Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Le comptable - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Trajectoires dans l'espace, points de Lagrange - Lycée Stendhal (Milan)
Quelques problèmes de mécanique céleste sont étudiés :
– À 2 corps, le rendez-vous spatial : deux satellites sont en orbite circulaire autour de la Terre. Comment procéder pour qu’un des deux rejoigne l’autre. “Orbiting/déorbiting” : est-il plus intéressant de faire tomber sur Terre un satellite en fin de vie ou de l’envoyer sur une orbite lointaine ?
– À 3 corps, la sphère d’influence d’un corps : la région de l’espace où l’influence d’un corps est prépondérante par rapport à celle d’un corps plus massif. Les points de Lagrange : ceux où un troisième corps plus léger reste fixe par rapport aux deux premiers.
Mots clés : système dynamique, gravitation, Kepler, Newton, orbite, trajectoire, énergie– À 2 corps, le rendez-vous spatial : deux satellites sont en orbite circulaire autour de la Terre. Comment procéder pour qu’un des deux rejoigne l’autre. “Orbiting/déorbiting” : est-il plus intéressant de faire tomber sur Terre un satellite en fin de vie ou de l’envoyer sur une orbite lointaine ?
– À 3 corps, la sphère d’influence d’un corps : la région de l’espace où l’influence d’un corps est prépondérante par rapport à celle d’un corps plus massif. Les points de Lagrange : ceux où un troisième corps plus léger reste fixe par rapport aux deux premiers.
On fait des pizzas - Lycée Koeberlé (Sélestat)
On cherche à dénombrer les pizzas de n parts que l'on peut faire avec un ingrédient sur chaque part, en disposant de g ingrédients différents à répartir sur autant de parts chacun, les pizzas se correspondant par une rotation étant comptées pour une seule.
Des exemples sont discutés puis une formule générale est démontrée. Un programme Python est également présenté. Enfin, une réflexion est menée pour évaluer ce nombre pour de très grandes valeurs de n et g.
Mots clés : combinatoire, dénombrement, coefficient binomial, coefficient multinomialDes exemples sont discutés puis une formule générale est démontrée. Un programme Python est également présenté. Enfin, une réflexion est menée pour évaluer ce nombre pour de très grandes valeurs de n et g.
Petit carré deviendra grand - Lycée Jean-Baptiste Corot (Douai)
On montre comment découper et assembler des carrés de côté 1 pour en former un seul dont la surface est la somme des surfaces des petits carrés.
Mots clés : géométrie, carré, découpage, carré parfaitSommes d'entiers consécutifs - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Certains nombres peuvent s'écrire comme la somme d'au moins deux nombres entiers consécutifs, par exemple : 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Est-ce vrai pour tous les nombres entiers positifs ? On établit la forme générale des nombres qui peuvent s’obtenir ainsi et on montre que ce n’est pas possible pour les puissances de 2.
Mots clés : arithmétique, nombre entier, entier naturel, paritéDes grilles harmonieuses - Lycées J.-P. Sartre (Bron) et E. Herriot (Lyon)
On dispose d’une grille carrée vide à autour de laquelle des nombres sont écrits. Le but est de remplir la grille de sorte que chaque case soit la moyenne des cases qui lui sont adjacentes.
Peut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Mots clés : harmonium, grille, moyenne, système linéairePeut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Les voûtes nubiennes - Lycée de l'Harteloire (Brest)
Le problème étudié est celui d’empilement de briques en les espaçant au maximum, sans que la structure soit déséquilibrée. En expérimentant avec des kaplas, les élèves ont trouvé que l’on doit décaler le n-ième kapla de 12/(2n) cm, pour des kaplas de 12 cm. Une première tentative de prouver cette formule avec une technique du fractionnement échoue, mais une deuxième en utilisant des barycentres permet de la prouver.
Nous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Mots clés : barycentre, suite, sérieNous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ? - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
L’impression générale est que les jours fériés tombent trop souvent le week-end. Ça n’est pourtant pas le cas pour le lundi de Pâques, le jeudi de l’Ascension ou bien le lundi de la Pentecôte. Mais qu’en est-il des huit autres qui, eux, tombent à date fixe ? Cet article montre que les années se répètent à l’identique selon un cycle de 400 ans, ce qui permet de ne s’intéresser qu’à un nombre grand mais fini de jours. La répartition des jours fériés selon les jours de la semaine est ensuite établie, démontrant qu’entre 1 et 4 jours fériés (inclus) tombent chaque année le week-end, mais que la probabilité qu’un jour férié tombe un jour de week-end est même légèrement inférieure à celle des autres jours de la semaine.
Mots clés : arithmétique, probabilitésCastells de a - Lycée Arago (Perpignan)
Cet article traite de 3 “empilements” infinis composés avec un réel a>0. L'objectif est de trouver pour quelles valeurs de a ces empilements définissent bien un nombre. On modélise chaque empilement sous forme d'une suite récurrente. Pour les deux premiers empilements, construits avec la racine carrée puis comme fraction continue, on montre que la suite converge et on détermine sa limite, que l'on interprète comme la solution du problème. Pour le troisième, construit avec une suite d’exposants a, on détermine un intervalle I tel que la suite converge si a appartient à I et diverge si a est extérieur à I.
Mots clés : itération, racine carrée, fraction continue, puissance, suite récurrente, point fixeUn problème d'urnes et de boules - Collège Alain Fournier (Orsay)
On répartit dans deux urnes identiques N boules blanches et N boules noires indistinguables au toucher, puis on tire une boule dans l'une des deux urnes au hasard.
Pour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Mots clés : probabilité, urnePour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Échecs et maths - Collèges Fleming et Fournier (Orsay)
Variante du cavalier d’Euler qui s’interroge sur la possibilité d’atteindre les points du plan en utilisant uniquement les déplacements du cavalier des échecs, ces déplacements doublant à chaque étape. Un octogone apparaît qui s’agrandit à chaque étape. Une belle conjecture de parités permet de modéliser les déplacements et donne lieux à la question : peut-on atteindre les points de coordonnées (2n+1 ; 0) de l’axe des abscisses ? Existe-t-il un algorithme qui permettrait de le faire ?
Mots clés : parité, grapheLes diamants sont éternels mais ont un prix - Collèges Fleming et Fournier (Orsay)
Le prix du diamant est proportionnel au carré de sa masse. Selon quelles proportions doit-on découper un diamant en deux pour que le prix devienne minimal ? et en trois morceaux ? et en n morceaux ? Le prix d’un saphir est proportionnel au cube de sa masse. Le découpera t-on de la même manière ?
Mots clés : proportionnalité, optimisationEn route vers le chaos - Lycée Caroline Aigle (Nort-sur-Erdre)
Étant donné un nombre réel 0 < a ≤ 1, on considère les suites (x_n) de réels obtenues par la donnée d’un premier terme x_0 dans l’intervalle [0 ; 1] et la récurrence x_(n+1) = 1–a(x_n)² pour tout n ≥ 0, qui apparaissent dans certains problèmes de dynamique des populations.
On montre que pour a ≤ 3/4 la suite converge vers le point fixe de la fonction d’itération dans cet intervalle ; ensuite on montre que pour a > 3/4 la sous-suite des termes d’indice pair et celle des termes d’indice impair convergent vers des limites distinctes. Ce phénomène est d’abord observé numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, puis justifié mathématiquement.
Mots clés : système dynamique, itération, suite récurrente, suite logistique, point fixeOn montre que pour a ≤ 3/4 la suite converge vers le point fixe de la fonction d’itération dans cet intervalle ; ensuite on montre que pour a > 3/4 la sous-suite des termes d’indice pair et celle des termes d’indice impair convergent vers des limites distinctes. Ce phénomène est d’abord observé numériquement, grâce à un calcul sur ordinateur, puis justifié mathématiquement.
Les tactiques de TIC & TAC - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC, le chasseur, contre TAC, le chassé. Sur un graphe, TIC se place le premier sur un sommet qu’il choisira puis TAC se place sur un autre sommet qu’il aura convenablement choisi. Ensuite, les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle et sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Le but est de déterminer si un graphe est TIC-gagnant ou TAC-gagnant.
L’article présente des résultats pour plusieurs types de graphes, et pour un large éventail de cas particuliers.
Mots clés : graphe, jeu, analyse de jeu, cycle, arbre, graphe bipartiLe but est de déterminer si un graphe est TIC-gagnant ou TAC-gagnant.
L’article présente des résultats pour plusieurs types de graphes, et pour un large éventail de cas particuliers.
Le roi de la forêt... - Lycée français Pierre Loti (Istanbul)
À quel point le résultat d’une élection peut-il changer, pour une même population avec les mêmes préférences, suivant le mode de scrutin adopté ? Du tout au tout ! Cet article analyse et compare un large panel d’élections du roi de la forêt...
Mots clés : vote, pourcentageRepeated patterns - Colegiul Național Emil Racoviță (Cluj)
Cet article a pour sujet d’étude le triangle de Sierpiński. Ce triangle se construit en une infinité d’étapes à partir d’un triangle équilatéral. Dans cet article, les élèves ont cherché à décrire quelques propriétés géométriques et combinatoires de l’objet obtenu à chaque étape lors de la construction du triangle de Sierpiński. Ils ont ainsi calculé le nombre de triangles apparaissant à chaque étape, le nombre de sommets ainsi que le périmètre et l’aire de chacune de ces figures. Il en ressort lors de cette construction, la suite des périmètres tend vers l’infini alors que la suite des aires tend vers 0.
Mots clés : tapis de Sierpinski, fractal·e, suite, récurrence, récurrence, aireDes carrés et des 4 - Lycée Scheurer-Kestner (Thann)
Ce travail répond à deux questions concernant les carrés des nombres entiers : “Quel est le nombre maximum de 4 à la fin d'un carré parfait ? Quel est le nombre maximum de 4 au début d'un carré parfait ?”. On détermine les entiers dont le carré s’écrit avec à la fin un, deux, ou trois 4 et on montre qu’il ne peut pas y en avoir quatre. Par contre il est montré avec des exemples explicites qu’il peut y en avoir autant que l’on veut au début.
Mots clés : arithmétique, carré parfait, écriture décimaleDénombrer - Lycées d'Estienne d'Orves (Carquefou) et Grand-Air (La Baule)
On s’intéresse à un problème de biologie. Des polymères sont constitués de chaînes d’atomes pouvant aller vers le haut, vers le bas ou à droite, elles ne peuvent en aucun cas aller vers la gauche ou retourner sur leurs pas. Combien de chaînes à 1000 atomes existent ? Le problème est modélisé par un graphe et par des équations de récurrence qui amènent à une première solution formelle en termes de matrices, ainsi qu’à un programme de résolution Python. Ensuite, on montre que l’on peut se ramener à une unique suite récurrente d’ordre 2, et on obtient un programme plus simple et finalement une solution explicite.
Mots clés : dénombrement, matrice d'adjacence, récurrence, système linéaireMarche aléatoire - Lycée Raynouard (Brignoles)
L’article s’intéresse à une marche aléatoire sur un quadrillage avec coloriage des cases visitées et retour au point de départ lorsqu’on tombe sur une case vierge (qu’on aura alors coloriée). L’auteur regarde alors la probabilité de colorier les quatre cases adjacentes de la case de départ en exactement quatre étapes (une étape consistant au déroulé de la marche aléatoire entre deux retours à la case de départ suite à la coloration d’une nouvelle case) et démontre qu’elle est d’environ 14 %.
Mots clés : marche aléatoire, probabilitéRépartition de chaleur - Lycée Raynouard (Brignoles)
Les pièces d’une maison sont représentées par des cases d’un quadrillage et à chaque pas de temps la température d’une pièce intérieures s’obtient en calculant la moyenne des températures des 4 cases voisines. On étudie l’évolution de la température d’une maison à une puis à deux pièces en fonction destempératures extérieures, qui restent fixées.
Mots clés : système dynamique discret, diffusion, suite récurrenteUn partage sans fin ou sans faim ? - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Quand deux écureuils se rencontrent, celui qui a le plus de noisettes en donne autant à l’autre que celui-ci en avait. Pour deux écureuils qui refont l’échange à chaque rencontre, on détermine quels sont les cas où on aboutit à l’égalité. Les élèves ont également réalisé un programme qui liste ces cas et ceux où on répète indéfiniment les échanges. Puis, ils ont étudié un procédé de partage entre 3 écureuils dans le même esprit.
Mots clés : partage, arbre de possibilités, puissance de 2, factorisationMaths for the best match - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
We want to choose the best score from a series of n scores that we receive successively at random. The proposed strategy consists in setting an integer k<n, discarding the first k draws, then choosing the first one whose score is higher than those of the irst k. The aim is to estimate the probability of success and to determine the value of k that gives the largest one.
[On veut choisir le meilleur parmi une série de n scores que l’on reçoit successivement, au hasard. La stratégie proposée consiste à fixer un entier k<n, écarter les k premiers tirages, puis choisir le premier dont le score est supérieur à ceux des k premiers. Il s’agit d’estimer la probabilité de succès et de déterminer la valeur de k qui en donne la plus grande.]
Mots clés : probabilité, optimisation, série harmonique[On veut choisir le meilleur parmi une série de n scores que l’on reçoit successivement, au hasard. La stratégie proposée consiste à fixer un entier k<n, écarter les k premiers tirages, puis choisir le premier dont le score est supérieur à ceux des k premiers. Il s’agit d’estimer la probabilité de succès et de déterminer la valeur de k qui en donne la plus grande.]
Game of life on Various Tilings - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
This article explores variants of John Horton Conway's Game of Life on hexagonal and triangular tilings, looking for stable, periodic or gliding configurations. Two one-dimensional variants are also studied, the latter leading to a construction of the Sierpiński triangle.
[On explore les variantes du jeu de la vie de John Horton Conway sur des pavages hexagonaux et triangulaires, en recherchant des configurations stables, périodiques ou glissantes. Deux variantes unidimensionnelles sont également étudiées, la dernière conduisant à une construction du triangle de Sierpiński.]
Mots clés : automate cellulaire, jeu de la vie, Conway, pavage régulier, tapis de Sierpinski[On explore les variantes du jeu de la vie de John Horton Conway sur des pavages hexagonaux et triangulaires, en recherchant des configurations stables, périodiques ou glissantes. Deux variantes unidimensionnelles sont également étudiées, la dernière conduisant à une construction du triangle de Sierpiński.]
Are all infinities the same? - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The work deals with the comparison of the cardinalities of infinite sets of numbers. It is proved that: (1) the sets of natural numbers, prime numbers, integers, and rational numbers have the same cardinality, and (2) all intervals of real numbers have the same cardinality as R, which is higher than that of the natural numbers. Most of the results are proved by showing the existence or non-existence of bijective functions.)
Mots clés : cardinalCoin Problem - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Problems of calculating different sums of money can often occur in real life. Although the number of coins used may differ, this research topic offers a fascinating glimpse into the intricacies of a unique currency system. In this paper we are presenting multiple methods of computing the possible sums of money an individual can pay according to the coins we have. We considered a limited number of coins (2 or 3) and even with this reduced number, it can be observed that there could be obtained almost all the sums, when the values of the coins are chosen properly, depending on the value of their greatest common divisor. We also present different possibilities of giving change back as well as give a programming solution to the problem.
Mots clés : arithmétique, division euclidienne, nombres premiers entre eux, théorème de BézoutUn voyage infini ! - Lycées français Notre Dame de Sion et Pierre Loti (Istanbul)
Comment donner une place dans un train infini déjà bondé à des groupes de voyageurs de plus en plus nombreux ?
Mots clés : infini, ensemble infini, hôtel de HilbertPlus court chemin sur une sphère - Association Science Ouverte (Bobigny)
On montre que le plus court chemin sur une sphère qui relie deux points A et B est le plus petit des deux arcs de cercles dessinés sur la sphère, joignant A et B.
Mots clés : géométrie sphérique, inégalité triangulaireL'élastique - Groupe scolaire Jean de la Fontaine (Fès)
Un élastique est fixé par un bout à un mur et par l’autre l’autre à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, la partie de l’élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus tandis que la partie de l’élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s’étire. Il s’agit de déterminer le rayon du disque sachant que la longueur initiale de l’élastique est de 1m et que quand le disque a fait un tour complet sur lui-même, 90% de sa longueur initiale a été collée.
En remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Mots clés : cercle, polygone régulier, discrétisation, ScratchEn remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Pont de kapla - Lycée Baudelaire (Annecy) Lycée de l'Albanais (Rumilly)
Dans l'article, on considère un escalier de Kapla, composé d’un kapla par étage, tous exactement identiques et placés dans un espace idéalisé. On détermine une distance maximale qu’il est possible d’atteindre en optimisant au maximum notre structure.
Mots clés : Kapla, suite numériqueQuoridor - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Le Quoridor est un jeu de stratégie combinatoire abstrait de 2 à 4 joueurs, dont le but est de traverser un plateau tout en empêchant l’adversaire de le faire. Les auteurs proposent et étudient différentes stratégies gagnantes ou non sur différents plateaux simplifiés, et proposent une implémentation en Python du jeu qui leur permettra, par la suite, de tester algorithmiquement les stratégies proposées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie, algorithmique, modélisation, mathématiques discrètesQuantik - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article présente les recherches d’une stratégie gagnante au jeu de société quantik. Une première méthode qui donne le joueur 2 vainqueur semble prometteuse mais grâce à un programme, on exhibe une partie qui la met en défaut. Cependant, en changeant de méthode au moment critique, le joueur 2 parvient à gagner cette partie. Il est donc conjecturer que le joueur 2 peut toujours gagner sans d’autres éléments de preuve.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, raisonnement logique, algorithmeAnalysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Dans une ville les rues sont perpendiculaires les unes aux autres, formant une grille. L’article étudie plusieurs problèmes associés à une telle grille.
- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
Mots clés : géométrie, géométrie non euclidienne, dénombrement, chemin le plus court, algorithme de Dikjstra, médiatrice, conique, diagramme de Voronoï, recouvrement- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, PythonDans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Aire finie, périmètre infini - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes) (article en anglais : Infinite perimeter)
The authors study in that article the Kloch Flake; they prove, using the construction of the flake, that it is of infinite perimeter and finite area.
Mots clés : géométrie, fractal·e, suite géométriqueProbabilité d'être ruiné lors d'un Pile - Face - Lycée Jacques Amyot (Melun)
On réalise un jeu de hasard en lançant une pièce équilibrée. On gagne 2€ si on obtient PILE et on perd 1€ si on obtient FACE. L’article établit la probabilité d’être ruiné, en fonction de n, le nombre d’euros dont on dispose initialement. Cette probabilité dépend également du nombre de parties (lancers) effectuées. Après quelques expérimentations, manuelles puis informatiques, une relation de récurrence est établie sur la probabilité de perdre, ayant n euros en main, en fonction de celle de perdre avec n+2 euros et celle de perdre avec n-1 euros. La suite qui en découle est étudiée et son terme générique est calculé via l’étude de l’équation caractéristique et ses racines. Le résultat fait apparaître le nombre d’or φ : la probabilité de perdre, en débutant avec n euros, est (1/ φ)n.
Mots clés : calcul de probabilité, suite géométrique, limite, Python, polynôme, chaîne de MarkovEvolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.
In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoireIn our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Inflated sets - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
Une figure convexe du plan étant donnée, une figure « gonflée » (« inflated set » dans le texte) vérifie la propriété suivante : lorsqu’on lui adjoint un point extérieur, puis que l’on considère l’enveloppe convexe du tout, on obtient une sur-figure dont le diamètre est strictement supérieur à celui de la figure initiale. Le travail présente la notion de figure gonflée et étudie les « gonflages » possibles (c’est-à-dire les figures gonflées à partir de celle-ci) pour quelques formes élémentaires : le triangle, le carré, le rectangle. Quelques considérations générales sont également apportées, dont le résultat final : si A et B sont deux gonflages différents d’une même figure de départ et que A est contenu dans B, alors A=B.
Mots clés : convexe, diamètre, cercle, distance, ReuleauxTurning over coins - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
L'article « Turning Over Coins » explore un problème mathématique consistant à retourner une pile de pièces pour que toutes montrent la même face. L'équipe a utilisé des pièces en plastique et en mousse pour visualiser le problème et a calculé les combinaisons possibles à l'aide du « théorème binomial ». Ils ont développé un algorithme pour optimiser le nombre de retournements nécessaires, basé sur les alternances entre les faces des pièces. Le nombre moyen de retournements a été estimé à n/2 , avec n le nombre de pièces. Une variante impose de retourner au moins deux pièces à chaque mouvement, ce qui complique la solution. L'équipe a aussi créé des programmes en C++ et Python, ainsi qu'une application web pour visualiser les solutions.
Mots clés : combinatoire discrète, comptage, algorithme, tri, coefficient binomialJeu de société 2 - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Le problème traité concerne la recherche du nombre minimum de sommets d’une grille carrée à nxn points pour lequel tout sommet de la grille est sur au moins une droite passant par deux des sommets choisis, ainsi que la disposition des sommets ainsi choisis.
L’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Mots clés : combinatoire, optimisation discrète, encadrementL’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Footing - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Cet article étudie l’évolution dans le temps de la répartition de plusieurs coureurs effectuant des tours de stade. Il vise à montrer que la position relative des coureurs tend à se stabiliser dans le temps, partageant le disque en autant de parts égales qu’il y a de coureurs autour du stade.
Mots clés : cercle, répartition, angle, suite, matrice, valeur propreÉvolution d'une population animale - Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès) - 2022-2023
Dans cet article, on étudie l’évolution d’une population animale où à chaque pas de temps chaque couple d’adultes a un couple d’enfants et chaque couple d’enfants devient un couple d’adultes. On commence par le cas le plus simple où il n’y a que ces deux classes d’âges. Ensuite on sépare les adultes en deux classes d’âges et on introduit un coefficient de mortalité pour la dernière. On montre que ces systèmes sont régis par des systèmes de récurrence linéaires, ou des récurrences linéaires d’ordre 2 ou 3. Cela permet de calculer le nombre de couples à tout instant selon les données initiales. Enfin, une généralisation est donnée pour un nombre quelconque de classes d’âges avec une interprétation matricielle.
Mots clés : dynamique des populations, récurrence, suite récurrente, système linéaire, matriceGenerating an octagon - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
The problem studied in this article is the computation of the area of an octagon inside a square or parallelogram, constructed in its basic version as follows: the sides of the octagon are the 8 lines which join the corners of the quadrilateral with the middle of the (two) opposite sides. In this basic version, the area is shown to be one sixth of the area of the quadrilateral. A more advanced version is also worked out where the corners are joined to the near-quarter or some other ratio 1/n of the opposite sides. In this case they show that the area of the octagonal is (n-1)^2/n(n+1) the area of the quadrilateral. The regularity of the octagon is also studied. The proofs use only very classical theorems of geometry, such as the theorems of Thalès, Pythagoras, the sine rule and the theorem of similarity.
Mots clés : géométrie, construction géométriqueTêtes chercheuses - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Trois fusées placées aux sommets d’un triangle, équilatéral au départ, se poursuivent en pointant de manière cyclique les unes sur les autres et réajustent leurs trajectoires selon un pas de temps donné. Que se passe-t-il ?
Mots clés : théorème de Thalès, triangle, suite géométriqueL’île au trésor - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Un trésor est enterré sur une île sur laquelle se trouvent deux arbres. Le trésor est placé à égale distance des deux arbres et de la plage. Combien de trous (au plus) faudra-t-il creuser pour le trouver ? Comment déterminer l’emplacement de ces trous ?
Les élèves ont traité 3 cas séparément : d’abord celui où l’île est une droite, puis celui où l’île est un cercle. Ils et elles ont ensuite abordé le 3e cas restant en regardant ce qu’il advient
lorsque l’île est un polygone. Les élèves ont ensuite regardé le problème inverse, c’est-à-dire les formes d’îles possibles en fonction du nombre de trésors.
Géométrie plane, médiatrice, cercle circonscrit, distance d’un point à une droite.
Mots clés : médiatrice, cercle circonscrit, distanceLes élèves ont traité 3 cas séparément : d’abord celui où l’île est une droite, puis celui où l’île est un cercle. Ils et elles ont ensuite abordé le 3e cas restant en regardant ce qu’il advient
lorsque l’île est un polygone. Les élèves ont ensuite regardé le problème inverse, c’est-à-dire les formes d’îles possibles en fonction du nombre de trésors.
Géométrie plane, médiatrice, cercle circonscrit, distance d’un point à une droite.
Des plis qui se déplient - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
On plie une bande de papier toujours dans le même sens, n fois. On déplie ensuite le pliage obtenu et dispose les plis de façon à former des angles droits dans le sens où ils ont été pliés. Les figures obtenues ont une surprenante structure fractale, que vous pourrez découvrir grâce au simulateur mis à disposition dans cet article !
Mots clés : fractal·e, suite, matrice, PythonEntiers remarquables - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Un nombre entier est dit remarquable si il existe un multiple de ce nombre dont l’écriture en base 10 est 99...900...0. Les auteurs démontrent qu’vec cette définition tous les entiers naturels sont remarquables. Ils décomposent le problème en plusieurs ca particuliers avant d’attaquer le cas général.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, théorème d'Euler, théorème des restes chinois, théorème de FermatUn bon ascenseur - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article porte sur différents algorithmes (stratégies) que peut suivre un ascenseur pour prendre en charge les personnes qui le sollicitent. A l’aide d’un programme en Python, une comparaison statistique des temps d‘attente est effectuée.
Mots clés : algorithme, optimisation, analyse de stratégie, programmation, temps d'attenteLe tour de l'île à la nage - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Afin de trouver la trajectoire optimale pour faire le tour de l’ile, nous avons utilisé deux méthodes: l'une avec le produit scalaire et l'autre reposant sur les équations de droite et le partitionnement du plan. Nous avons réalisé un programme en Python afin d'automatiser la méthode à toute ile polygonale. Enfin, nous avons commencé à étudier d'autres cas de figure où nous serions situés par exemple à 1 mètre de l'ile ce qui serait plus cohérent avec le fait de nager et non de marcher sur l'ile.
Mots clés : équation cartésienne, optimisation, programmation, distance la plus courte, enveloppe convexeAnalyse et optimisation d'une mission spatiale - Lycée Stendhal (Milan)
L'objet de ce travail est de comparer du point de vue énergétique différentes manœuvres pour changer d'orbite un satellite. L’orbite de départ est un cercle de rayon centré sur le soleil et celle d’arrivée une ellipse dont le soleil est l’un des foyers. On étudie successivement le transfert direct, les transferts de Hohmann avec une demi-orbite elliptique intermédiaire et des transferts utilisant deux demi-ellipses intermédiaires, en calculant l’impulsion totale à donner au satellite dans chacun des cas.
Mots clés : Kepler, gravitation, Newton, trajectoire, ellipseDémonstrations et Dessins - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les dessins peuvent constituer un outil intéressant sur lequel peut reposer notre
intuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Mots clés : géométrie, théorème de Pythagore, théorème de Thalèsintuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Une fourmi sur un tétraèdre régulier - Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou)
L’article propose de trouver le nombre de déplacements de longueur donnée d’une fourmi sur un tétraèdre régulier.
Les résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacence, récurrenceLes résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Le mot le plus court (Braquage) - Lycée Paul Guérin (Niort)
Cet article s’attaque à la notion mathématique de super-permutation. Il s’agit de déterminer le « mot » le plus court contenant l’ensemble de toutes les permutations d’un certain nombre de lettres. L’article se résume principalement en un algorithme aléatoire permettant de construire des mots (pas nécessairement minimaux) contenant toutes ces permutations. Pour des alphabets de taille <6, il parvient à construire des super-permutations.
Mots clés : permutation, combinatoire des mots, algorithme, minimisation, factorielleAvec Ordre et Magie... - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Le codage binaire des cartes, des arbres de possibilités de rangement des cartes, un algorithme de rangement de ces cartes, des graphes nous ont permis de résoudre le problème.
Nous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Mots clés : arbre de possibilités, graphe, algorithme, codageNous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Jeu de Marienbad - Lycée de l'Harteloire (Brest)
Cet article étudie la réussite au jeu de Marienbad. Une statégie gagnante est obtenue à l’aide d’une décomposition en puissance de 2.
Mots clés : jeu de Nim, numération binaire, base de numérationTours de trinques dans un bar - Lycée Jean Puy (Roanne)
Un groupe de n personnes se réunit dans un bar autour d’une table ronde. Après avoir commandé leurs boissons elles ont pour objectif de trinquer une fois avec chacun le plus vite possible. Mais deux règles leurs sont imposées :
R1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Mots clés : trinquer, combinaison, algorithme, PythonR1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Fractions égyptiennes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Le texte étudie comment écrire une fraction positive inférieure à un comme somme de fractions unitaires (numérateurs égaux à 1) dont tous les dénominateurs sont différents. Un programme Python de décomposition est proposé.
Mots clés : fraction égyptienne, algorithme, PythonVoyageur de commerce - Lycée Raynouard (Brignoles)
Cet article s’intéresse au problème du voyageur de commerce. Comment minimiser la longueur du trajet pour visiter toutes les villes d’une région donnée ?
On commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Mots clés : optimisation discrète, graphe, algorithme, dénombrementOn commence par résoudre le problème avec un très petit nombre de villes, puis on explore plusieurs méthodes, méthode naïve, force brute, puis une méthode pour trouver une solution approchée avec un temps de calcul limité, notamment à l’aide de programmes écrits en langage Python.
Permutation de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Combien de cartes restent à leur place initiale en moyenne lorsque l'on mélange aléatoirement un jeu de cartes ? Cet article répond à la question pour les petites valeurs du nombre de cartes et établit des formules permettant de le calculer par récurrence en général.
Mots clés : permutation, dérangement, dénombrement, espéranceCorrecteur d'orthographe - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Ce texte étudie le principe d’un correcteur orthographique. Après quelques idées intuitives, on étudie trois méthodes : méthode des combinaisons, distance de Levenshtein et méthode du clavier. On donne des exemples et on détaille chacune des deux premières méthodes.
Mots clés : distance, programmeLe loup, la chèvre et les choux - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Le travail concerne le célèbre problème du loup, de la chèvre et du chou. Des solutions mathématiques (éventuellement partielles) sont présentées, basées sur des matrices, des graphes, des algorithmes et des opérations logiques. Des variantes du problème classiquement connu sont également étudiées.
Mots clés : matrice, algorithme, Python, logiqueLa place de théâtre - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article, on calcule le nombre moyen de fois où vous devez vous relever dans une salle de spectacle où vous vous asseyez au hasard et vous devez changer de place chaque fois qu’arrive le spectateur ayant réservé la place que vous avez prise. On effectue quelques simulations puis on calcule cette espérance en fonction du nombre de places que contient la salle.
Mots clés : probabilité, loi de probabilité, espérance, série harmoniqueLes puissances de 2 - Lycée Paul Guérin (Niort)
Le travail concerne la périodicité avec laquelle apparaissent les derniers chiffres dans les puissances de 2 et la distribution statistique des premiers chiffres. Sur la base des résultats obtenus à l’aide d’un programme Python, on conjecture la fréquence à laquelle se répètent les n derniers chiffres. D’autres algorithmes permettent de calculer la distribution statistique des premiers chiffres.
Mots clés : motif, puissance de 2, algorithmeLes poids cassés - Lycée du Pays d'Aunis et Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
Les élèves ont travaillé sur le problème suivant : "Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Mots clés : numération, numération en base 3Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Couper le quadrillage - Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
On trace des droites sur un damier de 10x10 cases. Combien doit-on en dessiner au minimum pour que toutes les cases soient traversées au moins une fois ? Il est facile de trouver une solution à 10 droites, et bien plus ardu de faire mieux. C’est cependant possible et le groupe explique sa démarche de recherche et donne des éléments de preuve pour des damiers plus petits.
Mots clés : carré, géométrie, optimisation, droites sécantes, comptage, logique, condition nécessaireShortest cobweb length - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Spider Webster is fed up of investing resources and energy in building new cobwebs every day, and wants to be more pragmatic when building its cobweb. Webster wants to build a cobweb of minimum total length, which connects the n points where it is attached. The considered cases are the triangle, the rectangle, the parallelogram and the regular square-base pyramid.
Mots clés : optimiser, géométriePizza sharing - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Our task deals with being able to calculate how big a pizza is starting from a single edge of a slice and figuring out what tools are needed to do this.
We also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Mots clés : cercle, arc, corde, rayon, centreWe also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Tile wallpaper - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
The work considers the number of ways in which a 2×n rectangle can be covered with tiles. Various cases are considered, depending on the kind of available tiles: only 2×1 uncoloured tiles; 2×1 and 1×1 uncoloured tiles; coloured tiles of the previous shapes.
Mots clés : combinatoire, carrelageCounting configurations - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
A disc is divided into n sectors, each of which is to be painted with one of k possible colours, with the condition that two adjacent sectors have different colors. In a first part, two configurations which are obtained from each other by a rotation are considered as different, and the problem is solved firstly by a Python program for values of n, k up to n=12 and k=5. Then a general formula is obtained by means of a recurrence.
In a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Mots clés : combinatoire, coloration, principe d'inclusion-exclusion, PythonIn a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
Passing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilitéCube de points - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens) Lycée Saint-Etienne (Sens)
La première partie de ce travail présente un algorithme qui engendre une suite pseudo-aléatoire de points dans l’espace cartésien tridimensionnel. Les coordonnées de chaque point appartiennent à l’intervalle [-1,1]. Ensuite, l’algorithme est affiné en éliminant une partie de ces points de façon à faire apparaître les lettres X, Y et Z en négatif lorsqu’on regarde dans la direction de l’axe correspondant.
Mots clés : Python, géométrie dans l'espace, algorithme, aléatoireLes triangles harmonieux - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
Dans ce texte, on étudie des étoiles formées à partir de 3 triangles harmonieux (triangles partagés en 4 petits triangles contenant un nombre dont le centre est la moyenne des sommets). On a montré qu’on pouvait en construire autant qu’on voulait en expliquant comment le faire. Puis on a généralisé en imbriquant de telles étoiles et en définissant des opérations sur ces étoiles pour en construire d’autres.
Mots clés : base, équation, générateur, moyenneDerrière la magie ... Le CODE ! (2) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Après avoir énoncé les règles de fonctionnement de ce tour de magie, nous avons trouvé une formule qui selon les dimensions du plateau, indique le nombre de jetons que l’assistant pourra changer au maximum pour que le tour de magie fonctionne toujours.
Puis, si l’élève change son jeton en premier, nous avons trouvé comment l’assistant pourra toujours en changeant un seul jeton après l’élève permettre à la magicienne de retrouver le jeton changé par l’élève.
Mots clés : parité, code correcteurPuis, si l’élève change son jeton en premier, nous avons trouvé comment l’assistant pourra toujours en changeant un seul jeton après l’élève permettre à la magicienne de retrouver le jeton changé par l’élève.
Derrière la magie ... Le CODE ! (1) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Une magicienne montre un de ses tours aux élèves. Ces derniers en recherchent l’explication scientifique, basée sur les codes correcteurs d’erreurs en informatique, et cherchent si ces explications restent valables en modifiant certains des paramètres du tour. C’est l’occasion de parler d’addition en binaire, en base 3 etc.
Mots clés : code correcteur, numération binaire, numération en base 3, parité, magieUn partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
In Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés : partage, pair, impair, puissance de 2Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Feu rouge - Lycée Carnot (Paris)
Un cycliste pressé roule à sa vitesse maximale. Depuis une certaine distance, il observe un feu changeant de couleur toutes les 20 secondes. L’objectif du cycliste est d’arriver au feu vert le plus rapidement possible, et avec la vitesse maximale. Pour cela il peut freiner puis accélérer, avec une accélération limitée.
On étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Mots clés : mouvement, vitesse, accélérationOn étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Say What You See - Lycée Ferdinand Buisson (Voiron)
Dans cet article une élève étudie la Suite de Conway (à partir du chiffre 1, on lit “un 1”, on écrit 11, puis de même “deux 1” donne 21, et on continue ainsi : 1211, 111221…). Les propriétés suivantes sont démontrées : on ne dépasse pas le chiffre 3, les longueurs sont toutes paires à partir du deuxième terme, et elles croissent.
Mots clés : suite de Conway, récurrenceDiviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
On montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés : fraction, fraction continue, racine carréeLes dames berrichonnes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Cet article étudie le jeu des dames berrichonnes dans lequel N joueurs remplissent à tour de rôle un damier 6*6 puis retirent leurs jetons à tour de rôle en marquant ainsi des points : un joueur qui retire un jeton marque n points, où n est le maximum du nombre de cases vides à partir de ce jeton dans une des quatre directions. Le joueur ayant le plus de points à la fin de la partie gagne. Les élèves s’intéressent ici particulièrement à la variante à deux joueurs et essaient de déterminer des heuristiques de gain pour le joueur 1.
Mots clés : jeu de stratégieMaudits rectangles - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Pour un tableau de taille fixée mxn, le problème est de le remplir avec des entiers dans chacune de ses cases et en mettant le moins d’entiers différents possible. Ceci doit se faire en faisant en sorte que lorsque le remplissage est fini, il n’existe aucun rectangle à l’intérieur du tableau dont les quatre cases aux sommets contiennent le même entier.
Mots clés : congruence, combinatoireForme des dunes - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis)
It is assumed that sand is poured on top of a horizontal elevated support to form a dune. At some point, no further quantity of sand changes the form of the dune, because all the additional sand slides on the side of the dune and falls outside of the support.
The work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
Mots clés : forme, équation, disque, polygone, géométrie dans l'espaceThe work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
Et 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et dont la somme est divisible par 3 d'entre eux ?