Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
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Article : Un vélo à roues carrées - Collège Henri Wallon (Marseille)
Certaines civilisations n’ont pas utilisé la roue pour des raisons religieuses. A partir de là, nous nous sommes demandé comment ces peuples auraient dû construire leur route pour que leurs roues soient carrées.
Mots clés : vélo, roue, carré, courbe, paramètre, caustique, enveloppe, droite, infinitésimal, équation différentielleArticle : Un problème de billard - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère un billard rectangulaire et une boule lancée à une certaine vitesse selon un angle donné. On néglige les frottements. Que peut-on dire de la trajectoire de la boule ? Que se passe-t-il si le billard est triangulaire ?
Mots clés : billard, rectangulaire, angle, parallèle, parcours fermé, quadrillage, triangle équilatéralArticle : Un marchand intelligent - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un marchand dispose du jeu suivant auquel tout individu peut jouer pour la somme de 10€. On dispose d’un sac rempli de 50 pièces jaunes et d’une pièce rouge indiscernables au toucher, seule la couleur diffère.
Le joueur suit le principe suivant :
(1) il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.
(2) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en (1), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en (1). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).
Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe- t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Mots clés : probabilité, arbre, urne, pièce, chaîne de MarkovLe joueur suit le principe suivant :
(1) il tire une pièce, note sa couleur et la met de côté.
(2) il tire une pièce, si elle est de la même couleur que la précédente, il la met de côté et recommence en (1), si elle est de couleur différente, il la remet dans le sac et recommence en (1). Le joueur est considéré gagnant si la dernière pièce tirée est jaune, il repart dans ce cas avec la somme de 15€ (il gagne donc 5€).
Que dire de la stratégie du marchand ? Que se passe- t-il si on change le nombre de pièces jaunes et rouges ?
Article : Triangles à trois couleurs - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Un grand triangle est découpé en plusieurs petits triangles disposés «bord à bord» : deux petits triangles différents ne pevent partager qu’un de leurs sommets ou l’un de leurs cotés. On attribue alors à chaque sommet de petit triangle une couleur parmi 3 possibles, de manière à ce que (i) les sommets du grand triangle reçoivent des couleurs différentes, et (ii) chaque coté du grand triangle ne fait apparaître que 2 couleurs. On s’intéresse au nombre de petits triangles tricolores apparaissant dans de telles colorations : peut-il être nul ? Est-il toujours impair ?
Mots clés : triangulation, 3 couleurs, coloration, triangle, lemme de Sperner, graphe, planArticle : Stratégie gagnante dans un jeu de partage - Lycée Lucie Aubrac (Bollène)
Le jeu : on a une tablette de chocolat avec deux joueurs. Le joueur qui commence coupe cette tablette en deux rectangles et donne un rectangle à l’autre joueur. Celui-ci fait de même avec le morceaux qui lui a été donné. Le jeu se termine lorsqu’un joueur donne un seul et unique carré de chocolat à son adversaire pour gagner. Question : Que doit-on faire lorsque l’on commence pour forcément gagner ?
Mots clés : jeu, stratégie, partage, carré, rectangleArticle : Placement optimal d antennes de téléphonie mobile - Lycée Ernest Bichat (Lunéville)
Une compagnie de téléphonie mobile veut positionner ses antennes dans une ville. Elle a beaucoup de chance car elle peut les mettre où elle veut. On sait que chaque antenne a un rayon d’action (ou couverture) donné R. La compagnie souhaite qu’il n’y ait aucune zone non couverte. Comme chaque antenne coûte cher, le problème est de recouvrir tout le territoire de la ville avec le minimum d’antennes.
Mots clés : antenne, pavage, plan, couverture, recouvrement, disque, optimisation, algorithme, programmeArticle : Pile et face en solitaire - Lycée Pape Clément (Pessac)
On considère une rangée de k pièces, qui peuvent être côté pile ou côté face. Voici par exemple une rangée de cinq pièces : PFFFP. À chaque coup, on doit retirer une pièce F et retourner les pièces immédiatement voisines (s’il y en a). On cherche naturellement à retirer toutes les pièces de la rangée. La question est alors la suivante : peut-on caractériser les rangées gagnantes (c’est-à- dire celles que l’on peut complètement vider) ? Que devient le problème si à chaque coup on reforme une rangée unique en resserrant les pièces ?
Mots clés : pile ou face, solitaire, retournement, mot, parité, langageArticle : Pavage d un plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Notre sujet est de paver un plan. Nous avons débuté nos recherches en cherchant comment paver un plan avec une seule figure régulière puis avec deux. Nous avons ensuite pavé le plan à l’ aide de triangles d’ or (triangle isocèle dont le rapport entre ses côtés est le nombre d’or et dont les angles à la base mesurent le double du troisième angle). Nous avons ensuite crée un logo «math en jeans» avec lequel nous pouvons paver le plan.
Mots clés : pavage, plan, polygone régulier, triangle d'or, nombre d'orArticle : Marche aléatoire sur un graphe quelconque - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Prenons un graphe quelconque. Au départ, un curseur se trouve sur un des sommets du graphe. Ensuite à chaque tour au hasard, il se déplace vers un des autres points du graphe auquel il est relié. Il ne peut pas rester sur place, sauf dans le cas où le point en relié à lui-même (déplacement avec saut possible). On cherche à observer la position du curseur lorsque le nombre n de tours tend vers l’infini.
Mots clés : graphe, marche aléatoire, matrice, probabilité, triangle de PascalArticle : N!, une histoire de 0 - Collège Charles Péguy Collège Alain Fournier (Orsay)
Soit N un entier strictement positif. On appelle factorielle N, et on note N!, le produit de tous les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à N. Par exemple : 1!=1 2!=2×1=2 3!=3×2×1=6 Peut-on déterminer par combien de 0 se termine N! ?
Mots clés : factorielle, zéro, multiple, division euclidienne, facteurArticle : Les vergers - Collège Jules Vallès (Fontaine)
Comment comparer les aires de vergers polygonaux dont les arbres sont situés sur un réseau carré ?
Mots clés : verger, aire, réseau carré, polygone, formule de PickArticle : Les tours de Hanoi - Collège Guillaume de Lamarche (Lamarche)
Comment réussir à déplacer les disques des «tours de Hanoï» en respectant les règles du jeu. Nous disposons d’un plateau de 3 piliers. Nous les nommons 1, 2, 3 (en partant de la gauche). Nous devons déplacer une tour formée de plusieurs anneaux [de tailles différentes, empilés dans l’ordre, du plus grand en bas au plus petit en haut] du pilier 1 au début au pilier 3 à la fin. On ne peut déplacer qu’un anneau à la fois [du pilier où il est vers une autre de son choix] et à condition que son diamètre soit inférieur à celui de l’anneau sur lequel on veut le poser.
Mots clés : tour de Hanoï, puissance de 2, récurrence, algorithmeArticle : Les taquins - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
Les Taquins : Combien de permutations possibles existe-il?
Mots clés : taquin, permutation, permutation circulaire, dénombrement, factorielleArticle : Les sudokus - Collège Le Chamandier (Gières) Collège Fantin Latour (Grenoble)
Le sudoku est un jeu. Le 9×9 est le sudoku dit « clas- sique ». On part d’une grille de 9 zones appelées régions, divisées en 9 cases. Le principe de ce jeu est de remplir la grille avec les chiffres de 1 à 9, chaque région, colonne et ligne contenant une seule fois chaque chiffre. Notre sujet était de trouver le nombre exact ou approximatif de grilles de sudokus déjà remplies.
Mots clés : grille, sudoku, dénombrement, permutation, factorielleArticle : Les rayons X - Lycée d Altitude (Briancon)
Un solide, constitué de plusieurs cubes, est placé dans une boîte de taille 3×3×3. On réalise une ou plusieurs photos de différents côtés. Une photo est constituée d’une grille de 3×3 où chaque valeur de la grille détermine la distance à l’objet. Problème : est-il possible de reconstituer le solide à partir d'une ou plusieurs photos ?
Mots clés : cube, photo, reconnaissance, vue, 3D, distanceArticle : Les pavages de terrasses - Collège Fantin Latour (Grenoble)
On cherche à paver une terrasse rectangulaire avec des pavés de 2×1 cases et des arbres de 1×1 case. La position des arbres est fixée au départ et on cherche à compléter par des pavés de 2×1 cases. Quelles sont les configurations pour lesquelles le pavage et possible ? Celles pour lesquelles il est impossible?
Mots clés : pavage, domino, rectangle, parité, damier, condition nécessaire et suffisanteArticle : Les ombres chinoises - Lycée Albert Einstein (Bagnols Sur Cèze) Collège Bernard de Ventadour (Bagnols Sur Cèze)
Les ombres formées par un objet suivant trois directions orthogonales sont des disques. Quelle peut être la forme de cet objet ? Quel objet utilise le moins de matière ?
Mots clés : ombre, cercle, sphère, cône, surface minimaleArticle : Les nombres permutables et les nombres tournant - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Le nombre 142857 a une propriété exceptionnelle : Quand on forme ses 6 permutations circulaires (à savoir 142857, 428571, 285714, 857142, 571428 et 714285), ces 6 nombres obtenus sont multiples de 142857. Si on appelle : « 6-permutables » ou « permutable à 6 chiffres » un tel nombre ; on en cherchera d’autres ; « 5-permutables » ou « 7-... .permutables», etc.
Mots clés : nombre, permutable, diviseur, permutation circulaireArticle : Les nombres infinis a droite - Collège Camille Claudel (Paris)
Prenons le nombre 14. Multiplions-le par 2 et décalons le résultat d’une ligne et de 2 rangs vers la droite. Nous continuons le processus. Si nous additionnons, nous obtenons une suite de chiffres qui est surprenante : elle est périodique. Nous pouvons, de plus, reconnaître le début du développement décimal de 1/7. Une question se pose alors : Obtient-on toujours une suite périodique ?
Mots clés : fraction, décalage, décimale, écriture décimale, périodique, rationnel, série géométrique, somme infinieArticle : Les mouvements de foule - Lycée d Altitude (Briancon) Lycée Jean Hinglo (Le Port)
Nous cherchons à modéliser et déterminer le temps moyen d’évacuation de 35 personnes de la salle de cours.
Mots clés : aléatoire, union, événement, loi de probabilité, produitArticle : La résistance du cube - Lycée Marcelin Berthelot (Saint Maur) Lycée Christophe Colomb (Sucy-en-Brie)
Perdus dans des circuits de fils et de résistances, nous avons décidé d’enlever notre blouse de physicien et d’enfiler celle de mathématicien. Nous sommes ainsi passés du monde fini de la physique au monde infini des mathématiques. Les mains déliées des contraintes du monde concret, nous avons pu étudier des circuits en trois dimensions, puis des montages aux longueurs infinies et enfin, cette plongée dans le monde des maths nous a permis de simplifier des circuits bien compliqués...Nous nous sommes ainsi intéressés à plusieurs problèmes sur le thème de la résistance.
Mots clés : résistance, circuit électrique, cube, série, parallèle, loi d’Ohm, loi de Kirchhoff, triangle, étoile, grapheArticle : Les illusions d optique - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Nous avons travaillé sur les illusions d’optique : nous avons cherché à déterminer les paramètres dont elles dépendent afin de les comprendre, voire de les créer.
Mots clés : optique, illusion, paramètreArticle : Les échafaudages - Lycée d Altitude (Briancon)
On s’intéresse à un échafaudage (ou un grillage) de taille m x n dans le plan. Il est constitué de losanges de barres articulées pouvant se déformer. On peut rigidifier un carré en lui ajoutant une barre diagonale. On se pose deux questions ; combien de barres diagonales faut-il au minimum pour rigidifier l’échafaudage ? un échafaudage donné est-il rigide ? Pour nous aider dans nos recherches, notre établisse- ment nous a fabriqué des structures « échafaudages ».
Mots clés : rigidité, échafaudage, treillis, plan, barre articuléeArticle : Les carrés magiques - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Comment construire un carré magique ? Un carré magique est [une grille carrée dont chacune des cases contient un nombre et qui est telle que] toutes les lignes horizontales, verticales et diagonales ont la même somme.
Mots clés : carré magique, somme, nombres consécutifsArticle : Les beaux pavés - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Dans la tribu des Mathémacos, on considère qu’un beau pavé doit avoir la diagonale de sa base égale à sa hauteur. Une condition supplémentaire , les dimensions du pavé doivent être des nombres entiers. [Ici, un «pavé» est un parallélépipède rectangle. Le problème est de trouver les proportions possibles des «beaux pavés»]
Mots clés : triplet pythagoricien, triangle rectangle, entier, carré, théorème de PythagoreArticle : Le turlupin - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
On dispose d’une grille 3 × 3, dans laquelle on choisit de barrer une case. On doit ensuite écrire les lettres du mot TURLUPIN dans les huit cases restantes, de façon à pouvoir lire ce mot en passant d’une case à une case voisine (verticalement ou horizontalement, mais pas en diagonale). [On s’interdit de passer deux fois sur une même lettre]. On peut imposer la position d’une ou de plusieurs let- tres au départ.
Peut-on fabriquer une grille à solution unique?
Peut-on généraliser à d’autres tailles de grille ?
Mots clés : chemin, circuit hamiltonien, graphe, condition nécessaire, parité, quadrillage, damierPeut-on fabriquer une grille à solution unique?
Peut-on généraliser à d’autres tailles de grille ?
Article : Le tour de cartes - Lycée Elie Faure (Lormont)
Vous connaissez peut-être ce tour... Prenez un paquet de 21 cartes, et faites choisir une carte à quelqu’un. [La carte est remise dans le paquet]. Disposez le paquet en trois paquets de sept cartes, et demandez-lui dans quel paquet se trouve sa carte. Ramassez en mettant ce paquet au milieu, et recommencez l’opération encore deux fois Vous pouvez ensuite retrouver sa carte, c’est la 11ème du paquet. Est-ce qu’on peut établir une stratégie similaire avec 32 cartes ? 52 cartes ? Est-ce qu’on peut imposer aussi la position à la fin ?
Mots clés : tour de cartes, jeu, permutationArticle : Le jeu d échecs - Collège Lou Garlaban (Aubagne) Collège Jean Jaures (La Ciotat)
Trouver des méthodes pour mater le roi adverse au jeu d’échecs. Le jeu des échecs a été choisi pour notre recherche. Quelles stratégies avoir à ce jeu ? Et si on simplifiait ce jeu, quelles informations aurait-on alors sur le jeu non simplifié ? Nous avons d’abord simplifié le jeu en nombre de pièces et en dimension de damier. Puis nous avons cherché des stratégies à partir de la construction d’arbres des possibles. Ces arbres ont été construits à l’endroit puis à l’envers (tentatives), ce qui nous a aidé à trouver des stratégies gagnantes que nous avons présenté au congrès (« trains », ateliers et exposé) et que l’on présente dans cet article.
Mots clés : jeu, échecs, arbre, stratégieArticle : Le billard - Lycée Prins Henrik (Copenhague)
On s’intéresse aux rebords dans un billard rectangulaire. Le problème est de déterminer l’angle de tir qui permet à une boule d’atteindre un trou prédéterminé, situé en coin.
Mots clés : billard, symétrie, tangente, angle, réflexionArticle : Le billard - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Nous avons essayé de comprendre, au billard français, quel angle il faut donner à la trajectoire de la boule frappée pour qu’en un seul rebond elle percute la boule visée.
Mots clés : billard, symétrie, angleArticle : Le canard et le loup - Cité Scolaire Internationale Europole (Grenoble)
Un canard se trouve au centre d’une mare circulaire et un loup au bord. Le canard ne peut s’envoler que du bord de la mare et le loup ne sait pas nager. Les deux animaux se déplacent toujours à vitesse constante car ils ne se fatiguent jamais. Quel est le plus grand rapport (vitesse loup/vitesse canard) pour lequel le canard atteint le bord de la mare avant le loup ?
Mots clés : jeu, différentiel, poursuite, stratégie, cercle, vitesseArticle : L'awalé - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Le sujet de recherche consiste à trouver pour une configuration initiale donnée une résolution optimale, c’est à dire un enchaînement de distributions qui permet de sauver toutes les graines et qui utilise un nombre de coup minimum.
Mots clés : Awélé, Awalé, jeu, graine, solitaire, réussite, minimum, algorithme, stratégie, moduloArticle : Introduction a la tomographie - Lycée Jean Renoir (Munich)
Nous allons essayer de répondre aux questions suivantes posées par notre chercheur :
Comment reconstruire un objet plan traversé par des rayons, à partir de valeurs mesurées?
Combien de prises de vue sont nécessaires pour reconstruire un objet donné?
Comment peut-on visualiser les résultats?
Mots clés : tomographie, plan, quadrillage, équation linéaire, matriceComment reconstruire un objet plan traversé par des rayons, à partir de valeurs mesurées?
Combien de prises de vue sont nécessaires pour reconstruire un objet donné?
Comment peut-on visualiser les résultats?
Article : Géométrie tropicale - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
Cette année, notre chercheur, Michaël Balan, de l’Université de Valenciennes, nous a proposé de travailler sur la géométrie tropicale. Cette géométrie tropicale a été inventée par le mathématicien brésilien Imre Simon. Elle est encore étudiée actuellement pour une utilisation en cristallographie ou en biologie. Pour pouvoir l’étudier, notre chercheur a défini l’addition tropicale et la multiplication tropicale. Il nous a demandé de réfléchir aux propriétés de ces opérations. Ensuite, il nous a demandé de travailler sur les droites et les cercles en géométrie tropicale, qu’on va définir grâce à leur équation.
Mots clés : géométrie tropicale, addition, minimum, équation, droite, cercleArticle : Fort boyard - Collège Bernard de Ventadour (Bagnols Sur Cèze)
Votre classe est sélectionnée pour participer à Fort Boyard. Face au « maître des ténèbres », vous devez jouer au jeu des allumettes : Vous avez 21 allumettes en face de vous et vous pouvez en prendre 1, 2 ou 3... Le gagnant est celui des deux joueurs qui prend les dernières allumettes. Existe-t-il une stratégie qui vous permet de gagner à tous les coups ?
Mots clés : jeu, stratégie, congruenceArticle : Echec et math - Collège Charles Péguy Collège Alain Fournier (Orsay)
Sur un jeu d’échec, le cavalier se déplace en L, c’est- à-dire deux cases dans une direction puis d’une case dans une direction perpendiculaire à la précédente. Peut-on parcourir toutes les cases d’un échiquier 8×8 en utilisant la marche classique du cavalier du jeu d’échecs sans passer plusieurs fois par la même case ?
Mots clés : cavalier, Euler, échecs, échiquier, chemin, parcours, hamiltonien, graphe, algorithme, programmeArticle : Echec aux dames - Collège Lou Garlaban (Aubagne)
Trouver des méthodes pour gagner au jeu de dames. Le jeu de dames a été choisi pour notre recherche. Quelles stratégies avoir à ce jeu ? Et si on simplifiait ce jeu, quelles informations aurait-on alors sur le jeu non simplifié ? Nous avons d’abord simplifié le jeu en nombre de pièces et en dimension de damier. Puis nous avons cherché des stratégies à partir de la construction d’arbres des possibles. Ces arbres nous ont permis de voir qu’avec une bonne stratégie, on gagne ou on fait match nul mais on ne perd pas. Au congrès, on a présenté notre travail — et des défis — (train, atelier et enfin, exposé) que l’on présente dans cet article.
Mots clés : jeu, dame, arbre, stratégieArticle : Divisons 1 par un nombre entier - Collège Jean Mermoz (Marly)
Effectuons la division de 1 par un entier naturel. Par exemple : 1/3 = 0,333333... 1/4 = 0,25 1/7 = 0,142857142857… Quels phénomènes observe-t-on concernant les chiffres «après la virgule» ? Peut-on comprendre et prévoir les phénomènes observés ?
Mots clés : division, inverse, nombre décimal, nombre rationnel, période, développement décimalArticle : Des circuits imposés - Lycée Pape Clément (Pessac)
On dispose de grilles rectangulaires de taille p × q. A certaines intersections sont placés des points numérotés [points de base]. On doit élaborer un circuit partant du point 1, passant par tous les autres points dans l’ordre du numéro qui leur est attribué puis revenant à l’origine : le point 1.
Attention : il est interdit de passer deux fois par le même côté d’un carreau de la grille ou par le même point numéroté, en revanche, il est permis de passer deux fois par un point non numéroté de la grille.
— Pour une grille et un entier n données, quels arrangements de n points de base admettent-ils un circuit solution ?
— Quelles grilles permettent-elles de tracer un circuit solution pour n’importe quelle disposition de n numéros ?
Mots clés : circuit, circuit imprimé, grille, rectangulaire, quadrillage, croisement, graphe, plan, contre-exempleAttention : il est interdit de passer deux fois par le même côté d’un carreau de la grille ou par le même point numéroté, en revanche, il est permis de passer deux fois par un point non numéroté de la grille.
— Pour une grille et un entier n données, quels arrangements de n points de base admettent-ils un circuit solution ?
— Quelles grilles permettent-elles de tracer un circuit solution pour n’importe quelle disposition de n numéros ?
Article : Découpage de polygones - Collège Bartholdi (Boulogne-Billancourt)
Comment découper une tarte rectangulaire pour obtenir une tarte ayant la forme d’un triangle équilatéral, forme préférée de notre professeur de mathématiques
Mots clés : aire, découpage, polygone, triangle, base, hauteurArticle : Compter les marmottes - Lycée d Altitude (Briancon)
On s’intéresse à une population de N individus où N est inconnu. On souhaite justement connaître N mais il est impossible de compter les individus dans leur ensemble, et donc d’avoir une réponse exacte. En revanche, on est capable de capturer un individu au hasard dans la population. On peut alors décider de marquer ou de ne pas marquer cet individu, et de le relâcher ou non. On peut le faire autant de fois que l’on veut. Comment peut-on estimer le nombre d’individus dans la population ? Proposer des méthodes, les valider par simulation et essayer de les comparer.
Mots clés : échantillon, effectif, population, inférence statistique, estimationArticle : Améliorer les temps d attente à la cantine. - Lycée Aristide Briand (Gap)
La cantine de nos deux établissements accueille quotidiennement environ 1200 élèves. De nombreux élèves et parents se plaignent de temps d’attente exagérés pour accéder à la salle de repas. Nous avons voulu comprendre le phénomène, l’analyser et envisager de proposer des améliorations.
Mots clés : attente, file d'attente, tableur, sondage, lissage, modélisationArticle : Carré magique - Collège du Moulin des Prés (Paris)
Un carré magique est un carré subdivisé en n^2 petits carrés identiques, dont chacun contient un nombre de 1 à n^2 tel que les propriétés suivantes soient vérifiées :
- chaque nombre entre 1 et n^2 apparaît dans un seul petit carré.
- la somme des nombres dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, a la même valeur.
Le but est de trouver une méthode pour placer les nombres de 1 à n^2 dans le carré de telle manière qu’il devienne magique.
Mots clés : carré magique, parité, somme- chaque nombre entre 1 et n^2 apparaît dans un seul petit carré.
- la somme des nombres dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale, a la même valeur.
Le but est de trouver une méthode pour placer les nombres de 1 à n^2 dans le carré de telle manière qu’il devienne magique.
Article : Calcul d aires dans une forêt - Collège Mauzan (Gap)
Un bûcheron veut acheter un terrain boisé pour en exploiter les arbres. Les arbres sont régulièrement espacés sur une grille [un quadrillage]. La législation, pour des raisons de sécurité, lui impose de clôturer son terrain. Pour limiter les frais, il décide de se servir des arbres comme poteaux de clôture. Ceci lui réduit donc d’autant le nombre d’arbres à exploiter. Nous cherchons le terrain le plus rentable pour lui, c’est à dire, l’exploitation avec la plus petite aire et le plus grand nombre d’arbres intérieurs.
Mots clés : aire, problème, quadrillage, formule de Pick, rectangle, minimum, triangle, découpage, polygoneArticle : 17 pavages a l Alhambra - Collège Henri Wallon (Marseille)
Le palais de l’Alhambra, vieux de plus de 1000 ans, possède des mosaïques où l’on peut voir, paraît-il, les 17 types possibles de pavages du plan. Notre projet a pour but de déterminer le nombre de pavages possibles et de vérifier s’ils sont tous présents à l’Alhambra.
Mots clés : pavage, pavage régulier, périodique, plan, isométrie, groupe, cristallographique, symétrie, rotation, translationArticle : Les interrupteurs - Lycée Elie Faure (Lormont) Lycée Fernand Daguin (Merignac)
Des boutons lumineux sont disposés sur les noeuds d'un réseau. Un clic sur un bouton change l'état (allumé ou éteint) du noeud et celui de ses voisins. Quelles configurations peut-on obtenir ? Des simplifications des séquences de clics sont possibles, cela permet de réduire le nombre de séquences à considérer et simplifie la modélisation du problème.
Mots clés : lampe, interrupteur, graphe, état, calcul vectoriel, binaire, algèbre linéaireArticle : Jeu de Nim - Collège Charles Lebrun (Montmorency) Collège de Nézant (Saint-Brice sous forêt)
Au départ : deux joueurs et des tas d'allumettes. Tour à tour, chaque joueur prélève une ou plusieurs allumettes dans le tas de son choix, Celui qui, à la fin, prend la dernière allumette est le gagnant.
Mots clés : jeu de Nim, stratégie, Nim-addition, tasArticle : Croissance des arbres - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Travaux effectués par les élèves de Briançon et de Cluj (Roumanie) sur la modélisation de la croissance des arbres. Ils ont obtenu de beaux résultats sur les âges (des arbres) d'un point de vue expérimental et d'un point de vu théorique.
Mots clés : modélisation, arbre, probabilité, simulation, algorithme, matrice d'évolutionArticle : Eteindre les lumières - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Article donnant la résolution complète du sujet posé.
La partie démonstration a été complétée par les enseignants et le chercheur mais en respectant le texte initial et l'idée de la démonstration des élèves donnée à l'oral.
A noter la traduction en chinois du sujet: plusieurs élèves du groupe étudient cette langue et ont passé une année scolaire en Chine.
Mots clés : graphe, système linéaire, binaire, matriceLa partie démonstration a été complétée par les enseignants et le chercheur mais en respectant le texte initial et l'idée de la démonstration des élèves donnée à l'oral.
A noter la traduction en chinois du sujet: plusieurs élèves du groupe étudient cette langue et ont passé une année scolaire en Chine.
Article : Le triangle de Reuleaux tourne pas rond - Lycée d’Altitude (Briancon)
On complète chaque côté d'un triangle équilatéral par des arcs de cercle centrés aux sommets opposés et …. on obtient le triangle de Reuleaux, avec un "diamètre constant"! Il peut rouler dans une bande et dans un carré, ce qui permet la construction d'un outil pour faire des trous carrés ! On calcule son aire, son périmètre et on envisage aussi de généraliser cette forme à d'autres polygones réguliers.
Mots clés : triangle, Reuleaux, diamètre, largeur, périmètre, aireArticle : Le point le plus loin - Lycée d’Altitude (Briancon)
Quel est le point d'un rectangle le plus éloigné de n points donnés dans ce rectangle ? Les cas de 2 et de 3 points sont étudiés, avec comme définition de l'éloignement la somme des distances aux points donnés, par le tracé de courbes de niveau. Il est conjecturé que le point cherché est un toujours un sommet du rectangle.
Mots clés : maximum, distance, rectangle, ellipse, ovale, ligne de niveau, courbeArticle : La planche du fakir - Lycée Maine de Biran (Bergerac) Lycée Kastler (Talence)
Le fakir possède une planche à clous : c'est une planche en bois dans laquelle on a planté des clous espacés de 1 unité sur des lignes et des colonnes. On pose un élastique autour des clous. Cela forme des triangles, des polygones... Les auteurs étudient quels triangles sont possibles : peuvent-ils être "presque rectangles" ? équilatéraux ? presque équilatéraux ? Puis, étudiant un autre problème, ils proposent une méthode de découpage qui transforme tout polygone en rectangle, en carré
Mots clés : plan, polygone, sommet entier, triangle équilatéral, découpage, carré, équation diophantienne, Pell, Fermat, planche du fakirArticle : Épidémiologie - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
L'épidémiologie est l'étude des facteurs influant sur la santé et les maladies des populations humaines. Il s'agit d'une science qui se rapporte à la répartition, à la fréquence et à la gravité des états pathologiques. Ce que le chercheur propose : · Implémenter un modèle très simple d'évolution d'une maladie dans un tableur. · Expérimenter. · Comprendre. · Prévoir.
Article : Stratégie gagnante au jeu de Chomp - Collège Jean Jaurès (Vieux Condé)
Cette année, M Balan, chercheur au LAMAV, à l'université de Valenciennes, nous a proposé de travailler sur le Jeu de Chomp. Ce jeu a été inventé en 1952 par Frederik "Fred" Schuh puis ré-inventé en 1974 par David Gale sous sa formulation actuelle. On l'appelle parfois le jeu de la plaque de chocolat.
Article : La ronde des jetons - Collège Labitrie (Tournefeuille)
Xavier Buff, enseignant-chercheur de l’Université Paul Sabatier de Toulouse nous a présenté le jeu suivant, suivi de la question …
Quatre joueurs autour d’une table…un meneur de jeu ...
Chaque joueur dispose d’un nombre pair de jetons
Chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses jetons.
Si un joueur possède un nombre impair de jetons, le meneur de jeu lui en donne un de plus.
Et on continue... Est-ce que la partie s'arrête ? Au bout de combien de tours ? Et si on change le nombre de jetons au départ de la partie ?
Mots clés : arithmétique, suite récurrenteQuatre joueurs autour d’une table…un meneur de jeu ...
Chaque joueur dispose d’un nombre pair de jetons
Chaque joueur fait passer à son voisin de gauche la moitié de ses jetons.
Si un joueur possède un nombre impair de jetons, le meneur de jeu lui en donne un de plus.
Et on continue... Est-ce que la partie s'arrête ? Au bout de combien de tours ? Et si on change le nombre de jetons au départ de la partie ?
Article : Des nombres en colonne - Collège Labitrie (Tournefeuille)
Voici le problème posé par Xavier Buff, enseignant-chercheur à l’Université Paul Sabatier de Toulouse : « Si je prends un nombre à quatre chiffres et que j’écris les uns en dessous des autres ses produits par 1 ;2 ; 3 .. jusqu’à 9, j’affirme que chaque colonne contient au moins le chiffe 0 ou le chiffre 9.
Les élèves donnent une réponse complète à cette question.
Mots clés : arithmétique, table de multiplication, principe de DirichletLes élèves donnent une réponse complète à cette question.
Article : L’invasion des uns - Collège Rambaud (Pamiers) Collège Labitrie (Tournefeuille)
« Peut-on multiplier 2007 par un nombre entier pour obtenir un résultat ne s’écrivant qu’avec des uns ? ». L'article montre que cela est possible et donne, après beaucoup de caculs, le premier nombre qui convient, un nombre de 662 chiffres ! Il fait appel à deux techniques parallèles, et à l'aide d'un tableur.
Mots clés : écriture décimale, divisibilitéArticle : Les carrés qui tournent en rond - Lycée Gambetta (Tourcoing)
On part d’un nombre entier naturel. On calcule la somme des carrés de ses chiffres. On obtient un nouvel entier naturel, sur lequel on recommence la même opération, et ce ainsi de suite. L’objectif est de prévoir le comportement des entiers qu’on obtient, en réitérant le procédé à l’infini, quel que soit l’entier de départ.
Article : Le Jeu de Ping - Lycée Paul langevin (Suresnes)
Le jeu de Ping est une sorte de damier, rectangulaire ou carré, de taille variable, où dans chaque case se trouve un pion bicolore (une face verte, l’autre rouge). Avec notre logiciel, le damier était limité en taille à 16 colonnes et 32 lignes, mais dans la réalité on peut imaginer des damiers plus grandes ou infinies. Le damier de taille minimale est le 1*1 . Au départ du jeu, tous les pions montrent leur face verte. Le but du jeu est de réussir à retourner tous les pions sur leur face rouge, mais avec une sorte de handicap. Quand on clique sur un des pions du damier, il n'est pas retourné. Seuls ses huit voisins le sont, les directs et ceux en diagonale. On ne peut donc résoudre un damier en faisant n’importe quoi, il faut agir avec...
Article : Ça roule à Saint-Orens - Lycée Pierre Paul Riquet (Saint Orens)
Notre recherche a consisté à déterminer les régions du plan accessibles lorsque l'on fait pivoter des polyèdres réguliers autour de leurs arêtes.
Nous avons étudié l'évolution de la zone accessible en fonction du nombre et de la position des faces auxquelles on a interdit de toucher le plan .
Exemple avec le cube : ➔ Que se passe-t-il lorsque l'on fait pivoter un cube ?
Nous avons étudié l'évolution de la zone accessible en fonction du nombre et de la position des faces auxquelles on a interdit de toucher le plan .
Exemple avec le cube : ➔ Que se passe-t-il lorsque l'on fait pivoter un cube ?
Article : Découpages pâtissiers - Lycée Daguin (Mérignac) Lycée Pape Clément (Pessac)
On considère un (des) gâteau(x), que l’on se propose de couper plusieurs fois, avec un couteau dont la lame est suffisamment grande. Combien de parts au maximum est-il possible d’obtenir en un nombre donné n de coups de couteau (ou « découpes ») ?
Article : La stratégie des allumettes - Lycée Pape Clément (Pessac)
A tour de rôle deux joueurs prélèvent des allumettes dans un tas allumettes. Le premier à jouer peut en retirer 1 ou 2, et par la suite chaque joueur peut en retirer entre 1 et kn+q où k et q sont des entiers fixés et où n est le nombre d'allumettes retirées par l’adversaire au coup précédent. Le perdant est celui qui prélève la dernière allumette. Pour k=2 et q=0, les auteurs déterminent les positions gagnantes du jeu et donnent une stratégie infaillible, à l'aide de la suite de Fibonacci. Des conjectures générales sont proposées pour k>2, q=0 et pour k=1, q=1.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégie de jeu, suite de Fibonacci, ZeckendorfArticle : Qui peut gagner des millions ? - Lycée Aristide Mailol (Perpignan)
Nous sommes trois élèves de 1ère Scientifique du lycée Aristide Maillol à Perpignan. Le projet MATh.en.JEANS a été conçu autour de plusieurs problèmes mathématiques parmi lesquels nous avons choisi : « Qui peut gagner des millions ? » Il s’agit d’un jeu télévisé qui consiste à choisir autant de nombres entiers entre 1 et 1000 que vous le souhaitez, la seule contrainte étant que leur somme doit être exactement égale à 1000. Vous gagnez alors le montant, en euros, égal au produit de tous les nombres qui ont été sélectionnés. L’objectif est évidemment de gagner le plus d’argent possible. Nous avons essayé de trouver la combinaison qui fera gagner la plus grande somme d’argent. Nous avons choisi ce sujet car le contexte général nous paraissait réaliste. De plus qui n’a jamais rêvé de gagner une somme d’argent « astronomique»
Article : Le Vendeur De Polyedres - Collège Charles Péguy (Palaiseau)
«Je voudrais un polyèdre avec 6 arêtes, 4 faces et 2 sommets.» Est-ce que le vendeur peut toujours satisfaire son client? Y a t-il des familles de demandes pour lesquelles il n'hésite pas à prendre un polyèdre ?
Article : Point de rencontre - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
Trois personnes sont dans un grand champ plat sans obstacles et veulent se rejoindre le plus rapidement possible. Elles avancent toutes à la même vitesse.
Article : Polygone Sur Un Quadrillage - Collège Alain Fournier (Orsay)
On trace un polygone dont les sommets correspondent à des points d’une feuille de papier pointé quadrillé. - Peut-on trouver l’aire du polygone grâce au nombre de points à l’intérieur et sur le bord de celui-ci ? - Que se passe-t-il avec un autre pavage ?
Dans ce qui suit, nous noterons en indice du polygone concerné : - b, le nombre de points du quadrillage se trouvant sur les bords du polygone. - i, le nombre de points du quadrillage se trouvant à l’intérieur au polygone. - A l’aire du polygone. Ainsi, pour un polygone nommé P, Pb sera le nombre de points du quadrillage situés sur les bords de P .
Dans les parties 1. et 2., nous prendrons comme unité de surface l’aire d’un carré formant le pavage
Dans ce qui suit, nous noterons en indice du polygone concerné : - b, le nombre de points du quadrillage se trouvant sur les bords du polygone. - i, le nombre de points du quadrillage se trouvant à l’intérieur au polygone. - A l’aire du polygone. Ainsi, pour un polygone nommé P, Pb sera le nombre de points du quadrillage situés sur les bords de P .
Dans les parties 1. et 2., nous prendrons comme unité de surface l’aire d’un carré formant le pavage
Article : Jeu De Pierre- Feuille-Ciseaux - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
Un joueur A propose à un joueur B, connu pour sa naïveté, de jouer à Pierre/Feuille/Ciseaux/Puits. Il sait que B va jouer au hasard à chaque coup. Le jeu est-il équitable ? Le jour B, qui sait que A est parfois malhonnête, peut-il proposer un jeu à 5 symboles ? Peut-on proposer un jeu de Pierre/Feuille/Ciseaux à trois
Article : Jeu de paliers - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Charles Péguy
On dispose de trois colonnes verticales en haut desquelles se trouvent trois billes numérotées de 1 à 3 et en bas desquelles se trouvent trois trous, eux aussi numérotés de 1 à 3. On peut ajouter des paliers horizontaux entre les colonnes. Lorsqu’on lâche les billes (toutes en même temps), elles tombent verticalement, sauf si elles rencontrent un palier, auquel cas elles l’empruntent et changent de colonne. Peut-on placer les paliers de sorte que chaque bille atterrisse dans le trou qui lui correspond ? Que se passe-t-il lorsqu’on augmente le nombre de colonnes ?
Article : Approximations de pi - Collège Alain Fournier (Orsay)
Le nombre π intervient dans le périmètre d'un cercle de rayon R : 2πR et dans l’aire d’un disque de rayon R : πR2. En choisissant un cercle de rayon R = 1, on peut donc avoir π en étudiant le demi-périmètre de ce cercle et son aire. Nous avons donc cherché à trouver un encadrement de π, en trouvant des figures simples, intérieures et extérieures au cercle de rayon 1, dont on pourrait calculer le périmètre et l’aire
Article : Les nombres Heureux et Malheureux - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un nombre, n, est dit « heureux » si et seulement s'il existe deux entiers strictement positifs a et b tels que : a + b = n a x b = n x k
Tout nombre non heureux est malheureux.
Tout nombre non heureux est malheureux.
Article : Au marché - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l'aller ! Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour. Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
Dans un premier temps nous verrons trois méthodes possibles et laquelle est la plus efficace. Dans un second temps nous verrons comment évolue le nombre de sacs apportés au marché lorsque le nombre de paysans augmente
Dans un premier temps nous verrons trois méthodes possibles et laquelle est la plus efficace. Dans un second temps nous verrons comment évolue le nombre de sacs apportés au marché lorsque le nombre de paysans augmente
Article : Tolérance aux ruptures sur les canaux de comm - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On symbolisera ici un réseau d’ordinateurs par un graphe : chaque ordinateur sera représenté par un petit cercle qu’on nommera nœud. Ces nœuds s’envoient des informations par des canaux de communications à sens unique représentés par des segments fléchés (appelés arêtes).
Article : Happy Numbers…et «autres rondes» - Collège des Eyquems (Mérignac) Lycée Alfred Kastler (Talence)
Nous étudions les nombres entiers en additionnant leurs chiffres, puis les carrés de leurs chiffres, puis les cubes de leurs chiffres…et nous…entrons dans la ronde!!
Venez danser avec nous!
Venez danser avec nous!
Article : Le cochon qui rit - Collège Jean Mermoz (Marly)
Jeu de hasard pur et d'assemblage : « Le cochon qui rit » Ce jeu a été inventé en 1932 à Lyon par Joseph Michel qui s’est inspiré d’un jeu pratiqué dans les bistrots. Il a été primé au concours Lépine en 1934. En voici la règle : chaque joueur doit compléter un cochon à partir des éléments disponibles. Les joueurs jettent trois dés lors de leur tour de jeu. Un 6 permet de prendre le corps du cochon (action préalable aux suivantes), un 1 permet de placer une patte, une oreille ou un œil. Il faut deux 1 pour placer la queue en tire-bouchon. Tant que le joueur obtient au moins un 1, il peut rejouer. Le gagnant est le premier à avoir assemblé toutes ses pièces
Article : Le monde tropical et les amibes - Lycée Odilon Redon (Pauillac)
En changeant les règles du jeu, et en remplaçant l'addition par la prise du maximum, ainsi que la multiplication par … l'addition quel nouveau monde est il ainsi créé ? C'est le « monde tropical ». Que devient alors la géométrie dans ce monde ? Que deviennent les droites ? Dans le plan, dans l'espace ? Et pour des équations de degré supérieur à 2, qu'est ce qu'on obtient pour représentation graphique ?
Mots clés : géométrie tropicaleArticle : Il n en restera qu un - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Cet article étudie le jeu du solitaire, d'abord sur une ligne et ensuite dans le plan. Il cherche à décrire les situations de départ, qui permettent d'arriver à une situation ne contenant plus qu'un pion.
Mots clés : jeu, solitaireArticle : Les tas de sable, cas général - Lycée d Altitude (Briancon)
Les auteurs étudient des tas de sables posés sur des surfaces planes de formes géométriques imposées. Il décrivent la nature des lignes de crête dans le cas où la surface de base est la réunion de deux carrés collés ensemble, et dans le cas où la surface est délimitée par deux arcs de cercle. Les formes géométriques qui apparaissent sont des coniques : paraboles, ellipses et hyperboles. Cet article est la suite d'un article de même nom, publié en 2012/2013.
Mots clés : tas de sable, ligne de crête, ensemble des points à égale distance, parabole, hyperbole, ellipseArticle : La vengeance de la cigale - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
Une cigale se propose de trouver la pire manière d'attacher un tableau au mur avec deux clous, en utilisant une ficelle. Plus exactement, la cigale veut que le tableau reste attaché au mur si les deux clous sont à leur place mais que dès qu'un des clous tombe, peu importe lequel, alors le tableau tombe aussi. La question est : combien des possibilités a la cigale ? Est-qu'il y a des possibilités si on augmente le nombre de clous ?
Mots clés : séquence de lettres, permutationArticle : La Fourmi invite ses amis - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
La Fourmi et ses amies jouent au lancers de grains. Elles doivent être placées de sorte que toutes les distances entre elles soient différentes. De plus, chaque fourmi doit lancer son grain à la fourmi la plus proche.
Toutes les fourmis reçoivent-elles un grain ? Y aura-t-il toujours un échange de grain entre deux fourmis ? Peut-on avoir des trajectoires croisées ? Est-il possible que l'hôte reçoive tous les grains sauf le sien ?
Des fourmis, toutes placées à des distances différentes les unes des autres, lancent le grain qui est initialement en leur possession à leur plus proche voisine. La manière dont les grains sont envoyés est l'objet de cette étude faisant ressortir quatre résultats principaux.
L'existence de configurations où toutes les fourmis reçoivent un grain est démontrée pour un nombre de fourmis pair. Dans le cas impair, les auteurs conjecturent qu'au moins une fourmi ne reçoit pas de grain. En second lieu, ils prouvent qu'au moins deux fourmis…
Mots clés : distance, géométrieToutes les fourmis reçoivent-elles un grain ? Y aura-t-il toujours un échange de grain entre deux fourmis ? Peut-on avoir des trajectoires croisées ? Est-il possible que l'hôte reçoive tous les grains sauf le sien ?
Des fourmis, toutes placées à des distances différentes les unes des autres, lancent le grain qui est initialement en leur possession à leur plus proche voisine. La manière dont les grains sont envoyés est l'objet de cette étude faisant ressortir quatre résultats principaux.
L'existence de configurations où toutes les fourmis reçoivent un grain est démontrée pour un nombre de fourmis pair. Dans le cas impair, les auteurs conjecturent qu'au moins une fourmi ne reçoit pas de grain. En second lieu, ils prouvent qu'au moins deux fourmis…
Article : La Fourmi fait du rangement - Collège Robert Buron (Nandy) Collège La Pyramide (Lieusaint)
Partie 1 :
La Fourmi veut ranger ses grains de riz en les mettant en colonnes ou en lignes. Quel est le nombre de rangements possibles ?
Partie 2 :
La Fourmi souhaite ranger ses grains pour obtenir un carré magique. Comment l'obtenir ?
Dans cet article, les auteurs proposent d'aider la Fourmi de la fable de Jean de la Fontaine à ranger ses grains qu'elle avait amassé tout l'été. Pour ce faire, ils conjecturent que le nombre de façons de faire son rangement en ligne de telle sorte que que chaque ligne ait le même nombre de grains est un diviseur du nombre de grains. Ce dénombrement est également explicité lorsqu'il n'y a que deux dispositions possibles.
Mais la Fourmi a retrouvé dans son grenier une autre possibilité de rangement : le carré magique. Ainsi, tous les carrés magiques d'ordre 3 et 4 sont précisés et une démonstration générale est proposée pour trouver le nombre de carrés magiques d'ordre n quelconque en fonction de…
Mots clés : nombre, carré magique, diviseurLa Fourmi veut ranger ses grains de riz en les mettant en colonnes ou en lignes. Quel est le nombre de rangements possibles ?
Partie 2 :
La Fourmi souhaite ranger ses grains pour obtenir un carré magique. Comment l'obtenir ?
Dans cet article, les auteurs proposent d'aider la Fourmi de la fable de Jean de la Fontaine à ranger ses grains qu'elle avait amassé tout l'été. Pour ce faire, ils conjecturent que le nombre de façons de faire son rangement en ligne de telle sorte que que chaque ligne ait le même nombre de grains est un diviseur du nombre de grains. Ce dénombrement est également explicité lorsqu'il n'y a que deux dispositions possibles.
Mais la Fourmi a retrouvé dans son grenier une autre possibilité de rangement : le carré magique. Ainsi, tous les carrés magiques d'ordre 3 et 4 sont précisés et une démonstration générale est proposée pour trouver le nombre de carrés magiques d'ordre n quelconque en fonction de…