Catalan (nombres de -)

On peut montrer que, pour tout entier naturel positif n, le coefficient binomial = (sur l 'axe de symétrie du triangle de Pascal) est multiple de n+1. Le quotient est appellé le  n-ième nombre de Catalan.

Les 10 premiers nombres de Catalan : 1,  2,  5,  14,  42,  132,  429,  1 430,  4 862, 16 796

On a :

Diverses interprétations remarquables des nombres de Catalan sont connues. En voici trois :

• est le nombre de "triangulations" différentes d'un polygone convexe à  n+2 sommets numérotés, c'est à dire le nombre de partages possibles d'un tel polygone en n triangles avec n-1 de ses diagonales.
• compte le nombre de "montagnes" formées avec n "montées" et n "descentes"
  ( une telle montagne peut être définie précisément comme une écriture du nombre 0 sous la forme d'une somme de 2n nombres égaux à +1 (les montées) ou à -1 (les descentes) qui jouit des propriétés suivantes :
  (1) Il y a n fois +1 et n fois -1 dans la somme.
  (2) pour chaque entier k compris entre 1 et 2n, la somme partielle des k premiers termes, n'est jamais négative,
• représente aussi le nombre de permutations a₁,a₂,...,a_n des entiers 1,...,n ne comportant jamais plus de deux termes rangés par ordre croissant : on n'a jamais  a_i< a_j<a_k pour des indices i, j, k tels que  i< j< k . (voir a ce propos l'article Marcel et ses wagons, Comptes Rendus MATh.enJEANS n° 00-05, où les nombres de Catalan apparaissent dans un triangle analogue au triangle de Pascal )

coefficient binomial, triangle de Pascal.

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