Publications MATh.en.JEANS

Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)

Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.

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Analysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans une ville les rues sont perpendiculaires les unes aux autres, formant une grille. L’article étudie plusieurs problèmes associés à une telle carte routière en grille.
- Le premier chapitre traite du problème du plus court chemin d’un point à un autre. Lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on les compte en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde la géométrie de l’espace où les rues sont aussi prises en compte.
Mots clés : géométrie, géométrie non euclidienne, dénombrement, chemin le plus court, algorithme de Dikjstra, médiatrice, conique, diagramme de Voronoï, recouvrement
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, Python
Evolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.

In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoire
Entiers remarquables - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
 Un nombre entier est dit remarquable si il existe un multiple de ce nombre dont l’écriture en base 10 est 99...900...0. Les auteurs démontrent qu’vec cette définition tous les entiers naturels sont remarquables. Ils décomposent le problème en plusieurs ca particuliers avant d’attaquer le cas général.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, théorème d'Euler, théorème des restes chinois, théorème de Fermat
Analyse et optimisation d'une mission spatiale - Lycée Stendhal (Milan)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L'objet de ce travail est de comparer du point de vue énergétique différentes manœuvres pour changer d'orbite un satellite. L’orbite de départ est un cercle de rayon centré sur le soleil et celle d’arrivée une ellipse dont le soleil est l’un des foyers. On étudie successivement le transfert direct, les transferts de Hohmann avec une demi-orbite elliptique intermédiaire et des transferts utilisant deux demi-ellipses intermédiaires, en calculant l’impulsion totale à donner au satellite dans chacun des cas.
Mots clés : Kepler, gravitation, Newton, trajectoire, ellipse
Une fourmi sur un tétraèdre régulier - Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L’article propose de trouver le nombre de déplacements de longueur donnée d’une fourmi sur un tétraèdre régulier.
Les résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence  : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacence, récurrence
Permutation de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Combien de cartes restent à leur place initiale en moyenne lorsque l'on mélange aléatoirement un jeu de cartes ? Cet article répond à la question pour les petites valeurs du nombre de cartes et établit des formules permettant de le calculer par récurrence en général.
Mots clés : permutation, dérangement, dénombrement, espérance
La place de théâtre - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Dans cet article, on calcule le nombre moyen de fois où vous devez vous relever dans une salle de spectacle où vous vous asseyez au hasard et vous devez changer de place chaque fois qu’arrive le spectateur ayant réservé la place que vous avez prise. On effectue quelques simulations puis on calcule cette espérance en fonction du nombre de places que contient la salle.
Mots clés : probabilité, loi de probabilité, espérance, série harmonique
Les poids cassés - Lycée du Pays d'Aunis et Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Les élèves ont travaillé sur le problème suivant : "Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Mots clés : numération, numération en base 3
Counting configurations - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
A disc is divided into n sectors, each of which is to be painted with one of k possible colours, with the condition that two adjacent sectors have different colors. In a first part, two configurations which are obtained from each other by a rotation are considered as different, and the problem is solved firstly by a Python program for values of n, k up to n=12 and k=5. Then a general formula is obtained by means of a recurrence.
In a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Mots clés : combinatoire, coloration, principe d'inclusion-exclusion, Python
Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Passing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilité
Cube de points - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens) Lycée Saint-Etienne (Sens)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
La première partie de ce travail présente un algorithme qui engendre une suite pseudo-aléatoire de points dans l’espace cartésien tridimensionnel. Les coordonnées de chaque point appartiennent à l’intervalle [-1,1]. Ensuite, l’algorithme est affiné en éliminant une partie de ces points de façon à faire apparaître les lettres X, Y et Z en négatif lorsqu’on regarde dans la direction de l’axe correspondant.
Mots clés : Python, géométrie dans l'espace, algorithme, aléatoire
Les triangles harmonieux - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans ce texte, on étudie des étoiles formées à partir de 3 triangles harmonieux (triangles partagés en 4 petits triangles contenant un nombre dont le centre est la moyenne des sommets). On a montré qu’on pouvait en construire autant qu’on voulait en expliquant comment le faire. Puis on a généralisé en imbriquant de telles étoiles et en définissant des opérations sur ces étoiles pour en construire d’autres.
Mots clés : base, équation, générateur, moyenne
Derrière la magie ... Le CODE ! (1) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Une magicienne montre un de ses tours aux élèves. Ces derniers en recherchent l’explication scientifique, basée sur les codes correcteurs d’erreurs en informatique, et cherchent si ces explications restent valables en modifiant certains des paramètres du tour. C’est l’occasion de parler d’addition en binaire, en base 3 etc.
Mots clés : code correcteur, base 2, numération en base 3, parité, magie
Un partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
In Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés : partage, pair, impair, puissance de 2
Feu rouge - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Un cycliste pressé roule à sa vitesse maximale. Depuis une certaine distance, il observe un feu changeant de couleur toutes les 20 secondes. L’objectif du cycliste est d’arriver au feu vert le plus rapidement possible, et avec la vitesse maximale. Pour cela il peut freiner puis accélérer, avec une accélération limitée.
On étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Mots clés : mouvement, vitesse, accélération
Diviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
On montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés : fraction, fraction continue, racine carrée
Les dames berrichonnes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Cet article étudie le jeu des dames berrichonnes dans lequel N joueurs remplissent à tour de rôle un damier 6*6 puis retirent leurs jetons à tour de rôle en marquant ainsi des points : un joueur qui retire un jeton marque n points, où n est le maximum du nombre de cases vides à partir de ce jeton dans une des quatre directions. Le joueur ayant le plus de points à la fin de la partie gagne. Les élèves s’intéressent ici particulièrement à la variante à deux joueurs et essaient de déterminer des heuristiques de gain pour le joueur 1.
Mots clés : jeu de stratégie
Maudits rectangles - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Pour un tableau de taille fixée mxn, le problème est de le remplir avec des entiers dans chacune de ses cases et en mettant le moins d’entiers différents possible. Ceci doit se faire en faisant en sorte que lorsque le remplissage est fini, il n’existe aucun rectangle à l’intérieur du tableau dont les quatre cases aux sommets contiennent le même entier.
Mots clés : congruence, combinatoire
Forme des dunes - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
It is assumed that sand is poured on top of a horizontal elevated support to form a dune. At some point, no further quantity of sand changes the form of the dune, because all the additional sand slides on the side of the dune and falls outside of the support.
The work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
Mots clés : forme, équation, disque, polygone, géométrie dans l'espace
L'éternelle fortune - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un nombre fini de pièces d’or est réparti en paquet. A chaque étape, une pièce d’or est retirée de chaque tas pour former un nouveau tas. Cette opération est répétée avec la nouvelle répartition. La question est alors de savoir si le processus s'arrête et si oui au bout de combien d’opérations.
L'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Mots clés : combinatoire, empilement
Oubli à Macondo - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans le lointain village de Macondo, les habitants font face à la peste de l’oubli qui est subitement apparue dans la région. Ils semblent se remémorer tous les nombres qu’ils connaissaient auparavant, comme 0, 1, 100, −3, et même π et √2, mais, ils ont oublié comment calculer. Désormais, ils appellent ’somme’ de deux nombres le maximum entre ces deux nombres et ’produit’ de deux nombres l’ancienne addition entre ces deux nombres.
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Arrosage du lycée - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès) Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
The work considers a school's building site with some water points in it. The problem to be solved is the determination of the water point that is the closest to an arbitrary point in the site. Three solutions are given. The first one directly computes the distances using the program GeoGebra. The second solution uses the properties of the perpendicular bisector of a segment to split the plane into various pieces, each closer to a water point. A C++ program is used. The third solution consists of an application of Lee’s algorithm. In the final section, a generalization of the second approach is proposed.
Mots clés : distance, modélisation, modèle mathématique, Geogebra
Un modèle stochastique pour la gestion des stocks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
In this work, a model for the management of fishing stocks is studied under the assumptions that, in a some site, the growth of a certain species is limited by the available resources and that a constant amount is fished every year. It is mainly a discrete time model: evolution from one year to the next given by a recurrence close to the logistic map, but the variant in continuous time, governed by a differential equation is also studied. Depending on the value of the parameters (maximum biomass of the site, initial biomass, basic reproduction rate, quantity fished), different evolutions appear: extinction, stabilization or, in the discrete case, chaotic evolution.
Mots clés : dynamique des populations, évolution, suite logistique, convergence, chaos, extinction
Les chiffres des puissances de 2 - Lycée Frédéric Mistral (Fresnes)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L'article étudie les chiffres dans l’écriture décimale des puissances de 2. Les auteurs démontrent que les k derniers chiffres, ainsi que le k-eme chiffre, sont périodiques à partir d'un certain rang, avec une période de 4x5^(k-1). Ils prouvent également que les 10 chiffres apparaissent le même nombre de fois dans le motif (sauf pour le chiffre des unités).
Mots clés : arithmétique, puissance de 2, congruence, écriture décimale, base
Two problems on touching circles - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Sangaku are traditional Japanese wood paintings representing geometric problems. In this work, the authors consider series of circles tangent to each other and to a same given line, or to each other and to a same other circle. In the first case, they determine the radii of the generated circles and relate their structure to the Stern-Brocot tree, a binary tree whose vertices correspond to all positive rational numbers. In the second case, using the inversion transformation it is shown that the first Sangaku can be mapped to the second one, so that they are actually equivalent.
Mots clés : sangaku, cercle, tangent, arbre de Stern-Brocot, inversion
Exploring Lill's method: beyond graphical solution - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
The aim of this article is an in-depth study of Lill’s method, an ingenious graphical method of finding the roots of polynomials of any degree developed by Austrian engineer Eduard Lill and
published on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to study the problem of inscribing regular polygons inside other regular polygons.
Mots clés : racine, polynôme, polygone régulier, nombre complexe
Faites des routes, pas la guerre ! - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Il s’agit d’un jeu à deux, où on commence avec deux châteaux et un certain nombre de villes puis chacun à tour de rôle construit une route reliant deux lieux, villes ou château. Les routes doivent être liées, directement ou non, à l’un des deux châteaux. Le joueur qui crée une route permettant d’aller d’un château à un autre a perdu.
Il est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Mots clés : jeu, graphe, combinatoire
Damier à noircir - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Étant donné un damier carré de n cases de côté et quelques cases initialement noircies à l’intérieur, peut-on colorier entièrement ce damier sachant qu’on peut colorier une case si elle possède au minimum deux cases voisines (par un côté) noircies. Ce texte donne quelques exemples, puis en utilisant la notion de périmètre de la figure noircie, établit une condition nécessaire sur le nombre de cases noircies initialement pour colorier tout le carré. Des cas particuliers où on peut tout noircir sont exhibés. Enfin certains cas lorsque la figure du départ et les cases ne sont plus carrées seront examinés.
Mots clés : pavage, coloriage
La vie d'un plancton - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Les élèves du collège Alain Fournier à Orsay ont étudié la probabilité de survie d’un plancton qui se déplace verticalement. Chaque jour, il va d’une unité vers le haut avec probabilité de 1/2, ou d’une unité vers le bas avec une probabilité de 1/2. Le plancton meurt s’il atteint la surface ou le fond de la mer. Les élèves ont étudié, en fonction de la hauteur de départ, si le plancton pouvait survivre indéfiniment, puis — s’il ne survivait pas indéfiniment — quel serait le temps moyen au bout duquel il serait tué et enfin s’il serait tué en touchant plus tôt le fond ou la surface.
Mots clés : probabilité, marche aléatoire, convergence
Boom ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
On cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ?
Mots clés : combinatoire
Alerte au voleur - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Ce travail étudie la manière de recouvrir un carré par des disques. La première partie traite du recouvrement par un nombre donné de disques identiques, il s’agit alors de trouver le rayon minimum. Pour un recouvrement avec un, deux ou quatre disques, le problème est entièrement résolu. Pour un recouvrement avec trois disques, les jeunes chercheurs proposent une méthode presqu’optimale qui découle d’une étude avec Geogebra.
Dans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Mots clés : disque, surface, recouvrement
Le facteur ne repassera pas - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Le travail du facteur n’est pas si simple que vous pensez ! Imaginons une rue composée de n maisons alignées. Partant de la première, quels sont tous les ordres possibles de parcours des maisons pour y déposer le courrier ? Parmi ces trajets, lesquels minimisent la distance parcourue par le facteur ?
Lesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Mots clés : dénombrement, optimisation
Les nombres polygonaux - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Les nombres polygonaux sont ceux qui peuvent être représentés sous forme de polygones réguliers. Dans le travail, il est montré comment construire des nombres polygonaux (à la fois géométriquement et à l'aide d'un programme Python) et des formules générales sont déterminées pour calculer ces nombres. Ensuite, la formule de Diophante permettant de calculer les nombres polygonaux de manière récursive est démontrée. Enfin, un programme Python est présenté, qui décompose un nombre naturel arbitraire en une somme d'au plus trois nombres triangulaires (cas particulier du théorème de Fermat sur la décomposition des nombres naturels en une somme de nombres polygonaux).
Mots clés : nombre polygonal, Python
Ovalie - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Au rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
Mots clés : arithmétique
L'allumeur de lampadaires - Lycée Jean Lurçat (Bruyères) Lycée Claude Gellée (Épinal)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans l’allée d’une ville 10 lampadaires sont disposés en ligne numérotés de 1 à 10, ils sont éteints ou allumés chaque soir par un allumeur de lampadaires ; il les allume de la droite vers la gauche selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé il change l’état du suivant c’est-à-dire s’il était allumé il l’éteint et s’il était éteint, il l’allume. Le premier soir seul le lampadaire numéro 1 est allumé on cherche donc au bout de combien de soirs tous les lampadaires seront allumés et dans un second temps si on peut prévoir leur comportement pour un nombre n de lampadaires. Les résultats obtenus sont qu’au bout de 2^n jours, il y a 2^n lampadaires allumés, et que le jour suivant il n’y en a plus que 2.
Mots clés : triangle de Pascal, récurrence, coefficient binomial
Equidecomposability of polygons
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
It is proved that, given two polygons of equal area, each of them can be decomposed into finitely many parts that can be rearranged to form the other by means of translations and rotations (Wallace–Bolyai–Gerwien theorem). The proof is divided into three steps: (1) any polygon can be cut into triangles; (2) any given triangle can be cut into smaller polygons that rearranged form a rectangle with equal area; (3) any rectangle can be cut into smaller polygons which rearranged form a square of equal area.
Mots clés : surface, polygone
Line Drawing Algorithm - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
This article presents a fast line segment plotting algorithm using only integer calculations, due to J. E. Bresenham, and also the analogous circle plotting algorithm.
Mots clés : pixel, algorithme, algorithme de Bresenham
Suite diatomique - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L’article s’intéresse à la suite de Stern et démontre plusieurs propriétés, pour certaines assez surprenantes, qui n’ont été établies qu’assez récemment. En s’inspirant des pistes esquissées par Jean-Paul Delahaye dans un article de la revue « Pour la Science » (n°420, octobre 2012, disponible sur le site de l’auteur : https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/227.pdf), l’article démontre un ensemble de propriétés et théorèmes qui lient la suite de Stern à celle de Fibonacci, mais également au triangle de Pascal, la représentation hyperbinaire des entiers, ou encore le dénombrement des nombres rationnels.
Mots clés : suite numérique, suite de Fibonacci, triangle de Pascal, binaire, rationnel, récurrence, arbre, fraction continue
Jeux de stratégie : tic-tac-toe, achi, pikaria - Lycée français Van Gogh (La Haye) École Européenne (La Haye)
Diaporama
Recherche d'une stratégie permettant de gagner ou de ne pas perdre au tic-tac-toe, achi et pikaria.
Mots clés : algorithme
Article : Flyovers - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
One tries to connect a given number of towns by roads, with bridges (“flyovers”) to avoid crossings at intersections. What is the minimum number of bridges required for n towns? The problem is solved up to 6 towns, and for 7 and 8 towns examples are given that yield at least an upper bound of the minimum number of flyovers.
Mots clés : graphe, graphe complet, graphe planaire
Article : Piece of Cake - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Cet article (écrit en anglais) traite du problème de couper un gâteau, ou une forme plane, en deux morceaux d'aire égale, en un coup de couteau. Il propose une construction à la règle et au compas dans le cas d'un triangle, d'un quadrilatère convexe, puis, plus généralement d'un polygone convexe à n côtés. Il s'intéresse ensuite au cas où le gâteau a un trou : il propose une construction dans les cas où on peut en un coup de couteau couper le trou en 2 part égales et le gâteau sans trou en 2 part égales. Enfin, il propose une solution numérique pour couper des polygones convexes à n côtés en m parts égales.

Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life. Although the approximation by eye is faster, it is not always accurate. In this paper we are presenting multiple methods of cutting various 2D shapes in 2 or even more pieces of equal area. We also present a method for cutting some shapes with holes in them…
Mots clés : géométrie, polygone, construction à la règle et au compas, récurrence
Article : Regardant autour - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Whether two points above the Earth surface can “see” each other depends on the distance between them and on their altitude. In the work, the relationship between distance and altitudes is calculated in various cases.
Mots clés : géométrie, trigonométrie
Article : Nombres au choix - Lycée Français de San Francisco
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Étant donnés quatre nombres entiers a, b, x et y, on peut successivement multiplier par a ou ajouter b, dans l’ordre qu’on veut. En fonction de ces données, quand peut-on d’atteindre tous les entiers supérieurs à un certain nombre ? Ce problème est complètement résolu dans l’article au moyen de l’arithmétique et en particulier des congruences.
Mots clés : arithmétique, congruence, racine primitive
Article : In between - Colegiul national B.P. Hasdeu (Buzau)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
You get lost in a street with houses numbered from 1 to n (which is a positive integer - a known value), placed on only one side of the road. All you know is that the numbers of the houses on the right side of your home add up to the same result as the numbers of the houses on its left. Can you find your address?
Mots clés : somme d'entiers, carré, carré parfait, nombre triangulaire
Article : Calculs d'aire sur papier quadrillé - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens}
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Le but est de trouver le lien unissant le nombre de points intérieurs, le nombre de points sur le bord, et l'aire d'un polygone dont les sommets sont des points d’un quadrillage. Une formule (formule de Pick) est conjecturée à partir d’exemples, puis démontrée dans des cas simples et une piste est donnée pour la généraliser.
Mots clés : polygone, aire, quadrillage, formule de Pick
Article : Jeu de dés - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
 L’enjeu du problème « Alea Jacta Est » est de définir une stratégie efficace pour un jeu de dés dont les règles sont les suivantes.
Ce jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a raison, il marque un point pour cette manche ; un joueur doit accumuler trois points (un point par manche) pour gagner la partie. Si le joueur se trompe, l’autre joueur gagne définitivement la partie.
L’article propose une analyse du jeu à deux dés…
Mots clés : analyse de jeu, probabilité, stratégie gagnante, programmation, loi binomiale
Article : Balle aux prisonniers - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Ce travail détermine les chances de victoire de chaque joueur lors d’un jeu de balle aux prisonniers à trois joueurs. Dans cette version, chaque joueur touché est éliminé, le dernier joueur est déclaré vainqueur.
La première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des différentes possibilités.
Mots clés : arbre, stratégie gagnante, probabilité
Article : Compter les rebonds - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Deux cubes se déplacent sans frottements avec le sol sur une ligne droite bordée d'un côté par un mur. Initialement, le premier cube est immobile, et le second est lancé vers lui à une certaine vitesse. Les rebonds entre les 2 cubes et entre le premier cube et le mur sont supposés se produire sans perte d'énergie. Dans cet article, on détermine le nombre de rebonds en fonction des masses des cubes et de la vitesse initiale à l’aide d’une représentation géométrique. La généralisation au cas de plus de 2 cubes et la prise en compte de pertes d'énergie sont aussi envisagées.
Mots clés : dynamique, collision
Article : Étude des espèces invasives - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
This paper considers the development of a garden (represented by a matrix) in which, every year, plants spread seeds over the adjacent plots according to specified patterns. Different patterns are considered, and the growth of the garden is investigated by means of C++ programs or matrix operations.
Mots clés : matrice, algorithme, programmation
Article : Volume d’un arbre - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
The aim of the paper is the calculation of the volume and of the density of an idealized tree. Every branch in the tree has the form of a truncated cone and is assumed to generate two new smaller branches similar to it. The full tree is obtained by repeating the duplication process infinitely many times on each branch.
The volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for calculating the volume is presented in the final section.
Mots clés : volume, densité, convergence
Article : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
L-systems are introduced as models for plant growth.
Mots clés : L-système, récurrence
Article : Decomposing integers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
What are the integers that can be written as x2+ay2, where a∈Z is fixed?
Les élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Mots clés : arithmétique, équation diophantienne
Article : Visite à la Mezquita - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
 La grande mosquée de Cordoue contient plus de 800 colonnes, disposées régulièrement sur un quadrillage. Si on se place au centre, quelles colonnes sont visibles, lesquelles ne le sont pas ? Y a t-il de grandes zones non visibles ? La question de la visibilité d’une colonne est liée au pgdc entre leur deux coordonnées. À l’aide d’une exploration informatique poussée, des images des colonnes visibles sont créées et une grande zone cachée est trouvée.
Mots clés : configuration de points, colonne, coordonnée, pgcd, nombres premiers entre eux, code, modélisation informatique
Article : Le sujet dont vous êtes l’auteur - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
The work consists of two problems proposed by the students themselves.
In the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Mots clés : simulation, répartition des nombres premiers, combinatoire
Article : Dominos sur grilles trouées - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
In this paper the author studies the possibilities of paving with dominos a square grid where an arbitrary number of obstacles are placed, that is from which an arbitrary number of cells have been removed. Different approaches are considered: direct study for a grid with a pair of obstacles, examples with more obstacles, approach by graph theory and then by linear algebra.
Mots clés : pavage, domino, graphe, graphe biparti, système linéaire
Article : Une question de tournois - Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Cet article étudie les situations d’égalité lorsque des équipes se rencontrent les une les autres lors d’un tournoi. Y est discutée la probabilité qu’apparaissent, à l’issue d’un tournoi, des équipes
« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Mots clés : tournoi, graphe, combinatoire
Article : Irrational numbers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Si d est un entier dont la décomposition en nombres premiers ne contient pas de carrés, trouver les entiers a et b tels que a+b√d soit inversible et que son inverse de soit la forme a’+b’ √d où a’ et b’ sont des entiers.
Mots clés : écriture des nombres, équation de Pell
Article : La grosse équation - Lycée Le Likès (Quimper)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Les auteurs étudient l’équation diophantienne x/(y+z)+y(x+z)+z/(x+y) = 4.
Les tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par intersection avec un plan, permet de déterminer explicitement une solution.
Mots clés : équation diophantienne, géométrie
Article : Jeu de type morpion - Lycée Les Catalins (Montélimar) Collège Marguerite Duras (Montélimar)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Ce jeu de type morpion est une version un peu différente du morpion classique, dans le sens où le joueur 1 cherche à aligner trois pions sur un morceau de quadrillage et l'autre (joueur 2) cherche à l'en empêcher. La forme du quadrillage est libre et les alignements en diagonale proscrits. L’autrice exhibe plusieurs formes minimales gagnantes pour le premier joueur quelques soient les coups du deuxième joueur : si un quadrillage contient une des ces formes, alors le premier joueur gagne. Un certain nombre de cas sont traités, avec des résultats établis et des conjectures qui restent à démontrer.
Mots clés : jeu, morpion, stratégie de jeu, stratégie gagnante
Article : Le lapin et le camion - Lycée Le Likès (Quimper)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un lapin doit traverser une route sans se faire écraser par un camion. À partir de cette situation, on va plonger dans l’espace-temps et y trouver un cône et des coniques.
Mots clés : poursuite, espace-temps, conique, ellipse
Article : La valse des polygones - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Soit p un polygone circonscrit à un cercle de centre O et p’ son image par une rotation de centre O.
Ce travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Mots clés : polygone, périmètre, aire, rotation, trigonométrie, polygone régulier
Article : Pariez, mais je gagne - Collège Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Il s’agit de trouver une stratégie pour ranger dans l’ordre, face dessus, une série de cartes numérotées présentées dans le désordre et retournées ou non ; à chaque coup on choisit deux cartes adjacentes, on les permute et on retourne l’une d’entre elles. Pour le jeu simplifié sans les retournements, une stratégie gagnant en un minimum de coups est établie dans cet article ; avec les retournements, il apparaît une condition de parité pour que le problème soit résoluble.
Mots clés : permutation, transposition, stratégie, parité
Article : L’objet Invisible - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Dans cet article un objet est dit « invisible » quand on voit ce qui est derrière lui, comme si l’objet n'était pas là. Un objet peut être rendu invisible en déviant les rayons de lumière avec un système de miroirs, mais ces miroirs doivent être positionnés et orientés astucieusement pour que d’une part les rayons de lumière reprennent la direction initiale après les multiples réflexions par les miroirs et d’autre part n’intersectent pas l’objet, le rendant ainsi « invisible » . Pour ce faire, une analyse géométrique détaillée des propriétés de réflexion de la lumière est faite et plusieurs configurations sont trouvées. Une de ces configurations est confirmée par une expérience.
Mots clés : géométrie, triangle, miroir, optique géométrique
Article : Les pokemons - École alsacienne (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Un pokémon est attribué à chaque élève d’un groupe. Le but est que chaque élève retrouve son pokémon. Les élèves passent les uns après les autres dans une salle et donnent une réponse. Chaque élève connaît la liste des pokémons utilisés, ceux attribués aux élèves suivants et les réponses précédentes. Le but est de trouver une stratégie pour faire le moins d ‘erreurs possibles.
Mots clés : algorithme, jeu, code correcteur
Article : La grenouille - École alsacienne (Paris)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Les auteurs considèrent un quadrillage rectangulaire, avec un nombre arbitraire de lignes et de colonnes, privé de deux cases situées à deux coins opposés. Une grenouille se trouve sur ce quadrillage et peut se déplacer seulement d’une case à l’une des quatre cases adjacentes. La question est de savoir s’il existe des chemins de la grenouille qui couvrent toute la table en ne passant pas plus d’une fois par chaque case.
Il est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Mots clés : quadrillage, chemin, chemin hamiltonien
Problème de la pizza - École alsacienne (Paris)
Narration de rechercheLecture conseillée pour tous niveaux
Mario et Luigi ont une pizza. Mario découpe la découpe comme il le veut mais il doit forcément faire un nombre pair de parts (qui peuvent être de tailles différentes). Ils choisissent ensuite tour à tour une part en commençant par Luigi qui prend la part qu'il veut mais ensuite le choix devra se faire de manière adjacente à la part prise précédemment.
Mario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Mots clés : fraction, stratégie
Article : Drôle de carrelage - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Nous voulons remplir un couloir de taille 2 par n avec des dominos de taille 2 par 1. Combien y a-t-il de façons de procéder ? Le résultat est démontré grâce à la fameuse suite de Fibonacci ! Et pour un couloir de taille 3 par n ?
Mots clés : pavage, domino, combinatoire énumérative
Article : Le hasard peut-il nous mettre d’accord ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
On considère une classe de 22 élèves. Au départ, chaque élève a un joueur de l'équipe de France préféré parmi la liste des 22 joueurs sélectionnés pour l'Euro de foot. Chaque jour un élève E choisit un autre élève F et devient influencé par celui-ci dans le sens où le joueur préféré de E devient le joueur préféré de F.
Si les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Mots clés : probabilité, hasard, convergence
Article : La conspiration de la terre plate - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
L’article étudie les effets de la représentation plane de la terre sur les distances et les surfaces.
Mots clés : carte, géométrie sphérique, distance, surface minimale
Article : The clock and the planets - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
The aim of the article is to study the angles that the clock hands form.
We will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Mots clés : coordonnée polaire, géométrie, rotation
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans cet article, on s’intéresse au jeu appelé "tours de Hanoï". On détermine le nombre de coups
minimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Mots clés : tour de Hanoï, suite récurrente, algorithme récursif
Article : Extinction d’une population - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Ce sujet traite du processus dit de Galton-Watson . On a au départ un individu à la génération 0. A chaque nouvelle génération, chaque individu de la génération n a une probabilité pi d’avoir i enfants, la famille des pi étant fixée. Quelle est la probabilité que la descendance de l’individu initial finisse par s’éteindre. Dans ce travail les élèves résolvent le problème pour p0=1/8, p1=3/8, p2=3/8 et p3=1/8.
Mots clés : suite, fonction, limite, convergence, calcul de probabilité
Article : Un triangle peut en cacher (beaucoup) d’autres - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un triangle équilatéral de côté n est découpé en triangles équilatéraux de côté 1 par les parallèles aux côtés. Combien de triangles de toutes tailles peut-on voir au total ?
Mots clés : triangle, combinatoire, dénombrement
Article : Les droïds à l’attaque - Lycée Raynouard (Brignoles) Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Chaque planète dans une galaxie est accessible de certaines autres et est habitée par un certain nombre de droïdes. A la fin de chaque siècle, chaque droïde en envoie une copie aux planètes accessibles et s’autodétruit. La population de droïdes des planètes est étudiée dans ce travail, en fonction du nombre initial de droïdes et de la relation d’accessibilité. Certains problèmes sont modélisés au moyen de matrices, d’autres sont étudiés dans le cadre des graphes.
Mots clés : graphe, matrice, robot
Article : Social distancing in the classroom - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Our research deals with arranging a certain number of students and a teacher in a classroom, while maintaining the social distance between the people in the room. Having the dimensions of the class and the length of the distance that must be kept between the students, we have to find an optimal method of arrangement, so that we can introduce as many people in the class as possible.
Mots clés : géométrie, cristallographique, surface minimale, polygone régulier
Article : The roof is on fire - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Problems that require determining the optimal trajectory between two points under certain restrictions often occur in practice. In this paper we try to find the position of a point such that the path that joins two given points, passing through, is traveled in minimum time. The speeds with which the road is traveled until the arrival in and after leaving are different. In the second part of the article we consider the speed constant along the trajectory, but we impose more restrictions on the trajectory.
Mots clés : dérivation, distance minimale
Article : Breeding (like) rabbits - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
The students study the evolution of a group of rabbits. They start with an ideal case where the mortality rate is null, then they consider a more realistic approach, introducing new variables, namely the mortality rates for immature and adult rabbits.

Mots clés : suite de Fibonacci, suite récurrente, matrice
Diaporama : Le sens de l’équilibre - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
Diaporama
On a n droites et un certain nombre de plots. On dispose 3 plots sur chaque droite, ce qui détermine le nombre p de plots. Les plots sont numérotés de 1 à p. On fait la somme des numéros de plots de chaque droite : si cette somme est la même pour toutes les droites, la figure est dite « équilibrée » et la somme des numéros de plots sur chaque droite est la « constante magique ». Les auteurs montrent comment on peut calculer les valeurs possibles de cette constante magique. Ils traitent ensuite le cas où on a deux ou trois droites et font un premier essai pour 5 droites.
Mots clés : combinatoire, divisibilité
Diaporama : Toujours un jeu gourmand - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
Diaporama
Cet article étudie le jeu à deux joueurs qui se joue avec une “tablette de chocolat” rectangulaire et où, tour à tour chacun des joueurs choisit deux carrés côte-à-côte sur la tablette parmi ceux qui ne sont pas encore pris. Le joueur qui ne dispose plus de deux carrés côte-à-côte a perdu. Après avoir étudié quelques situations particulières, on établit des stratégies gagnantes pour le second joueur dans le cas des tablettes pair x pair, et pour le premier dans le cas impair x pair.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, grille, domino