Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Illumination - Lycée de Provence (Marseille)
Dans l'article on suppose que deux personnes qui ne se supportent pas sont placées dans une salle où tous les murs sont couverts de miroirs. La question est quel est le plus petit nombre de personnes qu'il faut placer dans la salle et à quel endroit pour que les deux personnes qui ne se supportent pas ne se voient pas ni directement ni par l'intermédiaire des miroirs. Le premier cas considéré est celui d'une salle rectangulaire et le cas est traité intégralement. Dans une deuxième partie de l'article, les auteurs considèrent aussi le cas d'une salle en forme d'ellipse et ils traitent le cas où au moins une des deux personnes est placée dans un des foyers de l'ellipse. Dans la dernière section le cas d'une salle de forme plus complexe, obtenue en collant deux demi-ellipses à un rectangle, est aussi discuté.
Mots clés : symétrie, milieu, réflexion, ellipse, billardArticle : billard polygonal - Lycée de Provence (Marseille)
On étudie les trajectoires périodiques d’un rayon lumineux fictif ou d’une boule de billard dans un triangle. Outre des résultats classiques et anciens, la conjecture de Katok est abordée et deux types de trajectoires sont étudiées : celles qui sont périodiques car elles rebroussent chemin après avoir chu sur un côté perpendiculairement à celle-ci et celles qui rebroussent chemin en se coinçant dans un angle aigu.
Mots clés : triangle orthoptique, conjecture de Katok, billard, trajectoire périodiqueArticle : Pavage de la place du village - Collège le Vieux Chêne (La Flèche)
Il s'agit d'un travail d'un groupe de 5 élèves qui ont travaillé sur des pavages réguliers avec des polygones réguliers. Dans un premier temps, ils devaient chercher la définition d'un pavage régulier, ainsi que d'un polygone régulier. Ensuite, ils se sont concentrés sur un sommet au hasard et la somme des angles autour de ce sommet. Ils en ont déduit des équations facilitant la recherche des pavages. Un bon travail de recherche. Ils ont pu également se confronter au raisonnement par l'absurde (raisonnement qui n'est pas au programme du collège). Ce groupe a aussi participé au prix André Parent au solon de la culture et des jeux mathématiques à Paris: Voici ce que le jury a trouvé du groupe: "Un beau sujet bien traité et mathématiquement fouillé", "une belle réactivité aux questions du jury", "un travail de géométrie intéressant".
Ce sujet porte sur les problèmes du pavage. Après avoir bien décrit ce qu'était un pavage, les…
Mots clés : pavage, pavage régulier, polygone régulier, Geogebra, raisonnement par l'absurde, hexagoneCe sujet porte sur les problèmes du pavage. Après avoir bien décrit ce qu'était un pavage, les…
Article : Cinq disques et un rectangle - Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe) Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld)
Le principe de cet article est cherché à savoir s'il est possible de rentrer cinq disques de rayon 1 dans un rectangle de taille 8 par 3,33. Après quelques manipulations, les élèves ont démontré la largeur minimale nécessaire du rectangle si la longueur est de 8 et en ont conclus qu'il est possible de faire rentrer les cinq disques dans le rectangle.
Mots clés : Pythagore, géométrieArticle : Choix optimal des pièces de monnaie - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Soit une collection N = {n1,n2 , …,nk } de k entiers (non nécessairement consécutifs). Notons S = n1+n2+…+nk et considérons l’ensemble R des nombres qu’on peut obtenir en sommant des éléments de N. Pour quels choix de ni a-t-on R = {1, 2, …, S}?
Mots clés : puissance de 2, suite géométriqueArticle : Pavage du cube - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
L'article présente les résultats et de nombreuses preuves sur le sujet qui consistait à paver un cube avec des tuiles de manière à ce que les triangles adjacents soient de même couleur. L'article se termine par un lien vers un projet conçu et développé par un des élèves de l'atelier sur le site Scratch, qui permet de tester des patrons de cube.
Mots clés : pavage, cube, tuile, ScratchArticle : Et la lumière fut ! - Université de Bordeaux (Talence) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Nous considérons ici des grilles rectangulaires d’ampoules, munies d’interrupteurs pour chaque ligne et chaque colonne d’ampoules ayant pour rôle de changer l’état de chaque ampoule, indépendamment, dans la rangée concernée. Nous montrons que pour de telles grilles initialement éteintes, il n’est pas possible d’allumer une seule ampoule par une combinaison d’interrupteurs, et que le minimum d’ampoules qu’il est possible d’allumer est alors égal à la plus petite valeur entre la longueur et la largeur de la grille.
Le principe de ce sujet est de regarder ce qu'il se passe si nous avons une grille d'ampoules et qu'un interrupteur change de statut toute une ligne ou toute une colonne. Après avoir montré qu'il n'est pas possible d'allumer moins de l'équivalent d'une rangée en ligne ou en colonne (à moins de tout éteindre), les élèves généralisent le sujet à différents cas.
Mots clés : logique, fonction de deux variables, dérivéeLe principe de ce sujet est de regarder ce qu'il se passe si nous avons une grille d'ampoules et qu'un interrupteur change de statut toute une ligne ou toute une colonne. Après avoir montré qu'il n'est pas possible d'allumer moins de l'équivalent d'une rangée en ligne ou en colonne (à moins de tout éteindre), les élèves généralisent le sujet à différents cas.
Article : La fausse pièce - Collège de Marciac (Marciac)
L'article présente la démarche entreprise par les élèves. Il détaille également les calculs effectués pour trouver les solutions (calcul "à la main" et avec le tableur).
Il se termine par une conjecture.
Mots clés : logarithme, puissance de 2, tableur, méthode de dichotomieIl se termine par une conjecture.
Article : Le berger et ses moutons - Collège de Marciac (Marciac)
Les élèves cherchent quel triangle de périmètre donné a une aire maximale.
L'article reprend le fil chronologique des démarches entreprises par les élèves pour ce sujet. Il détaille également les différentes figures géométriques dessinées par les élèves pour trouver les solutions.
Il présente une démonstration rigoureuse d'un résultat partiel. Et se termine par une conjecture.
Mots clés : ellipse, géométrie, périmètre, aire, maximumL'article reprend le fil chronologique des démarches entreprises par les élèves pour ce sujet. Il détaille également les différentes figures géométriques dessinées par les élèves pour trouver les solutions.
Il présente une démonstration rigoureuse d'un résultat partiel. Et se termine par une conjecture.
Article : Musique et gamme tempérée - Lycée Saint Paul (Roanne)
L'article traite du problème de la définition de la gamme divisée en 12 degrés en Occident. Qu'est ce qu'une note ? pourquoi ce choix de 12 degrés ? Ne pourrait on pas faire mieux ? Toutes ces questions (et d'autres) sont étudiées dans cet article.
Mots clés : gamme pythagoricienne, gamme tempérée, rapport de fréquences, fraction continueArticle : Les nombres infinis - Lycée Rabelais (Saint Brieuc)
NOMBRES INFINIS
Par Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE
Problématique :
Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple :
48= ...000000000000048.
Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises !
Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustraction, une division ?
Les élèves ont défini les nombres infinis comme les suites infinies à gauche de chiffres, et étendent dessus les opérations usuelles : addition,…
Mots clés : nombre, nombre décadique, somme, produit, opération, algorithme, fractionPar Alexis SANTORO, Anthonin MARTINEL, Coralien PINCK, Quentin DEPOORTERE
Problématique :
Les nombres entiers naturels s'écrivent avec un nombre fini de chiffres. On s'intéresse ici aux nombres que l'on peut écrire avec une infinité de chiffres. L'ensemble de ces "nombres infinis" contient l'ensemble des entiers naturels, puisqu'on peut écrire par exemple :
48= ...000000000000048.
Les opérations d'addition, de multiplication entre nombres infinis se font comme d'habitude (avec des retenues), pourtant l'ensemble des nombres infinis réserve quelques surprises !
Les nombres infinis contiennent-ils des entiers relatifs négatifs, des nombres rationnels ? Si oui, peut-on toujours effectuer une soustraction, une division ?
Les élèves ont défini les nombres infinis comme les suites infinies à gauche de chiffres, et étendent dessus les opérations usuelles : addition,…
Article : Le défi du prisonnier - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
Dans une lointaine contrée, un homme est fait prisonnier. Une chaîne est attachée à un de ses pieds puis enroulée autour de 4 barreaux et enfin rattachée à son autre pied. Le roi, joueur, lui lance le défi suivant :
« Si tu t’enchaînes aux 4 barreaux de sorte que tu sois prisonnier mais que lorsque j’enlève un barreau (n’importe lequel) tu sois libéré, c’est-à-dire que la chaîne se déroule, alors tu seras libre ! Dans le cas contraire tu devras purger ta peine. Attention, tu n’as le droit qu’à une seule tentative.»
Pouvez-vous aider le prisonnier ? Sachez que le roi déteste les tricheurs et que si avant d'enlever un barreau le prisonnier n'était pas vraiment attaché, il restera en prison à vie.
Le texte résout ce problème en donnant une solution pour 4 barreaux mais également pour un, deux et trois barreaux (et en proposant un début de stratégie pour montrer qu'une solution existe pour n'importe quel nombre de barreaux), fondée sur un codage des…
Mots clés : théorie des nœuds« Si tu t’enchaînes aux 4 barreaux de sorte que tu sois prisonnier mais que lorsque j’enlève un barreau (n’importe lequel) tu sois libéré, c’est-à-dire que la chaîne se déroule, alors tu seras libre ! Dans le cas contraire tu devras purger ta peine. Attention, tu n’as le droit qu’à une seule tentative.»
Pouvez-vous aider le prisonnier ? Sachez que le roi déteste les tricheurs et que si avant d'enlever un barreau le prisonnier n'était pas vraiment attaché, il restera en prison à vie.
Le texte résout ce problème en donnant une solution pour 4 barreaux mais également pour un, deux et trois barreaux (et en proposant un début de stratégie pour montrer qu'une solution existe pour n'importe quel nombre de barreaux), fondée sur un codage des…
Article : Le carrelage de la reine - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
La reine veut réaliser plus de 200 pavages dans son palais, formés seulement de polygones réguliers en pensant que cela est facilement réalisable.
Son carreleur, lui indique qu'il n'y a que très peu de combinaisons possibles.
Qu'en pensez-vous?
Si on considère l'énoncé tel que présenté, il y a une infinité de carrelages possible mais en précisant les conditions sur le carrelage, nous pensons qu'il n'y a que quelques cas possibles.
Mots clés : pavage, polygone, carré, triangle, hexagone, angleSon carreleur, lui indique qu'il n'y a que très peu de combinaisons possibles.
Qu'en pensez-vous?
Si on considère l'énoncé tel que présenté, il y a une infinité de carrelages possible mais en précisant les conditions sur le carrelage, nous pensons qu'il n'y a que quelques cas possibles.
Article : Le jeu des bâtonnets - Collège Jolimont (Toulouse) Collège Michelet (Toulouse)
Deux joueurs jouent au jeu des bâtonnets. Voici la règle. On observe un nombre indéfini de paquets, avec dans chaque paquet un nombre indéfini de bâtons. Chacun leur tour, les joueurs retirent tant de bâtons qu’ils veulent, mais en choisissant un tas particulier et un seul. Le joueur qui enlève le dernier bâton a perdu.
Dans cet article, les auteurs présentent une stratégie pour gagner à ce jeu dans certaines configurations (1 paquet, 2 paquets, ou 3 paquets dans certains cas précis).
Mots clés : combinatoire, jeu, stratégieDans cet article, les auteurs présentent une stratégie pour gagner à ce jeu dans certaines configurations (1 paquet, 2 paquets, ou 3 paquets dans certains cas précis).
Article : Découper puis redécouper - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Dans ce travail, les élèves s’intéressent au découpage d’un carré (resp. un cube) en petits carrés (resp. petits cubes). Ils expliquent pourquoi un carré peut-être découpé en m petits carrés pour m différent de 2, 3 et 5. Ils montrent aussi pourquoi
on peut découper un cube en m petits cubes pour tout m supérieur ou égal à 48.
Mots clés : géométrie plane, carré, géométrie dans l'espace, cube, récurrenceon peut découper un cube en m petits cubes pour tout m supérieur ou égal à 48.
Article : Café ou Chocolat ? Suite de 0 et 1 sans cube - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
L'article est une illustration du phénomène suivant (théorie des langages) : on peut construire une suite infinie de 0 et de 1 ne contenant aucun cube, c.a.d. ne contenant aucun mot W se répétant trois fois de suite : …WWW…
En remplaçant "0" par du "café" et "1" par du "chocolat", on peut ainsi choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' ou 'chocolat', sans qu'aucune séquence ne se répète trois fois de suite, cela indéfiniment.
En ajoutant un troisième choix sous la forme de 'thé', on peut également choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' , 'chocolat', ou 'thé', sans qu'aucune séquence ne se répète deux fois de suite, cela indéfiniment.
OU comment varier ses plaisirs!
Mots clés : combinatoire des mots, mot, longueur de mot, répétition, carré, cubeEn remplaçant "0" par du "café" et "1" par du "chocolat", on peut ainsi choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' ou 'chocolat', sans qu'aucune séquence ne se répète trois fois de suite, cela indéfiniment.
En ajoutant un troisième choix sous la forme de 'thé', on peut également choisir chaque jour un petit déjeuner sous la forme 'café' , 'chocolat', ou 'thé', sans qu'aucune séquence ne se répète deux fois de suite, cela indéfiniment.
OU comment varier ses plaisirs!
Diaporama : Machine à Bac - Lycée Maillol (Perpignan) Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Pour faire des économies, le ministère décide d'octroyer le bac de la façon suivante : le candidat rentre un mot (suite de lettres) dans la Machine à Bac qui renvoie soit « ajourné définitivement», soit « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », soit « reçu ».
On a une relation R sur ces mots qui vérifie 4 règles : AxA R x pour tout mot x et si x R y, alors Bx R yy, Cx R y et Dx R Ay, où y désigne le mot y écrit à l'envers. On sait de plus que, si x R y, si la machine à bac renvoie « ajourné définitivement», resp. « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », pour x, elle renverra « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », resp. « ajourné définitivement», pour y. L'objectif est de trouver le plus possible de mots dont on est certain qu'il amèneront à l'admission au Bac. Ceci est expliqué dans ce diaporama.
Mots clés : combinatoire, logiqueOn a une relation R sur ces mots qui vérifie 4 règles : AxA R x pour tout mot x et si x R y, alors Bx R yy, Cx R y et Dx R Ay, où y désigne le mot y écrit à l'envers. On sait de plus que, si x R y, si la machine à bac renvoie « ajourné définitivement», resp. « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », pour x, elle renverra « ajourné mais autorisé à repasser l'année suivante », resp. « ajourné définitivement», pour y. L'objectif est de trouver le plus possible de mots dont on est certain qu'il amèneront à l'admission au Bac. Ceci est expliqué dans ce diaporama.
Article : Tamis de Sierpinski - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans cet article, diverses méthodes de construction du tamis de Serpiński (ou d’approximation de celui-ci) sont données. Ony trouve aussi le calcul des aires et des périmètres des zones (blanches et noires) du tamis avec une extension au cas où la figure de base est un carré (avec les calculs des périmètres et des aires)
Mots clés : tapis de Sierpinski, suite géométriqueArticle : Tables de Poséidon - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les tables de Poséidon sont construites de telle sorte que : les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres, le nombre de la deuxième ligne est le double du nombre de la première et le nombre de la troisième ligne est le triple du nombre de la première. L'article démontre qu'il existe 6 tables de Poséidon dans lesquelles chaque chiffre est utilisé une seule fois. Le sujet est ensuite étendu avec des tables construites de la même façon mais en acceptant un nombre de 4 chiffres à la dernière ligne : cette fois, aucune de ces tables ne contient des chiffres tous différents. Autre extension : en changeant les coefficients entre la première ligne et les deux autres ; aucune table n'a été trouvée avec les coefficients 2 et 4.
Mots clés : disjonction de casArticle : Toile d’araignée - Collège Alain Fournier (Orsay)
On reproduit une toile d’araignée à la main. Quel est le nombre minimal de fois où on doit lever son crayon pour ne pas repasser sur un trait déjà tracé ? Nous avons exhibé une méthode pour tracer ces toiles, puis nous avons émis la conjecture suivante : le nombre de rangées n'influe pas sur le nombre de levers. Nous avons réussi à montrer cette conjecture en étudiant la parité du nombre de segments qui partent d'un sommet. Grâce à ce résultat, nous avons établi le nombre minimal de levers pour n'importe quelle figure en forme de toile.
Mots clés : graphe, graphe eulérien, lever de crayon, parité, optimisationArticle : Stop ou encore - Collège Alain Fournier (Orsay)
On s'intéresse à un jeu de dé dont voici les règles :
On dispose d'un dé à six faces.
A chaque tour on jette le dé puis on on choisit de conserver le résultat obtenu ou de relancer le dé.
On dispose de cinq tours maximum, au cinquième on est obligé de conserver le résultat du dé quel qu'il soit.
Le but du jeu est d'obtenir le score le plus haut possible.
Dans leur étude du jeu, les élèves proposent plusieurs pistes pour répondre à la question: quelles sont les stratégies possibles pour avoir le meilleur gain moyen ?
Mots clés : probabilités, stratégie, jeu, gain moyenOn dispose d'un dé à six faces.
A chaque tour on jette le dé puis on on choisit de conserver le résultat obtenu ou de relancer le dé.
On dispose de cinq tours maximum, au cinquième on est obligé de conserver le résultat du dé quel qu'il soit.
Le but du jeu est d'obtenir le score le plus haut possible.
Dans leur étude du jeu, les élèves proposent plusieurs pistes pour répondre à la question: quelles sont les stratégies possibles pour avoir le meilleur gain moyen ?
Article : Neige extraterrestre - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans un quadrillage, un flocon se forme de la manière suivante :
– on commence avec une seule cellule vivante dans une case ;
– pour passer de la génération n à la génération n + 1, une nouvelle cellule naît si elle est
adjacente horizontalement ou verticalement, mais pas en diagonale, à une seule cellule de la
génération n.
A quoi le flocon va-t-il ressembler au bout de plusieurs générations ? De combien de
cellules sera-t-il constitué ?
Nous avons conjecturé la forme du flocon grandissant avec la formation de figures
particulières ainsi que le nombre de cellules créées, à des étapes précises de son évolution. Nous avons également essayé de trouver une conjecture sur le nombre de cellules créées à une étape donnée quelconque. Nous avons ensuite regardé la formation d'un flocon sur un pavage triangulaire.
Mots clés : combinatoire, automate cellulaire, fractal·e– on commence avec une seule cellule vivante dans une case ;
– pour passer de la génération n à la génération n + 1, une nouvelle cellule naît si elle est
adjacente horizontalement ou verticalement, mais pas en diagonale, à une seule cellule de la
génération n.
A quoi le flocon va-t-il ressembler au bout de plusieurs générations ? De combien de
cellules sera-t-il constitué ?
Nous avons conjecturé la forme du flocon grandissant avec la formation de figures
particulières ainsi que le nombre de cellules créées, à des étapes précises de son évolution. Nous avons également essayé de trouver une conjecture sur le nombre de cellules créées à une étape donnée quelconque. Nous avons ensuite regardé la formation d'un flocon sur un pavage triangulaire.
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Trois poteaux sont disposés en ligne et, sur l’un d’entre eux, un certain nombre de disques de diamètre tous différents sont empilés de façon concentrique par ordre décroissant de diamètre. L’objectif est de déplacer l’ensemble des disques du poteau initial vers un poteau d’arrivée en passant par un poteau intermédiaire en respectant les règles suivantes : (i) on ne déplace qu’un seul disque à la fois ; (ii) on ne peut pas placer un disque sur un disque de diamètre inférieur ; (iii) à la fin du processus tous les disques doivent se retrouver à nouveau empilés par ordre décroissant de diamètre. Ce jeu mathématique est connu sous le nom de « tours de Hanoi » et, dans cet article, une formule est donnée pour calculer le nombre minimal de déplacements nécessaires en fonction du nombre de disques au départ ainsi qu’un algorithme permettant d’y arriver. Dans une deuxième partie les auteurs étudient la fréquence d’apparition d’un certain mouvement et obtiennent une formule de récurrence pour cette fréquence, ainsi…
Mots clés : tour de Hanoï, récurrence, algorithme, étude de fréquenceArticle : La persistance des nombres - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Prenons un entier naturel, et calculons le produit de tous ses chiffres. Répétons l'opération, et recommençons jusqu'à obtenir un nombre à un seul chiffre. Ce processus s'arrête-t'il toujours ? Les auteurs montrent que c'est bien le cas, et à l'aide d'un programme informatique, trouvent un nombre pour lequel le nombre d'étapes du processus aussi appelé ''persistance'', est égal à 11 , ce qui est la plus grande valeur connue.
Mots clés : théorie des nombres, arithmétique, persistanceArticle : UNO Solitaire - Lycée Notre Dame (Bordeaux)
Le jeu de Uno est constitué de cartes avec sur chaque carte un nombre et une couleur. On peut empiler une carte par dessus une autre uniquement si elles ont soit le même chiffre, soit la même couleur. Le problème étudié est de déterminer si le joueur peut empiler toutes les cartes qu'il a dans la main. Les élèves donnent d'abord des conditions nécessaires pour que le joueur puisse empiler toutes ses cartes. Ensuite ils regardent si ces conditions sont suffisantes en fonction du nombre de couleur utilisées.
Mots clés : jeu, théorie des graphesArticle : Qui est dans la pièce ? - Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)
Étude des propriétés de la pièce de 20 pence (qui n'est pas ronde).
Mots clés : Reuleaux, pièce de monnaie, heptagoneArticle : Carré magique - Collège André Malraux (Ramonville-Saint-Agne)
Article sur la construction d'un carré magique 3x3
Mots clés : carré, magiqueArticle : Coloriage - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Le problème de coloriage d'une carte géographique consiste à attribuer à chaque pays d'une carte une couleur de sorte que deux pays avec une frontière commune ne soient pas attribués la même couleur. On souhaite colorier une carte donnée avec un nombre minimum de couleurs. Combien en faut-il pour colorier toutes les cartes possibles ? On appelle ce nombre le le nombre chromatique ? Cette question, difficile, est abordé, d'abord sous l'angle de la caractéstique d'Euler de la configuration des pays ; ce qui donne un invariant, très intéressant, mais qui n'apporte pas d'information directe sur le nombre chromatique même si ce dernier, tout comme la caractéristique d'Euler, ne dépend que de la forme (topologie) du support sur lequel on dessine les cartes. En donnant un exemple explicite, les élèves montrent que 4 couleurs sont nécessaires pour colorier toutes les cartes (dans le plan). Une preuve du fait que 4 couleurs suffisent existe, mais elle utilise de façon…
Mots clés : problème des 4 couleurs, nombre chromatique, caractéristique d'EulerArticle : Larsen visuel - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
On découpe un rectangle en 9 rectangles dont les dimensions sont le tiers des dimensions du premier rectangle ; on itère cette procédure sur chacun des petites rectangles ainsi obtenus puis on recommence…et ainsi de suite. L'article montre que les aires de chacun des petits rectangles tendent vers 0, mais la somme de ces aires à chaque étape est toujours égale à l'aire du rectangle de départ. Par contre, les périmètres de chacun des petits rectangles tendent aussi vers 0 mais leur somme à chaque étape tend vers l'infini.
Que se passe-t-il lorsque on préserve une « marge » entre chacun des petits rectangles ?
Il peut arriver que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers l'infini, ou que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers 0, ou même que l'une tende vers 0 l'autre vers l'infini.
Mots clés : périmètre, aire, somme infinie, limiteQue se passe-t-il lorsque on préserve une « marge » entre chacun des petits rectangles ?
Il peut arriver que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers l'infini, ou que la somme des aires et la somme des périmètres tendent toutes les deux vers 0, ou même que l'une tende vers 0 l'autre vers l'infini.
Article : Tasso solitaire sur une grille - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
Cet article s'intéresse à des dispositions de dominos sur une grille, qui satisfont un certain nombre de contraintes. Un nombre théorique est calculé, avec la présentation de méthodes permettant d'obtenir ce maximum dans plusieurs cas.
Mots clés : domino, empilement, optimisationArticle : Produit de nombres - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Article rédigé sous LaTex
Mots clés : produit, numérationArticle : Maladie génétique récessive - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
L'article étudie la propagation d'une maladie génétique récessive, comme par exemple la muscoviscidose.
On développe une modélisation probabiliste.
Mots clés : modélisation, probabilité, maladie génétiqueOn développe une modélisation probabiliste.
Article : Les nombres de Harshad - Lycée Beaupré (Haubourdin)
Les nombres de Harshad sont les entiers positifs qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres en écriture décimale. Dans un premier temps cet article présente un algorithme de recherche des nombres de Harshad et établit la liste de ces nombres inférieurs à 1000. Il pose ensuite diverses questions sur la répartition des nombres de Harshad et démontre deux résultats: 1) Il n'y a pas de nombres de Harshad premiers et supérieurs à 7 ; 2) Il n'existe pas 22 nombres de Harshad consécutifs.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, écriture décimale, Harshad, algorithmeArticle : Fournées - Collège Georges Pompidou (Cajarc) Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
On veut faire cuire plusieurs objets avec trois caractéristiques : la taille, la durée de cuisson minimale et la durée de cuisson maximale. Le four a une taille donnée. Plusieurs objets peuvent être cuits au même temps si la somme de leurs tailles ne dépasse pas celle du four et s'il existe un temps de cuisson compris entre les temps de cuisson minimal et maximal de chacun des objets. L'objectif est de déterminer comment cuire tous les objets en un temps d'utilisation du four minimal. Dans ce travail, une solution sous forme d'algorithme est donnée pour deux objets quelconques ; pour plus de deux objets, une méthode partiellement algorithmique est présentée sur un exemple.
Mots clés : segment, inégalité, combinatoire, optimisationArticle : Ligne à égale distance - Lycée d’Altitude (Briancon)
Cet article étudie les lignes de crêtes d’un tas de sable fait sur un support polygonal convexe. Les auteurs montrent notamment que, pour un support polygonal convexe à n cotés, les lignes de crêtes forment un arbre possédant au plus n-2 sommets et ayant un nombre d’arêtes compris entre n et 2n-3. Ils étudient également le cas de support polygonaux non-convexe construits à partir de deux rectangles, et de supports construits à partir de deux disques . Les auteurs traitent également un exemple de problème inverse : soit la courbe C donnée par la fonction cube , les auteurs construisent un support tel que le tas de sable sur ce support admette C comme ligne de crête.
Mots clés : ligne de niveau, tas de sable, ligne de crête, égale distance, ensemble des points à égale distanceArticle : La roue de vélo - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon), Lycée français Jean Giono (Turin)
Le problème est le suivant : on souhaite faire rouler un vélo sur une route en dents de scies, quelle forme doivent avoir les roues pour que le passager reste à la même hauteur et voyage à vitesse constante ?
Dans un premier temps, l'article étudie la forme de la roue si elle effectue un tour complet en une période de dents de scies et aux problèmes que cette forme engendre. L'une des difficultés est notamment de calculer le périmètre de cette roue.
Dans un second temps, l'article s'intéresse à différentes formes et observe ce qu'il se passe lorsque l'on utilise ces roues sur la route en dents de scies ou sur une route plate.
Mots clés : géométrie, coordonnée polaire, forme, équation paramétrique, roue, périmètreDans un premier temps, l'article étudie la forme de la roue si elle effectue un tour complet en une période de dents de scies et aux problèmes que cette forme engendre. L'une des difficultés est notamment de calculer le périmètre de cette roue.
Dans un second temps, l'article s'intéresse à différentes formes et observe ce qu'il se passe lorsque l'on utilise ces roues sur la route en dents de scies ou sur une route plate.
Article : Les soustractions infernales - Collège de l Evre (Montrevault)
Les auteurs ont présenté un jeu utilisé en primaire pour apprendre les soustractions aux élèves en utilisant un carré. Ils ont répondu à plusieurs questions autour de ce jeu : est-ce que le jeu s'arrête? Que se passe-t-il si on choisit une autre forme que le carré?
Ils ont traité de très nombreux exemples dans le cas du carré grâce au calcul littéral et ont démontré que le jeu ne s'arrêtait pas toujours avec un triangle par exemple.
Mots clés : soustraction, calcul littéralIls ont traité de très nombreux exemples dans le cas du carré grâce au calcul littéral et ont démontré que le jeu ne s'arrêtait pas toujours avec un triangle par exemple.
Article : Alignement de dominos - Lycée Grandmont (Tours)
Le jeu traditionnel de dominos est composé de telle sorte que toutes les pairs possibles d'entiers de 0 à 6 sont présentes une et uen seule fois. Si on suppose qu'au lieu de 6, toutes les paires possibles d'entiers ente 0 et n (n≥1) sont présentes, alors
-combien y a t il de dominos dans le jeu ?
-est-il possible d'aligner tous les dominos du jeu en appliquant la règle ?
Mots clés : domino, dénombrement, graphe, graphe eulérien-combien y a t il de dominos dans le jeu ?
-est-il possible d'aligner tous les dominos du jeu en appliquant la règle ?
Article : Le paradoxe de Braess - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Article franco-roumain sur le paradoxe de Braess. Les élèves de Cluj ont expliqué le paradoxe, les élèves de Briançon ont proposé deux simulations de comportements d'automobilistes pour voir leur influence sur le trafic.
Cet article étudie le temps de parcours des automobilistes quand plusieurs parcours sont possibles pour relier 2 points. En premier lieu, le paradoxe de Braess est explicité sur un exemple : le fait de rajouter une route sur le parcours ne diminue pas forcément le temps de parcours des automobilistes si ceux-ci se comportent de manière égoïste. Ensuite, à l'aide de calculs et de simulations numérique, les auteurs étudient le comportement des automobilistes jour après jour, le choix d'un trajet dépendant des embouteillages de la veille.
Mots clés : suite, simulation, programmation, paradoxeCet article étudie le temps de parcours des automobilistes quand plusieurs parcours sont possibles pour relier 2 points. En premier lieu, le paradoxe de Braess est explicité sur un exemple : le fait de rajouter une route sur le parcours ne diminue pas forcément le temps de parcours des automobilistes si ceux-ci se comportent de manière égoïste. Ensuite, à l'aide de calculs et de simulations numérique, les auteurs étudient le comportement des automobilistes jour après jour, le choix d'un trajet dépendant des embouteillages de la veille.
Article : Constructeur d’autoroute et optimisation - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Une autoroute, toute droite, doit être construite de manière à passer le plus proche possible de plusieurs villes. Ainsi, la consommation de carburant et les émissions de dioxyde de carbone seront minimisés. De plus, les accès entre les villes et l’autoroute seront construits les plus courts possibles pour réduire encore la pollution.
Un premier résultat concerne les accès. L’accès à une ville sera tracé le long de la perpendiculaire à la droite que suit l’autoroute, passant par le point qui représente la ville. Dans le cas de deux villes, l’autoroute est la droite passant par les deux villes. Dans le cas de trois villes, il s’agit de la droite reliant les deux villes les plus éloignées l’une de l’autre. Enfin, dans le cas de quatre villes, le même résultat est validé pour des formes connues (carré, rectangle, losange), mais invalidé dans certains cas où les quatre points sont pris au hasard. Une conjoncture transparait quand même pour tous les cas : l’autoroute passe obligatoirement par deux villes…
Mots clés : ajustement affine, projection d’un point sur une droite, géométrie des triangles, géométrie des quadrilatèresUn premier résultat concerne les accès. L’accès à une ville sera tracé le long de la perpendiculaire à la droite que suit l’autoroute, passant par le point qui représente la ville. Dans le cas de deux villes, l’autoroute est la droite passant par les deux villes. Dans le cas de trois villes, il s’agit de la droite reliant les deux villes les plus éloignées l’une de l’autre. Enfin, dans le cas de quatre villes, le même résultat est validé pour des formes connues (carré, rectangle, losange), mais invalidé dans certains cas où les quatre points sont pris au hasard. Une conjoncture transparait quand même pour tous les cas : l’autoroute passe obligatoirement par deux villes…
Article : Voir partout - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Le but est de déterminer le nombre minimal de caméras à placer dans une zone du plan pour que le champ de vision de ces caméras couvre toute la zone choisie.
Dans un premier temps, l'article traite le cas des polygones convexes sur plusieurs exemples et illustre le fait qu'une seule caméra suffit. Ensuite, pour les polygones concaves, plusieurs conjectures sont émises, d'abord sur le lien entre le nombre de côtés du polygone et le nombre minimal de caméras nécessaires, puis sur le lien entre le nombre de sommets et le nombre minimal de caméras. Enfin, on découvre des pistes de recherche sur des exemples quand on rajoute un obstacle circulaire, carré ou rectangulaire dans la zone du plan choisie.
Mots clés : géométrie plane, polygone, intersectionDans un premier temps, l'article traite le cas des polygones convexes sur plusieurs exemples et illustre le fait qu'une seule caméra suffit. Ensuite, pour les polygones concaves, plusieurs conjectures sont émises, d'abord sur le lien entre le nombre de côtés du polygone et le nombre minimal de caméras nécessaires, puis sur le lien entre le nombre de sommets et le nombre minimal de caméras. Enfin, on découvre des pistes de recherche sur des exemples quand on rajoute un obstacle circulaire, carré ou rectangulaire dans la zone du plan choisie.
Article : Le jeu de la mode - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
A quelles conditions une mode peut-elle prendre dans une population donnée ? On suppose ici que le comportement d'un individu donné à un instant donné dépend du comportement de ses voisins : si plus de la moitié de son entourage suis la mode, il se mettra à les imiter. On obtient ainsi un modèle mathématique dynamique de la propagation de la mode au seins d'une population, que l'on suppose répartie sur une grille. Il s'agit alors d'étudier le comportement de ce modèle en fonction des conditions initiales afin de préciser les conditions qui permettent à une mode de perdurer. On exhibe ici, dans quelques cas particuliers, des situations conduisant à un comportement intéressant du modèle.
Mots clés : système dynamique, automate cellulaire, propagationArticle : Stéganographie - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Peut-on écrire des mots avec des couleurs ? Peut-on lire des mots dans les couleurs ? On montrera comment le faire avec 2, 3, 4 en utilisant la décomposition des nombres en base 2, 3 ou 4 , en programmant un tableur.
Mots clés : base 2, tableurArticle : Le plus loin - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Cet article présente plusieurs façons de trouver une configuration optimale d'éloignement entre plusieurs objets. Dans un premier temps, on considère uniquement deux objets dans une pièce rectangulaire, puis on s'intéresse au cas où un troisième objet est à maintenir à distance maximale de deux autres. Enfin, on étend ces résultats au cas d'une pièce non rectangulaire.
Mots clés : optimisationArticle : Le mancala - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie), Lycée français Jean Giono (Turin)
Article franco-roumain qui donne des pistes pour étblir une stratégie, programmable sur une machine, pour jouer au jeu du mancala
Mots clés : jeu, mancala, programmation, stratégieArticle : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
Un L système est une grammaire formelle générative et récursive permettant de modéliser le processus d’évolution de certaines espèces animales et végétales. Dans la première partie de cet article, est décrit le choix de L systèmes permettant de modéliser la croissance de feuilles de platane. Les modèles obtenus sont simulés sur Mathematica et les paramètres en sont ajustés sur base de mesures détaillées prises sur des observations réelles. Dans la seconde partie de l’article des L systèmes sont présentés pour décrire l’évolution de la spirale de Fibonacci avec comme application la description de l’évolution d’une fougère.
Mots clés : modélisation, nombre d'or, L-système, suite de FibonacciArticle : La fougère - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d Altitude (Briancon)
L'article étudie un modèle géométrique de la croissance d'une fougère. Pour modéliser cette croissance, on dispose d'un alphabet de deux lettres : B (bourgeon) et F (tige) ainsi que de deux règles substitutives : B → F[+B][-B]FB et F → FF. Autrement dit, un bourgeon (B) devient une tige (F) avec un bourgeon à gauche ([+B]) et un bourgeon à droite ([-B]) et encore une tige (F) avec un bourgeon à l'extrémité (B). Une tige (F) deviendra une double tige (FF). Les auteurs souhaitent calculer les éléments de la suite Fn donnant le nombre de F après n itérations, de la suite Bn donnant le nombre de B après n itérations et de la suite Ln donnant la hauteur de la fougère, c'est-à-dire le nombre de F sur la tige centrale.Ils obtiennent les formules donnant Bn, Ln, et Fn. Les auteurs obtiennent également de façon analogue des formules équivalentes pour un nouveau modèle où les règles précédentes sont remplacées par : B → G[+B][-B]GB et G → FG où la nouvelle lettre G permet de limiter la…
Mots clés : L-système, suite, substitution, récurrence, programmationArticle : La numération des Shadoks - Lycée Bichat (Luneville)
Les Shadoks sont des êtres qui ressemblent à des oiseaux. Un beau jour, ils ont besoin de se compter, seulement ils ne connaissent que quatre mots : GA, BU, ZO et MEU.
Les Shadoks apprennent à compter. Seulement, au lieu de compter avec les dix chiffres habituels (0, 1, ..., 9), ils doivent en utiliser seulement quatre (GA, BU, ZU et MEU). Dans cet article, les auteurs revoient les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour ces quatre chiffres, ainsi que l’écriture des nombres décimaux. Ils étudient également la correspondance entre les nombres écrits avec ces chiffres (base 4) et ceux écrits avec les chiffres habituels (base 10). Enfin, la correspondance avec les chiffres du système bibi-binaire (base 16) est abordée.
Mots clés : système de numération, numération, arithmétique, base, changement de base, nombre décimalLes Shadoks apprennent à compter. Seulement, au lieu de compter avec les dix chiffres habituels (0, 1, ..., 9), ils doivent en utiliser seulement quatre (GA, BU, ZU et MEU). Dans cet article, les auteurs revoient les opérations de base (addition, soustraction, multiplication et division) pour ces quatre chiffres, ainsi que l’écriture des nombres décimaux. Ils étudient également la correspondance entre les nombres écrits avec ces chiffres (base 4) et ceux écrits avec les chiffres habituels (base 10). Enfin, la correspondance avec les chiffres du système bibi-binaire (base 16) est abordée.
Diaporama : trajectoire sur un circuit - Lycée Pasquet (Arles)
A partir d'une photographie aerienne, on veut « reconstruire » un circuit automobile, afin de pouvoir calculer les vitesses, accélérations et rayons de virages. On cherche donc à approximer le tracé du circuit par un certain nombre de courbes. Les premières courbes étudiées sont les droites (équations cartésiennes puis paramétriques), puis les graphes de fonctions polynômes. Dans ce cas, on donne une estimation de la vitesse, et on en fait une représentation graphique. Ensuite, on envisage d'utiliser des ellipses, puis on utilise des courbes d'interpolations de Catmull-Rom puis de Kochanek-Bartels.
Mots clés : interpolation, spline, vitesse, courbe paramétriqueArticle : Détection de contours - Lycée Pasquet (Arles)
images numériques, paramètres statistiques utilisés pour détecter les contours dans une image.
Mots clés : image, couleur, médiane, variance, seuil, contourArticle : Entiers naturels sommes de deux carrés - Lycée Romain Rolland (Argenteuil) Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine)
Est-ce que tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux carrés ? Quels sont les nombres n tels que n = a2 + b2, avec a et b des entiers naturels ?
Mots clés : carré, somme, entier, nombre, produit, paritéArticle : Equation de Pell-Fermat - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Le problème ressemble à celui-ci qui est très simple : quels sont les nombres entiers (positifs ou négatifs), qui ont un inverse également entier, c’est-à-dire quels sont les a dans Z tels qu’il existe b dans Z et ab = 1 ?
Mots clés : équation de Pell, nombre, somme, entier, inverse, racine carréeArticle : Suite de Conway - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude de la suite de Conway : u1 = 1, u2 = 11, u3 = 21, u4 = 1211, un = ?
Mots clés : suite de Conway, récurrence, suite, chiffre, automate, programmeArticle : Les suites de Conway - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Collège Jean Vilar (Villetaneuse)
Nous avons travaillé sur le sujet nommé « la suite de chiffres » ou « suite de Conway ». Il s’agit de construire des suites de chiffres selon une règle ...
Mots clés : suite de Conway, nombre, intervalleArticle : Les sans 9 - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude des entiers dont l’écriture n’utilise pas le chiffre 9, et plus généralement des nombres dont l’écriture dans une base fixée n’utilise aucun chiffre d’une liste donnée à l’avance.
Mots clés : chiffre 9, dénombrement, base, entier, ensembleArticle : Cavalier et échiquiers - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Le fameux problème du cavalier d’Euler consiste à déplacer un cavalier du jeu d’échecs et à parcourir toutes les cases de l’échiquier sans repasser deux fois au même endroit. Peut-on y parvenir sur des échiquiers plus généraux ?
Mots clés : cavalier, saut de cavalier, Euler, échiquier, parcours, algorithmeArticle : Découpages isométriques - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Une forme plane qui est symétrique est, évidemment, décomposable en deux surfaces égales et superposables. Existe-t-il des formes sans symétrie avec la même propriété ? Comment les reconnaître ?
Mots clés : découpage, isométrie, symétrie, géométrie plane, polygoneArticle : La suite de Conway - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Etude de la suite avec au départ 1 ou tout autre caractère. Puis exposé de différentes études sur la fréquence d'apparition des chiffres et sur la longueur de chaque chaîne de caractères. Etude intéressante et bien expliquée, menée avec rapidité (4 semaines).
Mots clés : suite de Conway, suite, récurrenceArticle : Polyèdres et formule d Euler - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Au départ de notre projet, la relation entre les polyèdres et les graphes nous a semblé évidente. Un polyèdre se définissant à nos yeux comme une intersection de plans dans l'espace, il semblait logique, comme le montre l'exemple du tétraèdre, qu'un polyèdre une fois aplati, avec certaines précautions, représente un graphe. Mais un nouvel objet, “le cadre”, ne correspondait plus à ce que nous avions défini comme polyèdres. Il n'obéissait plus aux mêmes règles. De ce fait, de nouveaux problèmes sont apparus. Il a fallu redéfinir les propriétés sur les graphes et surtout classer les polyèdres. De ces problèmes, beaucoup de questions ont surgi, ce qui a abouti à notre projet. Les résultats, bien qu'incomplets, sont rendus dans l'article suivant.
Mots clés : polyèdre, graphe, formule d'Euler, arête, degré, matrice, géométrie dans l'espaceArticle : Somme des chiffres - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Il s'agit d'étudier la suite des sommes des chiffres des nombres binaires multiples de trois.
Mots clés : binaire, somme, chiffre, suite, programmeArticle : Du pli aux fractales - Université d Aix-Marseille II (Luminy)
Prenez une feuille de papier et pliez-la en deux. Repliez-la une seconde fois, sans déplier le premier pli, et dans le même sens. Ensuite, dépliez la feuille en laissant un angle de 90° entre les “faces” ainsi obtenues. On recommence l'opération un grand nombre de fois. Quels sera la forme de la courbe formé par la tranche de la feuille ?
Mots clés : courbe du dragon, pliage, fractal·e, programmationArticle : Automates finis - Lycée Fustel de Coulanges (Massy)
Un automate lit et écrit des lettres (des symboles) suivant des règles invariables, fixées à l’avance. Quand un automate est mis en présence d’une lettre (il la “lit”), il effectue, en fonction de cette lettre et de l’état dans lequel il est, une opération élémentaire, conformément aux règles fixées : il “écrit” éventuellement une lettre, se déplace d’un cran à droite ou à gauche, puis adopte un nouvel état ; la lettre suivante est prête pour la lecture.
Mots clés : automate, programme, algorithmeArticle : Pavage d un échiquier abîmé avec des dominos - Université Joseph Fourier (Grenoble)
Un échiquier abîmé (= où certaines cases manquent) peut-il être couvert avec des dominos (un domino couvre exactement deux cases) ? Peut-il être parcouru par un cavalier qui ne repasserait jamais au même endroit ? Avec combien d’allumettes peut-on le dessiner (4 allumettes bordent une case) ?
Mots clés : échiquier, cavalier, saut de cavalier, domino, pavageArticle : Combinatoire des morceaux d échiquiers - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Le mot “polymino” désigne un assemblage de carrés tous égaux (les “cases”) collés entre eux par un de leur côtés. On peut les voir comme des morceaux d’échiquiers ou de damiers. Un polymino composé de deux cases est ainsi un domino. Bien que la structure des polyminos paraisse très simple, les problèmes combinatoires qu’ils posent s’avèrent difficiles, qu’il s’agisse de pavage, de parcours ou de représentation. Des relations entre divers paramètres (nombres de côtés, de cases, de trous, périmètres, ...) peuvent faire avancer l’étude de ces formes.
Mots clés : polymino, périmètre, pavage, échiquier, combinatoireArticle : Les boussoles - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Fragonard (L Isle-Adam)
Comment vont se comporter des boussoles placées en réseau sous l’influence d’un aimant ? Lorsqu’on étudie le comportement de matières fluides formées de particules ayant des propriétés électriques et/ou magnétiques (par exemple des électrons), l’interaction des particules entre elles rend difficile la simulation et la prévision ; les mathématiques permettent d’y voir (un peu) plus clair.
Mots clés : aimant, boussole, réseau, vecteur, planArticle : Des courbes d équations différentielles - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Dans un domaine où une vitesse de passage est imposée en chaque point, comment trouver le chemin correspondant ? Telles se présentent certaines équations “différentielles”.
Mots clés : courbe, fonction, équation différentielle, dérivéeArticle : Courbes à boucles - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Une courbe algébrique peut être codée par une formule que doivent vérifier les coordonnées des points de cette courbe. Cette formule (appelée équation de la courbe ) doit être polynomiale: seules sont permises les multiplications de coordonnées entre elles, les additions, et les multiplications par des nombres fixés à l’avance (les coefficients). Comment voir sur la formule s’il existe des points multiples, des croisements ? Peut-on avoir deux croisements sans faire intervenir de multiplication de plus de 3 coordonnées ?
Mots clés : courbe, fonction, coordonnée, équation, algèbre, boucleArticle : Mesures de surfaces - Lycée Saint-Exupéry (Mantes-la-Jolie) Lycée Jean Rostand (Mantes-la-Jolie)
Comment mesurer une surface limitée par une courbe ? En approchant la surface par des rectangles ? Dans quel sens les mettre ? Que donne ce procédé pour les figures classiques : carré, triangle, disque ...
Mots clés : aire, approximation, courbe, fonction, paraboleArticle : Mesurer un objet - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Comment découper la plus longue lanière possible avec une peau de chèvre ? Comment, après cela, entourer la plus grande surface possible ? Comment tirer le meilleur parti d’une surface donnée, d’une longueur donnée ? Le problème de conception d’espace que rencontrait la reine Didon de la légende n’a rien à envier aux variantes modernes que sont la découpe de voile ou la construction d’architectures minimales ...
Mots clés : découpage, surface, aire, longueurArticle : Piéger des pions - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Dans un quadrillage, un pion (blanc) placé sur un nœud a quatre voisins (noirs). Deux pions peuvent donc avoir huit voisins s’ils ne sont pas côte à côte ou six voisins. Comment placer un nombre donné de pions afin que le nombre de voisins soit le plus petit possible ?
Mots clés : quadrillage, remplissage, pion, minimalArticle : Combien de régions ? - Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine) Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Comment compter le nombre de régions formées par des courbes qui s’entrecroisent ? Peut-on trouver des relations entre les divers nombres qui interviennent dans la figure formée par un cercle et des cordes ?
Mots clés : dénombrement, cercle, région, point, cordeArticle : Modélisation du hasard - Lycée Jean Rostand (Mantes-la-Jolie) Lycée Saint-Exupéry (Mantes-la-Jolie)
Comment modéliser un tiercé, une partie de dé ? Comment modéliser le hasard lorsqu’il y a une infinité de résultats possibles ?
Mots clés : hasard, aléatoire, modélisation, probabilité, bijectionArticle : Stratégie à pile ou face - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
Un individu noté J joue à pile ou face contre la banque d’un casino. La pièce est non truquée, le joueur possède une somme a et la banque ne fait pas crédit. L’objet du problème est de montrer que quelle que soit sa stratégie, J ne peut espérer gagner d’argent.
Mots clés : stratégie de jeu, pièce, hasard, aléatoire, probabilité, espérance de vieArticle : Billards lumineux - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
La trajectoire d’un faisceau à l’intérieur d’un polygone quelconque peut-elle se refermer et, si oui, sous quelle(s) condition(s) ? Dans quel(s) cas une trajectoire est dense ? Dans un premier temps nous limiterons notre étude aux carrés et rectangles puis nous nous pencherons sur le cas plus complexe des cercles (assimilables à des polygones réguliers ayant une infinité de côtés).
Mots clés : trajectoire, rayon lumineux, billard, polygone régulier, cercle, rectangleArticle : Piéger un rayon lumineux - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Nous avons vu qu’il existe dans certaines figures des trajectoires que le rayon parcourt indéfiniment. Nous les appellerons des circuits. Si un rayon entre et suit un circuit il ressortira obligatoirement par où il est entré. Nous nous sommes alors demandé si un rayon pouvait à un moment donné rejoindre un circuit car alors il serait piégé.
Mots clés : rayon lumineux, géométrie plane, trajectoire, trajectoire périodiqueArticle : Approximation de racines par des fractions - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
Il s’agit de trouver une suite de couples d’entiers (X , Y) solutions de l’équation diophantienne w : X^2 – aY^2 = 1 avec (X , Y) différent de (1; 0) et a un entier qui ne soit pas un carré parfait.
Mots clés : racine carrée, approximation, fraction, équation diophantienne, fonctionArticle : Les suites de Farey - Collège Jean Vilar (Villetaneuse) Lycée Jacques Feyder (Epinay), Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Comment s’approcher le mieux possible d’un nombre arbitraire par une fraction sans utiliser de nombre entier supérieur à N (nombre entier fixé à l’avance) ? Quelles fractions nouvelles apparaissent lorsque qu’on augmente N ? Ces fractions à petits nombres interviennent naturellement dans l’animation d’images de synthèse.
Mots clés : suite de Farey, fraction, entier, suite, conjecture, approximation, réelArticle : Tous les nombres sont-ils égaux à une fraction? - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Pour calculer, les Egyptiens utilisaient les nombres entiers et la division de l’unité en parties égales (fractions de la forme 1/n). Peut-on tout calculer avec de telles fractions ? avec des fractions plus générales ?
Mots clés : fraction, nombre, décomposition, ensemble, racine carréeArticle : Carrés magiques - Lycée George Sand (Le Mée-sur-Seine) Lycée Romain Rolland (Argenteuil)
Un carré magique est un tableau carré dont les cases contiennent des nombres entiers distincts tels que les sommes des nombres écrits sur chaque ligne, chaque colonne, et sur chacune des deux diagonales soient égales à un même nombre que l’on note S. Comment construire des carrés magiques de toutes dimensions ?
Mots clés : carré magique, remplissage, somme, nombreArticle : Combinatoire autour du problème 007 - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Lycée Jacques Feyder (Epinay)
Donnons-nous un nombre entier p. De combien de manières un nombre N (par exemple 007) peut-il s’exprimer comme somme de p nombres plus petits ? Cette question est typique de la “Combinatoire énumérative” qui cherche des relations systématiques entre les nombres entiers apparaissant naturellement dans les objets structurés finis. Les résultats actuels sont notamment utiles pour évaluer des temps de calcul sur ordinateur, et pour mieux simuler le hasard.
Mots clés : combinatoire, addition, triplet, nombre entier, décomposition