Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-03

Enseignants : Yann BOURIT et Eric MARTINOD (Clg. L'Ardillière de Nézant) ; Frédéric ALBERTINI et Christion GEORGES (Clg. Charles Lebrun).

Chercheur : Julien VIDAL (Lab. de physique des solides, Univ. Paris 6, Paris).

Jumelage MATh.en.JEANS entre les collèges l'Ardillière de Nézant de Saint- Brice (95) et Charles Lebrun de Montmorency (95). Ateliers de Pratique Scientifique, année scolaire 2001-2002.

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[Article vérifié et annoté : les passages entre crochets sont des éditeurs]

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Le sujet (proposé par Julien VIDAL: note 1)

Le but de ce travail est de trouver le nombre de chemins reliant deux points d'une structure donnée (carrée, cubique, triangulaire) sachant que le marcheur considéré ne peut aller que dans certaines directions.

1. Le réseau carré On considère, pour commencer, le cas (le plus simple) du réseau carré, et l'on suppose qu'à chaque pas, le marcheur ne peut se déplacer que vers la droite ou vers le haut. Si l'on suppose que le point de départ est le site indiqué en noir sur la figure, le problème consiste alors à déterminer, pour chaque site du réseau, le nombre de chemins possibles pour y parvenir. notre réponse	Figure 1 : portion de réseau carré
2. Le réseau cubique On considère maimtenant un réseau cubique et l'on choisit trois directions de déplacement perpendiculaires deux à deux. En utilisant le même type de raisonnement que pour le réseau carré, déterminer là encore, le nombre de chemins reliant le site de départ aux autres sites. notre réponse
3. Projection 3 vers 2 suivant (111) !  [Le réseau triangulaire] On se pose enfin le même problème sur un réseau triangulaire (voir figure 2). Dans ce cas, le marcheur ne peut se déplacer que dans les directions indiquées par les trois flèches. L'idée est de trouver une correspondance entre ce système et le réseau cubique afin d'obtenir la solution uniquement à partir des résultats précédents. notre réponse	Figure 2 : morceau de réseau triangulaire
Annexe. Un peu de probabilités (Éléments de réponse [pour les] réseaux carrés. Développement de (a+b)n+p ) L'idée de cette section est de relier les résultats obtenus sur les réseaux carrés et cubiques à des nombres bien connus des mathématiciens. En s'inspirant de l'identité (dite remarquable) suivante : , trouver le développement de pour un entier  n quelconque . Le nombres venant en facteur de chaque terme de la forme sont appelés coefficients du binôme. En supposant qu'à on associe  j sauts vers la droite et qu'à on associe  k sauts vers le haut, retrouvez les résultats du réseau carré de la section 1 en inspectant les facteurs situés devant les termes de la forme . A l'aide du résultat précédent, trouvez une formulation analogue pour retrouver le nombre de chemins sur le réseau cubique. notre réponse

NOTES DES EDITEURS

COMBINATOIRE ENUMÉRATIVE CHEMIN RÉSEAU CARRÉ RÉSEAU TRIANGULAIRE RÉSEAU CUBIQUE GRILLE PROBABILITÉS COEFFICIENTS BINOMIAUX TRIANGLE DE PASCAL