Tous les chemins mènent à Rome, mais combien y en a-t-il ?  ,  Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-03

2 Le réseau cubique

Combien y a-t-il de chemins différents pour aller du point A jusqu'à n'importe quel point du cube [= du réseau cubique], sachant qu'on ne peut se déplacer que dans trois directions : vers le haut ou vers la droite ou vers l'avant ?

On utilise ici le même principe que pour les réseaux carrés : pour aller à un point de coordonnés (x;y;z), il faut passer par les points de coordonnés (x-1; y; z) ou (x; y-1; z) ou (x;y;z-1). Donc le nombre de chemins allant à ce point est l'addition des nombres de chemins allant à ces trois autres points.

On a constaté que la formule utilisée pour les réseaux carrés (voir le Théorème de la 4ème partie] à savoir (x+y)!/x!y! ( où [...] [la notation N! désigne la factorielledu nombre N ]) est également applicable dans le réseau cubique.

En considérant les 3 dimensions, on obtient :

[Conjecture (note 3) [Dans le réseau cubique], le nombre de chemins ["croissants"] différents pour aller de (0,0,0) à (x,y,z) est :

  (x+y+z) !  
x! x y! x z!

[Par chemin "croissant", on entend un chemin qui n'emploie que les directions "vers la droite", "vers l'avant" ou "vers le haut" ]