Comptes Rendus MATh.en.JEANS 99-07

Enseignant : Hubert PROAL

Chercheur (correspondant) : Charles PAYAN (CNRS, Grenoble)

Club de Mathématiques MATh.en.JEANS, Lycée d'Altitude de Briançon, année scolaire 1998-99.

 [ Les passages entre crochets sont des éditeurs. Les termes soulignés sont définis dans le glossaire ]

Sommaire

• Sujet
• Cas où les droites sont parallèles[ et distinctes].
• Cas où les n droites sont concourantes [en un même point].
• Cas où les droites ne sont ni concourantes ni parallèles.
• Un autre cas.
• Plans dans l'espace.

• Sujet : On veut savoir en combien de zones, n droites coupent le plan.

  [Autrement dit, quel est le nombre de régions délimitées par n droites du plan]

[Le nombre de régions déterminées par n droites dépend de la disposition relative des droites entre elles.]

• Cas où les droites sont parallèles[ et distinctes]

On remarque que pour 1 droite le plan est divisé en 2 zones. Pour 2 droites on a 3 zones et pour 3 droites on a 4 zones.

On peut conjecturer le résultat suivant. [Pour tout entier positif n on a :]

()       n droites délimitent n+1 zones. [ autrement dit, = n+1 ]

Procédons par récurrence pour démontrer cette conjecture.

Pour 1 droite on a 2 zones, soit 1+1 zones : ( )

On suppose que la conjecture est vraie jusqu'à n droites.

Démontrons qu'elle s'applique aussi pour n+1 droites.

On remarque qu'une nouvelle droite [parallèle] coupe une zone déjà existante en deux; elle ajoute une zone.

[Donc si] n droites [parallèles ] déterminent n+1 zones [, n+1 droites déterminent (n+1)+1 zones, autrement dit

() ()  ]

Par conséquent, la conjecture est vraie [pour tout entier positif n.]

• Cas où les n droites sont concourantes
  [en un même point]

  On remarque que lorsque l'on a une droite, le plan est divisé en deux zones. Pour deux droites on a quatre zones, pour trois droites on a six zones, et pour quatre droites on a huit zones.

On peut conjecturer la formule suivante. [Pour tout entier positif n on a :]

()     = 2n

Procédons par récurrence pour la démontrer.

Pour une droite on a deux zones, soit 2 fois 1 : = 2 ; ( )est vraie

On suppose que la formule est vraie jusqu'au rang n. Démontrons qu'elle est encore vraie pour n+1 droites.

On remarque qu'une nouvelle droite coupe deux zones déjà existantes en deux; elle ajoute ainsi deux nouvelles zones.

[Donc si] n droites concourantes déterminent 2n zones [ n+1 droites concourantes déterminent 2n+2 zones, soit 2(n+1). Autrement dit :
( )  () ]

Par conséquent, la formule est vraie pour tout entier positif n.

• Cas où les droites ne sont ni concourantes ni parallèles.

[En fait, on suppose plus : 2 droites quelconques sont non paarallèles, 3 droites quelconques sont non concourantes ; dans une telle situation, on dit que les droites sont en position générale. ]

Nb de droites Nb de zones 0 1 1 2 2 4 3 7 4 11

On remarque que si l'on additionne les nombres présents dans chaque ligne, on obtient la somme des n premiers entiers. Par exemple 0+1=1= 1, 1+2=3= 1+2, , 2+4=6= 1+2+3, , 3+7=10= 1+2+3+4, .....

On note la somme des i premiers entiers avec

On a alors:

=      1   +   2    +    3   +     4   +  ............. +   n      
=       n  + (n-1)  + (n-2)  +   (n-3) + ............    +  1

[en regroupant les premiers termes des deux expressions, les deuxièmes termes, etc., on obtient :]

2 =   ( n+1) + (n+1) + (n+1)  +   (n+1) + ..............  + (n+1)   
soit  n fois n+1)

[Proposition 1 ] = avec n>1.

Nb de droites	Nb de zones	Si+1
n	Sn+1 - n = +1	Sn+1=
	z

Cette dernière formule ne s'applique que pour z défini par +1 avec n appartenant aux entiers naturels.

[ Conjecture.  Pour tout entier positif n , on a       () = - n = +1 ]

Démontrons cette formule par récurrence :

Pour n=1, nous avons = 2 zones. () est vraie

Nous supposons la formule vraie jusqu'au rang n.

Lorsque l'on rajoute une droite [ en conservant le caractère général de la position ] , celle-ci coupe chacune des autres droites existantes [ en des points distincts, donc coupe n+1 zones , on a donc n+1 zones supplémentaires]

[ Par conséquent si ] n droites en position générale déterminent +1 zones

n+1 droites[ en position générale, délimitent un nombre de zones ]

tel que = +1+(n+1) = +1

[ Autrement dit,] ()  ()

Ce qui, puisque () est vraie, démontre que () est vraie pour tout entier positif n.

[Théorème 3. n droites en position générale déterminent] +1 zones.

• Un autre cas

  Nous considérons ici p + c -1 droites dont p droites parallèles et c droites concourantes en un même point

  [ on suppose que l'une des c droites concourantes est confondue avec l'une des p droites parallèles ]

  

  Expérimentalement, on obtient le tableau ci-dessous:

Nb. de droites parallèles p	Nb. de droites concourantes c	Nb. de zones zp+c-1
2	3	9
2	4	12
2	5	15
3	3	12
3	4	16
3	5	20
4	3	15
4	4	20
4	5	25

On peut conjecturer[ à partir de] ce tableau la formule suivante:

Nous n'avons pas poursuivi nos recherches et ce dernier résultat n'est pas démontré. De plus, d'autres cas tels que celui des droites parallèles et concourantes en plusieurs points n'ont pas été traités.

• Plans dans l'espace

Nous avons cherché à élargir notre étude en posant le problème dans l'espace : en combien de zones (z), p plans coupent l'espace ?

Nous avons abordé le sujet mais nous nous sommes vite rendu compte que les différents cas étaient délicats à traiter dans la mesure où chaque cas était subdivisé en plusieurs cas ...