Comptes Rendus MATh.en.JEANS 03-03


 

Le découpage de la France

par

Clément BARBIER et Damien GRANGIRARD
du collège Gérard Philipe (Cergy-Pontoise, 95)

Enseignants : Martine BARGOIN, Mariette DONNET, Cyril FOUQUET (Clg. Gérard Philippe) ; Sylvie BOUTHORS (Clg. des explorateurs).

Chercheur : Hervé PAJOT (Univ. de CERGY-PONTOISE).

Jumelage MATh.en.JEANS entre le collège Gérard Philipe et le collège des explorateurs (95 - Cergy Pontoise). Ateliers de Pratique Scientifique, année scolaire 2002-2003.


[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]
[ L'icone renvoie au
Glossaire MATh.en.JEANS , à un document ]

Sujet (note 1)

En 2050, le ministre de l'intérieur décide de faire un découpage de la France en départements. Pour simplifier son travail, il assimile la France à un hexagone régulier, chaque département doit avoir la forme d'un triangle, et il n'utilise que des diagonales pour faire le découpage . Pouvez-vous l'aider ? (note 2)

 

Nous avons commencé par étudier le carré, le pentagone [régulier] puis l'hexagone [régulier] car la France peut être considérée comme telle.

[Nous examinons tous les cas, suivant le nombre et la disposition des diagonales.

Nous ne retenons une figure comme découpage possible que si elle est solution de notre problème, c'est à dire si toutes les régions formées sont des triangles. Les triangles des figures-solutions sont colorés].

 

Carré

Il y a 2 possibilités avec 1 diagonale et 1 possibilité avec 2 diagonales.

 

Pentagone

Avec 1 diagonale : c'est impossible car il restera toujours une figure [= une région] à 4 cotés

avec 2 diagonales :

- issues du même sommet.

[voir note 3]

 

- issues de sommets différents [soit cela est impossible, soit on] revient au cas précédent.

avec 3 diagonales :

- 2 diagonales issues d'un même sommet et la 3éme diagonale d'un sommet consécutif [note 4].

Le résultat est impossible quand la deuxième extrémité atteint un sommet consécutif au premier.

 

Mais est possible dans l'autre cas.


[voir
note 5]

avec 4 diagonales :

- issues de 2 sommets consécutifs, c'est impossible

[- il n'y a pas d'autre cas à considérer.]

Hexagone

[Nous appliquons la même méthode (détail en annexe).]

Voici le résultat de nos recherches. Nous avons classé les solutions par nombre de départements.

 

4 départements :



[3 autres solutions s'en déduisent par réflexion ; deux solutions supplémentaires existent(
note 6)]

6 départements :


[6 autres solutions se déduisent de celles-ci par réflexion]

 

8 départements


10 départements


12 départements


Notes des éditeurs

1. Quatre sujets au choix avaient été soumis aux ateliers de recherche (voir tous les sujets)

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2. [Note du chercheur] Ce problème (dans le cas général d'un polygone convexe) a été posé en 1751 par le très grand mathématicien suisse Leonard Euler (1707-1783) au mathématicien allemand Christian Goldbach.

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3. Cette figure donne lieu à 5 solutions différentes, suivant le choix du sommet initial.

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4. Numérotons les sommets dans le sens des aiguilles d'une montre. Les auteurs fixent d'abord les diagonales 13 et 14 et tracent une troisième diagonale issue de 2, sommet conécutif à 1.

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5. Cette figure donne lieu à 5 solutions différentes, suivant le sommet initial choisi, auxquelles il convient de rajouter les 5 solutions qui s'en déduisent par réflexion (symétrie axiale).

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6. Voici deux solutions supplémentaires, oubliées par les auteurs :

.

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MOTS CLEFS

ERDÖS TRIANGLE ISOCÈLE RAMSEY CONFIGURATION DE POINTS PLAN EULER GOLDBACH


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