Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-01 

Jumelage MATh.en.JEANS entre les collèges Charles Lebrun à Montmorency (95) [Atelier Scientifique] et l'Ardillière de Nézant à Saint-Brice sous forêt (95) [classe de 4ème scientifique], année scolaire 2001-02.
Enseignants : Frédéric ALBERTINI, Christian GEORGES (Montmorency), Yann BOURIT et Eric MARTINOD (St-Brice)
Chercheur : Julien VIDAL (Groupe de Physique des Solides, Paris 6)

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Article en cours d'analyse et de vérification
[les passages entre crochets sont des éditeurs]

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Sommaire

1. Escargots sur une boites à chaussure Énoncé du sujet
2. La boîte à chaussures est un cube et il y a deux escargots.
3. La boîte à chaussures est un cube et il y a trois escargots.
4. Notre meilleure solution à trois escargots.

[Sujet de Olivier Bodini]  

Des astronautes escargots sont sur une boîte à chaussures, perdus en plein milieu de l'espace. Ils se rejettent la responsabilité de l'erreur qui les a mis dans une telle situation. Depuis, ils se font la tête au point de chercher à se placer sur cette boîte de manière à être le plus loin possible les uns des autres.

Où peuvent-ils se mettre ?

2. La boîte à chaussures est un cube et il y a deux escargots.

J'ai placé deux points M et P sur le cube (voir figure ci-dessous). Je cherche le plus court chemin sur la surface du cube reliant ces deux points :

J'ai tracé deux exemples de chemin : MNP et MLP.

Le chemin le plus court entre les deux points est la ligne droite, mais sur un cube nous pouvons pas déplier. Donc, notre idée est de considérer le patron du cube.

Sur le patron obtenu en dépliant correctement le cube (voir figure ci-dessous) nous pouvons dire que les chemins MNP et MLP se sont transformés en les chemins M'N'P' et M'L'P' de même longueur. Or le point N' appartient au segment [M'P'], ce qui n'est pas le cas du point L'.

Donc, d'après l'inégalité triangulaire on a : M'P' = M'N' + N'P' < M'L' + L'P', ceci pour tout point L' autre que N', c'est-à-dire que pour tout point L sur le cube autre que N on a :

3. Le problème à trois escargots.

Nous avons trouvé une solution en placant les escargots sur le milieu des arêtes, 1 fois sur deux, de forme hexagonale. Voici la figure:

Ensuite, nous avons calculé avec le théorème de Pythagore. Sachant que qm est la diagonale d'un carré de côté 2, alors :

qm = 2 x2,8.

Donc

mq+qn = 4 x5,6 Une autre solution Cette solution est disposée de façon équilatérale. EG est une diagonale du carré EFGH de côté 4, GB est une diagonale du carré CBFG et EB est une diagonale du carré ABFE. Avec le théorème de Pythagore, nous avons trouvé : EG=EB=BG=4 x C'est à dire le même résultat que précédemment.

4. Notre meilleure solution

C'est une solution à trois escargots, les points représentant les escargots sont : I, J et B.

Nous pouvons bouger le point I ( diagonale FH ) et le point J (droite DH ) car ils sont mobiles sur cette figure .

En faisant bouger les points I [et J], la meilleure solution [s'obtient avec les valeurs suivantes :]
HJ est égal à 3,44 cm , HI est égal à 3,11cm ,
[On a alors : ]
B"I est égal à 6,07 cm , J"B est égal à 6,06 cm et IJ' est égal à 6,06 cm .

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