Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Nombres réels et fractions continues - Collège André Doucet (Nanterre) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Il s’agit de trouver le plus de décimales exactes possibles pour les nombres non décimaux en utilisant des approximations par des fractions. Nous avons trouvé deux méthodes une dont la base est algébrique et une dont le point de départ est géométrique.
Mots clés : fraction continue, calcul algébrique, géométrie, racine carrée, approximationArticle : Les suites de Fibonacci - Lycée Paul Eluard (Saint-Denis) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est né dans la deuxième moitié du 12 ème siècle . Pour définir les suites de Fibonacci, nous allons utiliser le problème des lapins, qui se traduit ainsi : Combien de couples de lapins avons-nous à la fin d'une année si on commence avec un seul couple, qui donne naissance à un couple de lapins tous les mois, et ces derniers deviennent productifs au second mois de leur existence ?
Mots clés : suite de Fibonacci, division euclidienne, algorithme, récurrenceArticle : 2 puissance n finit par ... ? - Lycée Jean de la Fontaine (Paris)
A quelles conditions il existe une puissance de 2 finissant par un nombre donné ? Par exemple, déterminer s'il existe une (ou plusieurs) puissances de 2 se terminant par 34, 118 ou 492.
Mots clés : puissance de 2, divisibilité, périodicitéArticle : Somme des chiffres - Lycée Saint Exupéry (Lyon) Lycée Jean Moulin (Lyon)
Comment obtenir la parité de la somme des chiffres d'un nombre entier écrit en base 2 grâce à un algorithme simple ?
Mots clés : algorithme, base 2, somme, chiffre, paritéArticle : Par combien de zéros se termine N! ? - Collège André Doucet (Nanterre) Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
N! se lit “factorielle N”. N est un entier positif et N! est le produit de tous les entiers dans l’ordre croissant de 1 à N. On comprend vite comment construire des factorielles, mais par contre on s’aperçoit aussi que l’on obtient rapidement de grands nombres. 5! se termine par un zéro, 10! par deux mais par contre 1!, 2!, 3!, 4! par aucun. La question est donc de savoir s’il est possible de prévoir pour n’importe quel entier N le nombre de zéros à la fin de N!.
Mots clés : factorielle, algorithme, zéro, dénombrementArticle : Les Brenoms - Lycée Gustave Monod (Enghien-les-Bains)
Le sujet porte sur l'étude des brenoms, ce sont des nombres infinis qui se lisent de droite à gauche et qui ont quelques particularités différentes des nombres classiques.
Mots clés : brenom, calcul algébrique, nombre décadique, suite, racine carréeArticle : Racine carré de brenom - Lycée Racine (Paris)
Existe-t-il un autre brenom que ...0002 qui soit √...0004 ? Un brenom est une suite de chiffres illimitée. On écrit un brenom de droite à gauche. Les calculs chez les brenoms se font de la même manière qu'avec leurs cousins les nombres parce qu'ils s'effectuent de droite à gauche, ils ont ainsi les mêmes qualités de commutativité, d'associativité et d'additivité. Cependant la division pose problème.
Mots clés : brenom, racine carrée, nombre p-adique, calcul algébriqueArticle : La géométrie par les formules - Lycée Racine (Paris) Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Peut-on adapter les formules de la trigonométrie plane permettant de résoudre un triangle dans le plan pour trouver des formules de trigonométrie sphérique permettant la résolution des triangles sphériques?
Mots clés : trigonométrie, sphère, géométrie sphérique, triangleArticle : Pavages non-périodiques - Lycée Jean Moulin (Lyon) Lycée Saint Exupéry (Lyon)
On peut construire à l'aide d'une ou plusieurs pièces des pavages périodiques. On appelle cela un pavage périodique car si on décalque une partie de ce pavage et qu'on déplace le calque par translation, on retrouve exactement le même motif. Notre objectif est de trouver un pavage qui n'admet pas les propriétés du pavage périodique : un pavage non-périodique. Donc nous devons construire un pavage avec un nombre limité de pièces, qui ne permettent pas de faire un pavage périodique.
Mots clés : pavage, périodique, géométrie, trigonométrie, nombre d'orArticle : D Escher aux pentaminos - Collège Pierre de Ronsard (Montmorency) Collège L Ardillière de Nézant (St Brice)
Peut-on paver le plan avec des chats à la manière d’Escher ?
Mots clés : Escher, pavage, pentamino, planArticle : Les ombres - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères) Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Des objets différents peuvent avoir la même ombre. Comment construire par exemple un objet qui, du point de vue de ses ombres se comporte exactement comme un cube ?
Mots clés : ombre, cube, triangle, géométrie dans l'espace, lumière, Toricelli, projectionArticle : Aires, volumes : découpages - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Notre objectif était de transformer une figure en une autre de même aire pour les figures planes, ou de même volume pour les solides, par découpages finis.
Mots clés : géométrie plane, géométrie dans l'espace, aire, volume, découpageArticle : Encadrement de π par expérimentation physique - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
L'objectif est de trouver plusieurs encadrements de π par expériences physiques.
Mots clés : Nombre π, encadrement, cylindre, volume, aire, périmètre, carréArticle : Le chemin le plus court est-il plus rapide? - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Le chemin le plus court est-il toujours le plus rapide? Non, si la boule se déplace le long d'un arc de cycloïde elle ira toujours plus vite que si elle suit un trajet rectiligne. Nous avons fabriqué un dispositif expérimental avec lequel nous avons fait plusieurs manipulations. Mais il nous a d'abord fallu comprendre ce qu'est une cycloïde.
Mots clés : cycloïde, brachistochrone, segment, vitesseArticle : Structures Colorées - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Nous avons travaillé sur le problème centenaire des quatre couleurs. La première formulation de ce problème a été faite par l'écossais Francis Guthrie en 1852. En voilà l'énoncé : Peut-on colorier une carte avec 4 couleurs de façon que deux pays voisins soient de couleurs différentes ?
Mots clés : remplissage, coloriage, géométrie planeArticle : Constructions mécaniques - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Mes camarades du lycée Racine avaient imaginé des instruments mécaniques, l'un d'entre eux nous permettant de construire le symétrique d'une figure donnée. Personnellement, ayant rencontré dans un exercice sur les complexes la construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas, j'ai cherché la construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas sans utiliser les nombres complexes et je l'ai justifiée à l'aide de la trigonométrie.
Mots clés : compas, géométrie, construction, pentagone, trigonométrieArticle : Cristaux et quasi-cristaux - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Nous nous sommes intéressés au pavage de plan (sous toutes ses formes) en nous inspirant des Cristaux et Quasi-Cristaux. Les Cristaux sont des motifs périodiques qui à eux seuls peuvent paver l'espace ou le plan.
Mots clés : cristal, pavage, plan, géométrie planeArticle : Triplets phytagoriciens - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Notre travail consiste à rechercher des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire trois entiers a, b et c qui vérifient l'égalité : c^2 = a^2 + b^2.
Mots clés : triplet pythagoricien, carré, somme, décompositionArticle : Distance p-adique - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Suivant la distance qu'on utilise : distance usuelle ou distances ultramétriques, l'idée qu'on se fait des figures géométriques peut varier. Dans l'univers de la géométrie ultramétrique, une des règles de la distance usuelle est modifiée de façon plus contraignante. Dans ce cas, le triangle équilatéral auquel nous sommes habitués aura-t-il la même physionomie ? Intéressons-nous ici à une distance ultramétrique particulière : la distance p-adique.
Mots clés : distance, nombre p-adique, axiome, triangle équilatéral, grapheArticle : Eclairement d objets - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Notre recherche a été divisée en deux étapes : la première consistait à étudier l'intensité d'éclairage d'une des faces d'un cube en fonction des coordonnées d'un point émetteur de lumière dans l'espace et la deuxième visait à déterminer les zones d'ombre projetées par une figure dans le plan.
Mots clés : cube, espace, rayon lumineux, géométrie, ombre, aireArticle : Les empilements de sphère - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Nous avons recherché la manière de disposer le maximum de boules dans une boite quelconque.
Mots clés : remplissage, sphère, densité, carré, surface, losange, réseau cubique, réseauArticle : Espace à deux dimensions - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Si le solide particulier qu'est l'hypercube ou encore "cube à quatre dimensions" nous a magistralement montré les difficultés auxquelles nous pourrons nous heurter dans la compréhension d'un monde à quatre dimensions, il ne nous a pas pour autant rendu la tâche plus simple quant à la connaissance d'un monde à deux dimensions. Aussi, nous sommes-nous inspirés des deux tentatives réalisées en 1884 par Edwin A. Abbot et en 1907 par Charles Hinton pour décrire la vie dans un monde plan. Plus exactement nous avons imaginé une "machine" simple réalisable dans un tel monde et capable de l'explorer.
Mots clés : géométrie plane, exploration, vecteurArticle : Flexibilités des grilles - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble) Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Un treillis est une grille formée de parallélogrammes. Le but est de déterminer si un treillis est rigide quand on lui met des barres.
Mots clés : parallélogramme, rigidité, treillis, carréArticle : Formules sommatoires - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Les “formules sommatoires” sont, comme leur nom l'indique, des sommes de nombres à une puisssance donnée α entière. La somme des entiers de 1 à n en est un exemple simple (α = 1). Grâce à ces formules, on peut exprimer plus simplement une somme de nombres. Le problème général est de trouver une formule pour les résoudre.
Mots clés : somme, formule, suite, polynôme, puissanceArticle : Le jeu de Nim - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Le jeu de Nim se joue à deux joueurs, chaque joueur jouant l'un après l'autre. Il est composé de tas comportant chacun un nombre non déterminé d'allumettes. Nous avons essayé de trouver les solutions qu'il fallait poser pour arriver à un jeu gagnant. Donc dans ce que nous allons montrer, c'est le joueur qui arrive à poser ces jeux qui gagne (donc celui qui commence a perdu).
Mots clés : jeu de Nim, stratégie gagnante, dénombrementArticle : Le paradoxe de lewis Caroll - Lycée Jean Jaurès (Argenteuil) Lycée Racine (Paris)
Célèbre problème qui consiste à découper un carré de côté 8 pour former un rectangle avec les pièces découpées. Quand on compare les aires du carré et du rectangle on trouve respectivement 64 et 65...
Mots clés : aire, carré, rectangle, suite de FibonacciArticle : Les lois des écoliers - Ecole élémentaire Frédéric Mireur (Draguignan)
Condensé des lois trouvé par des élèves d'une école primaire, et les réponses du chercheur aux élèves. Ces lois étaient à la base éparpillés dans les pages des Actes de 1992, c'est pour cela qu'on les retrouve sur les autres articles de cette même année.
Mots clés : loi, nombre, numération, addition, multiplication, infiniArticle : Math and music - Lycée danois de Bronderslev (Bronderslev) Lycée Frederiksborg Gymnasium (Hillerod)
Des élèves danois ont essayé de trouver une relation entre la musique et le nombre d'or. Le sujet est en anglais.
Mots clés : musique, nombre d'or, octaveArticle : Maths et musiques - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Le but de notre atelier a été de chercher à comprendre l'origine et la formation de différentes gammes musicales.
Mots clés : musique, note, gamme, octave, fréquenceArticle : Constructions mécaniques - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand)
Nous allons vous présenter le travail que nous avons effectué tout au long de l'année sur les points suivants : la translation, la symétrie axiale, la symétrie centrale et la réduction ou l'agrandissement de figure.
Mots clés : translation, construction, symétrie axiale, symétrie centrale, pantographe, géométrieArticle : La numération ou l histoire des mathématiques - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Au tout début de l'année scolaire, avant le 1er séminaire, nous avons essayé de comparer les différentes façons d'écrire les nombres, suivant les civilisations. Nous avions alors pour objectif de savoir quelles étaient les civilisations dont l'écriture mathématique était la plus rapide, afin de découvrir le peuple dont le mode d'écriture était le plus intéressant et que nous choisirions d'étudier ultérieurement. Nous avons décidé de pousser plus loin nos recherches sur le système égyptien et chinois.
Mots clés : numération, boulier chinois, fraction, racine carréeArticle : Othello - Lycée Val de Seine (Le Grand-Quevilly)
Nous nous sommes intéressés au Reversi (Othello). Ce jeu est très simple à apprendre et se joue sur une grille de 8 cases sur 8. Il nécessite 64 pions réversibles (une face blanche et une face noire) et, bien sûr, un adversaire. Ce jeu d'origine Anglaise, a pour but d'avoir le plus de pions de sa couleur à la fin de la partie. Pour y parvenir, il vous faudra obligatoirement retourner tout au long de la partie au moins un pion de votre adversaire. Comme tout joueur curieux et ambitieux, nous avons voulu trouver une stratégie gagnante afin d'être victorieux à toutes les parties.
Mots clés : Othello, reversi, arbre, stratégie gagnanteArticle : Frises et pavages dans le plan - Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
On cherche toutes les transformations possibles du plan afin de reproduire un même dessin à l'infini. Nous étudierons, tout d'abord, les frises. Puis on cherche comment obtenir un pavage de carrés en essayant d'utiliser le minimum de transformations à partir d'un carré de départ.
Mots clés : frise, symétrie, plan, translation, isométrie, pavage, carréArticle : Pavement de figures géométriques simples - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Comment remplir un carré avec un maximum de carré d'une taille définie. Comment remplir un cercle avec des carrés? Un cercle avec des cercles?
Mots clés : géométrie plane, pavage, carré, cercleArticle : Perspective - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Comment représenter dans le plan des objets de l'espace? Plusieurs méthodes existent. Nous avons adopté la perspective cavalière, qui est la méthode la plus souvent utilisée au lycée et le logiciel Cabri-géométrie.
Mots clés : perspective, Cabri-géomètre, géométrie plane, cube, espace, aireArticle : Voyage en polyminie - Institut Technique de la Communauté Française (Mouscron)
Nous vous proposons un voyage en “Polyminie”, pays imaginaire où les habitants, les “polyminos”, sont les formes obtenues en juxtaposant des carrés.
Mots clés : polymino, pentamino, pentacubeArticle : Des ponts, des portes et des graphes. - Institut Technique de la Communauté Française (Mouscron)
Etude de 10 problèmes autour de la théorie des Graphes énoncée par Euler. Avec le problème des ponts de Koenigsberg, celui du musée ou du dodécaèdre.
Mots clés : théorie des graphes, dodécaèdre, circuit hamiltonien, formule d'EulerArticle : Othello - Lycée Pierre Corneille (Rouen)
Othello étant un jeu à deux joueurs, fini, nos recherches se sont essentiellement portées sur l'élaboration d'une stratégie gagnante, ou au moins (le but étant extrêmement ambitieux) d'améliorer le plus possible les chances de gagner d'un des joueurs.
Mots clés : Othello, reversi, stratégie gagnante, jeu fini, arbre de possibilités, dénombrement, programmationArticle : Rigidité - Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
On cherche à rigidifier une figure plane dans le plan ou un polyèdre dans l'espace. Nous nous intéressons ici à des figures composées de tiges rigides reliées entre elles par des articulations pouvant bouger dans tous les sens. On cherche aussi à trouver le nombre minimum de barres à rajouter pour que la figure (ou le polyèdre) soit rigide.
Mots clés : géométrie combinatoire, rigidité, polygone, plan, polyèdreArticle : Sommes de carrés - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
Le sujet étant vaste, nous nous sommes "divisés" en deux équipes, l'une décidait de s'attaquer aux applications géométriques des sommes de carrés à proprement parler et l'autre s'est mise à jouer avec d'originales “différences secondes”.
Mots clés : somme, carré, différence seconde, diviseur, géométrie plane, bicarréArticle : La somme des n premieres racines - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères)
Nous avons cherché un encadrement de la somme Sn des n premières racines. Nous avons écrit un programme informatique pour calculer Sn.
Mots clés : somme, racine, suite, récurrence, encadrementArticle : Le jardinier dans le plan - Lycée Racine (Paris)
Peut-on planter des arbres de telle manière qu'ils ne soient pas tous alignés et que toute droite déterminée par deux quelconques d'entre eux contienne au moins trois arbres ?
Mots clés : plan, droite, problème, alignementArticle : Nombre d or et nature - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
Cet article est une présentation du nombre d'or et de ses nombreuses « apparitions » dans la nature (fleurs, mollusques, êtres humains), avec également un coup d'oeil sur la suite de Fibonacci. Et on vérifie, grâce à des mesures sur les personnes qui fréquentent nos deux collèges jumelés, que les habitants du département de la Loire ont un rapport « nombrilesque » avec le nombre d'or.
Mots clés : nombre d'or, suite de Fibonacci, statistiqueArticle : Des polygones dans des polygones - Collège Victor Hugo (Noisy-le-Grand) Collège André Doucet (Nanterre)
Quels polygones sont formés par les milieux des côtés d'un autre polygone? Que se passe-t-il avec des polygones convexe, non convexes?
Mots clés : polygone, côté, milieu, convexe, géométrie plane, parallélogrammeArticle : Les cinq solides de Platon - Lycée Fragonard (L Isle-Adam) Lycée Alfred Kastler (Cergy-Pontoise)
Le thème proposé est la symétrie dans le plan et dans l'espace. Nous nous sommes intéressés aux polyèdres qui sont des figures de l'es-pace à plusieurs faces. Nous avons trouvé deux sortes de polyèdres : le convexe, notamment le cube, la pyramide dont les points sont inscrits sur une sphère, et les non convexes comme les polyèdres étoilés.
Mots clés : symétrie, géométrie dans l'espace, géométrie plane, polyèdre, polyèdre convexe, formule d'EulerArticle : The Fibonacci series - Lycée Frederiksborg Gymnasium (Hillerod)
Article en anglais rédigé par des élèves danois autour de la suite de Fibonacci et du nombre d'or.
Mots clés : suite de Fibonacci, nombre d'or, algèbreArticle : The golden section - Lycée danois de Hillerod (Hillerod) Lycée danois de Bronderslev (Bronderslev)
Un article en anglais réalisé par des élèves danois sur le nombre d'or et le résultat d'un sondage pour savoir quel rectangle est le plus beau.
Mots clés : nombre d'or, rectangle, géométrie, sondageArticle : Les tours et les Dames - Lycée Racine (Paris)
Comment placer un maximum de tours sur un échiquier de dimension 8 sans prise mutuelle. Même problème avec des Dames.
Mots clés : dame, échiquier, tour, bijection, dénombrementArticle : Des multiplications à la ronde - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
On choisit deux entiers a et b positifs et inférieurs à 10.
On considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent.
On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite.
Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi.
Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste.
Dans un premier temps,…
Mots clés : produit, division euclidienne, puissance, période, parité, suite de Fibonacci, suite, périodicité, entier naturel, arithmétiqueOn considère la suite des entiers {a, b, ab, b fois ab, .......} où chaque entier de la suite est le produit des deux entiers qui le précèdent.
On écrit alors la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les entiers de cette suite.
Pour différents entiers a et b choisis au départ, on a trouvé que ces suites de chiffres des unités forment des farandoles d'un même chiffre ou se terminent en rondes, puis on a montré pourquoi.
Cet article porte sur l'étude d'une suite particulière qui fait intervenir des notions abordables dès le collège et qui est construite de la manière suivante. Etant donnés a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 10, on considère la liste de nombres {a,b,ab,b(ab),..} où chaque élément est le produit des deux entiers qui le précèdent. La suite considérée est la suite ordonnée des chiffres des unités de tous les nombres de cette liste.
Dans un premier temps,…
Article : Découpage de polygones de même aire - Collège Saint Dominique (Nancy)
Démarche pour tenter de justifier que ce découpage est possible suivie de deux exemples.
Étant donnés deux polygones de même aire, est-il toujours possible de découper l’un des polygones en morceaux et de reconstituer l’autre polygone en recollant les morceaux ? Les élèves apportent dans cet article une réponse positive à cette question en donnant une méthode qui permet de réaliser un tel découpage, que les polygones soient convexes ou non.
Mots clés : polygone, aire, découpageÉtant donnés deux polygones de même aire, est-il toujours possible de découper l’un des polygones en morceaux et de reconstituer l’autre polygone en recollant les morceaux ? Les élèves apportent dans cet article une réponse positive à cette question en donnant une méthode qui permet de réaliser un tel découpage, que les polygones soient convexes ou non.
Article : polyedres réguliers - Collège Saint Dominique (Nancy)
Recherche méthodique et justifiée de tous les polyèdres réguliers.
Cet article étudie les polyèdres réguliers. Le principal résultat est d'établir que le nombre de polyèdres réguliers est fini, et il en existe exactement 5. Leur construction est explicite (et réalisée « en vrai » à l'aide de papier, et avec l'ordinateur via le logiciel Geogebra), et la démonstration du résultat repose sur des arguments d'angle aux sommets des faces du polyèdre. La construction tout comme la démonstration utilisent la notion de patron, figure plane permettant (par pliage) de construire le polyèdre dans l'espace.
Mots clés : polyèdre régulier, géométrie plane, convexe, polygone régulier, géométrie dans l'espaceCet article étudie les polyèdres réguliers. Le principal résultat est d'établir que le nombre de polyèdres réguliers est fini, et il en existe exactement 5. Leur construction est explicite (et réalisée « en vrai » à l'aide de papier, et avec l'ordinateur via le logiciel Geogebra), et la démonstration du résultat repose sur des arguments d'angle aux sommets des faces du polyèdre. La construction tout comme la démonstration utilisent la notion de patron, figure plane permettant (par pliage) de construire le polyèdre dans l'espace.
Article : Le téléphone magique - Collège du Haut Gesvres (Treillières) Collège Victor Hugo (Nantes)
Sur les 9 touches d'un clavier de téléphone, on choisit trois chiffres de telle sorte qu'il y ait exactement un chiffre par colonne et par ligne. On calcule ensuite la somme de ces trois chiffres, et on remarque que la somme fait toujours 15. L’article explique pourquoi ceci est vrai, et généralise ce résultat pour un clavier de taille n par n au lieu de 3 par 3, avec une preuve complète et très élégante.
Mots clés : carré magiqueArticle : Problème des croustillons - Centre scolaire Saint-Benoît Saint-Servais (Liège)
Sur la foire de Liège, est-il possible d’acheter 55 croustillons sachant qu’il n’existe que des paquets de 14 et 9 croustillons ? Oui, avec 2 paquets de 14 et 3 paquets de 9. De même, est-il possible d’en acheter 48 ou 75 ? Ou tout autre nombre ?
Dans cet exposé, nous répondrons à cette question et généraliserons le problème à a et b croustillons par sachet.
Nous avons trouvé que a et b doivent être premiers entre eux pour qu’il existe un seuil à partir duquel tous les nombres de croustillons sont possibles. Nous avons calculé le nombre de commandes impossibles et le nombre de façons de satisfaire la commande.
Mots clés : arithmétique, générateur, semigroupeDans cet exposé, nous répondrons à cette question et généraliserons le problème à a et b croustillons par sachet.
Nous avons trouvé que a et b doivent être premiers entre eux pour qu’il existe un seuil à partir duquel tous les nombres de croustillons sont possibles. Nous avons calculé le nombre de commandes impossibles et le nombre de façons de satisfaire la commande.
Article : Mathématiques et relations amoureuses - Collège de la Côte Roannaise (Renaison)
Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier les relations amoureuses dans les couples et de « prévoir » l'avenir des couples (rupture, longévité …). Les situations de couples qui sont étudiées sont tirées de deux films (La femme d'à côté, de F. Truffaut, et Quelques jours avec moi de C. Sautet). En conclusion, les tests proposés et appliqués à ces scènes ne permettent de « prévoir » la fin de ces film.
Mots clés : modèle statistique, relation, probabilitéArticle : Mathématiques et épidémies - Collège de la Côte Roannaise (Renaison) Collège les Etines (Le Coteau)
Cet article présente des modèles qui permettent d'étudier la diffusion de maladies (rougeole et Ebola) en les confrontant à des données réelles ou à des hypothèses qu'on peut faire sur les taux de contamination par des malades dans une population donnée.
Mots clés : modèle statistique, épidémiologie, probabilitésArticle : Dessine moi une arête - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Les auteurs introduisent un jeu géométrique pour 2 joueurs, basé sur le tracé de points et de traits. Dans un premier temps, différents résultats sur la durée d'une partie sont démontrés. Dans un second temps, des exemples de stratégies gagnantes sont donnés.
Mots clés : jeu, jeu combinatoire, stratégie gagnante, graphe, degréArticle : Triangulation de signes - Lycée Jean Monnet (Aurillac)
À partir d’un ligne finie de signes + et –, on construit un triangle en écrivant au-dessous de cette ligne celle formée des produits de deux signes consécutifs ; on recommence et, la longueur de ligne diminuant de 1 à chaque étape, on aboutit à une ligne d’un seul signe. Le triangle est équilibré s’il y a en tout autant de signes + que de signes –. Un certain nombre de résultats sont obtenus sur les propriétés de ces triangles de signes : stabilité par symétrie, rotation et superposition. Par programmation, les triangles de signes équilibrés sont dénombrés jusqu'à une longueur de ligne de 15.
Mots clés : jeu combinatoire, suite récurrenteArticle : Bazar total à la boulangerie. - Lycée Vaclav Havel (Bègles) Lycée Kastler (Talence)
Dans cet article, on s'intéresse à un problème de files d'attente sous forme de graphes orientés. Il se compose de deux parties distinctes. Dans la première on essaie de dénombrer les ordres de passage possibles à partir des graphes donnés. Certains résultats sont obtenus comme produits de factorielles. Dans la seconde le but est de déterminer (au moins ) un ordre de passage qui convient.
Les outils utilisés consistent en des arbres et des matrices pour le dénombrement. On peut aussi noter des essais d'algorithmes et de programmation.
Mots clés : graphe, dénombrement, matrice d'adjacenceLes outils utilisés consistent en des arbres et des matrices pour le dénombrement. On peut aussi noter des essais d'algorithmes et de programmation.
Article : Jouer avec les bougies - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
Les élèves ont rédigé un article scientifique résumant leurs recherches, en veillant à énoncer leurs résultats sous la forme de théorèmes (démontrés) ou de conjectures (non démontrées).
Un joueur cherche à éteindre des bougies sur un graphe. Les bougies sont reliées les unes aux autres selon différentes structures et sont au départ toutes allumées. Chaque fois que le joueur souffle sur une bougie, celle-ci et ses voisines changent d'état. Les bougies allumées s'éteignent et les bougies éteintes se rallument. Le but du joueur est d'éteindre toutes les bougies en soufflant un minimum de fois. Le jeu est plus ou moins difficile selon le nombre de bougies et la façon dont celles-ci sont reliées entres elles.
Cet article étudie différentes structures de graphes de bougies : les bougies peuvent former une ligne, un collier, un rectangle,... Selon le cas, l'article prouve l'optimalité de la stratégie proposée ou conjecture sa réussite en un petit nombre de coups.
Mots clés : théorie des graphesUn joueur cherche à éteindre des bougies sur un graphe. Les bougies sont reliées les unes aux autres selon différentes structures et sont au départ toutes allumées. Chaque fois que le joueur souffle sur une bougie, celle-ci et ses voisines changent d'état. Les bougies allumées s'éteignent et les bougies éteintes se rallument. Le but du joueur est d'éteindre toutes les bougies en soufflant un minimum de fois. Le jeu est plus ou moins difficile selon le nombre de bougies et la façon dont celles-ci sont reliées entres elles.
Cet article étudie différentes structures de graphes de bougies : les bougies peuvent former une ligne, un collier, un rectangle,... Selon le cas, l'article prouve l'optimalité de la stratégie proposée ou conjecture sa réussite en un petit nombre de coups.
Article : Surveillance high-tech - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
Un CPE souhaite installer des détecteurs sonores dans des salles de son collège, de manière optimale : il souhaite utiliser le moins de détecteurs possibles, tout en ayant une information exacte concernant la provenance d'un bruit éventuel. Les élèves proposent une solution (conjecturée) dans le cas de salles disposées en ligne. Ensuite, les élèves s'intéressent au nombre maximal de salles pouvant être équipées, à partir d'un nombre de capteurs donnés. Une solution est apportée et démontrée, par deux méthodes différentes.
Mots clés : capteur, optimisation, combinaison, grapheArticle : Partage d’un gâteau - Collège Raoul Dufy (Lyon) Collège Longchambon (Lyon)
Un cake est divisé en plusieurs parts inégales. Si deux personnes se servent l'une après l'autre par les extrêmités du cake jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus, à la fin qui aura le plus de gâteau ? Dans le cas d'un nombre pair de parts, l'article propose une stratégie qui permet au premier servi de toujours gagner. Dans le cas d'un nombre impair de parts, c'est une stratégie pour le deuxième joueur que l'article propose, qui lui permet d'optimiser ses chances de gagner, mais ne lui assure pas la victoire à tous les coups: sa réussite dépendra du premier tirage du premier joueur.
Mots clés : stratégie, mathématiques discrètesArticle : Nombre d’occurrences de triangles dans mosaiques. - Lycée Vaclav Havel (Bègles) Lycée Kastler (Talence)
Prenons un grand carré formé de n*n petits carrés. Combien de rectangles (formés de petits carrés) peut-on compter dans ce grand carré ? C'est à cette question qu'on répondu les éléves des lycées Alfred Kastler (Talence) et Vaclav Havel (Bègles), en utilisant une méthode de comptage par récurrence.
Mots clés : combinatoire, récurrenceArticle : Triangles équilibrés - Collège Alain Fournier (Orsay)
On regarde un triangle constitué de signes + et -, construit de la façon suivante. Sur la première ligne, on écrit un certain nombre n de signes. On dit que n est la taille du triangle. La ligne suivante est obtenue en plaçant sous chaque paire de signes leur produit. Le triangle est entièrement construit quand on arrive à une ligne d'un seul signe. On dit que le triangle est équilibré s'il comporte autant de signes + que de signes -. Pour quelles valeurs de n existe-t-il un triangle équilibré de taille n ?
Mots clés : combinatoire, jeu combinatoireArticle : Les sept figures magiques - Collège Alain Fournier (Orsay)
Une figure magique est une figure géométrique qui comporte des cases à remplir, assortie de règles.
- S'il y a n cases, elles seront remplies avec les nombres de 1 à n.
- La somme des nombres placés sur les mêmes lignes da toujours être la mêmes.
Fabriquer des figures magiques.
Mots clés : jeu combinatoire, carré magique- S'il y a n cases, elles seront remplies avec les nombres de 1 à n.
- La somme des nombres placés sur les mêmes lignes da toujours être la mêmes.
Fabriquer des figures magiques.
Article : Echiquier égalitaire de Hadamard - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un échiquier est dit égalitaire lorsque : si on prend deux lignes quelconques le nombre de colonnes dont les deux cases sont de la même couleur est égal au nombre de colonnes dont les deux cases sont de couleurs différentes. Peut-on trouver des échiquiers égalitaires ? Combien de cases auront-ils ?
Mots clés : échiquier, matrice de Hadamard, combinatoireArticle : Arbres gracieux - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un arbre à n arêtes est gracieux si l'on peut étiqueter ses sommets de 0 à n sans doublon, ses arêtes de 1 à n sans doublon, et de telle sorte que la valeur d'une arête soit la différence (en valeur absolue) des valeurs des sommets situés à ses extrémités.
Une conjecture encore ouverte aujourd'hui est que tout arbre est gracieux. Ici, les élèves explorent la validité de cette conjecture sur les étoiles, les chemins et les chenilles, où des algorithmes de coloration gracieuse sont exhibés. Le cas des homards et des araignées est également considéré, mais aucun algorithme générique n'est proposé pour ces familles de graphes.
Mots clés : arbre, coloration, algorithmeUne conjecture encore ouverte aujourd'hui est que tout arbre est gracieux. Ici, les élèves explorent la validité de cette conjecture sur les étoiles, les chemins et les chenilles, où des algorithmes de coloration gracieuse sont exhibés. Le cas des homards et des araignées est également considéré, mais aucun algorithme générique n'est proposé pour ces familles de graphes.
Article : Le chemin le plus court - Collège Alain Fournier (Orsay)
Dans cet article, les auteurs s’intéressent à trouver un « réseau routier » reliant des points donnés à l’avance, qui soit de longueur totale minimale. Les deux cas traités sont le cas où les points sont les sommets d’un carré, ou d’un triangle équilatéral. Plusieurs types de réseaux sont envisagés : des réseaux constitués de segments reliant les points originaux, ou des réseaux un peu plus complexes faisant intervenir un ou des points intermédiaires à l’intérieur du carré (ou du triangle). Les distances totales de chaque réseau sont exprimées à l’aide du théorème de Pythagore.
Mots clés : géométrie, triangle, longueur, optimisation, approximationArticle : Compter les coloriages - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Cet article s'intéresse aux coloriages des cotés d'un polygone régulier convexe avec un nombre fixé de couleurs. Deux coloriages sont considérés comme identiques, si nous pouvons passer de l'un à l'autre par une rotation du polygone colorié. La question est alors de dénombrer le nombre de coloriages différents en fonction de c, le nombre de couleurs, et de n, le nombre de cotés. Un algorithme permettant de calculer cette valeur pour c et n quelconques est donné. Deux formules explicites sont obtenues : pour c=2 et n premier, et pour c=n. Une méthode de calcul alternative est également exposée pour c=2 et n quelconque.
Mots clés : coloriage, dénombrement, polygone régulierArticle : C’est pas du gâteau - Collège Aretha Franklin (Marciac)
Cette étude permet d'établir une formule fournissant le nombre maximal de parts que l'on peut obtenir en découpant un gâteau en fonction du nombre de coupes que l'on effectue.
Mots clés : géométrie, droite, combinatoire, dénombrement, découpageArticle : Une Blanche Neige gourmande et futée - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
Une Blanche-Neige moderne troque sa pomme empoisonnée contre une plaque de chocolat dont le carré en haut à gauche est empoisonné. Elle et sa belle-mère mangent à tour de rôle selon la règle suivante : lorsqu'un carré est mangé, tous ceux en bas à droite sont éliminés. Blanche-Neige, étant la plus jeune, se propose de commencer. On verra pour quelques formes de tablettes (carrées, ou rectangulaires 2xn) la stratégie que peut utiliser Blanche Neige pour gagner.
Mots clés : théorie des jeux, jeu combinatoire, stratégie gagnanteArticle : Le Cochon qui rit - Collège de Marciac (Marciac) Collège-Lycée Pierre Mendès-France (Vic en Bigorre)
Une analyse du jeu de dés « Le cochon qui rit » aux travers de plusieurs questions qui touchent aux probabilités d’apparition de tel ou tel cas de figure.
Mots clés : probabilité, statistique, analyse de cas, jeuArticle : atchoum ou blabla - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie), Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Ce sujet traite de la contamination d'une maladie dans une population d'une taille donnée. Il propose une modélisation du problème et un algorithme qui permet de visualiser cettte évolution. Une modélisation par une suite complète cette recherche.
Cet article étudie la propagation de maladie au sein d'une population. Dans le modèle considéré, la maladie se transmet à chaque rencontre entre une personne saine et une personne malade. Au bout de combien de temps la totalité de la population est-elle contaminée ?
Mots clés : suite, modélisation, algorithme, propagation, maladie, probabilitéCet article étudie la propagation de maladie au sein d'une population. Dans le modèle considéré, la maladie se transmet à chaque rencontre entre une personne saine et une personne malade. Au bout de combien de temps la totalité de la population est-elle contaminée ?
Article : Question de vie ou de mort : Automate cellulaire - Collège Saint Pierre (Plouha)
On considère un système évolutif constitué par des cellules sur un quadrillage régies par deux règles : une cellule vivante à l'étape n est morte à l'étape n + 1 et une cellule morte à l'étape n devient vivante à l'étape n + 1 si elle est entourée d'un nombre impair de cellules vivantes. Le but est de trouver tous les quadrillages permettant de trouver une configuration vivant éternellement. La réponse complète est énoncée.
Mots clés : combinatoire, système dynamique, automate cellulaireArticle : Séries de Farey : à vos places, les fractions ! - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne)
Les fractions de Farey d’ordre D sont des fractions comprises entre 0 et 1 dont le dénominateur n’excède pas D et dont le numérateur est inférieur au dénominateur. La question est comment placer les fractions de dénominateur D+1 sur le segment [0, 1] sur lequel on a déjà placé les fractions de Farey d’ordre D.
Le texte propose deux conjectures ainsi qu’un résultat montrant que si la première conjecture est vraie, alors la deuxième conjecture est forcement vraie. La première conjecture stipule que la différence entre deux fractions de Farey consécutives a comme dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions et comme numérateur 1. La deuxième conjecture affirme que lorsqu’une fraction de Farey s’insère entre deux autres, alors son numérateur est la somme des numérateurs des deux fractions déjà placées et pareillement pour les dénominateurs.
Mots clés : fraction, suite de FareyLe texte propose deux conjectures ainsi qu’un résultat montrant que si la première conjecture est vraie, alors la deuxième conjecture est forcement vraie. La première conjecture stipule que la différence entre deux fractions de Farey consécutives a comme dénominateur le produit des dénominateurs des deux fractions et comme numérateur 1. La deuxième conjecture affirme que lorsqu’une fraction de Farey s’insère entre deux autres, alors son numérateur est la somme des numérateurs des deux fractions déjà placées et pareillement pour les dénominateurs.
Article : triangles carrés - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
Dans cet article, les élèves s'intéressent à un jeu consistant à disposer un ensemble de jetons de façon à former un carré ou un triangle équilatéral. Ils cherchent plus précisément à déterminer l'ensemble des nombres entiers n telles que ces deux configurations peuvent être obtenues à partir de n jetons. Après avoir déterminé à la main les solutions correspondant à un petit nombre de jetons, les élèves remarquent que le problème revient à déterminer l'ensemble des nombres entiers qui peuvent s'écrire à la fois comme le carré d'un entier, et comme la somme des premiers entiers,de 1 jusqu'à un certain entier y : 1+2+: : : :y = y(y + 1)2
. Ils font ensuite le compte-rendu de deux méthodes qui s'avèrent finalement perfectibles : une méthode graphique et une méthode numérique
efficace mais non exacte. Un algorithme leur permet ensuite de poursuivre informatiquement leur étude. Enfin, les élèves se consacrent à une étude plus mathématique du problème, en…
Mots clés : arithmétique, suite numérique. Ils font ensuite le compte-rendu de deux méthodes qui s'avèrent finalement perfectibles : une méthode graphique et une méthode numérique
efficace mais non exacte. Un algorithme leur permet ensuite de poursuivre informatiquement leur étude. Enfin, les élèves se consacrent à une étude plus mathématique du problème, en…
Article : Le berger et ses moutons - Lycée Bellevue (Toulouse)
Un berger a une corde de 300m et trois piquets. Comment doit-il placer ses piquets pour maximiser l'aire du champ pour ses moutons ? On montre par des méthodes analytiques et géométriques que le triangle d'aire maximale pour un périmètre donné est équilatéral. Les résultats sont notamment étendus aux quadrilatères d'aire maximale et aux polygones ayant un nombre pair de côtés.
Mots clés : aire, périmètre, optimisation, géométrie, inégalité isopérimétrique, triangleArticle : Les calendriers - Lycée Saint Paul (Roanne) Lycée Jean Puy (Roanne)
Les concepteurs des calendriers ont cherché à décrire le temps en utilisant 3 durées particulièrement frappantes : la durée du jour ,la durée d’un cycle des saisons (l’année), l’intervalle entre deux nouvelles lunes (environ 1 mois) .
Ainsi tous les calendriers font apparaître des cycles plus ou moins longs.
Est-il possible de faire apparaître des cycles plus courts, tout en ayant des calendriers précis ?
Les calendriers ont été inventés comme un moyen de se repérer dans le temps à long terme, sur la base de durées naturelles telles que celle du jour ou du cycle des saisons. Cette dernière, aussi appelée année tropique, n'est cependant pas divisible en un nombre entier de jours, ce qui fait qu'aucune année calendaire n'y est strictement égale. Afin d'éviter qu'un décalage trop important s'installe au sein d'un calendrier, une solution est d'introduire périodiquement des années de 366 jours compensant le fait que l'année calendaire de…
Mots clés : fraction continue, cycle, calendrier, approximation, algorithme, suiteAinsi tous les calendriers font apparaître des cycles plus ou moins longs.
Est-il possible de faire apparaître des cycles plus courts, tout en ayant des calendriers précis ?
Les calendriers ont été inventés comme un moyen de se repérer dans le temps à long terme, sur la base de durées naturelles telles que celle du jour ou du cycle des saisons. Cette dernière, aussi appelée année tropique, n'est cependant pas divisible en un nombre entier de jours, ce qui fait qu'aucune année calendaire n'y est strictement égale. Afin d'éviter qu'un décalage trop important s'installe au sein d'un calendrier, une solution est d'introduire périodiquement des années de 366 jours compensant le fait que l'année calendaire de…
Article : Lever un crayon - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Est-il possible de dessiner un graphe donné sans lever le crayon ?
Si non, peut-on estimer le nombre de coups de crayon nécessaires.
L'article établit un critère répondant à la première question, et calcul dans le cas général le nombre minimum de coups de crayon.
Mots clés : graphe, chemin eulérienSi non, peut-on estimer le nombre de coups de crayon nécessaires.
L'article établit un critère répondant à la première question, et calcul dans le cas général le nombre minimum de coups de crayon.
Article : Conseil de classes et affectations - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Cet article s'intéresse à deux problèmes de « couplages sous contraintes ». Le premier concerne la constitution d'une liste de représentants des élèves dans un lycée, sous des contraintes d'affinités et avec la contrainte supplémentaire que chaque classe doit être représentée par un élève. Le second problème concerne l'affectation des élèves dans les universités après le baccalauréat, en respectant au mieux les vœux des élèves et les classements des universités.
Mots-clés : Couplages, arbres de choix, tableaux à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
Mots clés : couplage, arbre de choix, tableau à double entrée, boîtes enchâssées, grapheMots-clés : Couplages, arbres de choix, tableaux à double entrée, boîtes enchâssées, graphes.
Article : Dobble - Lycée Jean Puy (Roanne) Lycée Saint Paul (Roanne)
Un jeu de Dobble est un jeu de cartes. Chaque carte est composée de n symboles avec la contrainte suivante : deux cartes quelconques doivent toujours avoir un unique symbole en commun. Le nombre n de symboles par carte étant fixé, combien de cartes le jeu peut-il contenir, avec combien de symboles en tout dans le jeu et comment construire les cartes ?
Les élèves répondent à toutes ces questions et montrent que si l'on exclut le cas où c'est toujours le même symbole qui est commun à toutes les cartes, le nombre maximum de cartes dans le jeu est n(n-1)+1, ainsi que le nombre de symboles utilisés. Ils donnent de plus une méthode géométrique de construction des cartes.
Mots clés : dénombrementLes élèves répondent à toutes ces questions et montrent que si l'on exclut le cas où c'est toujours le même symbole qui est commun à toutes les cartes, le nombre maximum de cartes dans le jeu est n(n-1)+1, ainsi que le nombre de symboles utilisés. Ils donnent de plus une méthode géométrique de construction des cartes.