doit obligatoirement, en sortant de la voie qu'il a empruntée, aller vers la sortie.
Marcel arrivera-t-il toujours à accomplir sa tâche ?
Mots clés : compter, enumération, combinatoire énumérative, permutation, queue, binomial, Catalan, coefficient binomial, nombre de Catalan, triDans son hangar (représenté ci-contre) arrivent le soir par la gauche des wagons numérotés dans un ordre quelconque.
Le soir, le wagon 1 doit sortir le premier à droite, puis le 2, puis le 3 etc., formant ainsi (quand on lit de gauche à droite ) le train 4321 avec 4 wagons.
Ce hangar possède une voie principale et une dérivation. Les wagons transitent par l'une de ces deux voies. Mais un wagon ne peut jamais faire marche arrière, ainsi il doit obligatoirement, en sortant de la voie qu'il a empruntée, aller vers la sortie.
Marcel arrivera-t-il toujours à accomplir sa tâche ?
Article : Constructeur d autoroutes - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)
Nous sommes constructeurs d'autoroutes. Les autoroutes que nous construisons ne peuvent se croiser. Comme nous recevons de nombreux contrats, il nous faut trouver des critères nous permettant de déterminer, à la lecture du contrat, si celui-ci est réalisable ou non. Lorsque le nombre de villes est pair et vaut au moins 6, nous pouvons construire des réseaux où chaque ville est réliée à 4 autres. Nous montrons un réseau de 12 villes où chaque ville est reliée à 5 autres.
Mots clés : graphe, planaire, croisement, degré, graphe planaire, plan, graphe régulierArticle : Les 12 notes de la gamme - lycée Jean Macé (Vitry- sur-Seine)
Une note de fréquence 2f est perçue par l’oreille comme étant similaire (mais plus aiguë) à celle de fréquence f : on dit que ces deux notes diffèrent d'une octave et on leur donne le même nom. On construit une gamme musicale complète en choisissant des fréquences précises entre f et 2f. L'article donne une construction théorique de la gamme musicale la plus courante (méthode dite "par les quintes") et explique ainsi pourquoi cette gamme a 12 notes.
Mots clés : octave, gamme, quinte, fréquenceArticle : Étudier les arbres - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Un arbre comprend : un tronc, des noeuds, des branches, et des feuilles.
Le problème est de compter les arbres qui ont un nombre donné de branches, et de donner une méthode permettant de les dessiner tous une fois et une seule.
Mots clés : arbre, racine, branche, sommet, arête, enumération, nœud, dénombrementLe problème est de compter les arbres qui ont un nombre donné de branches, et de donner une méthode permettant de les dessiner tous une fois et une seule.
Article : Les amida-kuji (le retour) - Collège Mario Meunier (Montbrison)
Cet article fait suite au travail de l'année précédente sur les Amidas-kujis (http://www.mathenjeans.fr/content/article-les-amida-kuji-collège-mario-meunier-montbrison). L'amida-kuji est un jeu de hasard japonais qui permet par exemple de faire une répartition aléatoire de tâches/lots parmi un groupe de personnes. Les auteurs s’intéressent ici aux amidas-kujis équivalents. En particulier ils donnent des méthodes par simplification pour déterminer des Amidas-kujis équivalents ainsi que le nombre de classes d'équivalence d'amidas-kujis.
Mots clés : amida-kuji, aléatoire, permutation, relation d'équivalence, jeu de hasardArticle : Explosurf - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Les auteurs explorent systématiquement la surface de planètes virtuelles construites par leur chercheur Vincent Nivoliers sous forme de jeu video (accessible sur le WeB) : à chaque étape le joueur explorateur ne voit de la surface qu'une seule case carrée munie de 4 couleurs différentes correspondant chacune à un coté. En choisissant une couleur il accède à une case voisine (à moins que celle-ci ne soit vide, ce qui indique un bord). Une exploration intelligente (utilisant un ordre prioritaire des couleurs) leur permet de dresser une liste complète des cases, de leurs voisinages et de leurs orientations dans l'espace. Un algorithme simple leur permet de trouver un plus court chemin entre deux cases quelconques. Dans presque tous les cas étudiés, une carte complète est obtenue et un modèle en papier est réalisable : ruban de Möbius, surface de boule, tore, bouteille de Klein, surfaces à plusieurs trous, labyrinthe. Dans le cas "orientable" et sans bord, le nombre de trous peut être…
Mots clés : planète, explosurf, carte, surface, orientable, forme, bord, trou, graphe, labyrinthe, plus court cheminArticle : Propagation de rumeurs - Lycée Saint Joseph (Bressuire) Lycée Pilote innovant international (Jaunay Clan)
Les auteurs de l’article étudient la propagation d’une rumeur dans une file d’attente supposée de longueur infinie, avec ou sans hasard. Ils établissent des conjectures sur le nombre de contaminés après avoir observé des résultats expérimentaux. Ils démontrent un théorème sous réserve que les conjectures soient vraies. Puis ils créent des algorithmes permettant de simuler des déplacements au hasard, observent ces résultats et en tirent des conclusions sur la vitesse de propagation des rumeurs.
Mots clés : propagation, aléatoire, modélisation, hasard, algorithme, automate cellulaire, sautArticle : Celui qui prend le dernier pion a gagné. - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Dans cet article, les auteurs étudient et généralisent la célèbre épreuve des bâtonnets du
jeu télévisé Ford Boyard, en l’étendant à un nombre quelconque de bâtonnets, éventuellement
positionnés sur plusieurs lignes.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, allumette, multiple, parité, symétrie, stratégie, sommejeu télévisé Ford Boyard, en l’étendant à un nombre quelconque de bâtonnets, éventuellement
positionnés sur plusieurs lignes.
Article : Recollons les morceaux !-Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)-
L'article étudie le problème suivant : étant donnés deux polygones A et B du plan, est-il possible de découper A en polygones plus petits tels que l'on puisse les réorganiser pour former B ? Après l'étude d'exemples et de cas particuliers, les auteurs montrent comment l'on peut élargir leurs résultats, peu à peu jusqu'au cas général, en s'appuyant à chaque fois sur les cas précédents (rectangle et carré, triangle et carré, ...) et nous montrent, au passage, un joli raisonnement par récurrence.
Mots clés : géométrie, polygone, découpage, aire, récurrenceArticle : Carrés Magiques - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
Les auteurs se sont intéressés aux carrés magiques : tout d'abord, ils trouvent tous les carrés magiques d'ordre 3, ensuite ils proposent une formule générale pour le calcul de la somme d'un carré magique d'ordre n, puis ils énoncent quelques résultats et remarques sur les carrés magiques d'ordre 4. Ils proposent également une méthode pour construire des carrés magiques d'ordre pair, et cherchent à définir la somme de deux carrés magiques.
Mots clés : arithmétique, somme, jeuArticle : Surface minimale pour retourner un segment - Lycée d Altitude (Briancon)
Le retournement d'une aiguille consiste à retourner un segment AB de longueur l (B en A et A en B) en restant dans le plan. Cinq méthodes différentes de retournement visant à minimiser l'aire balayée sont présentées. Les deux premières méthodes incluent une rotation complète et produisent une aire de πl²/4. Une méthode n'aboutit pas et les deux autres méthodes produisent une aire de πl²/8.
Mots clés : trigonométrie, surface minimale, géométrie, optimisation, calcul d'aire, limite, fonctionArticle : Aire ! - Lycée Jean Hinglo (Le Port) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion)
Les auteurs considèrent dans un plan, des polygones dont les sommets sont à coordonnées entières. Ils montrent par récurrence une formule permettant de calculer l’aire de ces polygones en fonction du nombre de points à coordonnées entières se situant sur les arêtes ou à l’intérieur du polygone.
Mots clés : aire, polygone, coordonnée entière, formule de Pick, quadrillageArticle : Que fait google ? - Lycée Jean Hinglo (Le Port) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion)
Cet article permet de mieux comprendre le fonctionnement des classements proposés par des moteurs de recherche tels que Google. Le principe est de partir du nombre de liens d'un site et de regarder sur quel site on a le plus de chances de finir. De plus, les auteurs ont ajouté une probabilité de rester sur le site pour améliorer les résultats. Une certaine connaissance des matrices est recommandée pour mieux comprendre ce texte.
Mots clés : graphe, matrice, algorithme, probabilité, Python, GoogleArticle : Jeu de cubes - Lycée Pierre d Aragon (Muret)
On dispose de quatre cubes et de gommettes de quatre couleurs différentes. Le jeu consiste à disposer les cubes les uns sur les autres, de manière à voir les quatre couleurs sur chaque face. Comment placer les gommettes afin d'obtenir une, plusieurs ou aucune solution ?
Un jeu à l'apparence simple mais en réalité éreintant… Heureusement, nous pouvons compter sur l'aide de ces objets permettant de dessiner nos idées les plus ingénieuses : les graphes !
Mots clés : dé, jeu combinatoire, arbre de possibilités, graphe, casse-têteUn jeu à l'apparence simple mais en réalité éreintant… Heureusement, nous pouvons compter sur l'aide de ces objets permettant de dessiner nos idées les plus ingénieuses : les graphes !
Article : Les tas de sable-Lycée d Altitude (Briancon)-
Les auteurs étudient la forme d'un tas de sable posé sur un support plat polygonal. Ils montrent que le tas de sable forme un polyèdre et décrivent la configuration des arêtes de ce polyèdre à partir de la forme du support. Dans le cas où le support est un polygone à 3, 4 ou 5 côtés, la description est complète, et l'article donne des pistes pour l'étude du cas général.
Mots clés : ligne de plus grande pente, cercle inscrit, tas de sable, polygone, bissectrice, pente, angleArticle : Télépathie-Collège Chepfer (Villers lès Nancy)-
Un nombre pris entre 1 et 100 a été multiplié par 33 et l'on connaît les deux derniers chiffres du résultat. Est-il possible alors de retrouver le nombre de départ ? Il est démontré dans cet article que cela est bel et bien possible. Deux méthodes différentes ont été découvertes et la deuxième permet de trouver le nombre rapidement de tête. Ce résultat est ensuite généralisé en remplaçant 33 par n'importe quel autre nombre qui n'est multiple ni de 2 ni de 5 grâce à de jolies propriétés des multiples et des diviseurs. Il est également expliqué comment dans plusieurs cas particuliers, il est possible de faire le calcul de tête.
Mots clés : arithmétique, multiple, diviseurArticle : Calculer à la règle et au compas-Collège Chepfer (Villers lès Nancy)-
Les élèves, à partir de segments de longueur 1, a, b , et en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée, construisent des segments de longueur a+b, a-b, ab, a/b, les puissances de a et la racine carré de a. Ils utilisent pour ces constructions les théorèmes de Thalès et de Pythagore.
Construction, règle et compas, longueur, Pythagore, Euclide, Thalès. Nombres constructibles
Mots clés : construction, compas, règle, géométrie, théorème de Pythagore, théorème de ThalèsConstruction, règle et compas, longueur, Pythagore, Euclide, Thalès. Nombres constructibles
Article : Les frères du Petit Poucet - Lycée Bichat (Luneville)
Dans le conte de Perrault, le Petit Poucet est le dernier d'une fratrie de sept enfants, qui sont chacun nés avec au moins un frère jumeau. Comment sont réparties les naissances ? Il y a 7 possibilités différentes. Plus généralement, combien y aurait-il de possibilités pour n enfants ?
Mots clés : partition, suite de Fibonacci, suite récurrente, dénombrementArticle : Compter avec deux doigts-Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)-
en imaginant que des extra terrestres n'ont qu'un doigt à chaque main, cet article est une découverte de la base 2 et des procédés de calcul pour les 4 opérations. D'autres bases de numération sont ensuite étudiées.
Mots clés : base 2, calcul binaire, base de numérationArticle : Tour de Magie-Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)-
On cherche a comprendre un tour de magie dans lequel le magicien trouve le nombre auquel une personne pense en lui donnant des listes de nombres et en lui demandant dans quelles listes le nombre se trouve. Le tour est basé sur la décomposition des nombres en base 2. On améliore le tour de magie en permettant au joueur de choisir des nombres plus grands. On donne un algorithme permettant de calculer l'écriture binaire d'un nombre. Enfin, on étudie une opération basée sur l'écriture binaire, et que l'on applique pour obtenir un procédé cryptographique.
Mots clés : algorithme, base, division euclidienne, binaire, cryptographie, opération booléenne, tour de magieArticle : Découpage de spaghettis pour former un triangle - Lycée Beaupré (Haubourdin)
Les auteurs déterminent la probabilité de pouvoir former un triangle après avoir découpé aléatoirement un spaghetti en trois morceaux. Deux protocoles de découpage sont envisagés et donnent lieu à des résultats différents. Les résultats sont obtenus tout d'abord à l'aide de simulations, puis sont démontrés à l'aide de calculs d'aires.
Mots clés : probabilité, simulation, géométrie, calcul d'aire, triangle, inégalité triangulaire, découpageArticle : La pile de crêpes-Collège Alain Fournier (Orsay)-
Comment avec une simple palette, remettre dans l'ordre les crêpes d'une pile ? Au départ, les crêpes (de tailles toutes différentes) sont empilées n'importe comment. On veut les ranger par ordre décroissant, de la plus grande en bas à la plus petite en haut, en effectuant le moins de manipulation possible. La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc le haut de la pile. Les auteurs de cet article proposent un algorithme permettant de résoudre ce problème avec n'importe quel rangement initial, en étudiant les cas extrêmes.
Mots clés : tri, pile, algorithmeArticle : Communications entre grenouilles-Collège Alain Fournier (Orsay)-
Des grenouilles sont placées en ligne, chacune sur son nénuphar. Une d’entre elles décide d'informer les autres grenouilles. Elle sait sauter de g nénuphars vers la gauche (exactement), et de d nénuphars vers la droite (exactement). Pourra-t-elle informer toutes les grenouilles ?
Des résultats ont été obtenus dans des cas particuliers. Les élèves ont démontré que l’information n’est pas possible dans le cas où d et g ont un facteur commun autre que 1. Une méthode a été obtenue dans le cas où d et g sont premiers entre eux, sans généralisation.
Mots clés : nombres premiers entre eux, facteur communDes résultats ont été obtenus dans des cas particuliers. Les élèves ont démontré que l’information n’est pas possible dans le cas où d et g ont un facteur commun autre que 1. Une méthode a été obtenue dans le cas où d et g sont premiers entre eux, sans généralisation.
Article : Pavage par des L - Lycée V. et H. Basch (Rennes)
Peut-on recouvrir une forme composée de carrés unitaires en forme d'escalier, à n lignes et n colonnes, par des blocs de trois carrés en forme de L ? Les élèves ont élaboré une méthode qui permet de répondre à la question dans certains cas.
Mots clés : pavage, découpage, aire, divisibilité, quadrillageArticle : 2013 avec des 1 - Collège la Garenne (Gramat) Collège Albert Camus (Villemur)
Le problème étudié est de retrouver le facteur, qui multiplié par 2013, donne un nombre composé que de un. Les auteurs ont trouvé ce facteur en utilisant différentes méthodes : des multiplications à trous et l'utilisation d'un tableur. Ils ont cherché à trouver des propriétés identiques avec d'autres nombres comme 1013, 2014 et 2015.
Mots clés : tableur, multiplication, division euclidienne, divisionArticle : Pliage d’une feuille de papier - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les élèves ont travaillé, comme l'indique le titre, sur les pliages et découpages de feuilles de papiers. Dans la première partie, ils se sont demandés s'il était possible d'augmenter le périmètre d'une feuille uniquement à l'aide de pliages. La deuxième partie était, elle, centrée sur les différentes formes géométriques que l'on peut obtenir en un seul coup de ciseaux après pliages.
Mots clés : pliage, périmètre, découpage, géométrieArticle : Valse-Collège Alain Fournier (Orsay)-
Il s’agit de l’étude d’une « chorégraphie » composée d’un ensemble de rotations et de translations, que l’on répète à loisir. L’article caractérise, à l’aide d’un repère, pour certaines longueurs de chorégraphie avec rotations à angle droit, les cas dits de « boucle fermée » où après un certain nombre de répétitions, on se retrouve dans la condition initiale. Le nombre de répétitions nécessaire est conjecturé et exprimé à l’aide de plus petits communs multiples, dans le cas général d’un angle entier.
Mots clés : division, diviseur, plus petit commun multiple, ppcm, rotation, translationArticle : Géométrie Tropicale-Lycée Stendhal (Milan)-
Cet article introduit deux opérations sur les nombres réels, appelées la somme tropicale (qui correspond
au minimum) et la multiplication tropicale (qui correspond à l'addition classique). En remplaçant les opérations classiques de somme et de multiplication par ces deux opérations tropicales, on obtient un système cohérent, qui possède des propriétés agréables. L'article présente certaines de ces propriétés, ainsi que des exemples de résolutions d'équations tropicales. Il montre également qu'on peut étendre la notion de droite à ce nouveau contexte, en définissant des droites tropicales.
Mots clés : géométrie tropicale, arithmétique, équationau minimum) et la multiplication tropicale (qui correspond à l'addition classique). En remplaçant les opérations classiques de somme et de multiplication par ces deux opérations tropicales, on obtient un système cohérent, qui possède des propriétés agréables. L'article présente certaines de ces propriétés, ainsi que des exemples de résolutions d'équations tropicales. Il montre également qu'on peut étendre la notion de droite à ce nouveau contexte, en définissant des droites tropicales.
Article : Les amida-kuji - Collège Mario Meunier (Montbrison)
Cet article traite de l'étude des Amida-Kuji, jeu de hasard japonais consistant à associer, par exemple, une tâche ménagère à chacun des membres de la famille. Après une explication du jeu, les auteurs démontrent pourquoi chaque membre aura une et une seule tâche. Puis ils expliquent une méthodologie pour associer à chaque membre la tâche désirée et enfin proposent une minimisation de cette stratégie.
Mots clés : amida-kuji, hasard, aléatoire, jeu de hasard, permutation, transposition, minimum