Tous les chemins mènent à Rome, mais combien y en a-t-il ?  ,  Comptes Rendus MATh.en.JEANS 02-03

[ Annexe. "Un peu de probabilités"]

Éléments de réponse [pour les] réseaux carrés. Développement de (a+b)^n+p

Dans un réseau carré, il y a l'ordonnée (a) et l'abscisse (b) : a exprime un déplacement vers le haut et b un déplacement vers la droite.

Par exemple, le développement de (a+b)2 correspond à aa+ab+ba+bb. On se rend compte que : -«aa» exprime un déplacement de un [deux] vers le haut, on arrive au point (1;1) [(0;2)] -«bb» exprime un déplacement de deux vers la droite, on arrive au point (2;0). -«ab» exprime un déplacement de un vers la droite et un vers le haut, on arrive au point (1;1) -«ba» exprime un déplacement de un vers le haut et de un vers la droite, on arrive au point (1;1).

Ou encore, avec le développement de (a+b)³, on obtient aaa+aab+aba+baa+bba+bab+abb+bbb. Même conclusion que précédemment ; cependant, avec plus de déplacements possibles.

Le lien avec le réseau carré est que, pour (a+b)², on remarque qu'il n'y a qu'une possibilité pour se rendre au point (0;2), une possibilité pour arriver au point (2;0). Cependant, pour se rendre au point (1;1), il y a deux chemins (ab et ba).

Tandis que, pour (a+b)³, il y a :

- une possibilité pour se rendre au point (0;3) (aaa),
- une possibilité pour se rendre au point (3;0) (bbb),
- trois possibilités pour se rendre au point (1;2) (aab, baa, aba),
- trois possibilités pour se rendre au point (2;1) (bba, abb, bab).

La formule générale se résume donc, pour aller au point (n;p), à développer (a+b)^n+p

Exemple. Pour aller au point (3;2), il faut développer (a+b)³⁺² donc (a+b)⁵. Dans ce développement on prend la totalité des coefficients composés de trois a et de deux b (on ne prend pas compte des coefficients composés d'une lettre). Cela nous donnera le nombre de chemins possibles pour aller au point (3;2). [voir note 2]

Or on a lu dans un livre que [le coefficent du terme aⁿb^p dans] le développement du binôme, (a+b)^n+p, peut se rapporter à [= est donné par] la formule générale :

Donc [en notant N! la factorielle du nombre N) :

[Théorème 2] Le nombre de chemins pour aller au point de coordonnées (n;p) est égal à :

 (n+p) ! 
n! x p!