Comptes Rendus MATh.en.JEANS 01-04 

La période trouble
des inverses

par

Charlène DA SILVEIRA (1) , Mickaël DO NASCIMENTO (2), Philippe DO NASCIMENTO (2), Nicolas KINT (1), Florent MANSUY (2), Hicham OUASTI (1), Gaëlle RISEC (1) et Romain TRILLA (2)

(1) CM2, école primaire Jules Ferry, 77 Melun

(2) 6ème2 et 5ème2 du collège Frédéric Chopin, 77 Melun

 

Jumelage MATh.en.JEANS entre l'école Jules Ferry de Melun (77) et le collège Frédéric Chopin de Melun (77) (Atelier Scientifique et Action "Passion Recherche"), année scolaire 2000-01.
Enseignants : Josette PILLON (École primaire Jules Ferry, 77 Melun) et Marie-Claude GUIBÉ, Ludovic MOREAU, José RODRIGUES (Collège Frédéric Chopin, 77 Melun)
Chercheur : Pierre DUCHET (cnrs, Paris)


[ Article vérifié et commenté : les passages entre crochets sont des éditeurs ]
[ L'icone renvoie au Glossaire MATh.en.JEANS ,à un document ]

 

Contenu :

1. Le sujet initial
2. Le sujet étudié.
3. Les quotient exacts
4. Les multiples de 7
5. Les nombres premiers
Notes du chercheur


1. Le sujet initial (proposé par Olivier Bodini)

Regardons ensemble les nombres

1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7... [les inverses des entiers naturels]

Leur écriture décimale respective est

0.5,0.3333...,0.25,0.2,0.16666...,0.142857142857... .

Nous remarquons deux choses. Soit l'écriture décimale est finie comme pour 1/2,1/4,1/5, soit il semble qu'à partir d'un certain stade, il y a un groupe de chiffres qui se répète indéfiniment.

Nous appellerons motif un tel groupe de chiffres (minimum en taille). Par exemple, pour 1/3, c'est 3 ; pour 1/9, c'est 1 ; pour 1/7, c'est 142857 ! On appellera période de n le nombre de chiffres que contient le motif. Quand l'écriture de 1/n est finie, on dira que la longueur de n est 0. Voici le tableau des périodes des 19 premiers entiers strictement positifs :

Problème.

Existe-t-il des nombres de période 1999 ? Plus généralement étant donné un nombre N, peut-on trouver un nombre dont la période est ?

Peut-on caractériser (trouver des propriétés sur) les nombres de période 0 ? 1 ? 2 ? ...

Les nombres 7,17,19 ont des périodes de 6,16,18. Existe-t-il d'autres nombres N dont la période est N-1 ? En existe-t-il une infinité ? Comment les trouver ?

[Note des éditeurs : Ce sujet fut retenu par le LaboraToile Math.en.JEANS comme sujet 2000-2001 (voir l'énoncé Sujet LaboraToile 01C02). Les élèves ont en fait utilisé, pour leur recherche et leur article, une version préliminaire de l'énoncé où ce sont les mots "période" et "longueur" qui étaient utilisés au lieu, respectivement, de "motif" et de "période". Nous avons opté ici pour la nouvelle terminologie,"motif" et "période", par souci de cohérence et de conformité à l'usage mathématique le plus courant.]


2. Le sujet étudié

Nous avons étudié les nombres

1. Certains de ces nombres sont des décimaux.

C'est le cas de :

      ,  ,    ,    ,  ...

 

Définition 1

  • Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est une puissance de 10.

[les puissancesde 10 sont les nombres 1, 10, 100, 1000, 10 000, etc.]

  • Un nombre décimalest un nombre qui s'écrit sous la forme d'une fraction décimale.

 

Exemples :

    0,678 est un nombre décimal :

    1,82 est un nombre décimal :

    2 est un nombre décimal :     

      [et aussi 2 = 2/1, 1 étant une puissance de 10]

     

2. Les autres ne sont pas des décimaux.

Par exemple :


Pour ces nombres, nous avons remarqué qu'un groupe de chiffres se répète indéfiniment. [voir la note 1 du chercheur]

Définition 2 

  • On appelle motif [périodique ou simplement motif] de , le premier nombre non nul, le plus petit possible qui se répète indéfiniment. Il débutera par un chiffre non nul.

    [Pour le dire autrement : parmi les groupes de chiffres qui se répètent indéfiniment dans l'écriture décimale de 1/n, on s'intéresse à ceux qui ne commencent pas par 0 et qui sont le plus court possible ; le motif est alors celui qui apparaît le plus tôt dans l'écriture décimale de 1/n .]

 

Par exemple :

On remarque que 45 se répète indéfiniment ainsi que 4545 ou encore 454545 ou 54. Le plus petit [court] de ces nombres [et le premier à apparaître] est 45 donc le motif de sera 45.

Définition 3 

On appellera la période de  le nombre de chiffres du motif. Si est un décimal, nous dirons que son motif est nul [vide] et que sa période est 0.

 

 

 

Par exemple :

 : son motif est 3 et sa période est 1.

 : son motif est 270 et sa période est 3.

 : sa période est 0.

[Note des éditeurs : les élèves ont travaillé au papier-crayon durant quatre semaines avant de pouvoir bénéficier d'une liste des développements décimaux des 100 premiers inverses, établie par l'un des professeurs, Ludovic Moreau ; suivant le conseil du chercheur et des professeurs les élèves ont néanmoins poursuivi une partie de leurs calculs à la main]


3. Les quotients exacts

Nous nous sommes intéressés aux nombres qui sont des décimaux

[Dans ces cas, la division de 1 par n tombe juste au bout d'un nombre fini d'étapes, d'où l'appellation "quotient exact" donnée ici à ces nombres ; en fait les mathématiciens appellent plutôt quotient exact de deux nombres entiers A et B, le nombre rationnel représenté par la fraction A/B, que son écriture décimale soit finie ou infinie ; à ce sujet, voir "La division euclidienne et les fractions"]

Parmi les 200 premiers inverses, nous en avons trouvé 19 (voir le tableauLes inverses décimaux)

Nous avons décomposé les nombres n en produit de facteurspremiers.

[Tout nombre entier plus grand que 1 se décompose de manière unique comme produit de nombres premiers, c'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Voir la note 2 du chercheur]

Nous avons remarqué qu'ils s'écrivaient sous forme de produit de puissances de 2 et [de puissances] de 5.

Ceci nous a permis d'écrire les conjectures suivantes :

Conjecture 1

Si est un décimal alors n est un produit
de puissances de 2 et de puissances de 5.

    p fois                          q fois  

[autrement dit, n est de la forme

, p et q désignant deux nombres entiers.]

Conjecture 2

Si n est un produit de puissances de 2 et de puissances de 5, alors est un décimal.


4. Les multiples de 7

Après avoir fait de nombreuses divisions et portés nos résultats dans un tableauLes inverses décimaux, nous avons observé que les multiples de 7 présentaient des caractéristiques remarquables.

Nous avons donc étudié les nombres n est un multiple non nul de 7.

Par exemple , , , ...

[Au vu] de cette étude, nous avons émis plusieurs hypothèses :

Conjectures 3

(a) Si n est un multiple non nul de 7 alors sa période est un multiple non nul de 6.

(b) Si n = 7 x 2p x 5q (où p et q sont des entiers), alors sa période est 6 et son motif est 142857, à une permutation circulaire près. [voir note 3.]

(c) Plus précisément, si n = 7 x 2p alors son motif est 142857 à p permutations circulaires [élémentaires] près .
[Autrement dit, le motif est obtenu à partir de 142857 par la permutation circulaire qui décale le premier chiffre d'exactement p rangs (voir note 4).]

 

Exemples :

pour    n = 7 x 20 , son motif est  142857 ,

si = 7 x 21 , son motif est  714285 ,

si = 7 x 23 , son motif est  857142 ,

si = 7 x 25, son motif est  428571 .

 

[Dans la table des inverses des multiples de 7Les inverses décimaux], les motifs de la même couleur (sauf les noirs) sont des motifs où l'on retrouve les mêmes chiffres à un certain nombre de permutations circulaires [élémentaires] près.

[Commentaire du chercheur : le nombre 142857 a des propriétés remarquables, peut-être en relation étroite avec les conjectures 3 ci-dessus : voir note 5]


5. Les nombres premiers

Nous nous sommes intéressés aux nombres p est un nombre premier (sauf 2 et 5) inférieur à 100. Il y a donc 25 nombres premiers [à examiner].

Un critère de classement suivant la période a pu être établi pour certains.

Certains ont une période
égale
à p-1
[voir note 6]

D'autres ont une période
égale à (
p-1)/2

Période égale à p-1

6

16

18

22

28

46

58

60

96

Période égale à
(p-1)/2

p

1

2 + 1 = 3

6

2 + 1 = 7

15

15 2 + 1 = 31

21

21 2 + 1 = 43

33

33 2 + 1 = 67

35

35 2 + 1 = 71

41

41 2 + 1 = 83

44

44 2 + 1 = 89

Nous n'avons pas réussi à caractériser la période des autres nombres premiers inférieurs à 100.

____________

 

[ Consultez la

" Table des 100 premières décimales des inverses des 100 premiers entiers "  

pour avoir des détails qui pourraient vous inspirer et permettre d'autres progrès sur ce sujet. ]

période

2

3

5

13

8

13

______________________________

Notes et commentaires du chercheur

1. Lorsque que l'on divise un nombre entier p par un autre, q, soit la division s'arrête (le nombre p/q est un nombre décimal), soit au bout d'un certain temps, un groupe de chiffre apparaît qui se répète indéfiniment dans le quotient. Ce phénomène de périodicité des développements décimaux des nombres rationnels a d'abord été constaté par tous ceux qui effectuaient les calculs à la main, avant de se révéler comme logiquement forcé (au moins dans le cas p=1). La raison donné par les jeunes chercheurs est que l'on finit toujours par retomber sur un reste partiel déjà obtenu auparavant. Pour des explications plus détaillées, voir "La division euclidienne et les fractions" .

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2. Fréquemment un même groupe de chiffre apparaît périodiquement dans les développement de 1/n et de 1/m lorsque m est un multiple de n. Cela a conduit les enfants à s'intéresser aux nombres sans diviseurs propres (les nombres premiers) puis a considérer les diviseurs premiers d'un nombre entier. Les professeurs leur ont alors fourni le théorème de décomposition des nombres entiers en facteurs premiers (existence et unicité).

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3. On doit considérer les chiffres 142857 comme s'ils étaient placés circulairement autour d'un cadran d'horloge : après le chiffre 7, il y a le chiffre 1. Les permutations circulaires conservent la succession des chiffres sur le cadran.

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4. Les élèves avaient simulé ce qui se passe en utilisant Cabri-Géomètre® : les chiffres 142857 sont placés circulairement sur un cadran d'horloge . Le chiffre vers lequel pointe l'aiguille est le premier du motif périodique. Un décalage de 1 rang ("élémentaire"), fait progresser l'aiguille de 1 cran, ce qui fait qu'un bout de 6 décalages, l'aiguille est revenue à sa position de départ. En appelant r le reste de la division de p par 6, on voit qu'un décalage de p crans a le même effet qu'un décalage de r crans : on dit que le décalage est compté modulo 6 , c'est à dire aux multiples de 6 près.

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5. Le nombre 142857 est un exemple de "nombre permutable" : 142857, 428571, 285714, 857142, 571428, 714285 sont des multiples de 142857 c'est le point de départ d'un article d'un jumelage MATh.en.JEANS : 142857 : nombres permutables " (lycée La Fontaine, Paris), Actes MATh.en.JEANS, 1994, pp.181-198 [ en version pdf 172 Ko]. Les auteurs remarquent que les diviseurs des nombres de la forme 10n-1 sont permutables (les preuves données utilisent les calculs modulo n dans l'anneau Z/nZ, anneau qui est présenté en annexe).

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6. La suite des nombres premiers p de période p-1 est encore mal connue. Elle est répertoriée dans le catalogue de Sloane On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sous le n° A001913. (on y trouvera des informations récentes, savantes et en anglais).

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