Publications MATh.en.JEANS
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Article : Sommes d ensembles de nombres - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
Additionner A = {3, 5} et B = {3, 6, 8}, c’est former un nouvel ensemble A+B avec les résultats des additions d’un nombre pris dans A et d’un nombre pris dans B : par exemple, A+B = {6, 8, 9, 11, 13}. Additionnons plusieurs fois un même ensemble, fixé à l’avance. Peut-on prévoir la taille de l’ensemble obtenu ? Ce type d’opération apparaît par exemple lorsque l’on paye quelque chose avec de la monnaie (pièces de 1F, 2F, 5F et 10 F, utilisées en plusieurs exemplaires). Plus généralement, comprendre la croissance par addition d’ensembles de nombres ou de suites de nombres ( = des vecteurs ) permet d'accélérer la diffusion d’informations dans un réseau de communication.
Mots clés : addition, ensemble, nombreArticle : Du carré à l escalier - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège Anne Frank (Bussy-Saint-Georges)
On dispose d’une boîte carrée dans laquelle sont rangés des cubes sur une seule couche. Avec ces cubes, on va essayer de fabriquer un escalier. Par exemple si on dispose d’une boîte de trois cubes sur trois c’est-à-dire de 9 cubes en tout, on ne peut pas fabriquer l’escalier suivant qui contient 10 cubes. Si on enlevait un étage à cet escalier, il ne contiendrait plus que 7 cubes. Donc avec une boîte carrée de 9 cubes, on ne peut pas fabriquer d’escalier.
Mots clés : carré, escalier, cube, nombre, rectangleArticle : La forme des nombres - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
En disposant n pions d’une manière ordonnée sur une feuille, on peut parfois dessiner une forme simple. Quels nombres peuvent ainsi obtenir une forme agréable (carré, triangle, losange, trapèze, rectangle, disque, ...) ? Les rectangles et les ronds sont encore énigmatiques pour les mathématiciens.
Mots clés : configuration de points, nombre, géométrie plane, triangleArticle : Numération : bases standard et exotiques - Lycée Jacques Feyder (Epinay) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Une pesée où des poids marqués (chacun en un seul exemplaire) sont mis sur le plateau de droite pour équilibrer un “nombre-poids” placé à gauche, permet de coder les nombres avec deux signes (“oui” ou “non”). La suite de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) est un système possible de masses marquées. Comment réaliser les opérations usuelles (addition, soustraction, ...) dans un tel système ?
Mots clés : base de numération, Fibonacci, chiffre, division euclidienneArticle : trajectoires périodiques et billard triangulaire - Collège Jean Vilar (Villetaneuse) Lycée Jacques Feyder (Epinay), Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
L’origine de ce problème est l’étude de gaz confinés dans un récipient : les molécules rebondissent sur les parois. Comment obtenir dans un triangle des trajectoires de particules qui, périodiquement, rebondissent sur les parois ?
Mots clés : symétrie, billard, triangle, trajectoire périodiqueArticle : Systèmes balançaire - Ecole élémentaire Voltaire (Nanterre) Collège André Doucet (Nanterre)
Pour peser des objets on peut utiliser une balance à deux plateaux et un jeu de masses dont on connait le poids. Lorsque l’équilibre est réalisé avec l’objet sur un plateau, on déduit par un calcul simple le poids de l’objet.
Mots clés : pesée, soustraction, additionArticle : Des doigts jusqu au supercalculateur - lycée Jean Macé (Vitry- sur-Seine)
Nous avons décidé cette année de suivre l’évolution du calcul à travers les âges, et avons intitulé notre thème de recherche : le calcul, des doigts jusqu’au supercalculateur. Les moyens de calcul étant très nombreux, nous avons sélectionné ceux qui nous paraissaient accessibles, et qui nous plaisaient. Pour faire ce choix, nous avons étudié un très beau livre : Histoire des instruments et machines à calculer (de J. Marguin, chez Hermann). Nous nous sommes répartis en plusieurs groupes : chaque groupe a choisi un instrument de calcul, l’a étudié, a appris à le comprendre et à le pratiquer.
Mots clés : doigt, calcul, boulier, règle, code, binaireArticle : Cercles modulo p - Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois) Lycée Romain Roland (Ivry)
x2 + y2 = 1 est, dans un repère orthonormé, l’équation d’un cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. Il y a sur ce cercle quatre points particuliers : ils ont des coordonnées entières ; ce sont les points d’intersection avec les axes des abscisses et des ordonnées ... Maintenant, combien y a-t-il de solutions entières, si on se place à un multiple de p près (p étant un nombre premier, c’est-à-dire qu’il n’est divisible que par 1 et lui-même) ?
Mots clés : cercle, coordonnée entière, nombre premier, équation, vecteur, congruenceArticle : Les nombres p-adiques - Lycée Romain Roland (Ivry) Lycée Pablo Picasso (Fontenay-sous-Bois)
Cette étude porte sur des nombres inventés par les arithméticiens, appelés nombres p-adiques. Voici leur définition : tout d’abord le « p » de p-adique désigne un nombre premier c’est-à-dire un entier qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Il représente la base de numération dans laquelle nous travaillons : p est le nombre de chiffres (ou de symboles) utilisés.
Mots clés : nombre p-adique, arithmétique, addition, nombre premier, multiplication, inverseArticle : Marche aléatoire - Lycée Buffon (Paris) Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Si on marche sur un quai de long en large, par pas de 1, avec une probabilité de 0,5 à chaque pas, quelle est la probabilité de se retrouver au point de départ au bout de n pas ?
Mots clés : marche aléatoire, probabilité, pas, résolutionArticle : Pile ou face - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
2 joueurs jouent à pile ou face. Face rapporte 1 franc, pile fait perdre 1 franc. S'ils jouent 100 fois chacun, combien de fois vont-ils être à égalité d'argent ? Même question avec n francs.
Mots clés : probabilité, tableau, fonction, pile ou faceArticle : L aiguille de Buffon - Lycée Buffon (Paris) Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette, et que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, et que l'autre au contraire parie que la baguette croisera quelques unes de ces parallèles ; on demande le sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.
Mots clés : aiguille, parallèle, plan, pari, symétrie, variable, probabilité, géométrieArticle : Fractions continues - Lycée Jean Moulin (Lyon) Lycée Saint Exupéry (Lyon)
Le sujet concerne l'approximation des réels par des rationnels en utilisant les fractions continues. Deux problèmes complémentaires se posent : étant donné un réel ≠ 0, quel est son développement en fraction continue ? Une fraction continue représente-t-elle toujours un réel ? Lequel ?
Mots clés : fraction continue, réel, période, suite, limiteArticle : Quels nombres ont une forme carrée ? - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Si on prend un polygone et qu'on le place sur un quadrillage, on obtient un certain nombre de points à l'intérieur et sur les bords. On peut ainsi associer à un nombre entier certaines formes géométriques. Nous avons décidé d'étudier les nombres ayant une forme carrée.
Mots clés : polygone, quadrillage, point, coordonnéeArticle : Suites de Fibonacci - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Buffon (Paris)
La suite de Fibonacci est une suite de nombres, notés Fn, qui se calculent de la façon suivante : F1 = 1, F2 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn Nous présentons quelques-unes des très nombreuses propriétés de cette suite.
Mots clés : suite de Fibonacci, suite, asymptote, spirale, triangle de PascalArticle : Les nombres de Fibonacci - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Fibonacci était le surnom de Léonard de Pise. Il a posé un problème dans lequel il cherche à calculer le nombre de couples de lapins au bout de n années, lorsqu’ils se reproduisent selon les règles suivantes: les lapins se reproduisent par couple. Un couple de lapins donne naissance à un nouveau couple tous les ans, à partir de la 2ème année (la 1ère année, il est trop jeune et Les lapins sont immortels ...
Mots clés : Fibonacci, suite de Fibonacci, nombre d'orArticle : Cryptographie - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Dans notre société, on utilise beaucoup de codes que ce soit pour les cartes de crédit, les transmissions de banques à banques, ou pour protéger l'information contre l'espionnage ... Aujourd'hui la solution la plus retenue pour le codage est basée sur l'arithmétique modulaire et sur la difficulté qu'il y a à factoriser un entier en ses facteurs premiers (les méthodes que l'on connaît actuellement ne nous permettent pas de le faire en un temps raisonnable). Avant de voir le codage et le décodage, nous allons définir la notion de congruence, voir quelques-unes de ses propriétés et étudier l'arithmétique modulo m (c'est-à-dire les différentes opérations utilisant les congruences telles que l'addition, la multiplication, l'opposé, l'inverse, etc ...).
Mots clés : codage, cryptographie, modulo, arithmétiqueArticle : Le réseau - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
On se situe dans un plan où sont disposés une infinité de points distants d'une unité (quadrillage). Le but est de relier tous les points par des “règles” assimilées à des vecteurs. Peut-on relier tous ces points avec seulement 2 règles ? Peut-on relier tous ces points grâce à 3 règles ?
Mots clés : vecteur, plan, quadrillage, réseauArticle : Les partitions d entiers - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Le sujet de notre travail de recherche porte sur les partitions d'entiers. De nombreux mathématiciens se sont penchés sur ce thème et d'ailleurs certains d'entre eux ont publiés des ouvrages concernant ce sujet comme par exemple Leonhard Euler (1707-1783) qui a écrit un ouvrage en 1748. On appelle partition d'un entier n tout ensemble de nombres entiers compris entre 1 et n et dont la somme est n.
Mots clés : partition, nombre entier, Euler, ordre, tableurArticle : Empilements de sphères - Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Le sujet porte sur l'empilement de sphères dans une boîte parallélépipèdique c'est-à-dire remplir des parallélogrammes de même forme.
Mots clés : cercle, parallélogramme, empilementArticle : Le cube transpercé - Lycée Pierre Corneille (Rouen) Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
On part d'un cube d'arête n que l'on va diviser en n^3 petits cubes d'arête 1, notés cubes E (élémentaires). Soit C un cube E quelconque. On place une tour qui va protéger tous les cubes E situés sur les 3 axes parallèles aux arêtes du cube et passant par C.
Mots clés : cube, géométrie dans l'espace, arête, trouArticle : Paris et New-York sont-ils les sommets d un carré? - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Voilà une curieuse question pour un sujet de recherche en mathématiques car à première vue, la réponse paraît simple. En effet, dans l'espace, nous pouvons par des plans de coupe, obtenir le support d'une infinité de carrés possédant des sommets à l'endroit où l'on veut. En fait, tous les plans contenant la droite passant par Paris et New York conviennent pour y tracer nos carrés : on peut imaginer un plan pivotant autour de l'axe Paris - New York , comme sur la figure ci-dessous. Cependant ces carrés ne sont pas sur la surface de la Terre, assimilée à une sphère parfaite.
Mots clés : cercle, carré, sommet, sphère, planArticle : Le coloriage du tore - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Le polyèdre de Szilassi nous montre que sept couleurs sont nécessaires pour recouvrir tout polyèdre possédant un trou sans que deux faces voisines aient la même couleur. Le problème est de tracer sur un tore la carte la plus simple possible, qui nécessite sept couleurs et dont deux pays frontaliers n'aient jamais la même couleur.
Mots clés : polyèdre, coloriage, tore, plan, pavageArticle : Recherche de polyèdres particuliers - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Nous allons vous exposer différentes façons d'assembler les pentagones et les hexagones réguliers pour former un polyèdre convexe. Parmi ces façons vous en connaissez deja deux : celle qui correspond au ballon de football, et celle où il n'y a pas du tout d'hexagone (il s'agit du dodécaèdre régulier).
Mots clés : polyèdre, géométrie dans l'espace, hexagone, pentagone, formule d'EulerArticle : Formule d Euler, polyèdres platoniciens - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Représentation sur ordinateur Fabrication de polyèdres. Expérience sur les cinq polyèdres platoniciens et sur Ie ballon de foot. Etude des polyèdres sans diagonales, avec ou sans trou.
Mots clés : formule d'Euler, polyèdre platonicien, géométrie, planArticle : Treillis - Lycée Gustave Monod (Enghien-les-Bains)
Un “carré” de barres articulées peut se déformer. Si on ajoute une barre diagonale, il est rigide car les deux barres diagonales donnent le même résultat (on se place dans le plan, interdisant les pliages). Un treillis est une structure “ rectangulaire ” de tels “carrés”. Un treillis est dit rigide si aucun de ses carrés ne peut se déformer.
Mots clés : treillis, carré, diagonale, rectangle, rigiditéArticle : Le plus grand carré contenu dans un cube - Collège Condorcet (Pontault-Combault) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Parmi tous les quadrilatères que l'on peut mettre dans un cube, quel est le celui dont l'aire est la plus grande ? En particulier, quel est le plus grand carré ?
Mots clés : cube, carré, géométrie dans l'espace, hexagoneArticle : Disques à couvrir - Collège Condorcet (Pontault-Combault) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Comment recouvrir le plus grand disque possible à l'aide de plusieurs autres disques identiques ? Pour commencer, une des équipes à étudié le problème avec 6 disques et l'autre avec 5 disques. Au cours de ces recherches, nous nous sommes aperçu qu'en fait, nous étions presque obligés d'étudier le cas de 3 et de 4 disques. Nous sommes ainsi en mesure de vous proposer des réponses pour 1, 2, 3, 4, 5 et 6 disques.
Mots clés : cercle, surface, géométrieArticle : Le plus grand disque avec un minimum de disque - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Tout au long du module de recherche, nous avons essayé de trouver la meilleure disposition pour obtenir le plus grand rayon avec un nombre de disques défini (5 disques).
Mots clés : cercle, surface, géométrie, triangleArticle : Histoire de disques - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Le sujet qui nous fut proposé consistait à trouver le plus grand cercle pouvant être recouvert par des disques de même diamètre. Deux problèmes principaux se présentèrent : le nombre de disques à utiliser, et leur disposition.
Mots clés : surface, cercle, géométrieArticle : Histoire de cercles - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Comment faut-il positionner des cercles de base de même diamètre pour couvrir une surface circulaire pleine maximale ?
Mots clés : cercle, surface, géométrie, triangleArticle : Les fonctions - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Le sujet porte sur l’étude des propriétés auxquelles répondent certaines fonctions. Le sujet étant très vaste, nous nous sommes intéressés à deux ensembles de fonctions : les fonctions à variables réelles et les fonctions dans un ensemble fini.
Mots clés : fonction, ensemble, variableArticle : Balade sur le cercle - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
Plaçons-nous sur le cercle trigonométrique. Soit A le point d’origine des abscisses. Soient P et Q deux points du cercle. Existe-t-il un point M, situé entre P et Q, tel qu’une des mesures de l’arc AM soit entière (en radians) ?
Mots clés : cercle, trigonométrie, radian, angle, arc, pointArticle : 142857 nombres permutables - Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Le nombre 142857 a une propriété exceptionnelle : quand on forme ses 6 permutations circulaires (à savoir 142857, 428571, 285714, 857142, 571428 et 714285), ces 6 nombres sont multiples de 142857. Nous appellerons “6-permutable” ou “permutable à 6 chiffres” un tel nombre, puisqu’il est formé de 6 chiffres (un chiffre étant compris entre 1 et 9 et un nombre étant formé de chiffres). Le premier problème qui se pose est de trouver des nombres q-permutables, voire tous les nombres q-permutables, pour une valeur donnée de q. Pour aborder cette question, nous avons d’abord remarqué que 142857 (nombre 6-permutable) est un diviseur de 10^6 - 1, et que 123 (nombre 5-permutable) est un diviseur de 10^5 - 1.
Mots clés : nombre permutable, multiple, chiffre, démonstration, moduloArticle : Problème des ... 101 nombres - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
1, 2, 3, ... 101. On range les nombres de 1 à 101 dans un ordre arbitraire. Par exemple : 72, 26, 3, 7, 14, 84, 101, ... 92 Est-il toujours possible d’extraire de ce rangement 11 nombres dans l’ordre croissant ou décroissant ? Les 11 nombres ne sont pas nécessairement consécutifs.
Mots clés : nombre, aléatoire, ordre croissant, ordre décroissant, grapheArticle : Calculs modulo n - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Soient x et y deux entiers positifs. Le calcul de x modulo y s’effectue comme la division euclidienne de x par y. Le reste de cette division euclidienne est le résultat du calcul de x modulo y.
Mots clés : division euclidienne, calcul, modulo, algèbre, commutativitéArticle : Equation de Pell-Fermat - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Pourquoi avoir choisi ce thème Equation de Pell-Fermat ? En 93, l’actualisation du théorème de Fermat a suscité notre intérêt, et d’autre part, nous avions envie de travailler sur des nombres. Quel est ici le problème posé ? Il s’agit de trouver X et Y entiers solutions de l’équation : N X^2 ± 1 = Y^2 où N est un entier donné.
Mots clés : Fermat, équation de Pell, solution d'une équation, carré, programmeArticle : Les fractions continues (suite) - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Suite de l'étude de fractions continues commencé l'année dernière par les élèves de Nanterre et de Noisy-Le-Grand.
Mots clés : fraction continue, partie entière, partie décimale, fraction irréductibleArticle : Les fractions continues - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Notre objectif est d’obtenir une valeur approchée d’un nombre réel et ceci pas nécessairement à l’aide d’un développement décimal, comme il nous est naturel et habituel de la faire. Une autre manière, plus ancienne, utilise une approximation par des fractions ; nous définirons plus loin ce qu’on appelle un développement en fraction continue d’un nombre réel.
Mots clés : fraction continue, nombre, approximationArticle : Nombres congruents - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Quels sont les nombres congruents ? Existe-t-il des nombres entiers S qui sont des aires d’un triangle rectangle dont les côtés seraient mesurés par des nombres rationnels ? On sait qu’un nombre rationnel est un entier ou un quotient de deux entiers.
Mots clés : nombre congruent, triangle, triplet pythagoricien, fonctionArticle : Chiffres, symétries et différences - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly) Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Nous choisissons un nombre dont nous mettons les chiffres dans l’ordre croissant ; ceci nous donne un nombre. Avec le même nombre nous mettons les chiffres dans l’ordre décroissant. Nous faisons leur différence, donc nous avons fait la soustraction des deux nombres. Avec le résultat nous avons fait de même, c’est-à-dire mettre les chiffres dans l’ordre croissant et décroissant. En faisant cela plusieurs fois, ceci nous amène aux nombres de départ.
Mots clés : nombre, chiffre, ordre croissant, décroissant, suiteArticle : Les carrés magiques - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Le carré magique est un tableau (de forme carrée, bien sûr !) dans lequel les sommes de chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale doivent être égales.
Mots clés : carré magique, dénombrement, addition, divisionArticle : Découpage d un cercle en régions - Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
A partir d’un nombre donné n de points placés sur un cercle déterminer en fonction de n le nombre [maximum] de surfaces créées à l’intérieur du cercle lorsque l’on relie tous les points du cercle.
Mots clés : cercle, rayon, surface, suite, arithmétiqueArticle : Quarto - Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Quarto est un jeu de stratégie opposant deux joueurs. Pour trouver la stratégie du quarto, il faut manipuler des “arbres”, et il faut surtout prendre en compte les critères de chacun des pions (troués, grands, ...).
Mots clés : Quarto, stratégie gagnante, arbre, programmeArticle : Le jeu d Awele - Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Il y a dans chaque case 4 billes. Le 1er joueur prend les billes dans l’une de ses cases et les distribue dans les autres cases (dans le sens inverse des aiguilles d’une montre), une dans chaque case. Si à la fin de sa distribution, il tombe sur une de ses cases, il continue (si sa case est vide, il prend les billes en face et il passe la main) ; si il finit sur une case adverse, c’est au tour de l’autre. Le gagnant est celui qui a gagné plus de la moitié des billes.
Mots clés : Awélé, bille, stratégie gagnante, arbre, programmation, programmeArticle : Casier à bouteilles - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
On réalise un empilement de bouteilles dans une caisse. Les bouteilles sont rondes, de même diamètre, et leurs axes sont disposés parallèlement ; chaque bouteille est posée, soit sur le fond de la caisse, à un endroit arbitraire, soit sur deux bouteilles posées précédemment, soit enfin sur une bouteille posée précédemment près du bord, la nouvelle bouteille étant alors calée par le bord de la caisse.
Mots clés : empilement, rayon, géométrieArticle : Le pliage de papier - Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Plions une feuille de papier plusieurs fois en rabattant soit le côté gauche sur le côté droit, soit le côté droit sur le côté gauche. Déplions-la maintenant en formant à la place des plis des angles droits. Nous obtenons la courbe ainsi formée sur la tranche de la feuille.
Mots clés : pliage, courbe du dragon, fractal·eArticle : Labyrinthes - Collège Louis Bouland (Couloisy)
Comment représenter un labyrinthe sous forme d'arbres? Peut-on trouver un programme capable de parcourir entièrement un labyrinthe?
Mots clés : labyrinthe, arbre, programmation, dénombrementArticle : Chemins et circuits hamiltoniens - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Trouver un chemin ou un circuit hamiltonien sur n’importe quelle figure géométrique. Un circuit hamiltonien est un chemin fermé qui passe une fois et une seule par chaque sommet d’une figure.
Mots clés : géométrie, chemin hamiltonien, polyèdre, coloriageArticle : Les arbres - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Comment constituer un arbre ? C’est un objet que les informaticiens utilisent beaucoup paraît-il. Nous pouvons définir deux opérations sur les arbres : en particulier nous les avons utilisés pour parcourir un labyrinthe. Simplification d’un arbre (sous forme de calcul), plus facile à comprendre, à calculer sa hauteur, son nombre de branches, son nombre de feuilles.
Mots clés : arbre, arbre de possibilités, somme, successeur, dénombrementArticle : IFS génération aléatoire - Lycée Louise Michel (Bobigny)
IFS signifie Iterated Function Systems, c’est- à-dire : systèmes de fonctions itérées. C’est une méthode pratique de réalisation d’images fractales, qui permet également la compression d’images quelconques. Dans ce troisième exposé nous expliquerons comment nous avons utilisé la notion de dimension fractale pour améliorer la qualité de nos œuvres.
Mots clés : IFS, fonction, fractal·e, image, compression, aléatoireArticle : IFS distance de Hausdorff - Lycée Louise Michel (Bobigny)
Ce second exposé permettra de comprendre les propriétés et surtout l’existence des IFS grâce à l’introduction d’une distance appelée distance de Hausdorff, et du théorème du point fixe ; le théorème du collage nous donne alors une méthode pour fabriquer des images à partir de modèles.
Mots clés : IFS, fonction, fractal·e, image, compression, distance de Hausdorff, figureArticle : IFS présentation générale - Lycée Louise Michel (Bobigny)
IFS signifie Iterated Function Systems, c’est- à-dire : systèmes de fonctions itérées. C’est une méthode pratique de réalisation d’images fractales, qui permet également la compres- sion d’images quelconques. Dans cette pre- mière partie, nous en expliquerons le principe et l’intérêt.
Mots clés : IFS, fonction, fractal·e, image, compressionArticle : Des points fixes - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
On considère une application f de {1, ..., n} dans {1, ..., n}, où n est un entier. On suppose f croissante, donc si i < j, alors f(i) ≤ f(j). ☞ Est-ce qu’il existe un entier k tel que f(k) = k ? k est appelé point FIXE. ☞ Etudier de possibles généralisations à : f : de [0, 1] dans [0, 1] dans les DÉCIMAUX, dans les RATIONNELS, dans les RÉELS. Ou toute autre généralisation ...
Mots clés : fonction, N, R, Q, infini, limite, suite, absurdeArticle : Comment couvrir un rond avec des ronds? - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
On cherche à utiliser le moins possible d’objets pour couvrir une surface. C’est le cas par exemple dans des situations où on dispose d’appareillages de portée limitée pour surveiller un certain domaine : éclairement d’une scène par des spots, d’une baie par des phares, protection d’un territoire par des radars, arrosage de champs, installation de centres de distributions ... La difficulté de cet exercice était de placer les 5 petits disques dans le grand disque sans laisser d’espace, et de résoudre algébriquement ce problème.
Mots clés : cercle, aire, surface, remplissage, Cabri-géomètreArticle : Le volume des pyramides - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
L’idée de départ de notre sujet était de trouver des outils qui nous permettraient de voir, de manipuler, de construire, de mesurer dans le plan ou l’espace en s’appuyant sur des problèmes issus de notre scolarité.
Mots clés : géométrie, volume, pyramide, programme, découpageArticle : Longueurs, aires, volumes : le tore - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Longueurs, aires, volumes : avec quel volume nagez-vous ? Quelle est la quantité d’air dans une bouée ? Ou, en langage plus savant : Peut-on trouver le volume d’un tore ?
Mots clés : tore, volume, aire, découpage, encadrementArticle : Comment paver le tore - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Un tore est une surface qui a la forme d’une chambre à air. Il n’est pas difficile de voir qu’un tore peut être rempli avec des petits carreaux, comme un échiquier. D’ailleurs, un échiquier souple peut être transformé en tore. Supposons qu’il soit possible de paver le plan avec un polymino de forme donné. Est-il toujours possible de paver un tore avec ce polymino ?
Mots clés : tore, pavage, polymino, échiquier, carreau, pentaminoArticle : Les puits dans le désert - Collège Ardillière de Nézant (St Brice)
Imaginons dans le désert deux puits de pétrole ( A et B ) et une usine (U). Nous voulons acheminer le pétrole des points A et B jusqu’à l’usine U à l’aide de pipe-lines. Comment relier ces trois points avec le minimum de canalisations ?
Mots clés : pipeline, point, triangle, géométrie, distance minimaleArticle : Communication sur une grille - Collège Condorcet (Pontault-Combault) Collège Ardillière de Nézant (St Brice)
Des personnes (ou, si vous préférez, des relais électroniques ...) sont disposées sur un plan en formant un réseau à maille carrée. Chaque personne peut communiquer des informations à certaines autres personnes, à condition de respecter certaines règles ; ces règles sont les mêmes pour toutes les personnes.
Mots clés : vecteur, algèbre linéaire, grille, plan, repèreArticle : a^2 + b^2 = c^2 - Lycée Frederiksborg Gymnasium (Hillerod)
We have been working with pythagorean triangles. During the investigation of the subject we also dealed with Archemedean triangles. Furthermore we had a contest. All this you may read more about is the following.
Mots clés : Pythagore, théorème de Pythagore, triangle, équationArticle : Les pentaminos - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Présentation du sujet : Est-il possible de paver une bande avec tous les pentaminos et selon une symétrie connue ? Nous nous sommes demandé quelles étaient les frises accessibles par les pentaminos et quelles étaient les symétries utilisées.
Mots clés : pentamino, pavage, frise, symétrie, remplissageArticle : Cercles et triangles - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Etant donnés trois cercles C1, C2 et C3 et un triangle ABC, il s’agit de déterminer les positions possibles du triangle tel que chacun des trois sommets soit sur l’un des cercles. Cet énoncé semble assez simple a priori, mais il ne faut pas s’y fier !
Mots clés : triangle, cercle, géométrie planeArticle : Marche au hasard - Lycée Jean de la Fontaine (Paris) Lycée Jacques Prévert (Boulogne-Billancourt)
Sur une droite d un point M se déplace aléatoirement d’une unité vers la droite ou vers la gauche. Soit O le point origine. Etudier la distance moyenne de M à O après n déplacements. Comment cette distance varie-t-elle avec n ?
Mots clés : géométrie, droite, distance, marche aléatoireArticle : L harmonium à deux dimensions - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Racine (Paris)
Qu'est-ce qu'un harmonium à deux dimensions ? Prenons une grille de forme quelconque, sur le bord de laquelle on dispose des nombres entiers positifs. Dans un premier temps, on remplit toutes les cases intérieures avec la plus petite valeur du bord. Le but du jeu est d'augmenter les valeurs à l'intérieur en respectant la règle suivante : chaque valeur est un entier positif ne dépassant pas la moyenne des quatre valeurs contenues dans les cases adjacentes. On s'arrête quand on ne peut plus augmenter ces valeurs sans enfreindre la règle. On est alors bloqué dans un ETAT FINAL.
Mots clés : harmonium, grille, remplissage, entierArticle : Le calculateur géométrique - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères) Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Notre objectif était de découvrir une ou plusieurs constructions qui nous permettraient d’effectuer des opérations non pas d'une manière arithmétique mais d'une manière géométrique. Ainsi nous voulions réaliser l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de deux segments.
Mots clés : géométrie, arithmétique, segment, Cabri-géomètreArticle : Les tresses - Lycée Gustave Monod (Enghien-les-Bains)
Au départ, une tresse à n fils est un ensemble de n trajectoires continues dans l'espace à 3 dimensions ayant les propriétés suivantes : • Elles ne se coupent jamais. • Elles ne reviennent pas en arrière. Si l'on déplace un fil sans modifier les croise- ments, les trajectoires changent alors que la tresse reste la même. Plutôt que de considérer les trajectoires, nous considérerons donc la suite des croisements qui forment la tresse.
Mots clés : tresse, dénombrement, décompositionArticle : Les pixels - Lycée Racine (Paris)
La planche à pixels. Comment faire tourner une image sur un écran d'ordinateur. Quels sont les angles, les longueurs déterminés par des pixels. C'est-à-dire, quelles sont toutes les longueurs possibles, quels sont tous les angles possibles ?
Mots clés : pixel, cercle, théorème de Pythagore, coordonnée entièreArticle : Surfaces paramétrées - MJC Daniel André (Drancy) Lycée Louise Michel (Bobigny)
Le but est de créer un programme pour dessiner des escargots à partir de tores.
Mots clés : tore, escargot, équation, programmeArticle : Les culbutos News - Collège Pierre de Ronsard (Montmorency) Collège Ardillière de Nézant (St Brice)
Peut-on, par une suite de basculements (= culbutes), faire passer un cube (le “culbuto”) dont les faces ont exactement la dimension d’une case d’échiquier, d’une position initiale au coin Sud-Ouest de l’échiquier, à une position finale au coin Sud-Est, tout en retrouvant la face du dessus au dessus, dans la même orientation?
Mots clés : échiquier, culbutos, cube, dénombrementArticle : Oulipo - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Sous l'impulsion de François LE LYONNAIS et de Raymond QUENEAU, un groupe d'écrivains et de mathématiciens du vingtième siècle, ont souhaité trouver de nouvelles formes d'expressions pour la langue française. Pour cela ils ont décidé de s'imposer un ensemble de contraintes qui pouvaient être mathématiques et linguistiques. C'est l'Oulipo. Les élèves de ce groupes ont alors étudié les différents ouvrages écrit par l'Oulipo ayant un rapport avec les mathématiques.
Mots clés : Oulipo, axiome, géométrie, triangle, ThalèsArticle : Le problème de Syracuse - Lycée Jacques Prévert (Boulogne-Billancourt) Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
Etude du problème de Syracuse qui est énoncé ainsi : choisissez un nombre entier, s'il est pair, divisez-le par 2, mais s'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1 au résultat. Recommencez avec le résultat que vous avez obtenu, puis recommencez avec le nouveau résultat et recommencez encore, etc...
Mots clés : problème de Syracuse, suite, fonction, ensemble, limiteArticle : La réussite africaine - Collège Pierre de Ronsard (Montmorency) Collège Ardillière de Nézant (St Brice)
Ce jeu est une variante du jeu africain l'Awele. L'Awele se joue à deux et la réussite africaine à un seul joueur. Dans le jeu de la réussite africaine nous montrons : comment réussir lorsque la position initiale des pions le permet et qu'il existe une et une seule solution pour n pions.
Mots clés : Awélé, stratégie gagnante, situation gagnante, réussiteArticle : Le sac à dos - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Un sac à dos doit nous permettre de connaître quels sont les objets qui se trouvent dans le sac connaissant initialement le poids des objets.
Mots clés : pesée, suite, somme, baseArticle : Le parcours du cavalier - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Il s'agit de remplir un échiquier par le parcours du cavalier, c'est-à-dire passer une fois et une seule par toutes les cases en allant de l'une à l'autre par le pas du cavalier.
Mots clés : échiquier, saut de cavalier, remplissageArticle : Le téléphone magique - Collège de l Evre (Montrevault) Collège Aristide Briand (Nantes)
Cet article présente l'unicité du résultat obtenu en sommant les valeurs des touches (une et une seule par ligne et par colonne) d'un clavier nxn.
Pour n<6, en dénombrant les possibilités puis en fournissant une liste exhaustive de ces possibilités.
Dans un second temps, pour tout nombre entier n, en utilisant une variable et les propriétés du clavier.
Mots clés : dénombrementPour n<6, en dénombrant les possibilités puis en fournissant une liste exhaustive de ces possibilités.
Dans un second temps, pour tout nombre entier n, en utilisant une variable et les propriétés du clavier.
Article : Les chemins dans les graphes - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Etude de différents graphes et de leurs caractéristiques. Mise en relation avec la possibilité de les traçer en un seul coup de crayon.
Mots clés : théorie des graphes, graphe eulérien, graphe, chemin eulérienArticle : Et si on coloriait un tore ? - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Notre sujet est le coloriage sur le tore. Il s’agit en fait de trouver le nombre chromatique du tore, c’est-à-dire le nombre minimum de couleurs nécessaires au coloriage de n'importe quelle carte du tore. Le théorème des quatre couleurs, démontré en 1976, dit que quatre couleurs suffisent pour colorier une carte du plan.
Mots clés : tore, coloriage d'un plan, nombre chromatiqueArticle : Les polyminos - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères) Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
La problématique générale était celle du pavage de polyminos (c’est-à-dire de morceaux d’échiquier) par des polyminos plus petits : dominos, triminos ... Nos travaux se limitent à l’étude des dominos et des triminos.
Mots clés : domino, trimino, polymino, pavage, échiquierArticle : Partition des entiers - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
Nous avons commencé par chercher un ensemble Γ et un naturel k tels que Γ et kΓ forment une partition de N*, c'est-à-dire : Γ ∩ kΓ = Ø (il n'y a pas d'éléments en commun entre Γ et kΓ) Γ ∪ kΓ = N* (la réunion de Γ et kΓ contient tous les naturels sauf 0)
Mots clés : ensemble, partition, algorithme