Mathématique des Engrenages, Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-01

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On dispose désormais dune technique qui nous permet d'obtenir des rapports plus complexes que précédemment. Mais essayons de trouver une méthode qui nous permettrait d'obtenir ces rapports.

L'intitulé de mon sujet suggérait des roues ayant entre 15 et 50 dents.

Voyons quels résultats nous pouvons obtenir.

Fractionnement des rapports

Il s'agit de fractionner le rapport désiré sous la forme d'un produit de rapports réalisables avec nos engrenages.

1=
2=
3=
4=
5=
7=

...........

Les nombres-clés à réaliser sont les nombres premiers.

La technique de composition d'un rapport de réduction se décompose en 3 parties:

1-On considère le nombre premier que l'on veut réaliser par exemple 7

7 n'appartient pas à l'intervalle défini. Alors on le divise par un nombre proche de 7 de préférence inférieur à 7, on prend 6. Puis ensuite pour rattraper la division on re-multiplie par ce même nombre.

2-Ce rapport de 7/6 correspond à quelque chose de réel. Il s'agit du couple de roues d'engrenages composé d'une roue de 7 dents qui engrène avec une roue de 6 dents.

Seulement on ne possède pas ces 2 roues. On multiplie alors ce rapport par un nombre entier de telle façon que l'on retrouve des nombres de dents compris dans l'intervalle.

Cette opération inverse de simplification dune fraction nous amène à un rapport de réduction composé par une roue de 21 dents et une roue de 18 dents qui sont toutes les 2 comprises dans l'intervalle.

Nous avons vu que la division du nombre premier à obtenir devait se faire avec un entier proche de ce dernier. En effet plus les 2 nombres du rapport sont proches plus on aura de chances qu'ils soient compris en même temps dans l'intervalle lorsqu'on les multiplie. Par exemple pour réaliser 11, si on divise par 2 on aura dans un premier temps le rapport 11/2. Pour que ce rapport soit faisable il faut le multiplier par 8 (au moins ) pour que  " le se retrouve dans l'intervalle ". Mais alors sort de l'intervalle et le rapport est irréalisable.

Alors que si on divise 11 par 10 il suffit de multiplier ce rapport par 2 pour obtenir le rapportqui est réalisable.

3-Maintenant que le nombre premier est inclus dans un rapport réalisable, il ne reste plus qu'à multiplier ce rapport par le diviseur initial.

Ce diviseur doit être choisi plus petit que le nombre premier à réaliser, car il doit être lui aussi réalisable.

En effet il serait stupide d'introduire un nombre que l'on ne sait pas faire dans notre chaîne d'engrenages.

Pour 7 la solution consiste à diviser par 6 et à multiplier par 6, car 6 est proche de 7 et que 6 est réalisable ().

Ainsi pour 7 on obtient:

7=  

Le montage du rapport 7 est donc constitué:

-dune roue de 21 dent qui engrène avec une roue de 18 dents.

-dune roue de 45 dent qui engrène avec une roue de 15 dents.

-dune roue de 40 dent qui engrène avec une roue de 20 dents.

La méthode décrite est très efficace. Quels résultats pouvons nous obtenir?

Il existe 3 grands domaines dans cette étude.

Les nombres premiers qui se trouvent avant l'intervalle (ex. :5 ; 7 ; 11), ceux qui sont compris dans l'intervalle (ex. :17;29), et ceux qui se trouvent au dessus de l'intervalle (ex. : 53).

• Nous avons vu que l'on pouvait réaliser les nombres qui étaient avant l'intervalle.

  2=  40/20

  3=  45/15

Chacun de ces nombre est réalisables car ils a des multiples qui appartiennent à l'intervalle.(15, 20, ...) [plus exactement, ils sont le quotient de deux nombres de l'intervalle : voir l'énoncé précis d'une conjecture en fin d'article].

- Ceux qui sont dans l'intervalle ne posent pas de problèmes car ils existent de manière réelle dans l'intervalle : 17 existe sous la forme dune roue de 17 dents. En la combinant avec d'autres roues on arrive à faire ressortir le nombre 17.

- [...] Il semble que l'on ne puisse pas réaliser les nombres premiers supérieurs à l'intervalle., [...] car ils n'ont aucun lien avec les roues de l'intervalle [voir la conjecture 2 en fin d'article].

Exemple : Si on applique la méthode précédente à 53, on obtient . Mais le rapportest irréalisable. Il faudrait le simplifier mais il est irréductible.

Nous avons fait des rapports supérieurs à 1, alors comment faire pour obtenir des rapports inférieurs à 1?

Si on arrive à fabriquer un rapport supérieur à zéro, on arrive alors immédiatement à construire son inverse.

En effet donc

Il devient alors extrêmement simple de réaliser n'importe quel rapport (mis à part ceux contenant un nombre premier supérieur à l'intervalle [voir l'énoncé de la conjecture 3 en conclusion].

Par exemple si k=0,28 alors on écrit que.

On réalise la chaîne ayant un rapport de réduction de 28, puis celle ayant un rapport de 100 que l'on inverse. Il suffit ensuite d'assembler en série ces deux chaînes pour obtenir une chaîne ayant un rapport de réduction k=0,28.

On peut appliquer cette méthode pour n'importe quel rapport [voir l'énoncé plus précis de la conjecture 3 en conclusion].

Cas général

Dans le cas général on raisonnerait avec un intervalle du type [a ; b] où a et b sont les roues extrêmes.

Pour des raisons technologiques a ne peut pas être inférieur à une dizaine de dents.

Dans le cas général il semble que la technique décrite précédemment fonctionne tout à fait (conjecture) sitôt que l'intervalle nous permet de réaliser le rapport 2 qui est la base de la méthode de division puis de re-multiplication.

CONJECTURE 1 Avec des roues dentées dont les nombres de dents sont dans un intervalle donné [a ; b] avec b2a, on peut réaliser, pour tout nombre premier p inférieur ou égal à b, un système d'engrenages dont le rapport de réduction est p.

[Si cette conjecture est vraie, tout nombre entier b est alors un rapport réalisable par un système d'engrenages.]

Retour au premier appel de la conjecture 1

CONJECTURE 2 Avec des roues dentées dont les nombres de dents sont dans un intervalle donné, on ne peut réaliser aucun système d'engrenages dont le rapport de réduction serait un nombre premier supérieur aux nombres de cet intervalle.

Retour au premier appel de la conjecture 2

CONJECTURE 3 Avec des roues dentées dont les nombres de dents sont dans un intervalle donné [a ; b] avec b2a, on peut réaliser un système d'engrenages dont le rapport de réduction est une fraction irréductible n/d pourvu que tous les nombres premiers intervenant dans chacune des décompositions en facteur premiers des nombres n et d soient inférieurs ou égal à b.

Retour au premier appel de la conjecture 3

[Remarque des éditeurs - Une autre question soulevée par cette étude semble intéressante : pour un rapport réalisable donné, comment trouver le montage qui utilise le moins possible d'engrenages ?]

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