quelles sont les surfaces rectangulaires qu'on peut carreler avec le carreau ?

par des élèves du Collège Molière de Vitry sur Seine (94).

Enseignants : Sophie DIALLO, Hélène KRAUTLER

Chercheur: R. MNEIMNE.

Ateliers MATh.en.JEANS. Jumelage des collèges Romain Rolland (Ivry sur Seine, 94) et Molière (Vitry sur Seine, 94; projet inscrit comme "parcours différencié" en classe de 5ème: voir NOTE 1), année scolaire 1997-98. ((Les passages mis entre doubles parenthèses sont dûs aux éditeurs)).

quelles sont les surfaces rectangulaires qu'on peut carreler avec le carreau ?

((On utilise indifféremment les mots "carrelage" ou "pavage" pour parler du découpage d'une surface en plusieurs morceaux juxtaposés, sans vide ni chevauchement: les morceaux sont appelés les "CARREAUX". Dans cet article, les surfaces que l'on cherche à carreler ainsi sont des RECTANGLES et tous les morceaux du carrelage doivent être "égaux" au carreau de base FIG.1 (voir NOTE 2): autrement dit, les carreaux doivent pouvoir être superposés à cette figure, par déplacement direct ou après retournement)). On ne peut pas couper les carreaux ; l'unité d'aire est le carré, l'unité de longueur est le côté du carré.

Théorème 1 - Pour qu'un rectangle soit pavable par des , il faut que son aire soit un multiple de 4.

preuve : L'aire du carreau est 4 ; en ajoutant plusieurs fois le carreau, on obtient forcément un multiple de 4.

Théorème 2 - Il existe des rectangles dont l'aire est un multiple de 4 qui ne sont pas pavables par des .

preuve : le rectangle (4 ; 3) n'est pas pavable. ((les élèves écrivent simplement 4 ; 3 ; pour une meilleure lisibilité de leur texte, j'introduis les parenthèses : (4 ; 3) au lieu de 4 ; 3.))

(( Il est plus simple de voir que le rectangle (4 ; 1) n'est pas pavable. Mais il est plus utile pour la suite de constater que le rectangle (4 ; 3) n'est pas pavable, puisqu'on ne s'intéressera plus qu'aux rectangles dont les côtés sont plus grands que 2. ))

Théorème 3 - Si l'aire d'un rectangle est un multiple de 8 et que ses côtés sont plus grands que 2 alors ce rectangle est pavable par des .

preuve :

• Si l'aire du rectangle est un multiple de 8, alors l'aire de ce rectangle s'écrit : 8 x n avec n un nombre entier non nul.
  
• L'aire du rectangle se calcule côté1 x côté2 (produit de deux facteurs) ; on cherche donc à écrire 8 sous forme d'un produit de deux facteurs. Il y a deux écritures possibles 8 = 4 x 2 et 8 = 8 x 1. On trouve donc deux cas pour les côtés du rectangle. Ils sont (4n ; 2p) avec n et p entiers supérieurs ou égaux à 1 et (8m ; k) avec m entier supérieur ou égal à 1 et k entier supérieur ou égal à 2.

  1er cas : rectangles du type (4n ; 2p)

  On peut paver le rectangle (4 ; 2) :

  En utilisant plusieurs fois ce rectangle, on obtient tous les rectangles (4n ; 2p).

2ème cas : rectangles du type (8m ; k)

a) Si k est pair, k s'écrit 2q. 8m = 4(2m).

On se retrouve avec un rectangle de type (4(2m) ; 2q). C'est le 1er cas.

b) Si k est un nombre impair, alors k = 2q+1.

On peut paver le rectangle (8 ; 3) et le rectangle (8 ; 2).

En utilisant plusieurs fois ces rectangles, on obtient tous les rectangles du type (8m ; 2q+1).

((Conclusion : Existe-t-il des rectangles pavables dont l'aire est multiple de 4 sans être multiple de 8 ?))

Notes des éditeurs

Note 1 - Ce parcours diversifié a bénéficié d'une dotation en heures supplémentaires intégrées à l'emploi du temps (pour les élèves comme pour le professeur).

Note 2 - Cette forme est un "QUADRIMINO", c'est à dire un morceau de damier formé de 4 cases. Collège Molière, 68 rue Molière, 94200 Ivry sur Seine
année scolaire 1997-1998.

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