La mare aux crocodiles - Association Science Ouverte (Bobigny)

Une mare est remplie de crocodiles. Ils sont très querelleurs et, après bagarre, pour chacune des paires de crocodiles l’un des deux est dominant et l’autre est dominé – mais ceci un peu au hasard, sans cohérence.
On appelle chef un crocodile qui dominerait tous les autres, mais il n’y en a pas toujours. Aussi on appellera un crocodile sous-chef si, pour tout autre crocodile C, soit il le domine directement soit il domine un troisième crocodile qui lui-même domine C.
On se demande quelles sont les possibilités : y a-t-il toujours un sous-chef ? Que se passe-t-il s’il n’y en a qu’un ? Peut-il y en avoir 1, 2, 3… et plus généralement dans une mare de n crocodiles quelles sont toutes les possibilités pour le nombre de sous-chefs ?