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2I- Passage du plan à la sphère :
Afin de comparer la géométrie sphérique à la géométrie plane, on va tenter d’établir des correspondances entre les deux; on va en quelque sorte "traduire" les objets de base du plan, sachant que ce dernier correspondra à la surface de la sphère. On note d’ailleurs déjà une différence fondamentale : contrairement au plan, la surface de la sphère n’est pas infinie. Voyons donc les conséquences de ce phénoméne.
Le point est la seule figure qui ne change pas ; il ne subit pas la courbure de la sphère.
La droite: (dessin 1)
Les points C et O sont situés à l’infini (en effet, toutes les droites perpendiculaires à la droite (AB) convergent vers C et O ). Les points A et B sont situés à l’infini sur la droite (AB).
Faisons subir une déformation à (AB), un peu comme si on la "tordait" de maniére à obtenir un cercle C. Le point à l’infini O devient le centre du cercle C . Les perpendiculaires au cercle C convergent en ce point. Elles convergent aussi toutes vers le point à l’infini C : le point C est donc devenu un cercle de rayon infini et de centre O.
Sur une sphère de centre O, une droite est donc un cercle de centre O ; on l'appelle géodésique. (dessin 2)
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Intersections :
Lorsque deux droites sont sécantes dans le plan , elles le sont en un seul point. En revanche, sur la sphère, deux géodésiques se coupent en deux points distincts diamétralement opposés (ce sont deux pôles).Ce phénoméne donne naissance à une nouvelle figure..
Le Diangle (ou Digone)
| Nous
savons donc que si dans le plan il n’existe qu’une seule droite
passant par deux points donnés, sur la sphère il y a une infinité de géodésiques
qui passent par deux points donnés, pourvu que ces deux points soient diamétralement
opposés (on peut se figurer les méridiens sécants aux pôles du globe terrestre).
L’existence du diangle est due à cette particularité.
Configuration : on considére deux géodésiques ; elles sont sécantes en deux points A et B diamétralement opposés (tels le pôle Sud et le pôle Nord ).Cette configuration fait apparaître quatre surfaces d’aires égales deux à deux, délimitées par des demi-géodésiques et les points A et B. Chacune de ces quatre figures est un digone AB. N.B.: Comme un quartier d’orange ............... dessin 3 |
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