Comptes Rendus MATh.en.JEANS 04-01

Un rectangle a deux dimensions, disons sa largeur et sa hauteur et la proportion largeur/hauteur donne la forme du rectangle. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion largeur/hauteur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme. A tout nombre positif correspond une forme de rectangles.

Si vous cherchez à quel nombre correspond un rectangle, vous pouvez bien sûr mesurer sa largeur et sa hauteur avec la règle et faire la division, mais ce n'est pas une méthode exacte.

Voici une méthode géométrique.

En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence... Par exemple avec un rectangle de 16 x 9, cela donne le dessin suivant [ci-contre]. Le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s'arrête puisqu'il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.

Questions :

• Comment trouver le code quand on a la fraction de départ ?
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Comment comparer deux nombres si je connais leurs codages ?
• Si on part de n'importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s'arrête ?

[La feuille de papier A4.]

Maintenant, la feuille de papier A4 ne fait pas exactement 210mm x 297mm. La proportion exacte (hauteur/largeur) est racine de 2 qui est aussi le rapport de la diagonale du carré à son côté.

On peut expliquer pourquoi elle a été choisie comme ça, mais si vous voulez le vérifier, reportez la largeur sur la hauteur comme dans le découpage et vérifiez que la diagonale du carré est bien égale à la hauteur de la feuille.

• A votre avis, quel codage va-t-on trouver ? Si vous avez une idée, pouvez-vous montrer qu'elle est juste ?
• Ensuite, pouvez-vous utiliser ce codage pour comparer racine de 2 et 297/210 ? pour trouver d'autres fractions approchant mieux racine de 2 ? pour trouver la valeur de racine de 2 plus précisément que ce que vous obtenez avec votre calculatrice ?