Travaux d'élèves récents
Nous publions directement ici les travaux d'élèves de l'année, non nécessairement aboutis, articles, narrations de recherche, diaporamas,…, mais aussi leurs articles en attendant relecture et validation par le comité d'édition.
Pour les posters, voir la page dédiée.
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Un modèle stochastique pour la gestion des stocks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleIn this work, a model for the management of fishing stocks is studied under the assumptions that, in a some site, the growth of a certain species is limited by the available resources and that a constant amount is fished every year. It is mainly a discrete time model: evolution from one year to the next given by a recurrence close to the logistic map, but the variant in continuous time, governed by a differential equation is also studied. Depending on the value of the parameters (maximum biomass of the site, initial biomass, basic reproduction rate, quantity fished), different evolutions appear: extinction, stabilization or, in the discrete case, chaotic evolution.
Mots clés : dynamique des populations, évolution, suite logistique, convergence, chaos, extinctionDobble environnemental - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès) Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie)
ArticleIn this article, we have included the aspects we have been following during our research: How is the game built? How many symbols do you need to make a 10-card set? Or conversely, how many cards for a 10-symbol game? Can you make a Dobble game with environment-related symbols? Find a relationship between the number of cards and the number of symbols. How does this relationship change if two cards have two, three, etc… symbols in common?
Mots clés : analyse des jeux, optimisation, géométrie projectiveLes chiffres des puissances de 2 - Lycée Frédéric Mistral (Fresnes)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleL'article étudie les chiffres dans l’écriture décimale des puissances de 2. Les auteurs démontrent que les k derniers chiffres, ainsi que le k-eme chiffre, sont périodiques à partir d'un certain rang, avec une période de 4x5^(k-1). Ils prouvent également que les 10 chiffres apparaissent le même nombre de fois dans le motif (sauf pour le chiffre des unités).
Mots clés : arithmétique, puissance de 2, congruence, écriture décimale, baseTwo problems on touching circles - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleSangaku are traditional Japanese wood paintings representing geometric problems. In this work, the authors consider series of circles tangent to each other and to a same given line, or to each other and to a same other circle. In the first case, they determine the radii of the generated circles and relate their structure to the Stern-Brocot tree, a binary tree whose vertices correspond to all positive rational numbers. In the second case, using the inversion transformation it is shown that the first Sangaku can be mapped to the second one, so that they are actually equivalent.
Mots clés : sangaku, cercle, tangent, arbre de Stern-Brocot, inversionExploring Lill's method: beyond graphical solution - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleThe aim of this article is an in-depth study of Lill’s method, an ingenious graphical method of finding the roots of polynomials of any degree developed by Austrian engineer Eduard Lill and
published on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to…
Mots clés : racine, polynôme, polygone régulier, nombre complexepublished on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to…
SophistiCat Analysis - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleOur research deals with calculating the speed of a cat on a road which is full of cars, so that she won’t get hit by them. Given the measure of the cars and the road, we must find the minimum speed of the cat and also the time she needs to cross the road safely
Mots clés : vitesse, temps, trigonométrie, longueur, largeurFaites des routes, pas la guerre ! - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eIl s’agit d’un jeu à deux, où on commence avec deux châteaux et un certain nombre de villes puis chacun à tour de rôle construit une route reliant deux lieux, villes ou château. Les routes doivent être liées, directement ou non, à l’un des deux châteaux. Le joueur qui crée une route permettant d’aller d’un château à un autre a perdu.
Il est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Mots clés : jeu, graphe, combinatoireIl est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Damier à noircir - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeÉtant donné un damier carré de n cases de côté et quelques cases initialement noircies à l’intérieur, peut-on colorier entièrement ce damier sachant qu’on peut colorier une case si elle possède au minimum deux cases voisines (par un côté) noircies. Ce texte donne quelques exemples, puis en utilisant la notion de périmètre de la figure noircie, établit une condition nécessaire sur le nombre de cases noircies initialement pour colorier tout le carré. Des cas particuliers où on peut tout noircir sont exhibés. Enfin certains cas lorsque la figure du départ et les cases ne sont plus carrées seront examinés.
Mots clés : pavage, coloriageLa vie d'un plancton - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eLes élèves du collège Alain Fournier à Orsay ont étudié la probabilité de survie d’un plancton qui se déplace verticalement. Chaque jour, il va d’une unité vers le haut avec probabilité de 1/2, ou d’une unité vers le bas avec une probabilité de 1/2. Le plancton meurt s’il atteint la surface ou le fond de la mer. Les élèves ont étudié, en fonction de la hauteur de départ, si le plancton pouvait survivre indéfiniment, puis — s’il ne survivait pas indéfiniment — quel serait le temps moyen au bout duquel il serait tué et enfin s’il serait tué en touchant plus tôt le fond ou la surface.
Mots clés : probabilité, marche aléatoire, convergenceBoom ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eOn cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ?
Mots clés : combinatoireAlerte au voleur - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eCe travail étudie la manière de recouvrir un carré par des disques. La première partie traite du recouvrement par un nombre donné de disques identiques, il s’agit alors de trouver le rayon minimum. Pour un recouvrement avec un, deux ou quatre disques, le problème est entièrement résolu. Pour un recouvrement avec trois disques, les jeunes chercheurs proposent une méthode presqu’optimale qui découle d’une étude avec Geogebra.
Dans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Mots clés : disque, surface, recouvrementDans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Le facteur ne repassera pas - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eLe travail du facteur n’est pas si simple que vous pensez ! Imaginons une rue composée de n maisons alignées. Partant de la première, quels sont tous les ordres possibles de parcours des maisons pour y déposer le courrier ? Parmi ces trajets, lesquels minimisent la distance parcourue par le facteur ?
Lesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Mots clés : dénombrement, optimisationLesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Maths et Chimie - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleEtude des alcanes et leurs isomères.
Essayer de les dénombrer.
Essayer de les dénombrer.
Les nombres polygonaux - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeLes nombres polygonaux sont ceux qui peuvent être représentés sous forme de polygones réguliers. Dans le travail, il est montré comment construire des nombres polygonaux (à la fois géométriquement et à l'aide d'un programme Python) et des formules générales sont déterminées pour calculer ces nombres. Ensuite, la formule de Diophante permettant de calculer les nombres polygonaux de manière récursive est démontrée. Enfin, un programme Python est présenté, qui décompose un nombre naturel arbitraire en une somme d'au plus trois nombres triangulaires (cas particulier du théorème de Fermat sur la décomposition des nombres naturels en une somme de nombres polygonaux).
Mots clés : nombre polygonal, PythonOvalie - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eAu rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
Mots clés : arithmétiqueL'allumeur de lampadaires - Lycée Jean Lurçat (Bruyères) Lycée Claude Gellée (Épinal)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée Dans l’allée d’une ville 10 lampadaires sont disposés en ligne numérotés de 1 à 10, ils sont éteints ou allumés chaque soir par un allumeur de lampadaires ; il les allume de la droite vers la gauche selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé il change l’état du suivant c’est-à-dire s’il était allumé il l’éteint et s’il était éteint, il l’allume. Le premier soir seul le lampadaire numéro 1 est allumé on cherche donc au bout de combien de soirs tous les lampadaires seront allumés et dans un second temps si on peut prévoir leur comportement pour un nombre n de lampadaires. Les résultats obtenus sont qu’au bout de 2^n jours, il y a 2^n lampadaires allumés, et que le jour suivant il n’y en a plus que 2.
Mots clés : triangle de Pascal, récurrence, coefficient binomialEquidecomposability of polygons
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eIt is proved that, given two polygons of equal area, each of them can be decomposed into finitely many parts that can be rearranged to form the other by means of translations and rotations (Wallace–Bolyai–Gerwien theorem). The proof is divided into three steps: (1) any polygon can be cut into triangles; (2) any given triangle can be cut into smaller polygons that rearranged form a rectangle with equal area; (3) any rectangle can be cut into smaller polygons which rearranged form a square of equal area.
Mots clés : surface, polygoneLine Drawing Algorithm - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeThis article presents a fast line segment plotting algorithm using only integer calculations, due to J. E. Bresenham, and also the analogous circle plotting algorithm.
Mots clés : pixel, algorithme, algorithme de BresenhamSuite diatomique - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleL’article s’intéresse à la suite de Stern et démontre plusieurs propriétés, pour certaines assez surprenantes, qui n’ont été établies qu’assez récemment. En s’inspirant des pistes esquissées par Jean-Paul Delahaye dans un article de la revue « Pour la Science » (n°420, octobre 2012, disponible sur le site de l’auteur : https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/227.pdf), l’article démontre un ensemble de propriétés et théorèmes qui lient la suite de Stern à celle de Fibonacci, mais également au triangle de Pascal, la représentation hyperbinaire des entiers, ou encore le dénombrement des nombres rationnels.
Mots clés : suite numérique, suite de Fibonacci, triangle de Pascal, binaire, rationnel, récurrence, arbre, fraction continueGrilles gagnantes - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleOn remplit des grilles carrées avec des 1, des 0 et des -1. Le but est d'obtenir des sommes différentes sur chaque ligne et chaque colonne. Est-ce toujours possible ?
Les autrices démontrent que c'est toujours possible pour une grille de côté pair et impossible pour une grille de côté 3, 5 ou 7.
Les autrices démontrent que c'est toujours possible pour une grille de côté pair et impossible pour une grille de côté 3, 5 ou 7.
Jeux de stratégie : tic-tac-toe, achi, pikaria - Lycée français Van Gogh (La Haye) École Européenne (La Haye)
DiaporamaRecherche d'une stratégie permettant de gagner ou de ne pas perdre au tic-tac-toe, achi et pikaria.
Mots clés : algorithmeAllons voter - Lycée français Van Gogh (La Haye) École Européenne (La Haye)
DiaporamaRecherche d'un algorithme permettant de déterminer comment choisir de manière optimale trois bureaux de vote pour les français aux Pays-Bas.
Mots clés : optimisationArticle : Flyovers - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eOne tries to connect a given number of towns by roads, with bridges (“flyovers”) to avoid crossings at intersections. What is the minimum number of bridges required for n towns? The problem is solved up to 6 towns, and for 7 and 8 towns examples are given that yield at least an upper bound of the minimum number of flyovers.
Mots clés : graphe, graphe complet, graphe planaireArticle : Piece of Cake - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeCet article (écrit en anglais) traite du problème de couper un gâteau, ou une forme plane, en deux morceaux d'aire égale, en un coup de couteau. Il propose une construction à la règle et au compas dans le cas d'un triangle, d'un quadrilatère convexe, puis, plus généralement d'un polygone convexe à n côtés. Il s'intéresse ensuite au cas où le gâteau a un trou : il propose une construction dans les cas où on peut en un coup de couteau couper le trou en 2 part égales et le gâteau sans trou en 2 part égales. Enfin, il propose une solution numérique pour couper des polygones convexes à n côtés en m parts égales.
Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life.…
Mots clés : géométrie, polygone, construction à la règle et au compas, récurrenceProblems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life.…
Article : Regardant autour - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeWhether two points above the Earth surface can “see” each other depends on the distance between them and on their altitude. In the work, the relationship between distance and altitudes is calculated in various cases.
Mots clés : géométrie, trigonométrie