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Comment plier un triangle par Antonio DONI, Jean-Christophe CAVAJANI, Jonathan KARSENTY, élèves de 4ème au collège de Nézant à St Brice sous forêt ( Val d'Oise) et Charlotte LEBIHAN, Amanda CHAPARRO, Elliot MARES, Grégory PRIOLON, élèves de 4ème au collège C.Lebrun à Montmorency (Val d'Oise)
enseignants : Yann BOURIT et Christian GEORGES.
chercheur : Gilles CHRISTOL.
Sujet : Comment plier un triangle rectangle de telle façon que l'aire du polygone obtenu soit la plus petite possible ?
Remarque : on ne fait qu'un seul pli et le polygone considéré est le plus grand polygone possible, vu après ce pliage.
Exemples :
Figure 1 Le polygone obtenu est l'heptagone AdeBfCg
Figure 2 : Le polygone obtenu est le triangle BB'C car il recouvre complètement l'autre triangle.
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Dans ce qui suit on ne considère que les plis passant par un sommet.
Si le triangle est isocèle, la solution est évidente, il suffit de plier selon la bissectrice de l'angle droit. Le triangle obtenu est exactement la moitié du triangle de départ, ce qui est le meilleur qu'on puisse espérer.( voir commentaire )Si le triangle n'est pas isocèle, nous pensons que le pliage selon une bissectrice sera toujours meilleur que tous les autres plis, mais cela reste une conjecture parce que nous ne l'avons pas démontré.
Nous nous bornerons maintenant à étudier les pliages selon les bissectrices .
La question est : pour un triangle rectangle donné, quelle est la meilleure bissectrice 0
-- Celle de l'angle droit (comme pour le triangle isocèle) ?
-- ou celle de l'angle le plus aigu (comme pour la feuille 21x29,7) ?
Cela dépend des angles du triangle de départ.
Après avoir calculé les aires des triangles pliés selon la bissectrice sur un triangle rectangle égal à la moitié d'une feuille (long:29,7; larg:21; hyp:36,374...), nous nous sommes rendu compte que le pli selon la bissectrice de l'angle le plus aigu correspondait à la plus petite aire.
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formule donnée par le professeur |
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BC = 21 tan  car AB = 21
Aire du triangle BCB' |
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Ensuite nous avons fait varier l'angle  degré par degré depuis 45° (cas du triangle isocèle) jusqu'à 55° (cas de la feuille 21x29,7). En calculant les aires des triangles BCB' et ACC' à chaque fois ; nous avons obtenu le tableau de valeurs ci dessous :
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On voit, sur ce tableau, que, jusqu'à 51°, c'est le pli selon la bissectrice de l'angle droit qui est meilleur. Par contre, à partir de 52°, c'est le pli selon la bissectrice de l'angle le plus aigu qui est meilleur.
Pour affiner ces résultats, nous avons fait le graphique qui représente ces 2 fonctions, et nous avons obtenu l'image ci dessous.
On voit bien sur ce graphique que les deux courbes se croisent entre 51° et 52°, à peu près à 51,8°.
Nous pensons ainsi que , dans le cas d'un triangle rectangle, la bissectrice d'un angle sera toujours le meilleur pli. Si le plus grand des 2 angles aigus est compris entre 45° et 51°, le meilleur pli sera la bissectrice de l'angle droit.Si cet angle est supérieur à 52°, le meilleur pli sera la bissectrice du plus petit des angles aigus.
Mais bien des questions restent encore.
Nous avons fait l'hypothèse, après de nombreuses manipulations que c'était forcément une bissectrice qui était la réponse dans le cas des triangles rectangles. Mais nous n'en sommes pas vraiment certains puisque nous ne l'avons pas démontré.
Et que se passe t-il si le triangle n'est pas rectangle ?
