On remarque que pour 1 droite le plan est divisé en 2 zones. Pour 2 droites on a 3 zones et pour 3 droites on a 4 zones.
Par Nordine AZAIZ, Damien HECQUET, David PELLETIER, Nadège RHIEL élèves de Première S du Lycée d'Altitude de Briançon
Enseignant : Hubert PROAL
Chercheur :
On veut savoir en combien de zones (z), n droites partagent le plan.
1. Cas où les droites sont parallèles
|
On remarque que pour 1 droite le plan est divisé en 2 zones. Pour 2 droites on a 3 zones et pour 3 droites on a 4 zones. |
|
On peut conjecturer le résultat suivant : n droites partagent le plan en n+1 zones.
Procédons par récurrence pour démontrer cette conjecture.
On remarque qu'une nouvelle droite partage une zone déjà existante en deux; elle ajoute une zone.
On suppose que n droites partagent le plan en n+1 zones et si on ajoute une droite on ajoute une zone
n droites è n+1 zones
+1 droite è +1 zone
n+1 droites è (n+1)+1 zones, soit n+2 zones.
Par conséquent, la conjecture est vraie.
|
Théorème 1: Dans le cas de droites parallèles, n droites partagent le plan en n+1 zones |
2. Cas où les n droites sont concourantes.
|
On remarque que lorsque l'on a une droite, le plan est divisé en deux zones. Pour deux droites on a quatre zones, pour trois droites on a six zones, et pour quatre droites on a huit zones. |
 |
On peut conjecturer : n droites partagent le plan en 2n zones.
Procédons par récurrence pour le démontrer.
Pour une droite on a deux zones, soit 2 fois 1.
On admet ce résultat jusqu'au rang n. Démontrons que ceci est encore vrai pour n+1 droites.
|
 |
On remarque qu'une nouvelle droite partage deux zones déjà existantes en deux; elle ajoute ainsi deux nouvelles zones. |
n droites è 2n zones
+1 droite è +2 zones
n+1 droites è 2n+2 zones, soit 2(n+1)
Par conséquent, le résultat est vrai pour tout n.
|
Théorème 2 : n droites concourantes partagent le plan en 2n zones |
3. Cas où les droites ne sont ni concourantes ni parallèles.
|
 |
|
|
On remarque que si l'on additionne les nombres de chaque ligne des 2 premières colonnes on obtient une troisième colonne notée Si qui contient la suite des sommes des premiers nombres entiers. Par exemple 0+1=1, 1+2=3, 2+4=6, 3+7=10, ...
1, 3, 6, 10, ... est la suite des sommes des n premiers nombres entiers.
On note Si la somme des i premiers entiers avec i>1
On a alors: Sn=1+2+3+4+ .............+n
Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ......+1
2Sn=n+1+n+1+n+1+ ...........+n+1 ( soit n fois (n+1))
Sn=
avec n>1.
|
|
|
|
|
|
+1
|
|
|
|
|
Ce dernier résultat ne s'applique
que pour z défini par +1 n étant un entier naturel.
Démonstration de cette formule:
Nous procéderons par récurrence.
Pour n=1, nous avons 
=
2 zones.
Nous admettons le résultat jusqu'à un rang n.
Lorsque l'on ajoute une droite, celle-ci coupe chacune des autres droites existantes, elle ajoute n+1 zones.
n droites è
+1 droite è +(n+1) zones
n+1 droites è
Le résultat est donc vrai pour tout n.
|
Théorème 3 : Dans le cas de droites ni parallèles , ni concourantes, pour n droites +1 zones
|
4. Autres cas.
Nous considérons ici p droites parallèles et c droites concourantes en un seul point.
Expérimentalement, on obtient le tableau ci-dessous:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
On peut conjecturer à partir de ce tableau la formule suivante: z=c(p+1)
Nous n'avons pas poursuivi nos recherches et ce dernier résultat n'est pas démontré. De plus, d'autres cas tels que des droites parallèles et concourantes en plusieurs points n'ont pas été traités.
Remarque: Parcontre nous avons cherché à élargir notre étude en posant le problème dans l'espace: en combien de zones (z), p plans coupent-ils l'espace ?
Nous avons abordé le sujet mais nous nous sommes vite rendus compte que les différents cas étaient délicats à traiter dans la mesure où chaque cas était subdivisé en plusieurs cas ...