Liste des sujets
Liste des sujets
Le but est de déterminer s'il est possible de vider une banque, matérialisée par un carré de 2x2, en enlevant 1 pièce à la fois et où chaque retrait génère 2 nouvelles pièces, dans une configuration définie.
Jeu dans lequel on cherche à mettre le moins de disques possible dans un espace défini, représenté par un rectangle.
Sur un segment de taille [−10 ;10], on fait apparaître ou non une sardine sur chaque abscisse entière, à l'aide d'un tirage aléatoire. Un marlin commence à l’origine de ce segment et se dirige toujours vers la sardine la plus proche, mais il ne voit que les sardines qui sont situées à une distance de moins de 7 (inclus) de sa position. Le marlin pourra t'il manger toutes les sardines ?
Si on prend un jeu de cartes rangées et qu’on le mélange, en moyenne, combien de cartes vont rester à leur place ?
Un voyageur décide de visiter toutes les villes sur une liste. Il se demande s’il existe un plus court trajet pour y arriver.
Peut-on écrire tous les nombres rationnels sous forme de somme de fractions égyptiennes (numérateur valant 1) ?
Comment transformer un nombre rationnel compris entre 0 et 1 en somme de fractions égyptiennes ?
Comment transformer un nombre rationnel compris entre 0 et 1 en somme de fractions égyptiennes ?
On cherche à déterminer les propriétés de la somme et du produit de trois entiers consécutifs.
Recherche du nombre de trous nécessaires pour retrouver un trésor sur une île, trésor situé à égale distance de deux arbres et de la côte.
Déterminer dans une montante descendante aux échecs, le nombre d'étapes nécessaires pour que le niveau des joueurs soit reflété par leur place.
Déterminer le nombre nécessaire de balles pour un tournoi avec ou sans repêchage aléatoire.
Déterminer l'ensemble des chemins d'un point du bord d'une région à tous les autres points de la région en suivant des règles de déplacement sur un pavage hexagonal colorié en noir et blanc.
Déterminer, à l'intérieur d'un triangle, la trajectoire de fusées qui réajustent leurs visées au bout d'un certain temps.
Un avion consomme pour simplifier une quantité constante de litres de carburant par kilomètre. Son réservoir est de taille fixée. Il est accompagné d'un groupe d'avions identiques qui servent à le ravitailler. Les avions dont le réservoir est vide abandonnent le groupe et atterrissent. On veut une stratégie pour aller le plus loin possible avec un nombre d'avions n fixé.
Quel est le plus grand entier s'écrivant avec des sommes et produits de N chiffres 1 ? De combien de façons peut-il être obtenu ? Que dire si l'on remplace 1 par 2,3,. . . ?
On place des cartes noires et blanches pour remplir une grille rectangulaire. À chaque tour de jeu, on retire une carte blanche, et seulement une carte blanche. Cela a pour effet de faire changer de couleur les cartes voisines. Est-il possible de retirer tous les cartes de la grille?
Nicolas laisse malencontreusement tomber un poids de 40 kg et celui-ci se brise en 4 morceaux. Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos. En utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg. Quelle est la masse de chaque morceau ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
Quelle est la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts inférieurs à 2023 ? Et le plus petit entier n tel qu'on puisse trouver des entiers
distincts, inférieurs à n dont le produit est égal à un gogol, ou à un gogolplex ?
distincts, inférieurs à n dont le produit est égal à un gogol, ou à un gogolplex ?
1 seul élève présent au congrès
Prenez un nombre à au moins deux chiffres au hasard, et multipliez ses chiffres. Si le nombre obtenu a encore au moins deux chiffres, répétez l'opération ; et ainsi de suite ... Observez les résultats obtenus.
Reprenez au début, mais cette fois en additionnant les chiffres au lieu de les multiplier.
Reprenez au début, mais cette fois en additionnant les chiffres au lieu de les multiplier.
Un ascenseur est modélisé par un élément mobile qui peut contenir des personnes. A l’intérieur de l’ascenseur se trouve un panneau de commandes sur lequel on peut appuyer pour indiquer qu’on désire se rendre à un étage particulier. A chaque étage il existe un (ou deux : monter/descendre) boutons permettant d’appeler l’ascenseur. Il ne s’agit pas du tout de modéliser le fonctionnement mécanique de l’ascenseur, mais de proposer un algorithme/protocole permettant de le faire fonctionner en considérant des scenarii d’arrivée de personnes qui ont chacune un objectif : arriver à l’étage qui les…
Le jeu se joue sur un damier 9 × 9 (les cases et côtés jouent différents rôles), et se joue avec 2 joueurs. Chaque joueur dispose d’un pion et de 10 murs.
But du jeu : chaque joueur part de son côté, case centrale. Le but du jeu est de traverser en premier le damier (en arrivant sur n’importe quelle case de l’autre côté du damier).
Règle du jeu : un pion peut avancer d’une case selon les 4 directions cardinales (pas de diagonales), il peut sauter au dessus du pion adverse, mais ne peut pas traverser les murs. A son tour, chaque joueur peut :
- Soit faire bouger son pion…
But du jeu : chaque joueur part de son côté, case centrale. Le but du jeu est de traverser en premier le damier (en arrivant sur n’importe quelle case de l’autre côté du damier).
Règle du jeu : un pion peut avancer d’une case selon les 4 directions cardinales (pas de diagonales), il peut sauter au dessus du pion adverse, mais ne peut pas traverser les murs. A son tour, chaque joueur peut :
- Soit faire bouger son pion…
Le jeu se joue sur un damier 4 × 4, et se joue avec 2 joueurs. Chaque joueur dispose de 2 pions de 4 formes différents (cube, sphère, cône, cylindre)
But du jeu : le joueur gagnant est le premier joueur à poser la 4e pièce formant une ligne, une colonne ou un quartier avec 4 formes différentes.
Règle du jeu : la seule règle est qu’un joueur ne peut pas poser une forme sur une ligne, colonne ou quartier où le joueur adverse a déjà posé cette forme (en revanche le joueur peut tout à fait poser une forme qu’il a déjà posée). Si jamais un joueur ne peut pas jouer (rare) il perd.…
But du jeu : le joueur gagnant est le premier joueur à poser la 4e pièce formant une ligne, une colonne ou un quartier avec 4 formes différentes.
Règle du jeu : la seule règle est qu’un joueur ne peut pas poser une forme sur une ligne, colonne ou quartier où le joueur adverse a déjà posé cette forme (en revanche le joueur peut tout à fait poser une forme qu’il a déjà posée). Si jamais un joueur ne peut pas jouer (rare) il perd.…
Peut-on transformer une grille en la faisant passer de toute noire à toute blanche ? Pour cela, nous pouvons agir sur les cases de la grille : chaque case activée change l'état (noir/blanc) des cases voisines, et uniquement celles-là.
L'ambassadeur de Mathlandia a invité un grand groupe de personnes. Les personnes sont assises autour d'une table ronde et l'ambassadeur propose de trinquer. Mais il faut respecter les règles de l'ambassade.
Comment trinquer efficacement ? Combien faut-il de tours au minimum pour terminer ? Quelle est la procédure
Comment trinquer efficacement ? Combien faut-il de tours au minimum pour terminer ? Quelle est la procédure
On dispose d'une boucle de corde d'un mètre de long.
Quelle est la forme qui enclot la plus grande surface ?
Quelle est la forme qui enclot la plus grande surface ?
Le réseau de métro de Métropolis est constitué de lignes concentriques numérotées de 1 à n, de l'intérieur vers l'extérieur, et situées à des rayons r1,...rn autour de la station centrale ainsi que de lignes radiales numérotées avec des lettres. Les métros se déplacent à une vitesse donnée v, identique pour tous et si un utilisateur veut changer de ligne à une station, il perd un temps noté tc qui est le même partout. Comment conseiller un utilisateur pour avoir le chemin le plus rapide entre deux stations ?
Un élastique est fixé par un bout à un mur tandis que l'autre extrémité est collée à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, cela produit deux effets: toute partie de l'élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus. La partie de l'élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s'étire. On constate que quand le disque fait un tour complet sur lui-même, 90% de la longueur initiale a été collée au disque. Si la longueur initiale de l'élastique est 1, quel est le rayon du disque ?
Ma voiture n'aime pas les coups d'accélérateur ou les coups de freins trop brusques. Je ne dois pas lui imposer un profil de vitesse qui a la forme d'un créneau. Elle préfère un profil donné par une fraction rationnelle. Peut-on trouver des fractions rationnelles qui approchent le créneau de très près ?
Je conduis une voiture électrique. Quand je lève le pied de l'accélérateur, elle ralentit à l'aide du frein moteur, qui recharge un peu la batterie. On me recommande d'éviter d'utiliser la pédale de frein, moins économe en énergie.
J'approche d'une balise STOP. À quelle distance du STOP dois-je lever le pied ?
J'approche d'un feu. Il est au rouge. Je sais quand il va passer au vert. À quel moment dois-je lever le pied pour passer le feu au vert avec la vitesse la plus élevée possible ?
Je roule le long d'une rue interrompue par…
J'approche d'une balise STOP. À quelle distance du STOP dois-je lever le pied ?
J'approche d'un feu. Il est au rouge. Je sais quand il va passer au vert. À quel moment dois-je lever le pied pour passer le feu au vert avec la vitesse la plus élevée possible ?
Je roule le long d'une rue interrompue par…
On considère un quadrillage 10 ×10. Si on trace une droite, on colorie les cases qui sont coupées par la droite.
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Dans ce sujet, on cherche à écrire n'importe quel nombre uniquement avec des 1. On a le droit de faire des additions et des multiplications. Beaucoup de questions très différentes se posent. En voici deux :
(1) Si on n'a qu'un nombre imité de 1, quel est le nombre le plus grand qu'on peut obtenir ? Par exemple avec dix 1, quel est le plus grand nombre que vous pouvez obtenir ?
(2) Evidemment on peut écrire tous les nombres, mais de combien de façons possibles ? Par exemple, combien de possibilités a-t'on pour écrire 15 ?
(1) Si on n'a qu'un nombre imité de 1, quel est le nombre le plus grand qu'on peut obtenir ? Par exemple avec dix 1, quel est le plus grand nombre que vous pouvez obtenir ?
(2) Evidemment on peut écrire tous les nombres, mais de combien de façons possibles ? Par exemple, combien de possibilités a-t'on pour écrire 15 ?
Comment placer le maximum de points sur une grille sans que trois d'entre eux ne soient alignés ?
Nous jouons à un jeu. Le plateau est une bande quadrillée, de un carreau de large, aussi longue que l'on veut, constituée d'un puits sur un côté: autrement dit la bande s'arrête sur un des bords. On place un certains nombre de pions sur cette bande, espacés ou non. A tour de rôle on doit faire avancer un pion vers le puits d'autant de cases que l'on veut sans jamais passer par dessus un autre pion. Le•la gagnant•e est celui•celle qui met le dernier pion dans le puits. Y a-t-il une technique gagnante à un tel jeu ? Si oui, dans quelles configurations de départ ?
On se donne une grille de points équidistants sur un plan. On trace sur cette grille un polygone dont les sommets sont des points de cette grille.
Est-il possible de calculer l’aire du polygone à partir du nombre de points de la grille qui sont à l’intérieur et sur le bord du polygone ?
Est-il possible de calculer l’aire du polygone à partir du nombre de points de la grille qui sont à l’intérieur et sur le bord du polygone ?
Un renard se promène dans son terrier qui comporte plusieurs trous. Chaque jour, il se déplace d'un trou à un trou adjacent. Chaque jour, on peut vérifier un trou. Trouver, si elle existe, une stratégie pour trouver le renard à coup sûr en un minimum de jours selon la configuration du terrier (modélisé par un graphe).
On considère un quadrillage de 3 × 3. Le jeu est composé de deux joueurs qui posent des pions tour à tour en suivant les deux règles suivantes :
1. A chaque tour les joueurs posent un, deux ou trois pions ;
2. Tout les pions doivent être posés sur la même ligne ou sur la même colonne.
Le joueur gagnant est celui qui termine le remplissage de la grille.
Est-ce qu’il existe une méthode pour gagner à coup sûr ?
1. A chaque tour les joueurs posent un, deux ou trois pions ;
2. Tout les pions doivent être posés sur la même ligne ou sur la même colonne.
Le joueur gagnant est celui qui termine le remplissage de la grille.
Est-ce qu’il existe une méthode pour gagner à coup sûr ?
On considère des grilles rectangulaires, dont certaines cases sont noircies et d’autre laissées vierges.
À l’aide de rayons verticaux et horizontaux on a accès au nombre de cases noires traversées.
Est-il possible de reconstruire l’image en n’ayant seulement accès à ces valeurs données par les rayons ?
À l’aide de rayons verticaux et horizontaux on a accès au nombre de cases noires traversées.
Est-il possible de reconstruire l’image en n’ayant seulement accès à ces valeurs données par les rayons ?
Si les deux prisonniers coopèrent, la sanction est la même pour les deux et est minimale, tandis qu'une trahison mutuelle coûte cher aux deux et qu'une trahison uniquement du prisonnier A coûtera très cher au prisonnier B et rien au prisonnier A.
Stratégie à établir lorsque l'on renouvèle le jeu à plusieurs reprises: est-il plus rentable de trahir ou non ?
Stratégie à établir lorsque l'on renouvèle le jeu à plusieurs reprises: est-il plus rentable de trahir ou non ?
Propagation dans une grille d'un phénomène épidémiologique type covid avec quelques différences: les malades ne guérissent pas et restent des zombies, et les zombies peuvent éventuellement tuer/se faire tuer.
Jouer au morpion sur une grille infinie : les stratégies gagnantes ou pour empêcher l'autre de gagner
Le jeu de la vie : créer des configurations n-périodiques pour tout n entier naturel, si c'est possible.
Nous allons présenter comment on peut créer un jeu de dobble et les règles à respecter pour y arriver.
Que se passe-t-il si l'on fait évoluer la règle du jeu?
Que se passe-t-il si l'on fait évoluer la règle du jeu?
Comment planter les arbres pour que la forêt soit suffisamment dense ? Parmi les configurations retenues, quelles sont celles qui permettront la croissance la plus bénéfique ?
Étant donnés deux nombres naturels n et k avec 1 ≤ k ≤ n, on souhaite colorier tous les nombres entiers entre 1 et n avec k couleurs différentes avec certaines conditions.
Plus précisément, on appelle coloriage additif de l’ensemble {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} (non nécessairement distincts) tous coloriés de la même couleur et tels que a + b = c.
Similairement, on appelle coloriage multiplicatif de {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} tous coloriés de la même couleur et…
Plus précisément, on appelle coloriage additif de l’ensemble {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} (non nécessairement distincts) tous coloriés de la même couleur et tels que a + b = c.
Similairement, on appelle coloriage multiplicatif de {1, . . . , n} un coloriage tel qu’il n’existe pas de nombres a, b, c ∈ {1, . . . , n} tous coloriés de la même couleur et…
Un conservateur de musée souhaite faire garder une pièce en forme de polygone par des gardiens qui seront postés à un endroit fixe dans la pièce (assis sur une chaise par exemple), mais avec la possibilité de pivoter sur eux-mêmes afin de regarder dans toutes les directions. Le conservateur souhaite que chaque recoin de la pièce soit dans la ligne de vision d’au moins un gardien pour que la pièce soit parfaitement surveillée. Cependant, pour des raisons de budget, il souhaite employer le plus petit nombre de gardiens possible.
On considère une boîte de forme hexagonale dans laquelle on souhaite ranger des calissons en forme de losanges.
L’objectif de ce problème est de déterminer, en fonction de la taille de la boîte ainsi que d’un ensemble de contraintes sur
l’intérieur de la boîte, s’il est possible de remplir la boîte de calissons, et si oui de dénombrer le nombre de remplissages
différents.
L’objectif de ce problème est de déterminer, en fonction de la taille de la boîte ainsi que d’un ensemble de contraintes sur
l’intérieur de la boîte, s’il est possible de remplir la boîte de calissons, et si oui de dénombrer le nombre de remplissages
différents.
Sur une grille en 2 dimensions délimitée par un carré, Euler tente d’échapper à un étrange serpent. A chaque tour, la tête du serpent (en jaune) peut se déplacer de 1 case ; le corps du serpent (en rouge) occupe toutes les cases par lesquelles la tête est passée ; quant à Euler (en bleu), il peut se déplacer de 1, 2 ou 3 cases, sans passer par dessus le serpent. Dans ce jeu à 2 joueurs au tour par tour, le but du serpent est d’attraper Euler, et celui d’Euler est de survivre le plus longtemps possible. Quelles sont des bonnes stratégies à ce jeu ?
On s’intéresse à un système de notation des jonglages. Une suite (u_n) d'entiers naturels est un jonglage valide si :
• Si u_n > 0, une balle est lancée à l’instant n, et elle sera réceptionnée et relancée à l’instant n + u_n.
• Si u_n = 0, aucune balle n’est lancée à l’instant n.
• A chaque instant n, au plus 1 balle est lancée.
Questions ouvertes :
• Comment déterminer si un jonglage est valide ou non ?
• Trouvez d’autres jonglages valides cycliques à 2 et 3 balles.
• Peut-on énumérer tous les jonglages à B balles de période K ?
• Si u_n > 0, une balle est lancée à l’instant n, et elle sera réceptionnée et relancée à l’instant n + u_n.
• Si u_n = 0, aucune balle n’est lancée à l’instant n.
• A chaque instant n, au plus 1 balle est lancée.
Questions ouvertes :
• Comment déterminer si un jonglage est valide ou non ?
• Trouvez d’autres jonglages valides cycliques à 2 et 3 balles.
• Peut-on énumérer tous les jonglages à B balles de période K ?
Au sol, on trace un cercle, sur lequel on place aléatoirement N piquets. On fait ensuite le tour des piquets à l’aide d’une corde. En serrant bien, cela donne un polygone à n côtés. En moyenne, quelle est l’aire du polygone que l’on obtient ?
Un triplet de nombres (a, b, c) est un triplet pythagoricien si a^2+b^2 = c^2. Par exemple (3, 4, 5) est le plus petit des triplets pythagoriciens parce que 3^2 + 4^2 = 5^2.
Tout comme on parle de nombre "carré" pour a^2, il existe des notions de nombres "triangle", "hexagone", etc.
Pour commencer, on se demandera si un nombre triangle peut se décomposer comme la somme de deux nombres triangle. Si oui, y-a-t-il une infinité de tels triplets ? Peut-on tous les trouver ?
Tout comme on parle de nombre "carré" pour a^2, il existe des notions de nombres "triangle", "hexagone", etc.
Pour commencer, on se demandera si un nombre triangle peut se décomposer comme la somme de deux nombres triangle. Si oui, y-a-t-il une infinité de tels triplets ? Peut-on tous les trouver ?
Trois joueurs s'affrontent au jeu suivant : l'arbitre lance deux dés à 10 faces et additionne les scores.
Le joueur A aura gagné si le total est 2, 5, 8, 11, ... Le joueur B aura gagné si c'est 3, 6, 9, 12, ... Le joueur C aura gagné dans les cas restants.
Le jeu est-il équitable ?
Le joueur A aura gagné si le total est 2, 5, 8, 11, ... Le joueur B aura gagné si c'est 3, 6, 9, 12, ... Le joueur C aura gagné dans les cas restants.
Le jeu est-il équitable ?
Partons à la découverte de différentes propriétés arithmétiques du triangle de Pascal : les crayons de couleur sont ici de mise!
Lors d'un long trajet en train, ma voisine me propose un jeu pour passer le temps : l’une après l’autre, chacune de nous choisit un nombre entre 1 et 12, puis l’ajoute à la somme des nombres choisis jusqu’alors. Celle d’entre nous qui atteint 145 devra offrir un café à l'autre. Sachant que je n'ai pas d'argent sur moi, j'accepte tout de même de jouer : comment faire pour éviter de m'endetter auprès d'une inconnue ?
Savoir qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est bien... Savoir déterminer s'il en existe dans une famille de nombres donnés, c'est bien plus intéressant!
Afin d'éviter un conflit planétaire entre gourmand·es, Paul et Cyprien doivent partager très équitablement des gâteaux variés selon des contraintes parfois étranges... Pouvez-vous les y aider ?
L’objectif est de construire le pont le plus long en kapla avec une seule arche et avec un seul kapla par niveau.
Vous êtes 3 ami·es, quelle stratégie adoptée pour gagner le plus de bonbons à vous trois en respectant les règles du jeu.
Remplir un rectangle le plus vite possible avec un choix de polyominos.
Gagner un Louis d’or en choisissant des séquences de Pile ou Face de longueur 3 ( ex: FPP)
Staring with the midpoints of a square we can generate an octagon with the two opposites vertices of the square. Generalisations: if we replace the square with any other paralelogram or instead of midpoints considering different ratio points on the side of the square.
The geometric translations which allow to obtain a pattern
A partir de la démonstration du théorème de Pytagore, on peut decouvrir des méthodes pour faire des puzzles
Peut-on construire un triangle équilatéral dont les sommets sont sur un quadrillage ?
On place les nombres de la forme (p,p) en coordonnées polaires où p est premier. Que peut-on observer ? Expliquer ce que vous pouvez observer.
En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante : on part d'un nombre entier strictement positif ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et l'on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers strictement positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur. La conjecture de Collatz dit que toute suite de Syracuse finit par boucler sur les nombres 4,2,1. Qu'en pensez vous?
Les nombres de Schur sont notre point de départ : "Jusqu’à quel entier maximal N peut-on colorier en rouge ou bleu chaque entier de 1 à N de façon à éviter complètement l’émergence de triplets (a,b,a+b) monochromatiques?". Nous allons essayer de comprendre, tester, et tenter d'explorer des variations et pourquoi pas tenter de programmer. Mais aussi créer une version ludique ?
On prend dix jetons, numérotés de 1 à 10. On les met en ligne, horizontalement, dans n'importe quel ordre. Deux joueurs vont s'affronter pour essayer de les remettre dans l'ordre croissant. Pour cela, ils vont jouer chacun leur tour, en choisissant deux jetons et en les échangeant. Il y a une contrainte : avant l'échange, le jeton de gauche doit avoir une valeur plus grande que le jeton de droite.
(1) Est-ce que ce jeu se termine en un nombre fini de coups ou bien peut-il durer éternellement ?
(2) Choisissez-vous de commencer ? Quelle sera votre stratégie…
(1) Est-ce que ce jeu se termine en un nombre fini de coups ou bien peut-il durer éternellement ?
(2) Choisissez-vous de commencer ? Quelle sera votre stratégie…
In prima approssimazione i corpi nello spazio si muovono perché spinti dall’accelerazione gravitazionale dovuta a un altro corpo. Si può dimostrare che le traiettorie nello spazio sono sempre delle coniche, (ellisse, iperbola o parabola), a seconda dell’energia in gioco.
Per esempio i pianeti si muovono su ellissi intorno al sole e lo stesso fanno i satelliti artificiali intorno alla Terra.
- Concetto di orbita
- Problema dei due corpi
- Coniche
- Spiegazione di come si rappresenta un’ellisse e il concetto di elementi orbitali
- Differenza dal punto…
Per esempio i pianeti si muovono su ellissi intorno al sole e lo stesso fanno i satelliti artificiali intorno alla Terra.
- Concetto di orbita
- Problema dei due corpi
- Coniche
- Spiegazione di come si rappresenta un’ellisse e il concetto di elementi orbitali
- Differenza dal punto…
Une forêt est schématisée par un quadrillage, les arbres étant placés à l'intersection des lignes. Un arbre prend feu et à chaque tour ses voisins s'enflamment. Combien de pompiers faut-il au minimum pour empêcher la propagation du feu? Où les placer?
Un randonneur se promène dans la campagne près de chez lui. Les champs sont organisés en carré de 1km sur 1km, formant eux-mêmes un carré (par exemple de 3km sur 3km).
Il part de sa maison située au Sud-Ouest, et va jusqu’à l’extrémité opposée du territoire situé au Nord-Est (et il revient en bus !).
Les champs étant cultivés, il est obligé de marcher sur les chemins qui sont tous orientés Nord-Sud ou Est-Ouest.
Pour décider de ses déplacements, notre ami randonneur prend une pièce et à chaque carrefour, il tire à pile ou face.
S’il obtient pile, il prend le…
Il part de sa maison située au Sud-Ouest, et va jusqu’à l’extrémité opposée du territoire situé au Nord-Est (et il revient en bus !).
Les champs étant cultivés, il est obligé de marcher sur les chemins qui sont tous orientés Nord-Sud ou Est-Ouest.
Pour décider de ses déplacements, notre ami randonneur prend une pièce et à chaque carrefour, il tire à pile ou face.
S’il obtient pile, il prend le…
Vous connaissez Pierre, Feuille, Ciseaux … mais vous êtes-vous déjà demandés quel était le meilleur moyen de gagner ?
• Est-ce un jeu équitable ou déséquilibré ?
• Existe-t-il une meilleure stratégie ? Si on joue à un tour, en plusieurs tours … ?
Pour répondre à cette question, les Mathématiques peuvent vous aider grâce à la théorie des jeux ! Ce domaine des Mathématiques a été mis en avant grâce à John Nash qui a reçu en 1994 le prix Nobel d’économie pour les travaux de sa thèse sur la théorie des jeux, en l’appliquant à des questions d’économie ou de politique.
• Est-ce un jeu équitable ou déséquilibré ?
• Existe-t-il une meilleure stratégie ? Si on joue à un tour, en plusieurs tours … ?
Pour répondre à cette question, les Mathématiques peuvent vous aider grâce à la théorie des jeux ! Ce domaine des Mathématiques a été mis en avant grâce à John Nash qui a reçu en 1994 le prix Nobel d’économie pour les travaux de sa thèse sur la théorie des jeux, en l’appliquant à des questions d’économie ou de politique.
A la Réunion, un groupe de recherche étudie les chauves-souris pour connaître leur lieu d’habitation. Pour cela, des expériences sont menées la nuit : on capture des chauves-souris que l’on équipe d’émetteurs GPS. Des observateurs sont répartis sur un territoire pour enregistrer les signaux émis dans un rayon de 15km.
• Combien faut-il d’observateurs pour couvrir au mieux un territoire (qui serait défini comme un disque de 30km de rayon) ?
• Quelle est la meilleure position des observateurs pour une couverture optimale ?
• Combien faut-il d’observateurs pour couvrir au mieux un territoire (qui serait défini comme un disque de 30km de rayon) ?
• Quelle est la meilleure position des observateurs pour une couverture optimale ?
On choisit au hasard n chiffres décimaux pour former un entier. On procède alors à la transformation suivante, qui se réitère à l’infini : chaque chiffre du nombre est remplacé par le chiffre des unités du produit de ce chiffre par son voisin de droite (le dernier chiffre, qui n’a pas de voisin de droite, sera multiplié par le premier).
Peut-on prévoir l’évolution du nombre à long terme?
Peut-on prévoir l’évolution du nombre à long terme?
Le jeu de Marienbad se joue à deux : des allumettes sont disposées en quatre rangs de 1, 3, 5 et 7. Chaque joueur prend alors à son tour le nombre d’allumettes qu’il souhaite dans une seule rangée. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette.
L’un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante? Et si on modifie les règles ?
L’un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante? Et si on modifie les règles ?
Trois piliers A, B et C sont disponible, sur le pilier A d’eux sont empilés n disques de diamètres décroissants. le but est de
déplacer tous les disques sur le pilier C un par un sans recouvrir un disque de diamètre plus petit.
Combien de mouvements faut-il pour déplacer la pile de disques du pilier A au pilier C? Et s’il y avait plus de piliers ?
déplacer tous les disques sur le pilier C un par un sans recouvrir un disque de diamètre plus petit.
Combien de mouvements faut-il pour déplacer la pile de disques du pilier A au pilier C? Et s’il y avait plus de piliers ?
On construit une pyramide avec des légos de 3 couleurs en respectant les 2 règles suivantes :
• Au dessus de 2 légos de même couleur on pose un légo de cette même couleur
• Au dessus de 2 légos de couleurs différentes on place un légo de la troisième couleur
Peut-on deviner la couleur du sommet en regardant uniquement la base ?
• Au dessus de 2 légos de même couleur on pose un légo de cette même couleur
• Au dessus de 2 légos de couleurs différentes on place un légo de la troisième couleur
Peut-on deviner la couleur du sommet en regardant uniquement la base ?
Prenez un polyèdre convexe, comptez le nombre de ses arêtes et notez le A, comptez le nombre de ses faces et notez le F, puis comptez le nombre des sommets et notez le S. Que vaut la quantité F + S - A ?
Un Croustibat est un petit rectangle de poisson. Combien peut-on en mettre dans une poële circulaire ? Et dans une poële rectangulaire ?
On dispose de spots et de rampes lumineuses, dimensions et couleurs à volonté, et on souhaite illuminer au sol différentes formes géométriques: peut-on créer par exemple un triangle orange?
Dans une salle rectangulaire dont les murs sont recouverts de miroirs, on a placé 2 personnes mais aucune ne souhaite apercevoir l'autre, ni ses reflets, où qu'elles tournent leur regard. Peut-on positionner un minimum d'invités dans la pièce pour satisfaire ces deux personnes ?
On s'intéresse ici aux chiffres qui apparaissent dans les puissances de 2 : quels sont les derniers chiffres possible ? les deux derniers chiffres ? les trois derniers chiffres ? Et qu'en est-il des premiers chiffres ?
Vous avez réservé une place pour un spectacle dans une salle de 2000 personnes. Hélas, vous avez oublié le numéro de votre place ! Vous entrez le premier puis attendez, vous asseyez au hasard, puis attendez qu'un autre spectateur vous déloge. Vous vous asseyez alors sur un autre siège laissé vide et procédez ainsi de suite jusqu'à trouver votre place. En moyenne, combien de fois allez-vous vous relever ?
Corinne a une toute nouvelle passion, le modélisme naval. Elle a donc, tout récemment, construit son tout premier bateau, tout de balsa et de servomoteur !
Suite à une soirée un peu arrosée, le programme servant à déplacer le bateau a été implémenté bizarrement : il se déplace sur une grille infinie de maille carrée et suivant des pas pris dans un ensemble fini de vecteurs à coordonnées entières.
Corinne souhaite déplacer le bateau d’un point à un autre dans le plan. Existe-il toujours un chemin pour faire cela ? Combien y en a-t-il ? Quel est le chemin le plus court ?
Suite à une soirée un peu arrosée, le programme servant à déplacer le bateau a été implémenté bizarrement : il se déplace sur une grille infinie de maille carrée et suivant des pas pris dans un ensemble fini de vecteurs à coordonnées entières.
Corinne souhaite déplacer le bateau d’un point à un autre dans le plan. Existe-il toujours un chemin pour faire cela ? Combien y en a-t-il ? Quel est le chemin le plus court ?
Cathy, Nadine et Philippe préparent les décorations de Noël. Cette année, ils décident de préparer des arbres en papier décorés par des numéros.
Les arbres de nos compagnons sont particuliers. Ils reproduisent une espèce rare d’arbre, que seuls les mathématiciens font pousser dans leurs jardins. Déjà, ils poussent de haut en bas. Ensuite, lorsque l’arbre naît, il possède une unique branche, avec, à son bout, un nœud. Cette toute première branche est appelée la racine de l’arbre.
Lorsqu’une branche d’un arbre pousse, le nœud situé au bout de la branche peut produire :
—…
Les arbres de nos compagnons sont particuliers. Ils reproduisent une espèce rare d’arbre, que seuls les mathématiciens font pousser dans leurs jardins. Déjà, ils poussent de haut en bas. Ensuite, lorsque l’arbre naît, il possède une unique branche, avec, à son bout, un nœud. Cette toute première branche est appelée la racine de l’arbre.
Lorsqu’une branche d’un arbre pousse, le nœud situé au bout de la branche peut produire :
—…
Présentation d'un jeu utilisant des "blocs" (= des sous-ensembles à 3 éléments) de façon à ce que pour chaque paire d'éléments, il existe un et un seul "bloc" qui la contienne. Explication des étapes de création du jeu.
On décompose des nombres par un procédé de calculs et on se demande si le résultat trouvé est toujours le même quelle que soit la décomposition choisie.
On se demande aussi si on peut anticiper sur le nombre qu'on trouvera à la fin.
On se demande aussi si on peut anticiper sur le nombre qu'on trouvera à la fin.
On dispose d'un nombre de piliers donné et on souhaite, avec deux couleurs (rouge et bleu) joindre chaque pilier à un autre par une guirlande de fanions qui d'une seule couleur, rouge ou bleue.
On se pose la question de savoir si on peut le faire de telle manière que, en vue du dessus, aucun triangle n'apparaisse d'une seule couleur.
Est-ce que cela dépend du nombre de piliers ?
On se pose la question de savoir si on peut le faire de telle manière que, en vue du dessus, aucun triangle n'apparaisse d'une seule couleur.
Est-ce que cela dépend du nombre de piliers ?
On part d'un nombre entier et on créé une suite de nombres en comptant les chiffres du nombre précédent. Par exemple en partant de 13, le suivant est 1010 car 13 comporte un chiffre 3, 0 chiffre 2, 1 chiffre 1 et 0 chiffre 0. Et on continue avec 1010.
La question qui se pose : que se passe-t-il quand on continue ? Y-a-t-il une boucle qui se met en place ? De quelle longueur ? Est-ce vrai pour tous les nombres ?
La question qui se pose : que se passe-t-il quand on continue ? Y-a-t-il une boucle qui se met en place ? De quelle longueur ? Est-ce vrai pour tous les nombres ?
Dans un château comportant des portes entre chaque pièce, des gardiens peuvent passer d'une pièce à l'autre par les portes. Chaque gardien surveille la pièce dans laquelle il est ainsi que les pièces voisines par une porte.
Combien de gardiens doit-on mettre au minimum pour que chaque pièce soit surveillée par un gardien ? Et si on change la forme du château ?
Combien de gardiens doit-on mettre au minimum pour que chaque pièce soit surveillée par un gardien ? Et si on change la forme du château ?
On s'intéresse aux différentes manières de couper un triangle en deux, trois ... triangles.
Couper un triangle en deux : il n'y a qu'une seule manière.
Couper un triangle en trois : il y a plusieurs manières dont une qui sera appelée "triangle paritaire", car tous les tracés ne s'enchaînent pas (je coupe en deux puis en deux) c'est celui ou les trois traits de coupe se rejoignent dans le triangle.
Questions : existe-t-il des triangles paritaires quand on coupe en 4 un triangle ? En 5 ?
Couper un triangle en deux : il n'y a qu'une seule manière.
Couper un triangle en trois : il y a plusieurs manières dont une qui sera appelée "triangle paritaire", car tous les tracés ne s'enchaînent pas (je coupe en deux puis en deux) c'est celui ou les trois traits de coupe se rejoignent dans le triangle.
Questions : existe-t-il des triangles paritaires quand on coupe en 4 un triangle ? En 5 ?
Étant donnée une courbe C du plan, peut-on trouver n points sur C qui soient les sommets d'un polygone régulier ?
Vous disposez de n sacs fermés dont chacun contient une certaine somme d'argent. On suppose que toutes ces sommes d'argent sont différentes et non connues.
On vous propose alors de jouer au jeu suivant : vous ouvrez un sac, puis un second, puis un troisième etc. À chaque instant, vous avez le droit de choisir entre deux options : soit vous prenez l'argent du sac que vous venez de choisir et le jeu s'arrête, soit vous le refusez et vous continuez à ouvrir le sac suivant. Vous ne prenez que le contenu du dernier sac ouvert.
Quelle est la meilleure façon de…
On vous propose alors de jouer au jeu suivant : vous ouvrez un sac, puis un second, puis un troisième etc. À chaque instant, vous avez le droit de choisir entre deux options : soit vous prenez l'argent du sac que vous venez de choisir et le jeu s'arrête, soit vous le refusez et vous continuez à ouvrir le sac suivant. Vous ne prenez que le contenu du dernier sac ouvert.
Quelle est la meilleure façon de…
Jean invite ses amis à son anniversaire. Parmi ces invités, certains se connaissent déjà, d'autres se rencontrent pour la première fois.
À partir de combien d'invités peut-il être certain qu'il y ait trois invités qui se connaissent deux à deux ou bien trois invités qui ne se connaissent pas ?
À partir de combien d'invités peut-il être certain qu'il y ait trois invités qui se connaissent deux à deux ou bien trois invités qui ne se connaissent pas ?
Le profil d'un parallélépipède est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Comparer les profils de deux parallélépipèdes si on suppose que l'un est inclus dans l'autre.
On colorie les N entiers de 1 à N en bleu ou en rouge. Pour quels entiers N n' y a-t-il aucun triplet (a; b; a + b) de nombres entre 1 et N tel que a, b et a + b soient de la même couleur ? On précise que ces entiers a et b peuvent être égaux et que a + b est inférieur ou égal à N.
Dénombrer des polygones dont les sommets se situent sur un quadrillage.
On considère plusieurs planètes reliées entre elles par des portails unidirectionnels ou bidirectionnels, appelées un multivers. Un portail ne peut aller que sur une seule planète, ou bien sur deux. Un portail peut aller sur sa terre initiale, et donc être inutile. Combien de multivers possible peut-on trouver avec trois terres, des portails unidirectionnels et des portails inutiles ? Et avec combien peut-on aller partout ?
Des chasseurs de fantômes doivent arrêter des fantômes en tirant avec leurs lasers. Si les lasers se croisent, les tirs échouent. Comment les chasseurs doivent-ils viser ?
On dispose d'une pile de pancakes de tailles différentes, mal rangés. On souhaite les rempiler trier du plus grand au plus petit, en retournant une partie haute de la pile.
Dans une ruche, chaque alvéole contient une abeille, qui peut être endormie ou réveillée. On peut demander à chaque abeille réveillée d'aller "au lit", ce qui a pour effet de l'endormir et
1. d'endormir les abeilles voisines si elles étaient éveillées
2. de réveiller les abeilles voisines si elles dormaient.
Peut-on endormir toute la ruche ?
1. d'endormir les abeilles voisines si elles étaient éveillées
2. de réveiller les abeilles voisines si elles dormaient.
Peut-on endormir toute la ruche ?
Le pérudo est un jeu de dés. Chaque joueur lance 5 dés. Chacun consulte en secret son tirage. Par annonces montantes successives (sur l'ensemble des dés de la table), soit en nombre de dés soit en valeur du dé, le joueur suivant surenchérit ou indique si elle n'est pas réalisée. Si il a raison le joueur précédent perd un dé ou sinon c'est lui qui en perd un.
Quand un joueur a perdu tous ses dés, il est éliminé. La partie se termine quand il ne reste plus qu'un seul joueur.
Y a-t-il une stratégie gagnante à ce jeu ? Quelle annonce est peu probable ? ...
Quand un joueur a perdu tous ses dés, il est éliminé. La partie se termine quand il ne reste plus qu'un seul joueur.
Y a-t-il une stratégie gagnante à ce jeu ? Quelle annonce est peu probable ? ...
On crée une règle d'addition pour les chiffres 0 et 1 avec 1+1=0.
On part ensuite d'un nombre de n chiffres composé seulement de 0 et de 1, puis on additionne deux chiffres consécutifs en utilisant la règle donnée précédemment. On obtient ainsi un nouveau nombre de (n-1) chiffres. On continue jusqu'à obtenir un dernier chiffre. On obtient ainsi un triangle composé de 0 et de 1 ; on compte le nombre de 0 et le nombre de 1.
Questions : Est-ce qu'on peut obtenir un triangle comportant autant de 0 que de 1 ? Est-ce toujours possible ? Comment le faire ?
On part ensuite d'un nombre de n chiffres composé seulement de 0 et de 1, puis on additionne deux chiffres consécutifs en utilisant la règle donnée précédemment. On obtient ainsi un nouveau nombre de (n-1) chiffres. On continue jusqu'à obtenir un dernier chiffre. On obtient ainsi un triangle composé de 0 et de 1 ; on compte le nombre de 0 et le nombre de 1.
Questions : Est-ce qu'on peut obtenir un triangle comportant autant de 0 que de 1 ? Est-ce toujours possible ? Comment le faire ?
On plie en deux un triangle. Comment le faire de telle façon que l'aire de la partie non recouverte soit minimale ?
Quid d'un quadrilatère ?
Quid d'un quadrilatère ?
Déterminer tous les triangles dont les longueurs des côté sont des entiers et dont l’aire est égale
au périmètre.
au périmètre.
Dans un quadrillage, un pion (blanc) placé sur un nœud a quatre voisins (noirs). Deux pions peuvent donc avoir huit voisins s’ils ne sont pas côte à côte ou six
voisins.
Comment placer un nombre donné de pions afin que le nombre de voisins soit le plus petit possible ?
voisins.
Comment placer un nombre donné de pions afin que le nombre de voisins soit le plus petit possible ?
Un 1er joueur déplace une reine sur un damier. Un 2e joueur condamne une case que la reine ne pourra plus traverser, chaque fois qu'il joue. En combien de tours le 2e joueur peut-il réussir à bloquer la reine ? On suppose que le 1er joueur joue optimalement. Différentes tailles de grilles ou variantes du jeu pourront être étudiées.
On trouve dans le commerce des gommes fantaisie : gomme dinosaure, gomme figurine. . .
En voici une nouvelle qui nous transporte dans l’imaginaire des compétitions sportives. C’est un dé assez inhabituel puisque ses faces sont des pentagones mais le principe est simple : lorsque on le fait rouler le dé indique un score, tel que 0-0 ou 3-0 ou 1-2. Apparemment, il s’agit de résultats de football.
Voici trois pistes de recherche :
— Ce dé est-il un bon générateur de scores de football ? Quelle note lui donneriez-vous ? Sauriez-vous construire un dé avec une meilleure note…
En voici une nouvelle qui nous transporte dans l’imaginaire des compétitions sportives. C’est un dé assez inhabituel puisque ses faces sont des pentagones mais le principe est simple : lorsque on le fait rouler le dé indique un score, tel que 0-0 ou 3-0 ou 1-2. Apparemment, il s’agit de résultats de football.
Voici trois pistes de recherche :
— Ce dé est-il un bon générateur de scores de football ? Quelle note lui donneriez-vous ? Sauriez-vous construire un dé avec une meilleure note…
a préciser
Une tasse à café vibre sur un plateau carré de 9cm par 9cm et se déplace toute les secondes d'un cm vers la gauche ou la droite. Donner une estimation du temps que met en moyenne la tasse avant de tomber.
Au banquet, le roi voulut que les diplomates—chacun des quatre pays invités en envoyèrent deux—fussent tous placés en ligne du même côté de la table, tandis que lui serait en face. Il demanda à ce qu’ils entrèrent pays par pays, du plus important au moins influent, et que les deux premières personnes s’assirent en laissant exactement une place entre eux, les deux suivantes en laissant deux places entre eux, etc., mais qu’à la fin il ne resta plus de chaise vide.
Comment procéda l’Intendant pour placer les invités ?
Et s’il y avait eu plus de pays?
Comment procéda l’Intendant pour placer les invités ?
Et s’il y avait eu plus de pays?
Voici un jeu à deux joueurs. Chacun possède des jetons qu'il doit répartir dans 3 cases en ordre décroissant (avec égalité possible). Lorsque les deux joueurs ont fait leur choix, ils comparent case par case les quantités. Pour chaque case, si un joueur a plus de jetons que l'autre, il marque un point. La partie est gagnée par le joueur qui a le plus de points.
Par exemple, s’il y a en tout 12 soldats, et si le joueur 1 joue (4;4;4) et le joueur 2 joue (7;5;0), alors le joueur 2 a 2 victoires pour 1 défaite, donc il gagne.
Faire plusieurs parties avec 9 jetons.…
Par exemple, s’il y a en tout 12 soldats, et si le joueur 1 joue (4;4;4) et le joueur 2 joue (7;5;0), alors le joueur 2 a 2 victoires pour 1 défaite, donc il gagne.
Faire plusieurs parties avec 9 jetons.…
Un pays lointain se disait démocratie monarchique. Il y avait un roi aux fonctions
honorifiques et un chef du gouvernement, qui prenait les décisions. Lors des élections,
tout les électeurs étaient obligés d’appartenir à un parti, et le parti ayant le plus
d’électeurs gagnait. Mais il n’y avait qu’un seul parti politique autorisé, et c’était le parti
du roi, qu’on appelait le parti bleu roi. Vu qu’il était le seul parti autorisé, le parti bleu
roi gagnait forcément les élections, et le roi était élu chef du gouvernement à chaque
fois.
Un beau…
honorifiques et un chef du gouvernement, qui prenait les décisions. Lors des élections,
tout les électeurs étaient obligés d’appartenir à un parti, et le parti ayant le plus
d’électeurs gagnait. Mais il n’y avait qu’un seul parti politique autorisé, et c’était le parti
du roi, qu’on appelait le parti bleu roi. Vu qu’il était le seul parti autorisé, le parti bleu
roi gagnait forcément les élections, et le roi était élu chef du gouvernement à chaque
fois.
Un beau…
On écrit 4 nombres positifs à la suite sur un papier circulaire. Entre les nombres, on écrit les valeurs absolues des différences (par ex. 4, 5, 8, 3 devient 5-4, 8-5, 8-3, 4-3). On itère. Que se passe-t-il ? Étude de la périodicité, Obtient-on toujours 0-0-0-0 ? Étude avec trois nombres (triangle) et 5 nombres (pentagone), ou plus.
Variante : à chaque itération, on remplace la différence entre les deux valeurs aux sommets par la différence entre le plus grand nombre et le double du plus petit.
Avec l’exemple (4, 5, 8, 3), on obtient en une étape (3, 2, 2, 2) (cela correspond à…
Variante : à chaque itération, on remplace la différence entre les deux valeurs aux sommets par la différence entre le plus grand nombre et le double du plus petit.
Avec l’exemple (4, 5, 8, 3), on obtient en une étape (3, 2, 2, 2) (cela correspond à…
C’est un jeu à deux joueurs. Les deux joueurs choisissent une possibilité parmi pierre, feuille, ciseaux, puis dévoilent simultanément leur choix.
La pierre l’emporte sur les ciseaux, les ciseaux sur la feuille, la feuille sur la pierre.
On compte 1 point pour une victoire et -1 pour une défaite lors d’une confrontation.
Une partie consiste en un certain nombre de confrontations, par exemple 10. Y a-t-il une bonne stratégie à adopter pour prendre l’avantage ?
La pierre l’emporte sur les ciseaux, les ciseaux sur la feuille, la feuille sur la pierre.
On compte 1 point pour une victoire et -1 pour une défaite lors d’une confrontation.
Une partie consiste en un certain nombre de confrontations, par exemple 10. Y a-t-il une bonne stratégie à adopter pour prendre l’avantage ?
Connaissez-vous les dés truqués ? Avant de lancer les dés on peut écrire les nombres de 1 à 6 sur les faces. Une fois le dé jeté on a le droit de décider si on compte comme habituellement les points sur les faces ou bien le chiffre écrit à la main.
Étudier différents modèles d'évolution d'une population de moustiques, en particulier ceux de la variété des moustiques tigres apparue en France il y a quelques années.
Étudier mathématiquement quelques stratégies pour maîtriser leur propagation.
Étudier mathématiquement quelques stratégies pour maîtriser leur propagation.
Une combinaison secrète est composée à partir de trois balles bleues et deux balles
blanches. Vous devez la retrouver en trois essais maximum, selon le principe suivant : un
essai consiste à placer ces balles, et on vous donne l’information du nombre de balles bien
placées (sans vous dire lesquelles, et peu importe leur couleur). Pourrez-vous gagner ?
blanches. Vous devez la retrouver en trois essais maximum, selon le principe suivant : un
essai consiste à placer ces balles, et on vous donne l’information du nombre de balles bien
placées (sans vous dire lesquelles, et peu importe leur couleur). Pourrez-vous gagner ?
- On prend un polyèdre convexe.
- On regarde le milieu de chaque arrête.
- Ça nous donne les sommets d’un nouveau polyèdre convexe.
- Et on recommence.
- On regarde le milieu de chaque arrête.
- Ça nous donne les sommets d’un nouveau polyèdre convexe.
- Et on recommence.
Étant donné une carte pour une course d'orientation, comment trouver le chemin le plus court passant par tous les points ?
Étant donné le plan d'une ville, comment faire pour construire un réseau de transport en commun reliant les principaux points d'intérêt de la ville avec le moins de lignes possibles ?
Étant donné le plan d'une ville, comment faire pour construire un réseau de transport en commun reliant les principaux points d'intérêt de la ville avec le moins de lignes possibles ?
L'objectif est de construire le pont le plus long en kapla avec une seule arche et un seul kapla par niveau.
La mission consiste à transmettre un message ultra confidentiel au su et vu de tous, sans que celui-ci ne puisse être lu, et en vous assurant que le message soit parfaitement transmis.
Il s'agit de construire un modèle de prévisions météo à partir de relevés de la station météo des Déserts (réseau d'observation météo du massif alpin).
Choisissez un nombre secret, inférieur à 100, et multipliez-le par 33. Si vous me donnez seulement les deux derniers chiffres du résultat, je pourrai deviner sans effort votre nombre secret !
Il s'agit de trouver une ou plusieurs méthodes permettant de réaliser ce tour de magie.
Et si on remplace 33 par un autre entier, la magie est-elle toujours possible ?
Il s'agit de trouver une ou plusieurs méthodes permettant de réaliser ce tour de magie.
Et si on remplace 33 par un autre entier, la magie est-elle toujours possible ?
Quatre pistes de minigolf ont été construites autour d'un carré. On souhaite que les balles perdues de chaque piste ne puissent pas rouler sur une des trois autres.
Pour ce faire, on souhaite construire un mur sur le pourtour ou à l'intérieur du carré central. Quel forme donner à ce mur ? Faut-il le construire en un seul ou en plusieurs morceaux ?
Existe-t-il un mur de longueur minimale satisfaisant nos conditions de départ ?
Pour ce faire, on souhaite construire un mur sur le pourtour ou à l'intérieur du carré central. Quel forme donner à ce mur ? Faut-il le construire en un seul ou en plusieurs morceaux ?
Existe-t-il un mur de longueur minimale satisfaisant nos conditions de départ ?
Est-ce que tous les nombres réels peuvent s’écrire sous la forme d’une différence de deux racines carrées √n − √m avec n et m entiers ?
Si ce n’est pas le cas, peuvent-ils du moins être approchés arbitrairement près par de telles différences de racines ?
Si ce n’est pas le cas, peuvent-ils du moins être approchés arbitrairement près par de telles différences de racines ?
La formule à Toto - Lycée Maillol (Perpignan) Lycée Arago (Perpignan), LFI Charles de Gaulle (Pékin)
La formule de dérivation d’un produit de fonctions n’a pas le bon goût d’être comme on le voudrait et certainement que ce sont quelques profs de maths grincheux qui l’ont compliquée à loisir pour embêter les élèves ! Quoi qu’il en soit l’élève Toto décide que (fg)′ = f′g′. Pourriez-vous donner beaucoup de fonctions pour lesquelles Toto obtiendrait néanmoins avec sa formule un résultat correct ?
Picsou souhaite distribuer n euros entre ses k neveux. Combien de possibilités a-t-il ?
(N.B. il donne à chacun un nombre entier d’euros et un neveu peut ne rien obtenir de la part de son oncle, c’est-à-dire 0 euro).
(N.B. il donne à chacun un nombre entier d’euros et un neveu peut ne rien obtenir de la part de son oncle, c’est-à-dire 0 euro).
Une règle classique nous dit que le produit de 2 nombres entiers au carré reste un carré de nombre entier. Mais est-ce encore vrai pour la somme de 2 carrés : quand on multiplie deux sommes de 2 carrés de nombres entiers, est-ce-que cela reste une somme de 2 carrés de nombres entiers ? Si oui, de combien de manières peut-on l’écrire ?
Qu’en est-il pour la somme de 3 carrés ? De 4 carrés ? etc.
Qu’en est-il pour la somme de 3 carrés ? De 4 carrés ? etc.
Lors d'un jeu à Pile-Face avec une pièce équilibrée. On gagne 2 euros ou on perd 1 euro à chaque lancer. Suivant la somme détenue au départ quelle est la probabilité d'être ruiné ?
Découvrir une stratégie gagnante pour chacun des participants a un jeu
Vous souhaitez impressionner vos spectateurs avec un tour de cartes. Pour cela, après avoir élaboré votre stratégie, l’un de vous sort de la salle.
Les restants
1. demandent au public de piocher n cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes,
2. récupèrent et regardent ces n cartes,
3. en disposent n − 1 face découverte et la dernière face cachée.
La personne dehors rentre dans la salle, regarde les n − 1 cartes découvertes et énonce parfaitement une propriété (couleur, enseigne, valeur,...) de la carte cachée.
Cette prédiction sera d’autant plus…
Les restants
1. demandent au public de piocher n cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes,
2. récupèrent et regardent ces n cartes,
3. en disposent n − 1 face découverte et la dernière face cachée.
La personne dehors rentre dans la salle, regarde les n − 1 cartes découvertes et énonce parfaitement une propriété (couleur, enseigne, valeur,...) de la carte cachée.
Cette prédiction sera d’autant plus…
Détermination des plans équidistants de certains points
Les palindromes (cabinet de curiosités du Palais de la Découverte)
Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite, tels 11, 858, 1234321.
On part d'un nombre quelconque : par exemple 129. On ajoute ce nombre avec son écriture à l'envers : 129 + 921 = 1050.
On recommence 1050 + 0501=1551 : Palindrome
Essayons à partir de 78 :
78 + 87 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
Est-ce que cette règle aboutit toujours à un palindrome ?
Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite, tels 11, 858, 1234321.
On part d'un nombre quelconque : par exemple 129. On ajoute ce nombre avec son écriture à l'envers : 129 + 921 = 1050.
On recommence 1050 + 0501=1551 : Palindrome
Essayons à partir de 78 :
78 + 87 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
Est-ce que cette règle aboutit toujours à un palindrome ?
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.En utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
De combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?
On considère un quadrillage 10 × 10. Si on trace une droite, on colorie les cases qui sont coupées par la droite.
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
La suite "Look and Say" commence ainsi : 1, 11, 21, 1211, 111221,…
Comment se poursuit-elle ? Y-figurera-t-il d'autres chiffres que 1 et 2 ? Tous les chiffres ? Au bout de combien de temps ?
Comment se poursuit-elle ? Y-figurera-t-il d'autres chiffres que 1 et 2 ? Tous les chiffres ? Au bout de combien de temps ?
On considère la grille (infinie) formée de tous les points de coordonnées entières. Quelles sont les aires possibles que l'on peut obtenir en dessinant un carré dont les sommerts sont sur des points de la grille ?
Peut-on créer un jeu de Dooble avec n'importe quel nombre de symboles et de cartes ?
Munis d'une règle non graduée et d'un compas, et connaissant simplement la distance "1 unité", quelles distances est-il possible de construire ?
Comment attribuer une tâche à une personne?
Comment former une suite de nombres la plus longue possible, sachant que pour deux nombres côte à côte, l'un doit être multiple de l'autre?
Quelle stratégie adopter pour manger la plus grande proportion de pizza ?
100 pirates d'un navire souhaitent enfin profiter de son butin. Le capitaine leur lance le défi suivant : Chaque pirate ira dans son bureau avant d'être débarqué sur l'île. Il pourra alors examiner 50 tiroirs parmi les 100, qui contiennent chacun la fiche d'un des pirates à bord. S'il trouve la sienne, il pourra l'emmener avec lui sur l'île. Si chaque pirate trouve sa fiche, ils auront accès au trésor. Autrement, ils seront abandonnés l'île. Les pirates sont-ils damnés ? Ou ont-ils une chance de s'en sortir ?
Un groupe de personnes boit un petit coup mais avant de boire chacun doit trinquer avec tous les autres (en ligne droite) mais sans que des bras se croisent car ça porte malheur. Combien de tours faut-il faire pour que tous aient trinqué avec tous les autres ?
Un cercle dont on n'atteint jamais le bord, des droites qui sont des cercles, des pavages dans un cercle dont on ne peut atteindre le bord. Voici la drôle d'aventure que vont décrire les élèves.
On prend n cartes à jouer. On dispose ces n cartes en tas alignés de gauche à droite. Par exemple, avec n=10 cartes on peut faire des tas de 5, 1, et 4 cartes.
Puis on prend une carte sur chaque tas, cela fait un nouveau tas que l'on pose à droite des tas précédents. Dans l'exemple, on a 3 tas donc on prélève 3 cartes ; les nouveaux tas ont 4,3, et 3 cartes (les tas de zéro cartes disparaissent). On continue le processus, on obtient les tas 3,2,2, 3 et ainsi de suite.....
Le but est de comprendre ce qu'il se passe lorsqu'on continue indéfiniment le…
Puis on prend une carte sur chaque tas, cela fait un nouveau tas que l'on pose à droite des tas précédents. Dans l'exemple, on a 3 tas donc on prélève 3 cartes ; les nouveaux tas ont 4,3, et 3 cartes (les tas de zéro cartes disparaissent). On continue le processus, on obtient les tas 3,2,2, 3 et ainsi de suite.....
Le but est de comprendre ce qu'il se passe lorsqu'on continue indéfiniment le…
Partie 1. Comment découper un nombre entier X positif en une somme X=x_1+x_2+...+x_n d'entiers positifs de tel sorte à maximiser le produit x1x2...x3 des termes de la somme (le nombre de termes de la somme est une variable du problème).
Partie 2. On cherche à maximiser le ppcm de x_1,x_2,...,x_n plutôt que le produit.
Partie 2. On cherche à maximiser le ppcm de x_1,x_2,...,x_n plutôt que le produit.
Comment obtenir le plus grand volume avec un patron de solide fait dans une feuille de papier A4.
Explication des illusions d’optique à l’aide de la géométrie vectorielle
Démonstration de certaines identités à l’aide d’éléments de combinatoire
A partir des propriétés des nombres premiers, on peut déterminer la représentation des nombres positifs
L'expérience montre que le plus court chemin d'un point à un autre sur une sphère est un morceau de "grand cercle". Il s'agit d'en trouver une démonstration avec les notions apprises en lycée.
Comptage des configurations sans symétries axiales des ensembles de cellules d'un rectangle m x n
Trouver la surface et le volume des "tétraèdres" de type 3D fractals
Deux enfants doivent se partager un cake et un gâteau. Ceux-ci sont déjà coupés en plusieurs parts, mais elles ne sont pas du tout égales !
Ils décident d'abord de choisir chacun leur tour une part du cake, en choisissant à chaque fois une des extrémités, et ainsi de suite.
Ils s’attaquent ensuite au gâteau. Le premier enfant choisit n’importe quelle part puis ensuite les parts sont prises à partir du trou, chacun leur tour.
Comment faire pour avoir le plus de cake, de gâteau ?
Ils décident d'abord de choisir chacun leur tour une part du cake, en choisissant à chaque fois une des extrémités, et ainsi de suite.
Ils s’attaquent ensuite au gâteau. Le premier enfant choisit n’importe quelle part puis ensuite les parts sont prises à partir du trou, chacun leur tour.
Comment faire pour avoir le plus de cake, de gâteau ?
On se place dans une grille triangulaire d'une forme donnée, un feu est allumé sur un des triangles et à chaque tour, le feu se propage aux triangles qui touchent un triangle en feu par un côté.
Un pompier cherche à arrêter le feu et peut protéger une case par tour. Le but étant que le pompier arrête le feu de telle sorte que le nombre minimal de triangles soient brûlés.
Un pompier cherche à arrêter le feu et peut protéger une case par tour. Le but étant que le pompier arrête le feu de telle sorte que le nombre minimal de triangles soient brûlés.
Greg le capitaine d’un navire pirate a caché un coffre en forme de cube de 1m de coté sur une île de 10m x 10m. Tristan son second veut partir discrètement la nuit afin de récupérer ce trésor. Il prend une pelle pour creuser mais n’a le temps de faire qu’un seul trou carré de 1m de côté. Si le coffre est visible depuis le trou, Tristan pourra l’emporter. Où Tristan devrait-il creuser pour maximiser ses chances de trouver le coffre ? Pour aller plus loin, on pourra imaginer changer la taille du coffre ou de l’île ou bien la forme des trous.
Soit n couches de 1 à n points. Chaque point d’une couche est relié, par des canaux, à 2 points de la couche supérieure. De l’eau s’infiltre depuis les points de la couche la plus élevée.
Si un point est alimenté en eau, chaque canal qui le relie à la couche inférieure à 2 chances sur 3 de laisser passer l’eau.
Un point est alimenté en eau si 2 canaux l’alimentent en eau.
Que peut-il se passer ?
Si un point est alimenté en eau, chaque canal qui le relie à la couche inférieure à 2 chances sur 3 de laisser passer l’eau.
Un point est alimenté en eau si 2 canaux l’alimentent en eau.
Que peut-il se passer ?
Sujet dérivé du flocon de Koch et de la modification des propriétés si l’on remplace le motif central par une autre forme.
Soit un nombre de la forme ABCD ou chaque lettre représente un chiffre différent. Quels sont les nombres qui vérifient 4 x ABCD = DCBA ?
Le problème peut être étendu à d'autres structures de nombres, par exemple 4 x ABBC = CBBA. Il est aussi possible de redéfinir les règles pour chercher d’autres variétés de nombres qui peuvent être entiers ou décimaux. Enfin, on peut modifier le facteur 4 ou considérer des nombres plus longs ou plus courts.
Le problème peut être étendu à d'autres structures de nombres, par exemple 4 x ABBC = CBBA. Il est aussi possible de redéfinir les règles pour chercher d’autres variétés de nombres qui peuvent être entiers ou décimaux. Enfin, on peut modifier le facteur 4 ou considérer des nombres plus longs ou plus courts.
On s'intéresse au jeu des bâtonnets classique ou chaque joueur, chacun son tour, retire 1, 2 ou 3 bâtonnets sur un des deux plateaux de 21 bâtonnets ou bien peut déplacer 1 ou 2 bâtonnets d'un plateau à l'autre. Le joueur qui retire le dernier bâtonnet à perdu.
En cas de déplacement d'un plateau à l'autre il est impossible de le refaire pendant les deux tours suivants.
On pourra explorer plus loin le sujet en ajoutant ou en enlevant des règles ou bien en changeant le nombre de bâtonnets de départ.
En cas de déplacement d'un plateau à l'autre il est impossible de le refaire pendant les deux tours suivants.
On pourra explorer plus loin le sujet en ajoutant ou en enlevant des règles ou bien en changeant le nombre de bâtonnets de départ.
Alors que l'on marchait dans la rue pour une promenade, la pluie se met soudainement à tomber. On aimerait retourner chez soi le moins mouillé possible, mais impossible de s'abriter ou de recourir à un parapluie.
De quelle manière peut-on y arriver ?
La question peut également se transposer, par exemple, au cas d'un avion en vol.
De quelle manière peut-on y arriver ?
La question peut également se transposer, par exemple, au cas d'un avion en vol.
Le but de ce sujet est de créer des labyrinthes ! A vous de décider des règles, de la taille de la grille du point de départ et d'arrivée...
On considère un plateau de jeu (une grille) sur laquelle sont placés des cailloux. A chaque tour, on peut prendre deux cailloux dans une case, en jeter un, et placer le deuxième sur une case voisine. On peut répéter cette action autant de fois qu'on le souhaite. Combien de cailloux est-il nécessaire de placer sur le plateau pour pouvoir atteindre n'importe quelle case ? On se posera la question sur un placement libre (on place librement les cailloux au départ, puis on vérifie e qu'avec des déplacements, on peut atteindre n'importe quelle case), ou contraint (par exemple,…
Un chemin d'hexagones est une suite d'hexagones collés par un seul côté. Pour protéger un chemin d'hexagones des frelons à pattes jaunes, les abeilles se positionnent sur les angles des hexagones de façon à voir tous les angles où il n'y a pas d'abeille.
Selon le chemin, sa longueur, son nombre de virages, combien d'abeilles au minimum faut-il mettre sur le chemin pour le protéger entièrement ? Et si l'on souhaitait placer le plus d'abeilles possible, mais sans qu'aucune ne soit inutile, combien d'abeilles au maximum pourrait on placer…
Selon le chemin, sa longueur, son nombre de virages, combien d'abeilles au minimum faut-il mettre sur le chemin pour le protéger entièrement ? Et si l'on souhaitait placer le plus d'abeilles possible, mais sans qu'aucune ne soit inutile, combien d'abeilles au maximum pourrait on placer…
On souhaite placer des éoliennes sur les intersections d'une grille. A fin d'optimiser l'énergie produite, on souhaite placer le plus possible d'éoliennes. Cependant, trois éoliennes alignées (dans n'importe quelle direction) se coupent le vent, et perdent toute efficacité. Ainsi, on cherche comment placer le plus possible d'éoliennes sans que trois soient alignées. Combien d'éoliennes peut- on placer, selon la taille de la grille ? Selon les configurations, le champ d'éoliennes peut-être plus ou moins esthétique... Combien de répartitions optimales…
Deux paquets de dragibus identiques ? Les dragibus existent en 6 couleurs différentes, et en paquets de différentes tailles.
Prenons par exemple deux paquets de 100g. Quelle est la probabilité qu’ils soient identiques, c’est-à-dire qu’ils aient le même nombre de dragibus de chaque couleur ?
Si j’achète chaque jour un tel paquet de dragibus, combien de temps en moyenne dois-je attendre avant d’avoir deux paquets identiques ?
Prenons par exemple deux paquets de 100g. Quelle est la probabilité qu’ils soient identiques, c’est-à-dire qu’ils aient le même nombre de dragibus de chaque couleur ?
Si j’achète chaque jour un tel paquet de dragibus, combien de temps en moyenne dois-je attendre avant d’avoir deux paquets identiques ?
Les règles du tennis de table ont changé en 2001 : une manche se joue maintenant en 11 points gagnants contre 21 auparavant, la partie se joue en 3 ou 4 manches gagnantes, contre 2 ou 3 auparavant, et le service change tous les deux points, contre 5 auparavant.
L'objectif est d'estimer certains effets de ces changement de règle : est-ce que la partie est plus ou moins longue qu'avant ?
Est-ce qu'elle est plus aléatoire, ou moins (c'est-à-dire : est-ce que le meilleur joueur a plus de chances de gagner avec les nouvelles règles ou les anciennes) ?
L'objectif est d'estimer certains effets de ces changement de règle : est-ce que la partie est plus ou moins longue qu'avant ?
Est-ce qu'elle est plus aléatoire, ou moins (c'est-à-dire : est-ce que le meilleur joueur a plus de chances de gagner avec les nouvelles règles ou les anciennes) ?
Le jeu intitulé "Les Pierres de Coba" est sorti récemment. Il s'agit d'un jeu de type "casse-tête" : on a à sa disposition 7 figures, qui représentent chacune un certain nombre de points; il faut diviser ces 7 figures en 2 parties, de telle sorte que les 2 parties valent le même nombre de points.
Ce jeu suscite beaucoup de questions. Par exemple : Est-on sûr qu'il y a toujours une solution ? Comment la trouver ? Est-elle unique ? Lorsque les figures sont tirées aléatoirement, avec quelle probabilité existe-t-il une solution ?
Ce jeu suscite beaucoup de questions. Par exemple : Est-on sûr qu'il y a toujours une solution ? Comment la trouver ? Est-elle unique ? Lorsque les figures sont tirées aléatoirement, avec quelle probabilité existe-t-il une solution ?
Le stade municipal est occupé par des gens qui font leur footing. On suppose que le nombre de coureurs ne change pas au cours du temps.
L’allure d’un coureur est influencée par le coureur le précédant, si bien qu’à chaque minute, chaque coureur a avancé de M mètres, plus p fois la distance qui le sépare du coureur devant lui.
Peut-on prévoir la répartition des coureurs sur le terrain à long terme ?
L’allure d’un coureur est influencée par le coureur le précédant, si bien qu’à chaque minute, chaque coureur a avancé de M mètres, plus p fois la distance qui le sépare du coureur devant lui.
Peut-on prévoir la répartition des coureurs sur le terrain à long terme ?
Alice et Bob doivent se partager un champ carré de taille 1 km sur 1 km, dont on note A, B, C, D les sommets. Alice propose à Bob de découper le champ de la manière suivante :
1. Tout d’abord, Bob doit choisir un réel a ∈]0, 1[ et tracer le carré de côté a (en km) dont l’un des sommets est A;
2. Ensuite commence le partage : retirer à la longueur du premier carré tracé son aire en km2, et multiplier le tout par λ. Tracer ensuite le carré de côté la quantité trouvée (en km), dont un des sommets est A.
3. Appliquer la seconde étape sur le second carré tracé, et réitérer le…
1. Tout d’abord, Bob doit choisir un réel a ∈]0, 1[ et tracer le carré de côté a (en km) dont l’un des sommets est A;
2. Ensuite commence le partage : retirer à la longueur du premier carré tracé son aire en km2, et multiplier le tout par λ. Tracer ensuite le carré de côté la quantité trouvée (en km), dont un des sommets est A.
3. Appliquer la seconde étape sur le second carré tracé, et réitérer le…
Soit N ≥ 3. Un groupe de N +1 personnes joue à un jeu. Les règles sont les suivantes : l’un des joueurs, le meneur, se tient debout, au centre d’un cercle formé par les N joueurs restants assis en rond. Le meneur choisit 2 personnes parmi les N joueurs assis. À chaque tour, les joueurs assis doivent désigner une personne du cercle. Si cette personne fait partie des deux choix du meneur, les joueurs ont gagné et le jeu s’arrête. Sinon, la personne désignée quitte le cercle et on passe au tour suivant. Pour aider les joueurs, le meneur donne à chaque tour la position relative des
deux…
deux…
Bob a inventé un nouveau jeu de société. Il dispose sur la table n^2 billes, où n ≥ 3, en remplissant les coordonnées entières d’un carré de taille n × n. Il explique les règles à Alice : tout d’abord,
elle doit sélectionner un sous-ensemble de billes S. Puis, pour chaque couple de billes contenues dans S, elle doit retirer toutes les billes du carré qui sont sur la droite les reliant.
Le but pour Alice est de choisir S tel qu’elle puisse retirer toutes les billes de la grille. Comme le jeu est trop facile (il suffit de prendre S l’ensemble de toutes les billes de la grille),…
elle doit sélectionner un sous-ensemble de billes S. Puis, pour chaque couple de billes contenues dans S, elle doit retirer toutes les billes du carré qui sont sur la droite les reliant.
Le but pour Alice est de choisir S tel qu’elle puisse retirer toutes les billes de la grille. Comme le jeu est trop facile (il suffit de prendre S l’ensemble de toutes les billes de la grille),…
Le joueur 1 choisit un code constitué de quatre couleurs parmi les N du jeu. Le but pour le joueur 2 est de trouver le code en question. Pour cela, il fait à chaque tour une proposition de code. Le joueur 1 lui dit alors le nombre de bonnes couleurs et le nombre de couleurs bien placées.
Dans le jeu d’origine N = 6, mais dans une version très répandue du jeu on a N = 8, et le code ne peut pas contenir deux fois la même couleur. Le joueur 1 peut-il trouver une stratégie efficace pour gagner (à commencer par les deux cas classiques cités plus haut) ?
Dans le jeu d’origine N = 6, mais dans une version très répandue du jeu on a N = 8, et le code ne peut pas contenir deux fois la même couleur. Le joueur 1 peut-il trouver une stratégie efficace pour gagner (à commencer par les deux cas classiques cités plus haut) ?
On place des carrefours sur un plan et on relie deux carrefours par une route. On ouvre une bifurcation sur la route, on continue à relier les carrefours, en essayant d'obtenir le maximum de routes. Si on part avec 3 carrefours, combien de routes obtient-on au maximum ? Avec 4, 5, 6 carrefours ?
On fixe un nombre n entier positif. Le premier joueur dit un nombre dans cette liste : {1 ; 2 ; ... ; n}. Le joueur suivant doit dire un nombre qui est soit un multiple, soit un diviseur du précédent et qui n'a pas encore été joué. Si un joueur ne peut plus jouer, il a perdu. Y a-t-il une stratégie gagnante ?
On se donne une grille nxm avec des cases vides. On remplit les cases en respectant les règles ci-dessous :
- si la ligne ou la colonne à laquelle appartient la case est vide, on met un 1dans la case.
- sinon, on met la somme du nombre d'une case de la ligne et d'une case de la colonne
- une fois remplie, la case ne change plus de valeur.
Quelle est la valeur maximale atteinte ?
- si la ligne ou la colonne à laquelle appartient la case est vide, on met un 1dans la case.
- sinon, on met la somme du nombre d'une case de la ligne et d'une case de la colonne
- une fois remplie, la case ne change plus de valeur.
Quelle est la valeur maximale atteinte ?
On définit une ligne droite comme la plus courte distance entre deux points, en tenant compte de l'environnement. Par exemple sur un plan de New-York, une ligne droite serait une ligne brisée. Que devient un triangle, un cube, un cercle, leurs propriétés ? Un cube ? Comment définir un angle ?
• Concept du gaz parfait
• Thermodynamique: force, vitesse et accélération
• Collision élastique d’une particule dans une boite
• Collision élastique de plusieurs particules
• Représentation d’un gaz parfait
• Thermodynamique: force, vitesse et accélération
• Collision élastique d’une particule dans une boite
• Collision élastique de plusieurs particules
• Représentation d’un gaz parfait
Un escargot se promène sur un quadrillage, à la vitesse d'une case par minute en suivant un chemin bien spécifique.
On souhaite savoir combien de temps va lui prendre son parcours.
On souhaite savoir combien de temps va lui prendre son parcours.
Le Grand Concours Interplanétaire de Mathématiques est un jeu composé de 11 épreuves. L'épreuve n°1 rapporte 1 point. Les épreuves suivantes rapportent deux fois plus de points que la précédente.
On souhaite savoir s'il est possible d'obtenir n'importe quel score.
On souhaite savoir s'il est possible d'obtenir n'importe quel score.
On place un dé sur un chemin rectangulaire (la face 1 vers le haut). Le dé fait le tour de ce rectangle et on observe la face du dessus lorsqu'il revient sur la case de départ.
On souhaite savoir qu'il est possible d'obtenir les 6 faces du dé en tournant autour d'un de ces chemins rectangulaires.
On souhaite savoir qu'il est possible d'obtenir les 6 faces du dé en tournant autour d'un de ces chemins rectangulaires.
10 monstres doivent se partager 100 cookies. Le plus grand de ces monstres propose une répartition qui est ensuite votée par tous. Si elle est refusée, celui qui a fait la proposition est éliminé et ne recevra pas de cookie. On recommence alors avec les 9 monstres restant jusqu'à ce qu'une répartition soit acceptée.
On souhaite savoir quel partage le plus grand de ces monstres doit-il proposer pour avoir un maximum de cookies.
On souhaite savoir quel partage le plus grand de ces monstres doit-il proposer pour avoir un maximum de cookies.
Depuis quelques années, le virus de la Dengue fait quelques cas en Aquitaine. Les cas étaient auparavant exogènes : le virus arrivait par des voyageurs ayant contracté la maladie dans un
pays où le virus est endémique (amérique du sud, Inde, Cap-Vert, etc). Mais depuis deux ans maintenant, les infections observées sont locales, ce qui veut dire que le virus est maintenant
implanté dans des zones a priori limités pour le moment. La question qui se pose est donc la suivante : peut-on avoir dans les années qui viennent une augmentation du nombre de cas ou même une épidémie en…
pays où le virus est endémique (amérique du sud, Inde, Cap-Vert, etc). Mais depuis deux ans maintenant, les infections observées sont locales, ce qui veut dire que le virus est maintenant
implanté dans des zones a priori limités pour le moment. La question qui se pose est donc la suivante : peut-on avoir dans les années qui viennent une augmentation du nombre de cas ou même une épidémie en…
A partir de quelques indices, les élèves découvrent qu'ils vont travailler autour de la suite de Fibonacci, en comprennent le principe et recherchent son historique, ils comprennent également le principe de construction de la spirale et trouvent des applications dans la nature, ils modélisent des jeux à partir de la suite et développent un programme permettant de déterminer si un nombre appartient à la suite et dans le cas contraire, le décompose en la somme de termes de la suite.
Dans les règles originales, Il s'agit d'un jeu à deux joueuses. Chaque joueuse reçoit une grille vierge de huit cases par huit cases. Avant de débuter la partie, les joueuses partitionnent secrètement leur grille en quatre zones contiguës de 16 cases. À la manière d'une bataille navale, le but est de découvrir la partition adverse. À chaque tour, une joueuse indique les coordonnées d'un coin de la grille. L'autre joueuse doit alors fournir les couleurs des 4 cases autour de ce coin, dans n'importe quel ordre.
https://perso.liris.cnrs.fr/vincent.…
https://perso.liris.cnrs.fr/vincent.…
autour de l'hôtel d'Hilbert...
Des robots se déplacent aléatoirement sur une poutre
On dispose d’un billard sans trous. Une boule est placée quelque part, on tape dedans et elle suit une trajectoire rectiligne, sans effet, jusqu’à rencontrer un bord. Les angles d’incidence décrivant le mouvement avant et après contact avec le bord sont égaux (= façon savante de dire que ce qui se passe lorsque la boule
rencontre un bord est conforme à ce que l’on en sait).
On code par N(ord), E(st), O(uest), S(ud), à chaque fois que la boule rencontre un bord. Cela permet de former des mots, par exemple NSE. Quels sont les mots possibles ? Quels sont les mots interdits ? Et si…
rencontre un bord est conforme à ce que l’on en sait).
On code par N(ord), E(st), O(uest), S(ud), à chaque fois que la boule rencontre un bord. Cela permet de former des mots, par exemple NSE. Quels sont les mots possibles ? Quels sont les mots interdits ? Et si…
Comment écrire une quantité dans un monde où tous les chiffres sauf le 1 auraient disparu…?
Points d'intersection et triangles formé par 8 droites non parallèles (et moins... et plus ...)
Une étude sur des probabilités dépendants de plusieurs paramètres. Des considérations informatiques entre en jeu.
Vous savez construire un cube à partir de son patron ? Oui ? D'accord... Mais saurez-vous faire de même avec une dimension de plus ?
On sait tous jouer au Morpion. Mais saurez-vous apprendre à une intelligence artificielle à vous battre ?
Quel est le plus petit entier n tel qu'il est nécessaire d'utiliser exactement n fois 1 pour écrire tous les nombres de 1 à n ?
Un méthode pour se lancer des défis circule dans les collèges en ce moment. " Proba combien ? ". Est-ce différent de jouer à pile ou face ? Et si c'est non, y a-t-il une bonne stratégie ?
Lorsque l'on calcule 1 divisé par 3, les décimales se comportent d'une manière bien étrange. En effet, 1/3 = 0,3333333333333...
Est-ce qu'on peut trouver un entier n tel que 1/n = 0,abababababababababa...?
Est-ce qu'on peut trouver un entier n tel que 1/n = 0,abababababababababa...?
On considère un triangle équilatéral. Peut-on le découper en un certain nombre de morceaux pour en faire un carré ?
On écrit des mots avec un alphabet à deux lettres, par exemple. Est-il possible d'écrire un mot infini qui ne contienne aucune répétition successive d'un motif donné ?
On achète des pommes et des poires (autant de chaque) pour faire de la confiture. Mais des oiseaux nous en volent par quantités bien précises. Combien de lots de fruits acheter pour obtenir à la fin le ratio idéal pour la confiture (2 pommes pour une poire).
On dispose de chiffres 1. Comment les combiner (addition et multiplication) au mieux pour obtenir le nombre le plus grand?
Un cavalier se déplace sur un échiquier. Peut-il passer sur toutes les cases (en n'y passant qu'une fois)?
On dispose de trois vases de capacités respectives 3, 5 et 8 litres. Au début, on remplit le vase de 8 litres.
Si les vases ont des capacités de A, B et C litres, quelles sont les quantités d’eau que l’on peut mesurer ?
Si les vases ont des capacités de A, B et C litres, quelles sont les quantités d’eau que l’on peut mesurer ?
Sur une planche en bois, on dispose des clous pour former un quadrillage. Puis, avec une ficelle on entoure certains clous pour faire apparaître un polygone.
On note A son aire, B le nombre de clous sur son bord (sur la ficelle) et I le nombre de clous à l’intérieur du polygone (entourés par la ficelle).
Peut -on déterminer un lien entre A, I et B selon la nature du polygone ?
On note A son aire, B le nombre de clous sur son bord (sur la ficelle) et I le nombre de clous à l’intérieur du polygone (entourés par la ficelle).
Peut -on déterminer un lien entre A, I et B selon la nature du polygone ?
comment déterminer la solution optimale selon le nombre d'anneaux
On représente la ville par un quadrillage carré, et chaque quartier est un carré. Un beau (?) jour, les zombies apparaissent dans certains quartiers que l’on marque en rouge, et l’invasion se répand ainsi : chaque nuit, les quartiers libres voisins de 2 quartiers infectés sont à leur tour envahis.
On suppose que la ville contient n quartiers. Y-a-t-il de formes pour la ville minimisant ou maximisant le nombre de quartiers rouges dans une configuration désastreuse ?
On suppose que la ville contient n quartiers. Y-a-t-il de formes pour la ville minimisant ou maximisant le nombre de quartiers rouges dans une configuration désastreuse ?
On fait rouler autour de ses arêtes un polyèdre régulier sur un plan. Quelles sont les régions accessibles ? Si l’on interdit une face ? Et avec un polyèdre quelconque ?
Calcul de l'aire d'un polygone sur une grille à partir du nombre de points intérieurs
On s'intéresse aux nombres entiers qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres
Étude de la suite de Syracuse
Il s'agit d'étudier le jeu inventé par E.R. Berlekamp et D. Gale. On considère un tableau de m x m ampoules et 2m interrupteurs, 1 sur chaque ligne et 1 sur chaque colonne.Quand on actionne un interrupteur sur une ligne ou sur une colonne, les ampoules (sur cette ligne ou cette colonne) éteintes s'allument et les ampoules allumées s'éteignent.Le jeu consiste, pour un état initial donné de trouver comment éteindre le plus de lampes.
On étudie l'évolution de couples d'animaux. Les hypothèses sont les suivantes :
À chaque pas de temps n, on suppose que
- chaque couple d'enfants du pas précédent devient un couple d'adultes.
- chaque couple d'adultes du pas précédent a un couple d'enfants.
À chaque pas de temps n, on suppose que
- chaque couple d'enfants du pas précédent devient un couple d'adultes.
- chaque couple d'adultes du pas précédent a un couple d'enfants.
Une puce se déplace sur un cercle suivant la règle suivante partant d'un point M0 du cercle ,elle calcule l'angle alpha 0 (mesuré en tour) entre sa position et l'axe des abscisses , multiplie cet angle par 10 et saute sur le point M1 correspondant . Puis elle recommence le même procédé , encore et encore . On obtient une suite de points M0,M1, M2 ,...; associés à des angles alpha 0, alpha 1 =10 alpha 0, alpha 2 =10 alpha 1,... Est-ce que la puce repasse toujours par son point de départ ? Analyser les trajectoires possibles pour Alpha 0 = p /13 avec p un nombre naturel. Peut-on…
Dans le jeu de Nim il existe des stratégies gagnantes : le premier qui joue perd. Existe-t-il d'autres jeux de ce style, peut-on toujours trouver des stratégies gagnantes ?
On a un jeu de 20 cartes numérotées 1, 2, ...., 20. On veut les ranger dans 3 tiroirs anti-sommes, qui refusent de contenir trois cartes a, b, c telles que a + b = c.
peut-on effectivement ranger ces cartes en respectant les refus des tiroirs ? Si oui, peut-on faire de même avec 21 cartes ? Avec 22 cartes ? 23 ? 24 ? Que se passe-t-il avec seulement 2 tiroirs ? Et avec 4 ?
peut-on effectivement ranger ces cartes en respectant les refus des tiroirs ? Si oui, peut-on faire de même avec 21 cartes ? Avec 22 cartes ? 23 ? 24 ? Que se passe-t-il avec seulement 2 tiroirs ? Et avec 4 ?
On a 9 ampoules disposées sur 3 lignes et 3 colonnes. Chacune de ces 6 rangées a un interrupteur qui change l'état éteint/allumé de ses 3 ampoules.
On part d'une configuration initiale éteinte/allumée pour chaque ampoule.
But : éteindre autant d'ampoules que possible en utilisant uniquement les 6 interrupteurs disponibles.
On part d'une configuration initiale éteinte/allumée pour chaque ampoule.
But : éteindre autant d'ampoules que possible en utilisant uniquement les 6 interrupteurs disponibles.
On considère la simple transformation suivante a -> b sur les nombres entiers :
- si n est pair, alors n -> n/2 ;
- si n est impair, alors n -> 3n + 1.
On choisit un nombre n, on lui applique la transformation, puis on répète cette transformation sur le nombre obtenu, et on continue. Que se passe-t-il ? En partant d'autres nombres entiers n, que peut-on observer ? Conjecturer ? prouver ?
Que se passe-t-il en partant d'un nombre n négatif ? Et en remplaçant 3n+1 par 5n+1 ?
- si n est pair, alors n -> n/2 ;
- si n est impair, alors n -> 3n + 1.
On choisit un nombre n, on lui applique la transformation, puis on répète cette transformation sur le nombre obtenu, et on continue. Que se passe-t-il ? En partant d'autres nombres entiers n, que peut-on observer ? Conjecturer ? prouver ?
Que se passe-t-il en partant d'un nombre n négatif ? Et en remplaçant 3n+1 par 5n+1 ?
Complexité d'un texte, texte ultimement périodique
Liste ordonnée de N cubes sur une droite. Existe-t-il un cube tel que la somme des numéros des cubes à sa gauche, soit égal à la somme des numéros des cubes à sa droite ?
Si oui, quel est le nombre total de cubes correspondants, N ?
Si oui, quel est le nombre total de cubes correspondants, N ?
A partir d'un extrait du film Interstellar... alors info ou Intox ?
On place 8 droites dans le plan, dont aucune n'est parallèle à aucune autre.
(1) Combien peut-on former de triangles au maximum ?
(2) On compte maintenant 3 points pour chaque triangle équilatéral formé, 2 points pour chaque triangle isocèle et 1 point pour chaque autre triangle. Quel score peut-on obtenir au maximum ?
(1) Combien peut-on former de triangles au maximum ?
(2) On compte maintenant 3 points pour chaque triangle équilatéral formé, 2 points pour chaque triangle isocèle et 1 point pour chaque autre triangle. Quel score peut-on obtenir au maximum ?
Imaginez une planche sur laquelle sont plantés trois clous qui dépassent. Avec une ficelle on veut faire un noeud autour de ces clous. Le noeud ne doit pas se défaire, mais si on enlève n'importe lequel des clous alors il se défait. Est-ce possible ? Comment faites-vous ?
Une personne envoie à 2 personnes “au hasard” le mail suivant : “Ce mail est très important et peut vous apporter chance et prospérité. Il est le maillon d’une chaîne qui ne doit absolument pas être rompue et doit faire le tour du monde. Si vous transférez ce mail à deux personnes, une belle surprise peut vous arrivez, mais si vous interrompez la chaîne, vous risquez bien des malheurs”.
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
Une entreprise de produits chimiques doit transporter 10 produits (représentés par des lettres de A à J). Mais certains produits sont incompatibles entre-eux (sous peine de réaction chimique dangereuse) et doivent être transportés séparément
La monnaie européenne comporte 8 pièces de 1 centimes à 2 euros. Chaque pièce a une face commune à tous les pays et une face nationale propre à chacun des 19 pays qui composent la zone euro. En supposant que toutes les pièces sont frappées en nombre égal, combien de pièces (en moyenne) doivent passer entre mes mains avant de pouvoir compléter la collection de toutes les pièces existantes ? Que se passe-t-il si certaines pièces sont plus rares que d’autres ?
On se déplace sur un segment [A,B] de longueur 1 de la manière suivante :
- On part du point A.
- Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [A,P], soit sur le milieu de [P,B].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près. Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
- On part du point A.
- Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [A,P], soit sur le milieu de [P,B].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près. Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
Un cuisinier fait des crêpes et les pose en pile à côté de la bilig au fur et à mesure de leur cuisson. Toutes les crêpes sont bien rondes mais de tailles différentes. On dispose donc d’une pile de crêpes, chacune de taille différente et il s’agit d’ordonner les crêpes dans la pile, par ordre décroissant de taille (diamètre) avec donc celle de plus petit diamètre en haut de la pile. Un seul type d'opération est autorisé pour manipuler la pile : insérer une spatule à un endroit de la pile et retourner d’un coup toutes les crêpes qui se trouvent au-dessus de la spatule. Combien de…
On cherche à compter combien de drapeaux différents on peut créer si on se fixe la forme du drapeau (nombre de bandes, etc...) et le nombre de couleurs.
On se déplace sur la droite des réels en faisant des pas de longueur variable mais plus petite que 1 (dans l'une ou l'autre direction). Comment changer l'ordre des pas (mais ni leur longueur, ni leur direction) de façon à s'éloigner le moins possible de l'origine ? Quelle est la distance optimale pour ce problème ? Est-ce qu'elle dépend du nombre de pas ?
On modélise une tondeuse automatique comme un petit disque de diamètre r. On suppose qu'elle est programmée de telle sorte qu'elle avance en ligne droite jusqu'à rencontrer le bord, là elle rebondit de telle sorte que la trajectoire du centre du robot fait un angle réfléchi égal à l'angle d'incidence. Dans un champ polygonal, on cherche à déterminer, suivant le point, la direction initiale, si tout sera tondu.
On considère une île montagneuse avec deux sommets. Y a-t-il toujours un col entre les deux sommets? Comment peut-on le trouver ?
Et s'il y a plus de deux sommets ?
Et s'il y a plus de deux sommets ?
Étudier la trajectoire de l’ombre d’un bâton (gnomon) afin d'optimiser les paramètres de construction d'une pergola et comprendre le principe de maison bio-climatique de type Heliodome.
Un nageur veut faire le tour le plus rapide de l’île à la nage.
En supposant que le nageur nage en ligne droite, trouvez un point de départ (sur la
côte) et une trajectoire qui soit la plus courte possible. Vous pourrez faire toutes les
hypothèses nécessaires sur le nageur (e.g. vitesse constante). Vous pourrez
commencer avec des formes d’îles plus simples. Essayez de généraliser votre
stratégie à n’importe quelle île de forme polygonale.
En supposant que le nageur nage en ligne droite, trouvez un point de départ (sur la
côte) et une trajectoire qui soit la plus courte possible. Vous pourrez faire toutes les
hypothèses nécessaires sur le nageur (e.g. vitesse constante). Vous pourrez
commencer avec des formes d’îles plus simples. Essayez de généraliser votre
stratégie à n’importe quelle île de forme polygonale.
Les maths du jeu "bazar, bizarre".
Un magicien propose à un spectateur de jouer une partie de cartes. La règle du jeu est simple : On utilise un jeu dont la moitié des cartes sont rouges et l’autre moitié des cartes
sont noires.
Le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu’il est possible de faire avec trois cartes différentes ; par exemple, la combinaison rouge-noir-rouge. Le magicien choisit à son tour une combinaison, par exemple rouge-rouge-noir. Le jeu est mélangé par le spectateur, le magicien coupe le jeu et le donne au spectateur faces vers le bas. Le spectateur retourne successivement les cartes…
sont noires.
Le spectateur choisit une combinaison de couleurs qu’il est possible de faire avec trois cartes différentes ; par exemple, la combinaison rouge-noir-rouge. Le magicien choisit à son tour une combinaison, par exemple rouge-rouge-noir. Le jeu est mélangé par le spectateur, le magicien coupe le jeu et le donne au spectateur faces vers le bas. Le spectateur retourne successivement les cartes…
Un célèbre sorcier demande aux élèves de sa classe de se mettre en ligne face à lui pour constituer des équipes. En tout, il y a 15 filles et 15 garçons. En tout, il y a 15 chapeaux dorés et 15 chapeaux argentés.
Les élèves se rangent comme ils le souhaitent pour former la ligne demandée par leur professeur.
« Peu importe votre façon de vous ranger, je suis sûr de trouver dans cet alignement une série de 10 élèves constituée précisément de 5 chapeaux argentés et de 5 chapeaux dorés. ».
Que peut-on en penser ??? Magique ??? Et, vous, vous êtes combien dans votre classe ?…
Les élèves se rangent comme ils le souhaitent pour former la ligne demandée par leur professeur.
« Peu importe votre façon de vous ranger, je suis sûr de trouver dans cet alignement une série de 10 élèves constituée précisément de 5 chapeaux argentés et de 5 chapeaux dorés. ».
Que peut-on en penser ??? Magique ??? Et, vous, vous êtes combien dans votre classe ?…
Des histoires de panneaux à vous faire tourner la tête : des graphes pour vous sauver... Peut-être...
Etudes de chemin sur des réseaux rectangulaires.
Etudes de chemin sur des réseaux rectangulaires.
Une personne envoie à 2 personnes ”au hasard” le mail suivant :
Ce mail est tr`es important et peut vous apporter chance et prospérité. Il est le maillon d’une chaîne qui ne doit absolument pas être rompue et doit faire le tour du monde. Si vous transférez ce mail à deux personnes, une belle surprise peut vous arrivez, mais si vous interrompez la chaîne, vous risquez bien des malheurs.
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
Ce mail est tr`es important et peut vous apporter chance et prospérité. Il est le maillon d’une chaîne qui ne doit absolument pas être rompue et doit faire le tour du monde. Si vous transférez ce mail à deux personnes, une belle surprise peut vous arrivez, mais si vous interrompez la chaîne, vous risquez bien des malheurs.
Étant donné qu’une proportion p de la population française est superstitieuse et relaiera le mail en question, le message peut-il effectivement circuler indéfiniment ?
Une entreprise de produits chimiques doit transporter 10 produit. Attention, certains produits sont incompatibles entre-eux (sous peine de réaction chimique dangereuse) et doivent être transportés séparément.
Combien de camions l’entreprise doit-elle affrêter ?
Combien de camions l’entreprise doit-elle affrêter ?
La monnaie européenne comporte 8 pièces de 1 centimes à 2 euros. Chaque pièce a une face commune à tous les pays et une face nationale propre à chacun des 19 pays qui composent la zone euro. En supposant que toutes les pièces sont frappées en nombre égal, combien de pièces (en moyenne) doivent passer entre mes mains avant de pouvoir compléter la collection de toutes les pièces existantes ? Que se passe-t-il si certaines pièces sont plus rares que d’autres ?
Un cuisinier fait des crêpes et les pose en pile à côté de la bilig au fur et à mesure de leur cuisson. Toutes les crêpes sont bien rondes mais de taille différente. On dispose donc d’une pile de crêpes, chacune de taille différente et il s’agit d’ordonner les crêpes dans la pile, par ordre décroissant de taille (diamètre) avec donc celle de plus petit diamètre en haut de la pile. Un seul type d’opération est autorisé pour manipuler la pile : insérer une spatule à un endroit de la pile et retourner d’un coup toutes les crêpes qui se trouvent au-dessus de la spatule. Combien de manipulations…
Un musicien souhaite réaliser une improvisation, mais en suivant quelques règles décrites dans un schéma donné.
1. Sachant qu’il va commencer son improvisation par un Do, combien de mélodies différentes sont possibles ?
2. Si chaque note a une durée aléatoire, choisie parmi : blanche, noire et croche ; combien de mélodies sont possibles ?
1. Sachant qu’il va commencer son improvisation par un Do, combien de mélodies différentes sont possibles ?
2. Si chaque note a une durée aléatoire, choisie parmi : blanche, noire et croche ; combien de mélodies sont possibles ?
Connaissant la longueur correspondante au nombre n = 1, est-il possible de tracer, à la règle et au compas, tous les nombres réels ?
On considère l’ensemble des nombres entiers qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres.
— Est-il possible de construire un algorithme pour déterminer tous les nombres entiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres premiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres entiers consécutifs vérifiant cette propriété ?
— Est-il possible de construire un algorithme pour déterminer tous les nombres entiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres premiers vérifiant cette propriété ?
— Existe-t’il des nombres entiers consécutifs vérifiant cette propriété ?
On considère 4 maisons, chacune étant aux 4 coins d’un carré de 1km^2 . Quel est le réseau de chemins le plus court reliant les 4 maisons ?
Le “Berlekamp’s switching game” est un jeu inventé par Elwin R. Berlekamp et David Gale. On considère un tableau m×m ampoules et 2m interrupteurs, 1 sur chaque ligne et 1 sur chaque colonne.
Quand on actionne un interrupteur, les ampoules se trouvant sur la ligne ou la colonne correspondante et qui étaient allumés sont éteintes, et celles qui étaient éteintes sont allumés.
Le jeu consiste, pour un état initial donné, à trouver comment éteindre le plus de lampes possibles.
Quand on actionne un interrupteur, les ampoules se trouvant sur la ligne ou la colonne correspondante et qui étaient allumés sont éteintes, et celles qui étaient éteintes sont allumés.
Le jeu consiste, pour un état initial donné, à trouver comment éteindre le plus de lampes possibles.
Dattathreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est un mathématicien indien.
Le procédé de Kaprekar est le procédé itératif suivant :
— On considère un nombre entier ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un premier entier N 1 ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un nombre N2 .
— Ensuite on effectue la soustraction D = N 1 − N 2 . On réitère ensuite le procédé sur la différence D.
L’algorithme de Kaprekar est dit complet lorsqu’on conserve toujours la même quantité de…
Le procédé de Kaprekar est le procédé itératif suivant :
— On considère un nombre entier ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un premier entier N 1 ;
— On ordonne les chiffres de nombre par ordre décroissant, ce qui nous donne un nombre N2 .
— Ensuite on effectue la soustraction D = N 1 − N 2 . On réitère ensuite le procédé sur la différence D.
L’algorithme de Kaprekar est dit complet lorsqu’on conserve toujours la même quantité de…
Deviner une carte piochée au hasard dans un jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle de quelques cartes suivantes, cela vous semble impossible ?
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce premier exposé, on s'appliquera à percer le secret de ce tour de magie.
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce premier exposé, on s'appliquera à percer le secret de ce tour de magie.
Deviner une carte piochée au hasard dans un jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle de quelques cartes suivantes, cela vous semble impossible ?
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce 2ème exposé, après avoir percer le secret du tour de magie, on s'appliquera pousser plus loin le tour de magie.
Découvrez comment avec un peu d'ordre et pas mal de science on peut percer le secret de cette apparente magie, et pourquoi pas voir jusqu'où pousser le tour.
Dans ce 2ème exposé, après avoir percer le secret du tour de magie, on s'appliquera pousser plus loin le tour de magie.
Nos jeunes chercheurs se sont demandés comment on pouvait modéliser le jonglage avec les mathématiques. Après avoir observé différentes figures de jonglerie, ils en ont coder plusieurs suivant le nombre de balles, la hauteur des lancers, les trajectoires... Figures de jongle, tresses et théories vont s'entremêler...
Comme l’aurait dit Monsieur de Lapalisse, entre deux nombres premiers consécutifs il n’y en a point d’autres ! Ces autres, qui ne sont pas premiers, sont dits composés. Si l’on observe la longueur des trous que forment les nombres composés entre deux nombres premiers dans la liste des nombres de 1 à 100 on constate qu’ils ne sont pas très gros. Cependant, que peut-on en dire en général : ont-ils une longueur maximale ou bien peuvent-ils être aussi longs que l’on veut ?
Dans le même ordre d’idée, on s’intéresse maintenant aux nombres composés qui sont divisibles par un carré parfait…
Dans le même ordre d’idée, on s’intéresse maintenant aux nombres composés qui sont divisibles par un carré parfait…
Madi veut transporter 3000 bananes de son village à la ville sur le dos de son éléphant. L'éléphant mange une banane par kilomètre parcouru et ne peut pas transporter plus de 1000 bananes à la fois. Madi peut éventuellement faire plusieurs étapes où il fera des allers-retours.
Nous étudierons, selon la distance entre son village et la ville, la meilleure stratégie pour arriver en ville avec le maximum de bananes;
Nous étudierons, selon la distance entre son village et la ville, la meilleure stratégie pour arriver en ville avec le maximum de bananes;
Construisons, à partir de figures élémentaires, par glissement ou par symétrie, des pavages avec des motifs d'aire 16 cm².
Odin est un chien qui se déplace en toute liberté dans le jardin. Biscotte est une petite souris électronique, qui ne se déplace que de nœud à nœud sur ce même jardin quadrillé, dans les quatre directions. dans ce problème, il s'agit de redéfinir les notions de segment, milieu, corde, alignement, médiatrice, cercle circonscrit pour Biscotte.
On joue à Puissance 3, un analogue de Puissance 4 dans lequel il s’agit d’aligner trois jetons pour gagner.
On se propose d’étudier ce jeu, en se demandant par exemple si un joueur est avantagé, et si oui quelle stratégie il doit adopter. Pour commencer on joue dans une grille de taille 3x3, puis 4x4 si on avance bien, etc
On se propose d’étudier ce jeu, en se demandant par exemple si un joueur est avantagé, et si oui quelle stratégie il doit adopter. Pour commencer on joue dans une grille de taille 3x3, puis 4x4 si on avance bien, etc
Dans le jeu du morpion, deux joueurs placent chacun à leur tour leur symbole (croix ou rond) dans une grille 3x3 et le but est d’être le premier à aligner trois de ses symboles.
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux (respectivement verticaux) sont identifiés. Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ?
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux (respectivement verticaux) sont identifiés. Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ?
On veut construire la surface d’une ruche à l’aide d’alvéoles hexagonales de mêmes dimensions, en laissant des trous pour que les abeilles puissent rentrer. Les règles de construction sont les suivantes :
— la ruche doit être d’un seul tenant (on ne peut pas avoir deux bouts de ruches séparés),
— un trou correspond à un emplacement d’alvéole vide,
— un trou doit forcément être entouré par les six alvéoles voisines
On veut faire ceci en utilisant le moins d’alvéoles possibles. De combien d’alvéoles a-t-on besoin en fonction du nombre de trous voulus ?
— la ruche doit être d’un seul tenant (on ne peut pas avoir deux bouts de ruches séparés),
— un trou correspond à un emplacement d’alvéole vide,
— un trou doit forcément être entouré par les six alvéoles voisines
On veut faire ceci en utilisant le moins d’alvéoles possibles. De combien d’alvéoles a-t-on besoin en fonction du nombre de trous voulus ?
Des bateaux se déplacent sur une grille en suivant des règles aléatoires
Comment décorer votre sapin de Noël, avec des boules et des chiffres.
Un entier est dit remarquable si l'un de ses multiples s'écrit de la forme 9.....90.....0 ; quels sont les entiers remarquables ?
Une bande de papier est pliée n fois successivement de moitié en moitié toujours dans le même sens ; elle est ensuite ouverte avec les angles de plis droits. On observe la courbe de la tranche de la bande dépliée ; quelle est la taille minimale du quadrillage contenant cette courbe ?
Combien d'arbres doivent être en feu pour que toute la forêt soit en feu ?
Combien faut-il verser de grains de sable sur un damier pour que chaque case ait un grain de sable ?
Un robot suit un chemin en respectant un code. S'il arrive sur un sommet vert, il est content, et il accepte le code, sinon il le refuse…
Trouver le nombre minimal de carrés (qui peuvent être de tailles différentes) afin de paver un rectangle dont les dimensions sont entières.
En prenant un nombre n de carrés.
Combien d'assemblages puis-je réaliser avec ces carrés ? On n'a pas droit de faire d'assemblage en diagonale.
Je comparerais les assemblages avec ou sans base.
Combien d'assemblages puis-je réaliser avec ces carrés ? On n'a pas droit de faire d'assemblage en diagonale.
Je comparerais les assemblages avec ou sans base.
Dans un quadrillage, il faut placer un maximum de points sur les intersections sans en aligner 3. Comment peut-on faire ?
Le but de ce sujet est de comprendre quels sont les déplacements possibles en n'utilisant qu'un nombre limité de mouvement de base.
Un jour, un troll qui a enfermé 100 nains dans une salle et leur annonce que le lendemain il seront disposés sur un escalier de 100 marches avec un chapeau noir ou blanc sur la tête de telle sorte qu’un nain pourra voir tous les chapeaux des nains qui se trouvent en dessous de lui.
Il leur annonce également qu’il descendra les marches une par une (en partant de la plus haute marche) en demandant à chaque marche au nain de choisir entre “noir” ou “blanc”. Si le nain répond la couleur du chapeau qu’il a sur la tête, il vit, sinon il se fait manger par le troll.
Sachant que les…
Il leur annonce également qu’il descendra les marches une par une (en partant de la plus haute marche) en demandant à chaque marche au nain de choisir entre “noir” ou “blanc”. Si le nain répond la couleur du chapeau qu’il a sur la tête, il vit, sinon il se fait manger par le troll.
Sachant que les…
Soit n un entier naturel non nul. Une sauterelle doit faire des sauts de longueur distinctes a1; ...; an entiers naturels strictement positifs. Sur son chemin, il y a des obstacles situés en les entiers positifs b1;... ; bn-1. Montrer que l’on peut ordonner les sauts de telle sorte que la sauterelle évite tous les obstacles.
On considère une fourmi se déplaçant sur les arêtes d’un tétraèdre régulier. On fixe un sommet de référence pour ce tétraèdre et on suppose que la fourmi part de ce sommet. La distance entre deux sommets du tétraèdre est supposée égale à 1 et correspond à la longueur du chemin parcouru par la fourmi allant du premier sommet vers le deuxième. On s’intéresse à la longueur des chemins parcouru par la fourmi qui partent du sommet initial. Combien y a-t-il de chemins de longueurs 7 qui terminent à la position initiale ? Combien y a-t-il de chemins de longueurs 7 qui terminent à un sommet adjacent…
Le problème de Die Hard 3 : on dispose d’un bidon d’eau de 5L et d’un de 3L que l’on peut remplir et vider à volonté. Sachant que les bidons n’ont aucun marquage, comment obtenir exactement 4L dans le bidon de 5L ?
Une généralisation du problème : On dispose d’un bidon d’eau de n litres et d’un bidon de p litres où p est un nombre premier et où n > p n’est pas un multiple de p. Pour tout entier p < q < n, comment obtenir exactement q litres dans le bidon de n litres ?
Une généralisation du problème : On dispose d’un bidon d’eau de n litres et d’un bidon de p litres où p est un nombre premier et où n > p n’est pas un multiple de p. Pour tout entier p < q < n, comment obtenir exactement q litres dans le bidon de n litres ?
Étant données n bornes à incendie dans le plan et un départ de feu, trouver la borne à incendie la plus proche du feu.
Réciproquement, quels sont tous les feux du plan qui ont besoin d'une borne donnée.
Visualisation de la solution graphiquement à l'aide du module Tkinter de Python.
Réciproquement, quels sont tous les feux du plan qui ont besoin d'une borne donnée.
Visualisation de la solution graphiquement à l'aide du module Tkinter de Python.
Avec une feuille A4, réaliser la boîte ouverte la plus grande possible, d'un volume maximum. Interdit de couper un morceau de feuille et de le recoller ailleurs.
Nombre minimal de coups pour résoudre la Tour de Hanoï
Le but est de classifier les hexagones dont chaque angle a une mesure égale à 120°. Principalement, les différentes constructions sont recherchées.
On cherche à décrire une partie de R vérifiant certaines propriétés.
Des cowboys numérotés de 1 à N sont placés sur un cercle.
A tour de rôle, les cowboys tirent sur leur voisin gauche. Un cowboy touché est éliminé du jeu.
Ce "jeu" prend fin jusqu'à ce qu'il n'y a plus qu'un seul cowboy non éliminé, le "last man standing" qui sera alors le vainqueur.
Quel est le numéro du vainqueur en fonction de N ?
A tour de rôle, les cowboys tirent sur leur voisin gauche. Un cowboy touché est éliminé du jeu.
Ce "jeu" prend fin jusqu'à ce qu'il n'y a plus qu'un seul cowboy non éliminé, le "last man standing" qui sera alors le vainqueur.
Quel est le numéro du vainqueur en fonction de N ?
Un dé rouge comporte cinq fois le chiffre 3 et une fois le chiffre 6.
Un dé vert comporte trois fois le chiffre 2 et trois fois le chiffre 5.
Un dé bleu comporte une fois le chiffre 1 et cinq fois le chiffre 4.
Le joueur 1 choisit un des trois dés et le joueur 2 choisit un des deux dés restants.
Celui qui lance le chiffre le plus haut gagne.
Est-ce que un des deux joueurs a un avantage ? Si oui, lequel ?
Quel est le meilleur choix que le joueur 1 ou le joueur 2 puisse faire ?
Mêmes questions si les joueurs lancent le même dés deux fois et si on…
Un dé vert comporte trois fois le chiffre 2 et trois fois le chiffre 5.
Un dé bleu comporte une fois le chiffre 1 et cinq fois le chiffre 4.
Le joueur 1 choisit un des trois dés et le joueur 2 choisit un des deux dés restants.
Celui qui lance le chiffre le plus haut gagne.
Est-ce que un des deux joueurs a un avantage ? Si oui, lequel ?
Quel est le meilleur choix que le joueur 1 ou le joueur 2 puisse faire ?
Mêmes questions si les joueurs lancent le même dés deux fois et si on…
Battre un jeu de cartes, oui mais comment et combien de fois ? Sur les pas, et entre les mains, du mathgicien Persi Diaconis nous nous intéresserons au mélange dit "américain" d'un jeu de cartes et nous nous attarderons sur les deux questions suivantes : qu'est-ce qu'un bon mélange ? Comment l'obtenir ?
Étant donnée une salle de musée dont les murs sont disposés le long d’un polygone simple à n côtés, on cherchera à exprimer en fonction de n un nombre minimal de gardiens valable quelque soit la forme du polygone.
On dispose de 3 colonnes verticales en haut desquelles se trouvent 3 billes numérotées de 1 à 3 et en bas desquelles se trouvent 3 bols eux aussi numérotés de 1 à 3. On peut ajouter des paliers entre les colonnes. Les billes sont lâchées les unes après les autres. Chacune tombent verticalement sauf si elle rencontre un palier auquel cas elle l'emprunte et change de colonne.
Comment placer les paliers pour que chaque bille atterrisse dans le bol qui lui correspond ?
Comment placer les paliers pour que chaque bille atterrisse dans le bol qui lui correspond ?
On appelle pyramide multiplicative une pyramide formée de nombres entiers différents de 0 et de 1 et telle que le nombre écrit dans une case est le produit des deux nombres écrits dans les cases du dessous.
Explorer le cas des pyramides à trois étages.
Explorer le cas des pyramides à quatre étages...
Explorer le cas des pyramides à trois étages.
Explorer le cas des pyramides à quatre étages...
On dispose d’une machine à calculer surprenante. Lorsqu’on entre un nombre entier n strictement positif, il en sort :
— La moitié du nombre n si celui-ci est un nombre pair,
— Le nombre 3n + 1 si n est impair.
Si le nombre obtenu est différent de 1, on l’entre à son tour dans la machine et ainsi de suite. On note L(n) le nombre de passages dans la machine.
Par exemple : On choisit n = 6. Après un premier passage dans la machine, il sort le nombre 3. On entre 3 dans la machine, on obtient 10. On entre 10, il sort 5. On entre 5, il sort 16, etc.
On peut…
— La moitié du nombre n si celui-ci est un nombre pair,
— Le nombre 3n + 1 si n est impair.
Si le nombre obtenu est différent de 1, on l’entre à son tour dans la machine et ainsi de suite. On note L(n) le nombre de passages dans la machine.
Par exemple : On choisit n = 6. Après un premier passage dans la machine, il sort le nombre 3. On entre 3 dans la machine, on obtient 10. On entre 10, il sort 5. On entre 5, il sort 16, etc.
On peut…
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est fort s’il peut s’écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls dont la somme des inverses est égale à 1.
Exemple : La seule décomposition pour 2 est 2 = 1+1. Or 1/1+1/1 n'est pas égal à 1 par conséquent 2 n’est pas fort.
1. L’entier 3 est-il fort ?
2. Existe-t-il des entiers forts ?
3. S’il en existe, trouver des propriétés satisfaites par ces nombres ? Indication : par exemple, que dire du carré d’un entier fort ?
Exemple : La seule décomposition pour 2 est 2 = 1+1. Or 1/1+1/1 n'est pas égal à 1 par conséquent 2 n’est pas fort.
1. L’entier 3 est-il fort ?
2. Existe-t-il des entiers forts ?
3. S’il en existe, trouver des propriétés satisfaites par ces nombres ? Indication : par exemple, que dire du carré d’un entier fort ?
Un joaillier possède une machine qui lui permet de tester la qualité de ses diamants en testant leur dureté. Sa machine se règle avec une force qui va de 1 à 100. Un réglage à 1 n’est que très peu exigeant alors qu’un réglage à 100 est extrêmement exigeant sur la qualité du diamant testé. Si la pierre testée est d’une qualité inférieure à celle attendue, celle-ci se brise lors du test. Il ne faut donc pas faire n’importe quoi ! Notre joaillier a en sa possession actuellement deux diamants taillés dans le même diamant de départ et décide que tous les diamants qu’il achètera à partir de…
Prenons un entier, par exemple 5, et une grille rectangulaire. Le sujet consiste alors à partager la grille en 5 parties de manière à rendre minimal le maximum des diamètres des parties.
On peut évidemment faire varier l'entier choisi et la taille de la grille.
On peut évidemment faire varier l'entier choisi et la taille de la grille.
On réalise un carré de 3 perles de côté puis on y colle un carré de 4 perles puis de 5 perles et ainsi de suite.
De combien de perles aura-t-on besoin si on souhaite poursuivre la figure jusqu'au carré de 20 perles de côté ?
Existe-t-il une formule pour savoir combien de perles il faut pour un nombre donné de carrés ?
Peut-on généraliser le résultat à d'autres figures ?
De combien de perles aura-t-on besoin si on souhaite poursuivre la figure jusqu'au carré de 20 perles de côté ?
Existe-t-il une formule pour savoir combien de perles il faut pour un nombre donné de carrés ?
Peut-on généraliser le résultat à d'autres figures ?
Une moulière rectangulaire est découpée en secteurs rectangulaires de même taille. Dans certains secteurs se trouvent une colonie de moules. La position des secteurs colonisés évolue année après année selon 7 règles précises.
En suivant ces 7 règles, est-il possible de trouver une manière de positionner les colonies de moules l'année zéro dans une moulière de taille quelconque pour qu'elles survivent éternellement, c'est-à-dire pour qu'il y ait chaque année des moules dans certains secteurs de la moulière ?
En suivant ces 7 règles, est-il possible de trouver une manière de positionner les colonies de moules l'année zéro dans une moulière de taille quelconque pour qu'elles survivent éternellement, c'est-à-dire pour qu'il y ait chaque année des moules dans certains secteurs de la moulière ?
Dix elfes se tiennent en file indienne avec un bonnet rouge ou bleu sur la tête. En commençant par l’arrière de la file, chaque elfe doit deviner la couleur de son bonnet. En cas de bonne réponse, l’elfe gagne le jeu ; en cas de mauvaise réponse, l’elfe est éliminé. Les elfes entendent les propositions des autres.
Sur quelle stratégie les elfes peuvent-ils se mettre d’accord avant le début du jeu pour qu’un maximum d’entre eux gagnent ?
Même question que précédemment mais avec cent couleurs différentes
Sur quelle stratégie les elfes peuvent-ils se mettre d’accord avant le début du jeu pour qu’un maximum d’entre eux gagnent ?
Même question que précédemment mais avec cent couleurs différentes
Trois elfes sont placés en cercle avec un bonnet de couleur rouge ou bleue sur la tête. Au signal de départ, les trois elfes doivent simultanément deviner la couleur de leur bonnet, ou bien dire "Je passe".
Si au moins un elfe fait une proposition correcte et les autres elfes ne font pas de proposition incorrecte, alors le jeu est gagné.
Si au moins une proposition est incorrecte ou si les trois elfes passent leur tour, alors le jeu est perdu.
Quelle stratégie adopter pour que les elfes gagnent au jeu avec une probabilité de 75 % ?
Même question que…
Si au moins un elfe fait une proposition correcte et les autres elfes ne font pas de proposition incorrecte, alors le jeu est gagné.
Si au moins une proposition est incorrecte ou si les trois elfes passent leur tour, alors le jeu est perdu.
Quelle stratégie adopter pour que les elfes gagnent au jeu avec une probabilité de 75 % ?
Même question que…
Cent elfes décident de jouer à un jeu où des bonnets sont placés aléatoirement sur la tête des participants. Chaque bonnet possède une couleur, rouge ou bleu, et chaque elfe peut voir la couleur des bonnets des autres joueurs, mais pas la sienne. A tour de rôle, chaque elfe va tenter de deviner la couleur de son bonnet. Le but du jeu est qu’un maximum d’elfes devinent correctement leur couleur. Les elfes peuvent établir une stratégie coopérative avant le début de jeu mais, une fois les bonnets placés sur les têtes, aucune communication n’est autorisée.
Quelle est la meilleure stratégie…
Quelle est la meilleure stratégie…
Un princesse demande à faire refaire sa salle de bain. Elle veut que le carrelage soit serti de diamants (sur les joints). Quelle forme de carrelage choisir pour que ce carrelage coûte le moins cher possible ?
Une partition d’un nombre entier n est une suite de nombre entiers non nuls tels que leur somme est égale à n. Le nombre 2 a pour partition (1, 1) et (2). Le nombre 7 admet (3, 3, 1) pour partition. On cherche à savoir laquelle des partitions d’un nombre n, donne le plus grand nombre par multiplication de ses nombres. Par exemple, pour 9, cette partition “maximale” est (3, 3, 3). Est il possible de trouver ce résultat pour tout n ? Quand on comptabilise seulement les partitions de deux entiers ? De trois entiers ? Quand ces partitions sont composés seulement de nombres différents ?
Un canard se trouve au centre d’une mare circulaire de 10 m de rayon et un loup au bord. Le canard ne peut s’envoler que du bord de la mare et le loup
ne sait pas nager. Les deux animaux se déplacent toujours à vitesse constante et ne se fatiguent jamais.
1) Si le canard nage à 1m/s et le loup court à 4m/s, le canard pourra-t-il s'échapper ?
2) Quel est le plus grand rapport (vitesse loup/vitesse canard) pour lequel le canard atteint le bord de la mare avant le loup ?
ne sait pas nager. Les deux animaux se déplacent toujours à vitesse constante et ne se fatiguent jamais.
1) Si le canard nage à 1m/s et le loup court à 4m/s, le canard pourra-t-il s'échapper ?
2) Quel est le plus grand rapport (vitesse loup/vitesse canard) pour lequel le canard atteint le bord de la mare avant le loup ?
En reprenant l'affaire des Clark, famille britannique dont les deux nourrissons sont morts, on pourra aborder la notion de probabilités conditionnelles et d'événements rares ayant lieu sur des populations petites. L'étude des détails de cette affaire mathématico-judiciaire est aussi l'occasion de confronter les différents calculs mis en œuvre par les parties prenantes pour aborder de manière critique et raisonnée les faits d'actualité.
Les données numériques sont : 700 000 naissances par an en Grande-Bretagne, 1 mort subite du nourrisson pour 8 543 naissances,…
Les données numériques sont : 700 000 naissances par an en Grande-Bretagne, 1 mort subite du nourrisson pour 8 543 naissances,…
On considère un gâteau, que l'on se propose de couper plusieurs fois, avec un couteau dont la lame est suffisamment grande. Combien de parts au maximum est-il possible d'obtenir en un nombre donne n de coups de couteau ? (Diverses extensions possibles du sujet)
Nous sommes dans une forêt infinie...
Les arbres sont parfaitement alignés à égale distance les uns des autres, comme s'ils étaient aux intersections des lignes d'une feuille à petits carreaux infinie. Dans chaque arbre il y a un coucou, et on suppose qu'ils sont tous à la même hauteur dans leur arbre et qu'ils peuvent voir dans toutes les directions horizontales. Deux coucous ne peuvent donc se voir que s'il n'y a pas un autre arbre entre eux.
A quelle condition deux coucous pris au hasard dans la forêt peuvent-ils se voir l'un l'autre?…
Les arbres sont parfaitement alignés à égale distance les uns des autres, comme s'ils étaient aux intersections des lignes d'une feuille à petits carreaux infinie. Dans chaque arbre il y a un coucou, et on suppose qu'ils sont tous à la même hauteur dans leur arbre et qu'ils peuvent voir dans toutes les directions horizontales. Deux coucous ne peuvent donc se voir que s'il n'y a pas un autre arbre entre eux.
A quelle condition deux coucous pris au hasard dans la forêt peuvent-ils se voir l'un l'autre?…
On souhaite développer une intelligence artificielle capable d’obtenir le meilleur score au jeu Wordle.
Objectifs :
• Trouver le mot correspondant au meilleur premier essai possible étant donnée la premier lettre
• Trouver le second meilleur essai en fonction des résultats du premier
• Etendre la méthode pour 5 essais
• Développer l’algorithme
Objectifs :
• Trouver le mot correspondant au meilleur premier essai possible étant donnée la premier lettre
• Trouver le second meilleur essai en fonction des résultats du premier
• Etendre la méthode pour 5 essais
• Développer l’algorithme
Enoncé : Un fermier doit passer la rivière dans une barque juste assez grande pour lui et son loup, ou lui et sa chèvre, ou lui et ses choux. Les choux seront mangés s’il les laisse seuls avec la chèvre, et la chèvre sera mangée s’il la laisse seule avec le loup. Comment faire passer tout ce monde sans dégâts?
Objectifs :
• Trouver la solution
• Trouver une fa ̧con ”mathématique” de représenter le problème et la solution
• Etendre le formalisme à des variantes du problème
Objectifs :
• Trouver la solution
• Trouver une fa ̧con ”mathématique” de représenter le problème et la solution
• Etendre le formalisme à des variantes du problème
Traitement automatique des langues
Enoncé : Vous voulez coder un correcteur automatique. Lorsqu’un mot incorrect est écrit, comment pouvez vous décider par quel mot le remplacer ?
Considérez que vous n’avez pas besoin de déterminer si le mot est correct. Votre tâche est de déterminer quel est le mot le plus proche.
Enoncé : Vous voulez coder un correcteur automatique. Lorsqu’un mot incorrect est écrit, comment pouvez vous décider par quel mot le remplacer ?
Considérez que vous n’avez pas besoin de déterminer si le mot est correct. Votre tâche est de déterminer quel est le mot le plus proche.
On prépare le bac et il faut décider de quelle épreuve aura lieu dans quelle salle. Mais le nombre de surveillants est limité et vous voulez donc réduire
autant que possible le nombre de salles de classes requises pour faire passer leurs examens à tous les élèves. Pensez bien à toutes les contraintes, définissez
le problème en terme mathématiques et décidez d’une approche systématique pour assigner les salles.
autant que possible le nombre de salles de classes requises pour faire passer leurs examens à tous les élèves. Pensez bien à toutes les contraintes, définissez
le problème en terme mathématiques et décidez d’une approche systématique pour assigner les salles.
Vous connaissez probablement déjà le jeu du Sudoku. Réfléchissez à un moyen de représenter le jeu et de le résoudre.
Rappel des règles : Dans une grilles de 9*9, divisée en 9 carré de 3*3. Chaque ligne et chaque carré doit contenir une et une seule occurence de chaque chiffre de 1 à 9. Le joueur commence avec certains chiffres fixés.
Rappel des règles : Dans une grilles de 9*9, divisée en 9 carré de 3*3. Chaque ligne et chaque carré doit contenir une et une seule occurence de chaque chiffre de 1 à 9. Le joueur commence avec certains chiffres fixés.
Des points sont placés sur une feuille de papier. On dispose d'un crayon bleu et d'un crayon rouge. On cherche à relier tous les couples de points avec le crayon bleu ou rouge, sans jamais tracer de triangle monochrome.
Est-ce possible pour 4 points ? pour 5 points ? pour 6 points ? pour 7 points ? Que se passe-t-il avec 3 couleurs ?
Est-ce possible pour 4 points ? pour 5 points ? pour 6 points ? pour 7 points ? Que se passe-t-il avec 3 couleurs ?
Prenons un jeu de 3 cartes. On mélange ces cartes suivant l’un des 6 codes possibles : 123, 132, 213, 231, 312 ou 321. Par exemple, le code 231 indique
que la carte numéro 2 doit être placée en 1ère position, la carte numéro 3 en 2éme position, et la carte numéro 1 en 3ème position. Maintenant on répète ce même code plusieurs fois de suite. Retrouve-t-on forcément la position initiale des cartes ?
Si oui, ce phénomène étrange se produit-il encore si on augmente le nombre de cartes ? D'ailleurs, combien y a-t-il de codes de mélange pour 4 cartes , Et pour 5 cartes ?
que la carte numéro 2 doit être placée en 1ère position, la carte numéro 3 en 2éme position, et la carte numéro 1 en 3ème position. Maintenant on répète ce même code plusieurs fois de suite. Retrouve-t-on forcément la position initiale des cartes ?
Si oui, ce phénomène étrange se produit-il encore si on augmente le nombre de cartes ? D'ailleurs, combien y a-t-il de codes de mélange pour 4 cartes , Et pour 5 cartes ?
Il s'agit de construire des chaines de Steiner. Les chaines de Steiner sont constituées de deux cercles l'un dans l'autre (ils ne se coupent pas), l'un extérieur l'autre intérieur. Entre ces cercles, on dispose d'autres cercles, qui doivent être tangents deux à deux, et tangents aux cercles intérieurs et extérieurs.
On construit dans un premier temps ce qu'on appelle un "roulement" : deux cercles concentriques, avec entre eux des cercles de mêmes rayons qui doivent être tangents entre eux, ainsi qu'aux cercles intérieurs et extérieurs.…
On construit dans un premier temps ce qu'on appelle un "roulement" : deux cercles concentriques, avec entre eux des cercles de mêmes rayons qui doivent être tangents entre eux, ainsi qu'aux cercles intérieurs et extérieurs.…
On crée un ruban de Möbius, puis on essaie de lui appliquer différents découpage pour observer ce qui se passe. On peut par exemple le couper le long de sa moitié ; ou le long du tiers...
Certains nombres, lorsqu'on les multiplie par un autre, donne un résultat ne s'écrivant qu'avec des 1. Peut-on multiplier 2023 par un nombre entier pour obtenir un résultat ne s'écrivant qu'avec des 1 ? Et pour 2022 ?
Des araignées ont tissé une toile suspendue uniquement au plafond. Une fois le travail terminé, chacune reste suspendue à un des fils de la toile. Deux joueurs coupent un fil l'un après l'autre. Celui qui retire le dernier fil a perdu.
Sur une toile donnée, quelle est la stratégie permettant de savoir lequel des 2 joueurs va gagner ?
Sur une toile donnée, y a-t-il une façon de jouer pour que la partie soient la plus longue possible ?
Sur une toile donnée, quelle est la stratégie permettant de savoir lequel des 2 joueurs va gagner ?
Sur une toile donnée, y a-t-il une façon de jouer pour que la partie soient la plus longue possible ?
Lors d’une escale à Tortuga, les « n » marins d’un navire descendent du bateau et vont visiter les bistrots mal famés du vieux port. A la fermeture, tous les marins ivres regagnent de nuit leur bateau. Chacun se couche dans un hamac ”au hasard” (Il n’ y a qu’un marin par hamac).
Questions :
- Quelle est la probabilité qu’aucun d’eux ne couche dans son propre hamac ?
- Quelle est la limite de cette probabilité lorsque « n » tend vers l’infini
Questions :
- Quelle est la probabilité qu’aucun d’eux ne couche dans son propre hamac ?
- Quelle est la limite de cette probabilité lorsque « n » tend vers l’infini
Partons d'un mot binaire constitué des symboles 0 et 1. Son mot dérivé s'obtient en remplaçant chaque paire consécutive de symboles par leur somme : 0 + 0 = 1 + 1 = 0 ; 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Par exemple, en partant du mot 0010, le mot dérivé est 011. Le triangle dérivé s'obtient en répétant cette opération jusqu'au bout. Dans le triangle obtenu à partir du mot 0010, il y a autant de 0 que de 1 : on dit que ce triangle est balancé.
But : construire des triangles dérivés balancés aussi grands que possible. Quelles tailles peut-on atteindre ?
But : construire des triangles dérivés balancés aussi grands que possible. Quelles tailles peut-on atteindre ?
Le labyrinthe est formé de coupelles qui contiennent des billes oranges et vertes et des tubes qui relient les coupelles entre elles. Le jeu consiste à provoquer des éboulements à partir des coupelles selon certains critères.
- Peut-on toujours faire disparaître toutes les billes ? Sinon combien reste-t-il de billes de chaque couleur ?
- Combien il y a de configurations stables ?
- Si on augmente le nombre de billes ou de coupelles, qu'est ce qui change ?
- Peut-on toujours faire disparaître toutes les billes ? Sinon combien reste-t-il de billes de chaque couleur ?
- Combien il y a de configurations stables ?
- Si on augmente le nombre de billes ou de coupelles, qu'est ce qui change ?
On appelle n-dobble un jeu où chaque carte a n dessins. En faisant varier n :
- Combien peut-on avoir de cartes différentes ? et de dessins ?
- Combien peut-on avoir de cartes différentes ? et de dessins ?
Recherche d'une stratégie gagnante pour le jeu de Sprouts
Etude du jeux de Nim dans plusieurs cas : un tas (règles différentes sur le nombre de tirage d'allumettes), plusieurs tas. Construction d'une IA par renforcement de modèle physique et python.
Sur une grille rectangulaire n*m chaque joueur pose un domino un joueur ne peut les poser qu'en vertical et l'autre qu'en horizontal. Y a t'il une stratégie gagnante pour le premier ou le deuxième joueur ?
Des pions bicolores recouvrent un damier, blancs dessus, noirs dessous. Quand on retourne un pion, on retourne aussi ses voisins (4 voisins en général, sauf au bord)
Question : Peut-on passer d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
Question : Peut-on passer d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
Pour gagner un joueur choisit une séquence de pile ou face de longueur 3, puis une autre... À chaque fois qu'elle apparait il gagne un point. Le premier qui arrive à trois points gagne.
l'objectif est de remplir le plus vite possible un rectangle avec un choix de polyominos.
This subject consists of studying a "machine" made of a cup and legos. It will play against a human. According to its victories and defeats it will learn and after a few games it will be able to beat any person.
https://padlet.com/proalh/isd27i55rpj2tlf8
https://padlet.com/proalh/isd27i55rpj2tlf8
Choose your own way of weaving and try to build a "machine" that can make it with paper strips.
https://padlet.com/proalh/iv49nkr21vku7x98
https://padlet.com/proalh/iv49nkr21vku7x98
We have a certain number of stacked coins. A stack of coins can be turned over partly, but only by starting from the top of the stack. How many times do you have to repeat this operation to get all the coins on the front side? How should we proceed in general?
https://padlet.com/proalh/txojjc60gtfmglu3
https://padlet.com/proalh/txojjc60gtfmglu3
https://padlet.com/hubertproal/mxrqw3gra3iw9he4
We take a convex plane figure. The diameter of the figure is the greatest distance between two points of this figure. To this figure (A) we can "add" a point M outside the figure by considering the convex envelope formed by A and M. It is like placing a rubber band around A and M. A figure is said to be "inflated" when the addition of any point in the plane (in the above sense) increases its diameter.
Try inflating a square and other shapes. What can be said about inflated figures of the same diameter?
https://padlet.com/hubertproal/rmz2kgtpgi2p8m0v
Try inflating a square and other shapes. What can be said about inflated figures of the same diameter?
https://padlet.com/hubertproal/rmz2kgtpgi2p8m0v
https://padlet.com/hubertproal/2zfp54dbkemsovbx
In an isolated environment, we study the relation between a certain type of parasite and their host and how these evolve with time t (continuous or discrete). In our model, parasites deposit eggs on their hosts and when the eggs hatch, the host dies. Denote by H and P the number of hosts and parasites respectively (these can be modelled as a function of t). At each step (unit time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host meet. One can assume that this probability is proportional to the product H.P of the populations.
We are given fixed values…
We are given fixed values…
https://padlet.com/hubertproal/lolpgt1l52bi5lc8
Combien de Reines peut-on placer au maximum sur run échiquier?
On dispose d'un nombre fixé de 1, de l'addition, de la multiplication et de parenthèses. Quel est le plus grand nombre qu'on puisse obtenir? Autre question : combien de façon a-t-on d'écrire un nombre donné avec des uns et les opérations citées?
n personnes sont dans un champ, elle marche à la même vitesse. Où peuvent-elles se rencontrer le plus vite?
Etudier les propriété d'autosimilarité du triangle de Pascal modulo n suivant le nombre n
Etudier les propriétés d'uns forme à laquelle on enlève systématiquement en au fur à mesure des formes semblables à la forme initiale. Et en réitérant un grand nombre de fois, que devient l'ensemble des points obtenus.
Etudier les propriétés de formes pouvant être pavées par des formes semblables. Combien de pavages possibles, de formes possibles... ?
A partir de 4 déplacements élémentaires droite gauche avant et arrière, et en utilisant la récursivité, coder des trajectoires d'un robot et étudier leurs propriétés
Etudier la forme de plante obtenue obtenue par un procédé de génération fractale d'ordre 2
Déterminer le plus court chemin entre plusieurs points
Méthode pour calculer la surface d'un champ par moyenne
Ecrire le plus grand nombre possible en n'utilisant que des 1 avec des sommes et des produits
À la fin de sa journée de travail, un cowboy quitte le corral où il a rentré ses vaches et rentre chez lui. Il a fait chaud, il a soif et son cheval aussi. Il doit donc passer à la rivière pour le faire boire avant de rentrer chez lui. Le corral et la maison sont du même côté de la rivière. Comment s'y prendre pour minimiser la distance à parcourir ? Le cowboy est bon en maths et la rivière obligatoirement rectiligne .
- Soit ABC un triangle . Comment choisir trois points M,N,P sur chacun des côtés de ABC pour que le triangle MNP ait la plus petite longueur possible ?
-…
- Soit ABC un triangle . Comment choisir trois points M,N,P sur chacun des côtés de ABC pour que le triangle MNP ait la plus petite longueur possible ?
-…
On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante :
chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle.
On pose alors les deux questions suivantes :
1: Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2: Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle.
On pose alors les deux questions suivantes :
1: Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2: Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
On considère une tablette de chocolat de taille nxm dont le carré en bas à gauche est empoissonné.
À tour de rôle, deux joueurs choisissent un carré de la tablette et retirent ce carré, ainsi que tous les carrés qui se trouvent à la droite et/ou au-dessus de celui-ci.
Le joueur qui mange le carré empoisonné a perdu.
Questions :
Est-ce qu'un des deux joueurs a une stratégie gagnante dans ce jeu ? Si oui, laquelle ? Essayer de trouver une telle stratégie.
À tour de rôle, deux joueurs choisissent un carré de la tablette et retirent ce carré, ainsi que tous les carrés qui se trouvent à la droite et/ou au-dessus de celui-ci.
Le joueur qui mange le carré empoisonné a perdu.
Questions :
Est-ce qu'un des deux joueurs a une stratégie gagnante dans ce jeu ? Si oui, laquelle ? Essayer de trouver une telle stratégie.
On suppose qu'une pizza est un disque et qu'on la découpe en faisant des coupes droites.
Questions :
==> Quel est le nombre maximal de morceaux de pizza qui peut être obtenu avec n coupes droites ?
==> Quel est le nombre minimal de morceaux ?
==> Est-ce possible d'obtenir tout nombre de morceaux entre le nombre minimal et le nombre maximal ?
Questions :
==> Quel est le nombre maximal de morceaux de pizza qui peut être obtenu avec n coupes droites ?
==> Quel est le nombre minimal de morceaux ?
==> Est-ce possible d'obtenir tout nombre de morceaux entre le nombre minimal et le nombre maximal ?
Devant vous se trouvent deux tas de biscuits : sur le premier se trouvent des biscuits au chocolat, sur le deuxième des biscuits au sucre. Avec un ami, vous jouez au jeu suivant :
Tout à tour, vous prenez des biscuits selon les règles suivantes :
==> soit autant de biscuits au chocolat que vous voulez (mais pas de biscuits au sucre) ;
==> soit autant de biscuits au sucre que vous voulez (mais pas de biscuits au chocolat) ;
==> soit le même nombre de biscuits au chocolat que de biscuits au sucre c'est-à-dire autant de biscuits que vous voulez, mais…
Tout à tour, vous prenez des biscuits selon les règles suivantes :
==> soit autant de biscuits au chocolat que vous voulez (mais pas de biscuits au sucre) ;
==> soit autant de biscuits au sucre que vous voulez (mais pas de biscuits au chocolat) ;
==> soit le même nombre de biscuits au chocolat que de biscuits au sucre c'est-à-dire autant de biscuits que vous voulez, mais…
On considère un gratte-ciel qui a une infinité d'étages. Il n'y a qu'un seul ascenseur dans l'immeuble, dans lequel se trouvent les trois boutons suivants :
==> 0 : fait redescendre l'ascenseur au rez-de-chaussée ;
==> P : fait monter l'ascenseur de P étages (P appartient à N)
==> Q : fait monter l'ascenseur de Q étages (Q appartient à N) ;
On peut utiliser chacun des boutons autant de fois qu'on veut.
Questions :
Combien d'étages sont accessibles/non accessibles à partir du rez-de-chaussée ?…
==> 0 : fait redescendre l'ascenseur au rez-de-chaussée ;
==> P : fait monter l'ascenseur de P étages (P appartient à N)
==> Q : fait monter l'ascenseur de Q étages (Q appartient à N) ;
On peut utiliser chacun des boutons autant de fois qu'on veut.
Questions :
Combien d'étages sont accessibles/non accessibles à partir du rez-de-chaussée ?…
Pour tout nombre naturel N, on note S2(N) le nombre obtenu en faisant la somme des carrés des chiffres de N.
Exemple : N = 326
On trouve S2(N) = 32 + 22 + 62 = 49.
On réitère la même opération : on trouve S2(49) = 97. Puis S2(97) = 130, S2(130) = 10,
S2(10) = 1, et puis la suite devient constante.
— Aboutit-on toujours à 1, quel que soit le nombre N de départ ? Sinon, à quel autre
nombre ?
— Ou bien y a-t-il des trajectoires cycliques, ou cycliques au-delà d’un certain rang ?
— Y a-t-il des comportements plus fréquents que d’autres ?
—…
Exemple : N = 326
On trouve S2(N) = 32 + 22 + 62 = 49.
On réitère la même opération : on trouve S2(49) = 97. Puis S2(97) = 130, S2(130) = 10,
S2(10) = 1, et puis la suite devient constante.
— Aboutit-on toujours à 1, quel que soit le nombre N de départ ? Sinon, à quel autre
nombre ?
— Ou bien y a-t-il des trajectoires cycliques, ou cycliques au-delà d’un certain rang ?
— Y a-t-il des comportements plus fréquents que d’autres ?
—…
On prend un carré de cellule on infecte certaines cellules avec deux modes contaminations bien définis, de quelle manière faut-il disposer les cellules infectées pour contaminer l'ensemble des cellules ?
On dispose d'un plateau de 100 cases, le joueur un choisi un nombre de graines et les dépose dans la première case. Le joueur 2 est le premier à jouer, il prend une graine dans chaque case où il y en a et les dépose dans la case suivantes vide. Le jeu s'arrête lorsque la dernière case est pourvue de graine.
Le joueur 1 gagne si le nombre de graine est impair sinon le joueur 2 gagne
Le joueur 1 gagne si le nombre de graine est impair sinon le joueur 2 gagne
Le chocolat est très bon, sauf le carré en bas à gauche de la tablette, qui est empoisonné. Les deux amis jouent à un jeu dangereux : chacun à son tour, en commençant par Alfred, un joueur choisit un carreau et mange ce carreau, ainsi que tous ceux qui se trouvent au-dessus et à droite de celui-ci. Comment Alfred et Brigitte doivent-ils jouer pour sauver leur peau ?
Un sauveteur est sur la plage et aperçoit au loin un baigneur qui se noie. Il nage à 3 km/h et court à 15km/h. Modélisez ce problème.
Pour différentes distances du baigneur et du sauveteur au rivage, calculez le temps de trajet de ce dernier.
Est-il possible de trouver une solution générale pour le meilleur trajet du sauveteur ?
Pour différentes distances du baigneur et du sauveteur au rivage, calculez le temps de trajet de ce dernier.
Est-il possible de trouver une solution générale pour le meilleur trajet du sauveteur ?
Un four solaire fonctionne en concentrant les rayons du soleil en un point.
Vous vous intéressez à la construction d'un four solaire, en proposant différents modèles.
Modéliser la construction d'un four solaire à l'aide de miroirs.
Modéliser la construction d'un four solaire à l'aide d'une surface réfléchissante souple.
Pour un modèle de votre choix, calculer la taille nécessaire du four afin de faire bouillir de l'eau.
Vous vous intéressez à la construction d'un four solaire, en proposant différents modèles.
Modéliser la construction d'un four solaire à l'aide de miroirs.
Modéliser la construction d'un four solaire à l'aide d'une surface réfléchissante souple.
Pour un modèle de votre choix, calculer la taille nécessaire du four afin de faire bouillir de l'eau.
Les familles O’Timmins (T) et O’Hara (H) sont rivales de générations en générations. Pour essayer de les réconcilier il est décidé d’aligner des membres de ces 2 familles et de demander à chacun de serrer la main à ses voisins. Pour cela on souhaite procéder à un mélange aussi irrégulier que possible.
Je ne sais pas vous mais moi je tombe presque toujours sur la fève lorsque je coupe la galette des rois ! Et si on calculait ou estimait cette probabilité ?
On pourra commencer par discuter sur la forme de la galette et de la fève, sur le nombre de parts, sur ce que veut dire couper « au hasard » etc.
On pourra commencer par discuter sur la forme de la galette et de la fève, sur le nombre de parts, sur ce que veut dire couper « au hasard » etc.
K3 est un jeu de stratégie où l'on doit construire une pyramide à l'aide de blocs de couleurs en respectant la règle suivante :
« Un bloc de couleur doit être posé à cheval sur deux autres blocs dont au moins l'un des deux est de la même couleur ».
On peut avoir des jokers avec les blocs sans couleur qui peuvent être posés sans aucune restriction de couleurs.
On se demande ici comment l'on peut construire des pyramides en se donnant des conditions sur les couleurs.
« Un bloc de couleur doit être posé à cheval sur deux autres blocs dont au moins l'un des deux est de la même couleur ».
On peut avoir des jokers avec les blocs sans couleur qui peuvent être posés sans aucune restriction de couleurs.
On se demande ici comment l'on peut construire des pyramides en se donnant des conditions sur les couleurs.
On aligne sur une table 30 couverts (15 couteaux et 15 fourchettes) sans aucun ordre particulier. Pourquoi Évariste peut-il être sûr de trouver 10 couverts placés côte à côte où il y aura 5 fourchettes et 5 couteaux?
Dans le bureau d'Alan, j'ai trouvé une drôle de calculatrice. Elle n'a qu'une touche d'opération.
Que se cache-t-il derrière cette étrange opération ? Me permet-elle de calculer des sommes, des différences, des produits ou des quotients?
Que se cache-t-il derrière cette étrange opération ? Me permet-elle de calculer des sommes, des différences, des produits ou des quotients?
Antoine propose à son ami Blaise de faire un petit jeu de hasard. Il utilise un jeu de 32 cartes (il y a donc 16 cartes rouges et 16 cartes noires). Chaque joueur annonce une séquence de 3 couleurs (par exemple rouge, rouge, noire pour l'un et rouge, noire, rouge pour l'autre). Ensuite ils tirent à tour de rôle une carte dans le jeu et notent la couleur avant de remettre la carte dans le jeu. Le joueur qui gagne est celui dont la séquence apparaît en premier. Très vite Antoine s'aperçoit que, quand il annonce sa séquence en premier, c'est très souvent Blaise qui gagne.…
Un prisonnier se trouve dans une prison circulaire en position P et on fixe une distance ε > 0.
A chaque étape, le prisonnier choisit une direction le long de laquelle il veut se déplacer et le gardien choisit le sens dans lequel va se déplacer le prisonnier. Le prisonnier se déplace alors dans la bonne direction et le bon sens d’une distance ε pour se retrouver en position P1. On reproduit les mêmes étapes jusqu’à ce que le prisonnier rencontre ou dépasse un bord de la prison. Il est alors libre.
Le but du prisonnier est de sortir le plus rapidement possible et celui du…
A chaque étape, le prisonnier choisit une direction le long de laquelle il veut se déplacer et le gardien choisit le sens dans lequel va se déplacer le prisonnier. Le prisonnier se déplace alors dans la bonne direction et le bon sens d’une distance ε pour se retrouver en position P1. On reproduit les mêmes étapes jusqu’à ce que le prisonnier rencontre ou dépasse un bord de la prison. Il est alors libre.
Le but du prisonnier est de sortir le plus rapidement possible et celui du…
L’animateur d’un jeu a posé sur une table une file de jetons jaunes ou rouges. Par exemple :
JJRRRJRRJJJJRJJJRR
Ensuite chacun des joueurs à son tour prend des jetons en partant de la fin de la file, et en prenant des jetons d’une seule couleur. Ainsi, avec le jeu proposé le premier joueur a la possibilité de prendre 1 ou 2 jetons rouges. Le joueur qui n’a plus de jetons à prendre a perdu.
Saurez-vous analyser entièrement ce jeu ?
JJRRRJRRJJJJRJJJRR
Ensuite chacun des joueurs à son tour prend des jetons en partant de la fin de la file, et en prenant des jetons d’une seule couleur. Ainsi, avec le jeu proposé le premier joueur a la possibilité de prendre 1 ou 2 jetons rouges. Le joueur qui n’a plus de jetons à prendre a perdu.
Saurez-vous analyser entièrement ce jeu ?
Différentes méthodes pour déterminer le gagnant d'une élection.
Une personne joue à un jeu de dé de la manière suivante. On a 5 tours. A chaque tour, le joueur lance un dé, puis décide soit de s’arrêter et de gagner le résultat du dé, soit de relancer le dé. Quand il relance le dé, le résultat du lancer précédent est oublié. Quelle est la meilleure stratégie pour gagner le plus en moyenne ?
Quentin a inventé une famille de nombres entiers. Ils ne commencent pas par 0 et sont formés de chiffres tous différents. De plus, la somme de trois chiffres consécutifs d’un nombre de Quentin est toujours un multiple de 5. Le nombre de chiffres d’un nombre de Quentin est appelé sa longueur.
Quelle est la longueur maximale d’un nombre de Quentin ?
Quelle est la longueur maximale d’un nombre de Quentin ?
L’avenue d’une grande ville est équipée de 10 lampadaires, numérotés de 1 à 10. Chaque soir, l’allumeur de lampadaires les parcourt tous du dernier jusqu’au premier, et les allume ou les éteint selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé, alors celui qui porte le numéro suivant change d’état (s’il était allumé, il s’éteint, et inversement). Malheureusement, il est un peu distrait et laisse les lampadaires allumés d’un soir à l’autre. Le premier soir, seul le premier lampadaire est allumé. Y aura t-il un soir où tous les lampadaires seront allumés ? Peut-on prédire ce qu’il va se…
- Avec trois allumettes de même longueur, on peut construire un triangle équilatéral.
Avec 5 allumettes, on peut en construire deux (avec une arête commune).
Combien de triangles équilatéraux peut-on construire avec 6 allumettes, avec 7, etc ?
Avec 5 allumettes, on peut en construire deux (avec une arête commune).
Combien de triangles équilatéraux peut-on construire avec 6 allumettes, avec 7, etc ?
Dr No écrit au chef de l’intelligence service : « J’ai capturé James Bond et je vais m’amuser. Mes équipes l’ont drogué avant de le déposer quelque part. Chaque fois qu’il voit le soleil, il avance de 3 km/h dans sa direction. Sinon, il s’arrête. Il a été déposé en Australie, de nuit. Saurez-vous le retrouver 10 jours plus tard ? »
On considère un réseau formé d'un nombre pair de côtés. Deux côtés opposés sont associés par une même couleur. Si l'on colorie chaque case du réseau au hasard, existe-t-il toujours un chemin permettant de relier deux côtés associés?
Jeu à deux joueurs.
On pose 20 jetons sur la table. Chaque joueur peut en retirer 1 ou 2 à tour de rôle.
Celui qui retire le dernier jeton remporte la partie.
On pose 20 jetons sur la table. Chaque joueur peut en retirer 1 ou 2 à tour de rôle.
Celui qui retire le dernier jeton remporte la partie.
Jeu de stratégie à deux joueurs.
On pose 9 jetons.
On pose 9 jetons.
Quel partage sera accepté ?
Une agricultrice possède plusieurs vaches et 15 champs tous identiques.
Combien de vaches peut-elle nourrir avec ses champs ?
Combien de vaches peut-elle nourrir avec ses champs ?
Le théorème de Pythagore et les aires de figures semblables qui l'entourent.
A partir de la situation combien de disques de diamètre 1cm peut-on placer dans un carré de 10cm de coté, nous allons explorer les remplissages possibles pour différentes tailles de carrés.
Le Jeu de la vie est un automate cellulaire imaginé par John Horton Conway en 1970. Les analogies du jeu de la vie avec le développement, le déclin et les altérations d’une colonie de micro-organismes, le rapprochent des jeux de simulation qui miment les processus de la vie réelle.
Il s'agit d'un problème de type "optimal stopping", dont voici l’énoncé. Monsieur X., célibataire endurci particulièrement désespéré, décide de s’inscrire sur un site de rencontre. Le fonctionnement du site est le suivant : Monsieur X. peut voir tour à tour le profil (photos, qualités,...) d’une trentaine de candidates. Après chaque profil, Monsieur X. est capable de comparer le profil de la candidate qu’il vient de voir avec les précédentes, et d’établir un classement provisoire. Mais il doit se décider tout de suite : demander un rendez-vous ou passer au profil suivant (…
Des joueurs se placent en cercle. En commençant par le joueur numéroté 1, chaque joueur retire du jeu son voisin de gauche, donc 1 retire 2, 3 retire 4, etc. Ce jeu continue jusqu’au dernier “survivant". Quel sera le numéro gagnant ?
Un geôlier (que nous appellerons Joël) informe trois prisonniers (que nous appellerons A, B et C) que l’un d’entre eux a été choisi au hasard pour être libéré, alors que les deux autres vont être exécutés. Le prisonnier nommé A demande à Joël de lui révéler discrètement lequel de ses camarades d’infortune sera exécuté, prétendant qu’il n’y a pas de mal à communiquer cette information puisqu’il sait déjà qu’au moins l’un d’entre eux sera exécuté. Le geôlier Joël, de nature plutôt joviale et ouverte, décide de lui rendre ce service, étant donné que la question ne porte pas directement sur le…
Ce sujet concerne la modélisation d’événements sportifs, plus précisément de matchs de badminton et tennis de table. Les élèves assignent des forces de jeu à chaque joueur et ensuite déterminent les probabilités de victoire de chaque joueur. La difficulté consiste précisément à modéliser cette situation réelle par des formules mathématiques.
Le sujet concerne un tour de magie de David Copperfield, la course-poursuite dans le train. Copperfield indique au joueur comment il peut bouger, tout en ne sachant bien sûr pas où le joueur commence. A la fin, le joueur aboutit là où le magicien le désire… Le but consiste à expliquer mathématiquement comment fonctionne ce tour.
Trouver une tratégie gagnante pour ce jeux dans un échiquer à n*p cases des extensions sont possibles
Une marquise a des perles de 3 couleurs : blanc, rouge et noir. Elle souhaite
faire tous les colliers possibles de 7 perles avec ces couleurs. Combien il y en a-t-il ? Que se
passe-t-il avec 5 perles ? et 6 ? et 8 ?
faire tous les colliers possibles de 7 perles avec ces couleurs. Combien il y en a-t-il ? Que se
passe-t-il avec 5 perles ? et 6 ? et 8 ?
Une marquise a 13 enfants. Elle souhaite faire du carrelage chez elle de sorte à ce que sur chaque carreau il y ait le portrait de 4 de ses enfants et entre deux carreaux
quelconques il y ait exactement un enfant en commun. Combien de tels carreaux peut-on
faire au plus ? Comment la réponse peut varier si on change 4 et 13 ?
quelconques il y ait exactement un enfant en commun. Combien de tels carreaux peut-on
faire au plus ? Comment la réponse peut varier si on change 4 et 13 ?
Une marquise souhaite mettre au mur un tableau. Elle veut utiliser deux
clous et une ficelle. Elle veut faire en sorte que le tableau ne tombe pas, mais qu’en même
temps il tombe dès qu’on enlève un clou quelconque. Est-ce possible ? Que se passe-t-il
avec 3 clous ou plus ?
clous et une ficelle. Elle veut faire en sorte que le tableau ne tombe pas, mais qu’en même
temps il tombe dès qu’on enlève un clou quelconque. Est-ce possible ? Que se passe-t-il
avec 3 clous ou plus ?
Un carré, quadrillé, privé de deux de ses coins diamétralement oppoés: est-il possible de le paver avec des dominos? des tétraminos?
Dans un monde où les ressources sont limitées est il préférable de coopérer avec ses pairs ou de les agresser ?
On se donne deux lignes de 1, séparées par d’autres lignes vides, telles que les nombres sont disposés en quinconce. Il faut remplir la ou les lignes vides avec des entiers positifs tels que sur chaque losange (placement en quinconce) on ait Ouest*Est - Nord*Sud = 1
Pour jouer à la bataille des bâtons, on se donne un sol sous forme d’une ligne horizontale et on place des bâtons de telle manière qu’un bâton est soit attaché au sol par une extrémité, soit attaché à un autre bâton : un bâton ne peut pas être en suspension dans l’air. Les joueurs vont alors à tour de rôle effacer un bâton : tout bâton qui n’est plus lié au sol (éventuellement par l’intermédiaire d’une
série de bâtons) est alors également retiré du jeu. Le gagnant est le dernier à pouvoir effacer un bâton.
On cherche à déterminer des stratégies gagnantes.
série de bâtons) est alors également retiré du jeu. Le gagnant est le dernier à pouvoir effacer un bâton.
On cherche à déterminer des stratégies gagnantes.
On joue à une version plus modeste de la bataille navale : deux bateaux de taille 1x2
sont disposés dans une grille 3x3 (dans cette version, les bateaux ont le droit d’être placés
sur des cases adjacentes). Chaque joueur, à son tour, annonce une case; l’autre joueur lui
répond “à l’eau” si cette case ne fait partie d’aucun de ses bateaux, “touché” si elle fait partie
d’un de ses bateaux mais que celui-ci possède encore des cases non touchées, “coulé” si elle
fait partie d’un de ses bateaux et que toutes les autres cases de celui-ci ont été touchées.
Quelle…
sont disposés dans une grille 3x3 (dans cette version, les bateaux ont le droit d’être placés
sur des cases adjacentes). Chaque joueur, à son tour, annonce une case; l’autre joueur lui
répond “à l’eau” si cette case ne fait partie d’aucun de ses bateaux, “touché” si elle fait partie
d’un de ses bateaux mais que celui-ci possède encore des cases non touchées, “coulé” si elle
fait partie d’un de ses bateaux et que toutes les autres cases de celui-ci ont été touchées.
Quelle…
Un jeu de stratégie à deux joueurs, où chacun à son tour pose un pion de sa couleur sur un plateau constitué d'un losange encadrant des cases hexagonales : le gagnant est le premier joueur à former une ligne de pions reliant les deux côtés opposés du losange correspondant à sa couleur. Existe-t-il une stratégie gagnante ?
Existe-il un intervalle de temps de 30 minutes au cours duquel un coureur, qui effectue 10000m en une heure, aura parcouru exactement 5000 m ?
Peut-on trouver des propriétés et étudier la quantité des nombres saute-mouton ?
Comment maximiser le périmètre d’un polygone inscrit dans un cercle ?
Soit n un entier naturel. On dit que n est décomposable en somme de carrés si n peut s’écrire comme
la somme de carrés d’entiers naturels.
la somme de carrés d’entiers naturels.
Soit a un nombre réel strictement positif. On considère que lors d’une soirée les invités arrivent un par un et que personne ne quitte la soirée avant l’extinction des feux. Soit n un entier strictement positif. A l’instant n, le n-ième invité arrive. Les n − 1 invités arrivés avant lui sont répartis en un ou plusieurs groupes. On suppose qu’avec une probabilité de a/(a+n-1), le n-ième invité reste seul et avec une probabilité de k/(a+n-1) il rejoint un groupe composé de k personnes (k étant un entier compris entre 1 et n − 1). Une fois qu’il a rejoint un groupe, l’invité ne le quitte plus…
On s’intéresse aux diviseurs stricts d’un nombre entier naturel. Par exemple 12 admet pour diviseurs stricts 1, 2, 3, 4 et 6.
Puis, on compare ce nombre à la somme de ses diviseurs stricts :
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.
On étudiera particulièrement les nombres exactement égaux à la somme de leurs diviseurs stricts.
Existe-t-il de tels nombres ? Combien ?
Quelles propriétés vérifient-ils ?
Puis, on compare ce nombre à la somme de ses diviseurs stricts :
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.
On étudiera particulièrement les nombres exactement égaux à la somme de leurs diviseurs stricts.
Existe-t-il de tels nombres ? Combien ?
Quelles propriétés vérifient-ils ?
On dispose de trois piquets avec socle, numérotés 1, 2 et 3, et de n disques troués qui sont deux à deux de tailles différentes. Au départ, les n disques sont empilés par ordre croissant de taille sur le piquet n°1. Le but du jeu est de déplacer ces n disques du piquet n°1 sur le piquet n°3, en respectant les règles suivantes :
- On ne déplace qu’un seul disque à la fois et le disque déplacé doit être sur l’un des deux autres piquets ; c’est ce que l’on appelle un déplacement,
- Un disque ne doit jamais être placé au-dessus d’un disque plus petit que lui. Déterminer le nombre…
- On ne déplace qu’un seul disque à la fois et le disque déplacé doit être sur l’un des deux autres piquets ; c’est ce que l’on appelle un déplacement,
- Un disque ne doit jamais être placé au-dessus d’un disque plus petit que lui. Déterminer le nombre…
On appelle fraction unitaire une fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un
entier strictement positif.
Considérons l’assertion suivante :
P : Toute fraction d’entiers strictement positifs peut s’écrire comme une somme de fractions unitaires
dont les dénominateurs sont tous distincts.
Par exemple, on peut écrire 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30.
1. La phrase P est-elle vraie ?
2. Si la réponse est oui, étudier, pour une fraction donnée,
(a) comment on trouve une telle décomposition,
(b) le nombre de décompositions possibles,…
entier strictement positif.
Considérons l’assertion suivante :
P : Toute fraction d’entiers strictement positifs peut s’écrire comme une somme de fractions unitaires
dont les dénominateurs sont tous distincts.
Par exemple, on peut écrire 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30.
1. La phrase P est-elle vraie ?
2. Si la réponse est oui, étudier, pour une fraction donnée,
(a) comment on trouve une telle décomposition,
(b) le nombre de décompositions possibles,…
Soit n un entier strictement positif. On appelle inverse de n la fraction.
Remarquons que l’inverse de 2 est un nombre décimal : en effet 1/2 =0,5
Tandis que l’inverse de 3 ne l’est pas : en effet 13 = 0, 3333...
Intéressons-nous aux entiers dont l’inverse n’est pas un nombre décimal.
Par exemple : 1/3= 0, 3333... et 1/7 = 0, 14285714285714....
Pour chacun de ces deux exemples, on observe que le développement décimal fait apparaître un motif périodique. Est-ce toujours le cas ?
On appelle période la longueur du motif périodique.
Par exemple, la…
Remarquons que l’inverse de 2 est un nombre décimal : en effet 1/2 =0,5
Tandis que l’inverse de 3 ne l’est pas : en effet 13 = 0, 3333...
Intéressons-nous aux entiers dont l’inverse n’est pas un nombre décimal.
Par exemple : 1/3= 0, 3333... et 1/7 = 0, 14285714285714....
Pour chacun de ces deux exemples, on observe que le développement décimal fait apparaître un motif périodique. Est-ce toujours le cas ?
On appelle période la longueur du motif périodique.
Par exemple, la…
Une glaçon sphérique est lancé sur une patinoire. On souhaite étudier les différentes trajectoires
possibles du glaçon en fonction de la forme de la patinoire et de la direction dans laquelle le glaçon est
lancé. Par exemple, sur une patinoire carrée, si je lance le glaçon parallèlement à un côté, celui-ci va
faire des allers-retours sans arrêts sur la même trajectoire. Y-a-t-il d’autres comportements possibles ?
Pour les trajectoires qui se répètent, combien de rebonds est-il possible de faire avant de revenir sur
la trajectoire de départ ?...
possibles du glaçon en fonction de la forme de la patinoire et de la direction dans laquelle le glaçon est
lancé. Par exemple, sur une patinoire carrée, si je lance le glaçon parallèlement à un côté, celui-ci va
faire des allers-retours sans arrêts sur la même trajectoire. Y-a-t-il d’autres comportements possibles ?
Pour les trajectoires qui se répètent, combien de rebonds est-il possible de faire avant de revenir sur
la trajectoire de départ ?...
L'atelier a travaillé à construire des polyèdres approchant du mieux possible une sphère ; il a étudié divers coloriages de ces polyèdres, et expérimenté autour de la dualité.
Given n straight lines in the plane, into how many disjoint parts do they divide the plane?
Consider a row of people where each person has a certain amount of coins. Each person can only give (or receive) coins to his neighbours, according to a rule based only on his and his two neighbours' coins.
What rule allows each person in the queue to have the same amount of coins? What rule allows one person to get all the coins of the group?
What rule allows each person in the queue to have the same amount of coins? What rule allows one person to get all the coins of the group?
Un crêpier a empilé des crêpes de taille différente. Il souhaite les ordonner selon leurs tailles respectives.
Pour cela, il ne dispose que d'une spatule qui ne lui permet de retourner qu'une partie de la pile.
Comment peut-il s'y prendre pour ordonner sa pile de crêpes en minimisant le nombre de retournements ?
Pour cela, il ne dispose que d'une spatule qui ne lui permet de retourner qu'une partie de la pile.
Comment peut-il s'y prendre pour ordonner sa pile de crêpes en minimisant le nombre de retournements ?
Un magicien dispose d'un jeu de 32 cartes. Un spectateur coupe ce jeu, tire cinq cartes consécutives sans les montrer au magicien et ne lui indique que la couleur rouge ou noire. Comment ce dernier peut-il retrouver les valeurs de ces cinq cartes ?
Le réseau de transport de la Région est représenté par un graphe : l'une des villes est Calais. Dans chaque ville se trouve un entrepôt de fromages de Maroilles. Et sur chaque route est embusqué un renard par l'odeur alléché.
On transporte des fromages le long des routes, d'une ville à l'autre. Sur chaque route, on ne peut transporter qu'un nombre pair de fromages. Lors de ce transport, le renard embusqué en prélève la moitié.
But : livrer au moins un fromage à Calais.
Question : combien de fromages faut-il avoir au minimum pour que, quelle que…
On transporte des fromages le long des routes, d'une ville à l'autre. Sur chaque route, on ne peut transporter qu'un nombre pair de fromages. Lors de ce transport, le renard embusqué en prélève la moitié.
But : livrer au moins un fromage à Calais.
Question : combien de fromages faut-il avoir au minimum pour que, quelle que…
Mon ascenseur est très bizarre, il ne dispose que 3 boutons : RC, +5 et +11 : le premier bouton ramène au rez de chaussée, le second bouton permet, où que l'on soit, de monter de 5 étages, et le troisième permet de monter de 11 étages. En partant du rez de chaussée, l'ascenseur peut-il m'amener à tous les étages ? Si non, à quels étages peut-il m'amener alors ? Que se passe-t-il si on remplace 5 et 11 par deux autres nombres entiers positifs ?
Quelle séquence de chiffres apparaît à la fin de l'écriture de 2^(10^n) ?
Comment choisir le "meilleur" appartement lors de visites successives quand on ne peut pas revenir en arrière ?
Deux kangourous C0 et C1 jouent à la course-poursuite.
À chaque intervalle de temps t, le kangourou poursuivant C0 fait un saut de longueur d0 dans
la direction du kangourou C1, alors qu'en même temps celui-ci saute (d'une distance d1) dans un
direction de son choix.
Les longueurs des sauts d0 et d1 peuvent être différentes.
On peut discrétiser le problème en observant les positions aux instants 0; t; 2 t...
CAS UNI-DIMENSIONNEL
Supposons d'abord que C0 se trouve à l'origine, que C1 se trouve à la position
1
0
et…
À chaque intervalle de temps t, le kangourou poursuivant C0 fait un saut de longueur d0 dans
la direction du kangourou C1, alors qu'en même temps celui-ci saute (d'une distance d1) dans un
direction de son choix.
Les longueurs des sauts d0 et d1 peuvent être différentes.
On peut discrétiser le problème en observant les positions aux instants 0; t; 2 t...
CAS UNI-DIMENSIONNEL
Supposons d'abord que C0 se trouve à l'origine, que C1 se trouve à la position
1
0
et…
On se donne un circuit électrique avec des ampoules reliées entre elles, des interrupteurs permettent d'allumer les ampoules mais également les ampoules qui sont adjacentes. Peut-on allumer tout le circuit, l'ordre d'allumage a t-il une importance ? Imaginons maintenant que l'énergie soit distribuée d'une certaine façon aux ampoules adjacentes.
On choisit un polygone et on écrit un nombre sur chacun de ses sommets. On place le milieu de chaque côté et on écrit au dessus de ce point la "différence positive" entre les deux nombres au sommets. On obtient ainsi un nouveau polygone et de nouveaux nombres. Quelle est celle nouvelle figure ? La suite des nombres arrivera-t-elle à zéro ? Au bout de combien de temps ?
C'est un jeu qui se joue à deux joueurs. On trace un triangle équilatéral et des points à l'intérieur au niveau de chaque sommet. On choisit également un certain nombre de points à placer au centre, le but est de relier au fur et à mesure deux points sans croiser les segments. Le perdant est celui qui ne peut plus tracer de segment.
Un mathématicien psychopathe kidnappe K personne et les place dos à un ravin. Chacune à leur tour, les victimes doivent faire 3 pas de 1 mètre en avant et trois pas de 1 mètre en arrière sans refaire la combinaison qu’une des victimes précédentes a fait.
- Quel est le nombre K de victimes que doit kidnapper le psychopathe pour être certain que quelqu’un tombe dans le ravin ?
- Que se passe-t-il si on autorise 4 pas en avant et 4 pas en arrière ?
- Que se passe-t-il si on autorise 5 pas en avant et 5 pas en arrière ?
- Que se passe-t-il si on autorise n pas en avant…
- Quel est le nombre K de victimes que doit kidnapper le psychopathe pour être certain que quelqu’un tombe dans le ravin ?
- Que se passe-t-il si on autorise 4 pas en avant et 4 pas en arrière ?
- Que se passe-t-il si on autorise 5 pas en avant et 5 pas en arrière ?
- Que se passe-t-il si on autorise n pas en avant…
Un gardien de musée souhaite lors d’une patrouille de nuit passer au moins une fois dans chaque couloir du musée.
- Son but est-il atteignable dans tout musée ?
- Pouvez-vous trouvez des conditions sur l’architecture d’un musée pour empêcher que ce soit possible ?
- Son but est-il atteignable dans tout musée ?
- Pouvez-vous trouvez des conditions sur l’architecture d’un musée pour empêcher que ce soit possible ?
Un voleur souhaite passer par chaque pièce d’un musée pour voler les oeuvres présentes. Cependant, il ne veut pas repasser deux fois par la même pièce, sinon on le remarquerait.
- Son but est-il atteignable dans tous les musées?
- Pouvez-vous trouvez des conditions sur l’architecture d’un musée pour empêcher que ce soit possible ?
- Son but est-il atteignable dans tous les musées?
- Pouvez-vous trouvez des conditions sur l’architecture d’un musée pour empêcher que ce soit possible ?
Un bizarroïde est un polygone qui ne contient que des angles droits et dont la longueur des cotés sont des entiers consécutifs démarrant à 1 : le premier coté est de longueur 1, le suivant de longueur 2, etc.
- Dessiner un bizarroïde le plus petit possible.
- Y a-t-il une condition sur le nombre de cotés que peut avoir un bizarroïde ?
- Si on se fixe un nombre n de côtés, combien de bizarroïdes différents peut-on construire ?
- Dessiner un bizarroïde le plus petit possible.
- Y a-t-il une condition sur le nombre de cotés que peut avoir un bizarroïde ?
- Si on se fixe un nombre n de côtés, combien de bizarroïdes différents peut-on construire ?
Dans un tour de divination, Viktor Vincent prédit le symbole choisi par un spectateur dans une grille.
- Comment peut-il être certain que le tour va fonctionner ?
- Aurait-il pu procéder autrement ?
- Y a-t-il un nombre d’étapes optimal ?
- Comment peut-il être certain que le tour va fonctionner ?
- Aurait-il pu procéder autrement ?
- Y a-t-il un nombre d’étapes optimal ?
Un groupe de 4 ingénieurs (Agathe, Bernard, Céline et Didier) invente une machine qui permet d’échanger l’esprit de deux personnes. Agathe a toujours rêvé d’avoir le corps de Didier, Bernard celui de Céline, Céline celui d’Agathe et Didier celui de Bernard.
- Est-ce qu’il est possible d’obtenir cette configuration en utilisant leur machine ?
- Si oui, peut-on obtenir toutes les configurations possibles ?
- Si non, quelles sont les configurations que l’on peut effectivement obtenir ?
- Que se passe-t-il lorsqu’on considère un nombre n de corps et esprits à échanger…
- Est-ce qu’il est possible d’obtenir cette configuration en utilisant leur machine ?
- Si oui, peut-on obtenir toutes les configurations possibles ?
- Si non, quelles sont les configurations que l’on peut effectivement obtenir ?
- Que se passe-t-il lorsqu’on considère un nombre n de corps et esprits à échanger…
On dispose sur une table 25 tuiles qui ont une face noire et une face orange en carré avec la face noire vers le haut. Le but du jeu est de transformer ce carré noir en un carré orange. La seule règle est que lorsqu’on retourne une tuile, si elles existent, les tuiles situées au nord, à l’est, au sud et à l’ouest de cette tuile se trouvent retournées aussi.
Montrer que tout rationnel q peut s’écrire sous la forme
????
où a_0 est un entier et a_1, ..., a_n sont des naturels non nuls. Comment faire pour les irrationnels ?
????
où a_0 est un entier et a_1, ..., a_n sont des naturels non nuls. Comment faire pour les irrationnels ?
On considère un carré particulier dont les sommets sont des nombres.
On inscrit au centre de chaque côté la différence (en valeur absolue) des sommets constituant ce côté : cela forme un nouveau carré. En procédant ainsi de suite :
• Arrivons-nous toujours à un carré dont les sommets le constituant sont tous égaux à 0 ?
• Si ce n’est pas le cas, quel autre type de carré peut-on obtenir ?
On inscrit au centre de chaque côté la différence (en valeur absolue) des sommets constituant ce côté : cela forme un nouveau carré. En procédant ainsi de suite :
• Arrivons-nous toujours à un carré dont les sommets le constituant sont tous égaux à 0 ?
• Si ce n’est pas le cas, quel autre type de carré peut-on obtenir ?
La grille de shidoku ci-dessous admet-elle une unique solution ? Que se passe-t-il si on enlève un ou plusieurs des nombres déjà présents ?
• Peut-on trouver une grille contenant beaucoup d’indices qui a plusieurs solutions ?
• A l’inverse, peut-on trouver une grille contenant peu d’indices et ayant une unique solution ?
• Peut-on trouver une grille contenant beaucoup d’indices qui a plusieurs solutions ?
• A l’inverse, peut-on trouver une grille contenant peu d’indices et ayant une unique solution ?
Le jeu des allumettes est un jeu à deux joueurs :
1. 24 allumettes sont posées sur une table.
2. A tour de rôle, les joueurs retirent 1,2 ou 3 allumettes de la table.
3. Le joueur prenant la dernière allumette a perdu.
• Pour gagner, vaut-il mieux commencer ou laisser l’autre commencer ?
• Ou si on empêche un joueur d’effectuer le même coup deux fois de suite ?
• Et s’il y a trois joueurs maintenant ?
1. 24 allumettes sont posées sur une table.
2. A tour de rôle, les joueurs retirent 1,2 ou 3 allumettes de la table.
3. Le joueur prenant la dernière allumette a perdu.
• Pour gagner, vaut-il mieux commencer ou laisser l’autre commencer ?
• Ou si on empêche un joueur d’effectuer le même coup deux fois de suite ?
• Et s’il y a trois joueurs maintenant ?
Un couloir de taille 2 × 5 doit être carrelé avec des carrelages de taille 1 × 2.
Combien y a-t-il de possibilités ? Et pour un couloir de taille 2 × n ?
Si le carreleur se trompe de disposition, combien de carrelage devra-t-il enlever pour réparer son erreur ?
Combien y a-t-il de possibilités ? Et pour un couloir de taille 2 × n ?
Si le carreleur se trompe de disposition, combien de carrelage devra-t-il enlever pour réparer son erreur ?
Un musée souhaite organiser son horaire de visites. Deux groupes ne peuvent pas se trouver dans la même salle en même temps et un groupe ne peut pas repasser par une salle qu’il a déjà visitée. Il faut 15 minutes par salle mais les salles peuvent être visitées dans n’importe quel ordre.
• Combien de visites peuvent démarrer entre 14h et 16h ?
• Et si on enlève les cloisons séparant les salles A et B ?
• Et si les groupes doivent sortir par l’accueil ?
• Peut-on généraliser aux plans d’autres musées ?
• Combien de visites peuvent démarrer entre 14h et 16h ?
• Et si on enlève les cloisons séparant les salles A et B ?
• Et si les groupes doivent sortir par l’accueil ?
• Peut-on généraliser aux plans d’autres musées ?
La mère de Ken a mis à sa disposition :
- 9 grands disques identiques et 4 petits identiques à ranger sur un tapis carré,
- 16 grosses oranges identiques et 9 petites identiques à ranger dans une boîte cubique. Les oranges sont parfaitement sphériques.
Très exigeante, elle a demandé que pour le premier rangement, l'aire vide laissée par les 13 disques sur le tapis soit approximativement moins de 10% et pour le deuxième rangement, le volume vide laissé par les 25 oranges dans la boîte soit approximativement moins de 10%.
1. Dans les deux…
- 9 grands disques identiques et 4 petits identiques à ranger sur un tapis carré,
- 16 grosses oranges identiques et 9 petites identiques à ranger dans une boîte cubique. Les oranges sont parfaitement sphériques.
Très exigeante, elle a demandé que pour le premier rangement, l'aire vide laissée par les 13 disques sur le tapis soit approximativement moins de 10% et pour le deuxième rangement, le volume vide laissé par les 25 oranges dans la boîte soit approximativement moins de 10%.
1. Dans les deux…
Grimb et Hergen ont fait une trouvaille dans un coin secret de la Meuse. Ils ont découvert une nouvelle espèce ayant les caractéristiques suivantes:
- n'importe quel couple (jeune ou adulte, femelle ou mâle, enfant ou parent) pris aléatoirement peut se reproduire,
- il n'y a qu'un et un seul petit par reproduction,
- la reproduction se fait par rapprochement grâce à une intervention extérieure,
- un seul individu peut appartenir à une famille d'au plus 3 individus.
Grimb et Hergen décident alors de créer le plus possible d'…
- n'importe quel couple (jeune ou adulte, femelle ou mâle, enfant ou parent) pris aléatoirement peut se reproduire,
- il n'y a qu'un et un seul petit par reproduction,
- la reproduction se fait par rapprochement grâce à une intervention extérieure,
- un seul individu peut appartenir à une famille d'au plus 3 individus.
Grimb et Hergen décident alors de créer le plus possible d'…
Le blob est bien connu pour être une espèce vivante très étrange, notamment parce qu'en divisant un blob vivant on obtient deux blobs vivants également. Fort de cette information, l'ingénieur Lef décide alors de fabriquer une machine automatique à produire des blobs.
Voici ses caractéristiques:
- La première cage est la cage de semence et les conditions de vie y sont meilleures pour le blob. Après une heure passée dans cette cage, 100% de blobs y sont vivants et sont transférés dans une deuxième cage,
- La deuxième cage est la cage de division 1. Une demie…
Voici ses caractéristiques:
- La première cage est la cage de semence et les conditions de vie y sont meilleures pour le blob. Après une heure passée dans cette cage, 100% de blobs y sont vivants et sont transférés dans une deuxième cage,
- La deuxième cage est la cage de division 1. Une demie…
Un labyrinthe cubique est subdivisé en plusieurs petites chambres (cubiques) identiques ayant une porte sur chacun de 4 murs. Il est également subdivisé en deux grands blocs identiques : le bloc 1 pour le châtiment et le bloc 2 pour les récompenses. La valeur de la récompense augmente selon qu'on s'éloigne le plus possible de la ligne de démarcation entre les deux grands blocs. Pour avoir plus de récompense, vous pouvez inviter au plus autant d'amis qu'il y a de chambrettes dans le bloc 1. Pour se déplacer dans ce labyrinthe vous avez des contraintes :
- Au…
- Au…
L’ingénieur Hein a fait une trouvaille, il a découvert une méthode de fabrication des toboggans exceptionnels : des toboggans avec une structure principale (tuyau principal) de forme circulaire.
Sur ce toboggan :
- 3, 4, 5, 6, ... sommets sont fixés au départ sur le tuyau circulaire qui est à même au sol ;
- Hein doit ensuite placer d’autres tuyaux à l’intérieur du cercle pour lier des sommets non voisins mais avec comme contrainte que deux tuyaux ne peuvent pas se croiser.
Il doit maintenant commercialiser son toboggan mais il aimerait faire le plus de modèles…
Sur ce toboggan :
- 3, 4, 5, 6, ... sommets sont fixés au départ sur le tuyau circulaire qui est à même au sol ;
- Hein doit ensuite placer d’autres tuyaux à l’intérieur du cercle pour lier des sommets non voisins mais avec comme contrainte que deux tuyaux ne peuvent pas se croiser.
Il doit maintenant commercialiser son toboggan mais il aimerait faire le plus de modèles…
Un mathématicien psychopathe kidnappe K personnes et les place dos à un ravin. Chacune à leur tour, les victimes doivent faire 3 pas de 1 mètre en avant et trois pas de 1 mètre en arrière sans refaire la combinaison qu’une des victimes précédentes a fait. Quel est le nombre K de victimes que doit kidnapper le psychopathe pour être certain que quelqu’un tombe dans le ravin ?
— Que se passe-t-il si on autorise 4 pas en avant et 4 pas en arrière ?
— Que se passe-t-il si on autorise 5 pas en avant et 5 pas en arrière ?
— Que se passe-t-il si on autorise n pas en avant et n…
— Que se passe-t-il si on autorise 4 pas en avant et 4 pas en arrière ?
— Que se passe-t-il si on autorise 5 pas en avant et 5 pas en arrière ?
— Que se passe-t-il si on autorise n pas en avant et n…
Supposons qu’une machine nomme aléatoirement les fichiers qu’elle enregistre. Si elle dispose de deux lettres et huit bits, à partir de combien de fichier enregistrés la probabilité de les nommer de la même manière est-elle supérieure à 50 pourcent ?
Un bizarroïde est un polygone qui ne contient que des angles droits et dont la longueur des cotés sont des entiers consécutifs démarrant à 1 : le premier coté est de longueur 1, le suivant de longueur 2, etc.
— Dessiner un bizarroïde le plus petit possible.
— Y a-t-il une condition sur le nombre de cotés que peut avoir un bizarroïde ?
— Si on se fixe un nombre n de cotés, combien de bizarroïdes différents peut-on construire ?
— Dessiner un bizarroïde le plus petit possible.
— Y a-t-il une condition sur le nombre de cotés que peut avoir un bizarroïde ?
— Si on se fixe un nombre n de cotés, combien de bizarroïdes différents peut-on construire ?
Monsieur X., célibataire endurci particulièrement désespéré décide de s’inscrire sur un site de rencontre. Le fonctionnement du site est le suivant : Monsieur X. peut voir tour à tour le profil (photos, qualités,...) d’une trentaine de candidates. Après chaque profil, Monsieur X. est capable de comparer le profil de la candidate qu’il vient de voir avec les précédentes, et d’établir un classement provisoire. Mais il doit se décider tout de suite : demander un rendez-vous ou passer au profil suivant (dans ce cas, Monsieur X. ne pourra pas revenir sur sa décision). Les candidates se présentent…
Considérons un rectangle et découpons-le en plusieurs morceaux comme dans la figure ci-dessous. En agençant les morceaux pour former le "même" triangle (comme dans la figure ci-dessous), on constate que le triangle possède un carré manquant. Comment peut-on expliquer ce phénomène ?
Peut-on écrire tout nombre entier positif comme somme des nombres 1,2,3,5,8,13,21,34,... en utilisant au plus une fois chaque nombre ? Comment assurer l’unicité de la décomposition ?
Dans un avion, chaque passager a une place qui lui est attribuée. Le premier passager décide de s’asseoir au hasard plutôt que de prendre obligatoirement sa place. Les passagers suivants rentrent un à un. Si leur place est libre, il s’asseyent à leur place, sinon ils choisissent une autre place au hasard. Quelle est la probabilité que le dernier passager soit assis à sa place ?
Un hôtel possède un nombre infini d’étages, mais son ascenseur ne permet de monter ou descendre les étages que par 5 ou 7. Peut-on réserver une chambre à n’importe quel étage ? Et si le nombre d’étages est fini ? Et si on remplace5 et 7 par d’autres nombres ?
Mario et Luigi ont une pizza. Mario la découpe comme il le souhaite mais il doit forcément faire un nombre pair de parts (qui peuvent être de tailles différentes). Ils choisissent ensuite tour à tour une part en commençant par Luigi qui prend la part qu’il veut mais ensuite le choix devra se faire de manière adjacente à la part prise précédemment. Mario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Pendant un cours de maths, trois élèves font du bruit et le prof décide de leur donner un devoir. Il veut bien les dispenser de ce devoir s’ils arrivent à résoudre une énigme. Pour cela, le prof place ses élèves en file indienne et pose sur leur tête un chapeau tiré au hasard d’un sac contenant 3 chapeaux noirs et 2 chapeaux blancs.Le prof demande aux élèves, sans se retourner de connaître la couleur de leur chapeau. Après quelques secondes de silence, le premier élève dans la file prend la parole et devine correctement la couleur de son chapeau. Quelle est la couleur de son chapeau et…
On travaille sur une feuille à petits carrés et on appelle "points" les intersections des petits carrés. On trace un polygone sur cette feuille de manière à ce que les sommets du polygone soient des points. Y a-t-il un lien entre l’aire du polygone et le nombre de points du polygone ?
Pour compresser une suite binaire définie sur l’alphabet {1,2}, on peut coder celle-ci en remplaçant les blocs de lettres consécutives identiques par la longueur du bloc. Le codage de la suite 122211211111221···commence par132152.Peut-on trouver une suite binaire dont le codage est la suite elle-même ? Quelles sont les propriétés de cette suite ? Peut-on l’obtenir par un procédé algorithmique simple ?
Choisissez des nombres aléatoirement entre 0 et 1 jusqu’à ce que la somme soit plus grande que 1. Combien de nombres en moyenne devrez-vous sélectionner ?
Est-il vrai que dans une réception deux des invités connaissent toujours exactement le même nombre de personnes parmi les présents ?
Des soldats se placent en cercle. Un cruel Lieutenant en abat un sur deux l’un après l’autre. Qui sera le dernier soldat survivant ?
Comment modéliser mathématiquement le tennis et calculer la probabilité de gagner un point/un jeu / un set / un match ?
Le jeu Dobble vendu dans le commerce est un jeu de 55 cartes rondes qui comportent chacune 8 symboles différents. Si l’on choisit deux cartes quelconques de ce jeu elles ont systématiquement un et un seul symbole en commun. Le jeu de Dobble consiste en gros à trouver le plus rapidement le symbole commun à deux cartes données.Comment construire un tel jeu ? Peut-on construire sur cette base un jeu dont les cartes auraient plus de propriétés que le jeu de Dobble "classique" pour que ce jeu devienne plus intéressant ?
Le problème des 36 officiers consiste à remplir un carré 6x6 à l’aide de 36 officiers de différents grades et régiments en respectant les trois contraintes :
— Chaque ligne et colonne doit comporter les 6 régiments différents
— Chaque ligne et colonne doit comporter les 6 grades différents
— Chacun des 36 officiers doit apparaître une unique fois dans le carré.
— Chaque ligne et colonne doit comporter les 6 régiments différents
— Chaque ligne et colonne doit comporter les 6 grades différents
— Chacun des 36 officiers doit apparaître une unique fois dans le carré.
Les élèves ont mené des expériences autour des différents états de l'eau en la faisant bouillir, en utilisant une cloche à vide... et ont collecté leurs résultats (tableaux, graphiques....) pour les analyser et tenter d'apporter des explications à leurs expérimentations.
Chaque jour, on achète un œuf en chocolat qui contient un jouet à l'intérieur. Celui-ci est donc inconnu avant la dégustation de ce chocolat. Ce jouet appartient à une collection d'un nombre fixé
de jouets (par exemple 5). Après combien d'achats peut-on espérer avoir fini la collection ?
de jouets (par exemple 5). Après combien d'achats peut-on espérer avoir fini la collection ?
L’algorithme de Kaprekar consiste à associer à un nombre quelconque n un autre nombre K(n) généré de la façon suivante :
1.on considère un nombre n, écrit dans une base quelconque (généralement la base 10) ;
2.on forme le nombre n1 en arrangeant les chiffres du nombre n dans l’ordre croissant et le nombre n2 en les arrangeant dans l’ordre décroissant ;
2.on pose K(n) = n2 – n1 ;
3.on itère ensuite le processus avec K(n).
1.on considère un nombre n, écrit dans une base quelconque (généralement la base 10) ;
2.on forme le nombre n1 en arrangeant les chiffres du nombre n dans l’ordre croissant et le nombre n2 en les arrangeant dans l’ordre décroissant ;
2.on pose K(n) = n2 – n1 ;
3.on itère ensuite le processus avec K(n).
Existe-t-il une stratégie permettant de ne pas perdre au jeu de dames (jeu dans lequel on ne peut qu’avancer et où les prises sont obligatoires) ?
Dans une île vivent des habitants qui s’appellent les Purs et les Pires. Les Purs disent toujours la vérité et les Pires mentent toujours. Un mathématicien qui visitait cette ile rencontra deux habitants A et B. Il demanda à A : “Ètes-vous des Purs tous les deux ?”. A répondit. Le mathématicien comprit alors qu’il ne pouvait pas deviner leurs types. Il interrogea A encore une fois. “Ètes-vous tous les deux du même type ?” Ayant obtenu une réponse, il pu déterminer le type de chacun d’eux. Qu’étaient-ils ?
Chaque jour, un groupe de 12 enfants fait une promenade, par rang de deux. Combien de jours peuvent-ils se promener si l’on souhaite qu’un enfant n’ait jamais deux fois le même voisin ?
Et si maintenant la promenade se fait par rang de trois ? Et si on remplace 12 par n ?
Et si maintenant la promenade se fait par rang de trois ? Et si on remplace 12 par n ?
Trois maris jaloux et leurs épouses souhaitent traverser une rivière. Ils disposent d’une barque qui ne peut transporter plus de deux personnes à la fois.
Comment doivent-ils procéder, sachant qu’aucune femme ne doit rester en compagnie d’un ou deux hommes sans que son mari ne soit présent ? Et s’il y a n couples ?
Dans le ou les cas où éventuellement le transfert ne serait pas possible quelle capacité minimale de la barque le rendrait possible ?
Comment doivent-ils procéder, sachant qu’aucune femme ne doit rester en compagnie d’un ou deux hommes sans que son mari ne soit présent ? Et s’il y a n couples ?
Dans le ou les cas où éventuellement le transfert ne serait pas possible quelle capacité minimale de la barque le rendrait possible ?
Des tas de pierres sont alignés dans un champ. On veut nettoyer ce champ en enlevant toutes les pierres. Pour cela quelques règles :
• Pour nettoyer un emplacement, on prend toutes les pierres du tas de cet emplacement et on en met la moitié sur le tas voisin à gauche, l’autre moitié sur le tas voisin à droite. Si le nombre de pierres est impair, on choisit sur quel tas en mettre une de plus.
• Si l’emplacement est à une extrémité du champ, la moitié des pierres sort du champ.
Est-il possible, quelque soit le nombre de tas, le nombre de pierres, de vider totalement ce champ…
• Pour nettoyer un emplacement, on prend toutes les pierres du tas de cet emplacement et on en met la moitié sur le tas voisin à gauche, l’autre moitié sur le tas voisin à droite. Si le nombre de pierres est impair, on choisit sur quel tas en mettre une de plus.
• Si l’emplacement est à une extrémité du champ, la moitié des pierres sort du champ.
Est-il possible, quelque soit le nombre de tas, le nombre de pierres, de vider totalement ce champ…
Une première part de la fourmilière, fait dix déplacements au hasard de longueur 1 et laisse une marque. Au dixième, elle trouve de la nourriture et prévient la fourmilière par radio.
Une deuxième fourmi part sur son chemin en parcourant la moitié du premier déplacement puis en joignant les milieux de chaque déplacement et en finissant avec la moitié du dernier déplacement.
Une troisième fourmi applique le même principe à partir de l'itinéraire n°2. Ainsi de suite.
Est-ce que chaque itinéraire est plus court que le précédent ? Est-ce que l'on va tendre vers le…
Une deuxième fourmi part sur son chemin en parcourant la moitié du premier déplacement puis en joignant les milieux de chaque déplacement et en finissant avec la moitié du dernier déplacement.
Une troisième fourmi applique le même principe à partir de l'itinéraire n°2. Ainsi de suite.
Est-ce que chaque itinéraire est plus court que le précédent ? Est-ce que l'on va tendre vers le…
Une carte est choisie parmi 21 cartes ou 27 cartes. Elles sont distribuées alternativement en 3 tas. Le spectateur dit dans quel tas sa carte se trouve.
Le magicien ramasse les 3 tas en mettant au milieu la pile où se trouve la carte choisie. Ceci est fait 3 fois successivement. La carte choisie est alors au milieu du paquet (donc 11e sur 21 ou 14e sur 27).
Essayer de donner une explication.
Le magicien ramasse les 3 tas en mettant au milieu la pile où se trouve la carte choisie. Ceci est fait 3 fois successivement. La carte choisie est alors au milieu du paquet (donc 11e sur 21 ou 14e sur 27).
Essayer de donner une explication.
Nombres fusibles. Voici la règle du jeu : on dispose de bougies à 2 mèches (une de chaque côté), autant que l’on veut. Lorsque
l’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée.…
l’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée.…
L’ ́echiquier à trois dimensions est un cube partag ́e en n × n × n cases. Une ”tour” contrˆole les trois
lignes de cases parall`eles aux cˆot ́es passant par la case o`u elle se trouve.
Combien au maximum peut-on placer de tours, et comment doit-on les placer, de fa ̧con qu’aucune
d’elles n’en menace une autre ?
lignes de cases parall`eles aux cˆot ́es passant par la case o`u elle se trouve.
Combien au maximum peut-on placer de tours, et comment doit-on les placer, de fa ̧con qu’aucune
d’elles n’en menace une autre ?
Peut-on choisir 3 nombres entiers tels que, pris s ́epar ́ement ou additionn ́es les uns aux autres, on
ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ? Et si on remplace 3 par 4, 3 par n ?
ne tombe pas sur 3 ou un de ses multiples ? Et si on remplace 3 par 4, 3 par n ?
Soient deux disques de tailles diff ́erentes respectivement d ́ecoup ́es en n secteurs angulaires iden-
tiques et dispos ́es de fa ̧con concentrique. On associe `a chaque secteur du plus grand une couleur
distincte. On applique au petit disque des rotations successives de 2Π
n
. Comment peut-on colo-
rier les n secteurs du petit disque en n couleurs, choisies parmi les n couleurs externes, de fa ̧con
`a n’avoir toujours qu’une seule de ses couleurs en face `a face avec celle qui lui correspond sur le
disque ext ́erieur, ceci pour…
tiques et dispos ́es de fa ̧con concentrique. On associe `a chaque secteur du plus grand une couleur
distincte. On applique au petit disque des rotations successives de 2Π
n
. Comment peut-on colo-
rier les n secteurs du petit disque en n couleurs, choisies parmi les n couleurs externes, de fa ̧con
`a n’avoir toujours qu’une seule de ses couleurs en face `a face avec celle qui lui correspond sur le
disque ext ́erieur, ceci pour…