Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Ventilateurs
Faculté des Sciences d'Orsay 2026-2027Pour réduire ses coûts, le fabricant de ventilateurs MATh.en.LAIR expérimente des appareils avec pales manquantes, comme ceux de la figure ci-dessous.
Attention, le centre de gravité des pales restantes doit toujours se trouver sur l'axe de rotation.
MATh.en.LAIR aimerait disposer d'un procédé systématique qui donne toutes les solutions possibles. Par exemple, le ventilateur de gauche sur la figure est la superposition de trois polygones réguliers. Est-ce que toute solution est une superposition de polygones réguliers ? Est-ce que cela dépend du nombre initial de pales ?
Attention, le centre de gravité des pales restantes doit toujours se trouver sur l'axe de rotation.
MATh.en.LAIR aimerait disposer d'un procédé systématique qui donne toutes les solutions possibles. Par exemple, le ventilateur de gauche sur la figure est la superposition de trois polygones réguliers. Est-ce que toute solution est une superposition de polygones réguliers ? Est-ce que cela dépend du nombre initial de pales ?
Augmentation de salaire
Faculté des Sciences d'Orsay 2026-2027Le fabricant de jeans MATHEN s'est longtemps satisfait d'une règle d'augmention des salaires très simple, où chaque employé progresse à l'ancienneté : sa rémunération augmente d'un taux annuel constant, le même pour tout le monde, au cours de sa carrière qui dure 40 ans. Mais voilà, l'entreprise n'arrive plus à embaucher de jeunes, car les perspectives d'augmentation qu'elle offre en début de carrière ne sont pas suffisamment attractives. Elle cherche donc à évoluer progressivement vers un autre mécanisme d'augmentation (vu comme une fonction sur l'intervalle [0,40]), pour offrir des progressions plus fortes en début de carrière.
Toutefois, elle se fixe comme objectifs :
- de ne jamais diminuer un salaire ;
- de garantir à chaque employé que le montant cumulé qu'il touchera sur l'ensemble de sa carrière ne sera pas modifié dans la nouvelle grille ;
- de limiter autant que possible l'augmentation de la masse… voir la suite
Toutefois, elle se fixe comme objectifs :
- de ne jamais diminuer un salaire ;
- de garantir à chaque employé que le montant cumulé qu'il touchera sur l'ensemble de sa carrière ne sera pas modifié dans la nouvelle grille ;
- de limiter autant que possible l'augmentation de la masse… voir la suite
Le toboggan de Villecercle
Faculté des Sciences d'Orsay 2026-2027La municipalité de Villecercle s'est fait livrer un toboggan pour le square Poincarré. Ce toboggan est doublement défectueux :
- il se termine par une pente assez forte, alors qu'idéalement, sa pente à l'arrivée devrait être nulle ;
- il est trop court ; il doit enjamber un bassin, ce qui impose les positions de ses deux extrémités.
Le maire de Villecercle demande aux services municipaux de compléter le toboggan par une tôle en forme d'arc de cercle. Le service technique est embarrassé, car aucun arc de cercle ne permet de relier l'extrémité A du toboggan livré au point d'arrivée souhaité B avec pente nulle, tout en garantissant une tangence en A qui évite de déchirer les fonds de culotte. Les techniciens réfléchissent à une solution à deux arcs de cercles (voir figure). Vont-ils trouver où placer le point C ? Généralisations ?
- il se termine par une pente assez forte, alors qu'idéalement, sa pente à l'arrivée devrait être nulle ;
- il est trop court ; il doit enjamber un bassin, ce qui impose les positions de ses deux extrémités.
Le maire de Villecercle demande aux services municipaux de compléter le toboggan par une tôle en forme d'arc de cercle. Le service technique est embarrassé, car aucun arc de cercle ne permet de relier l'extrémité A du toboggan livré au point d'arrivée souhaité B avec pente nulle, tout en garantissant une tangence en A qui évite de déchirer les fonds de culotte. Les techniciens réfléchissent à une solution à deux arcs de cercles (voir figure). Vont-ils trouver où placer le point C ? Généralisations ?
La salle de bains du prince Kébo
Faculté des Sciences d'Orsay 2026-2027Le prince Kébo possède une très grande salle de bains qu'il souhaite carreler au moyen d'une mosaïque de petits carreaux rectangulaires de couleurs différentes. La gamme de couleurs du fabricant est numérotée par des entiers relatifs. Le prince a choisi la règle suivante : chaque fois que 4 carreaux forment un carré 2x2, les entiers relatifs a,b,c,d qu'ils portent doivent satisfaire ad-bc=1.
Existe-t-il des solutions qui couvrent une grille infinie ? Combien y en a-t-il ? Sont-elles toutes périodiques ? Existe-t-il des solutions positives ? Est-ce que des variantes de la règle du prince conduisent aussi à des solutions intéressantes ?
Existe-t-il des solutions qui couvrent une grille infinie ? Combien y en a-t-il ? Sont-elles toutes périodiques ? Existe-t-il des solutions positives ? Est-ce que des variantes de la règle du prince conduisent aussi à des solutions intéressantes ?