Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
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Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminalePassing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilitéCube de points - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens) Lycée Saint-Etienne (Sens)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeLa première partie de ce travail présente un algorithme qui engendre une suite pseudo-aléatoire de points dans l’espace cartésien tridimensionnel. Les coordonnées de chaque point appartiennent à l’intervalle [-1,1]. Ensuite, l’algorithme est affiné en éliminant une partie de ces points de façon à faire apparaître les lettres X, Y et Z en négatif lorsqu’on regarde dans la direction de l’axe correspondant.
Mots clés : Python, géométrie dans l'espace, algorithme, aléatoireLes triangles harmonieux - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeDans ce texte, on étudie des étoiles formées à partir de 3 triangles harmonieux (triangles partagés en 4 petits triangles contenant un nombre dont le centre est la moyenne des sommets). On a montré qu’on pouvait en construire autant qu’on voulait en expliquant comment le faire. Puis on a généralisé en imbriquant de telles étoiles et en définissant des opérations sur ces étoiles pour en construire d’autres.
Mots clés : base, équation, générateur, moyenneDerrière la magie ... Le CODE ! (1) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eUne magicienne montre un de ses tours aux élèves. Ces derniers en recherchent l’explication scientifique, basée sur les codes correcteurs d’erreurs en informatique, et cherchent si ces explications restent valables en modifiant certains des paramètres du tour. C’est l’occasion de parler d’addition en binaire, en base 3 etc.
Mots clés : code correcteur, base 2, numération en base 3, parité, magieUn partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeIn Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés : partage, pair, impair, puissance de 2Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Feu rouge - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleUn cycliste pressé roule à sa vitesse maximale. Depuis une certaine distance, il observe un feu changeant de couleur toutes les 20 secondes. L’objectif du cycliste est d’arriver au feu vert le plus rapidement possible, et avec la vitesse maximale. Pour cela il peut freiner puis accélérer, avec une accélération limitée.
On étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un…
Mots clés : mouvement, vitesse, accélérationOn étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un…
Diviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeOn montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés : fraction, fraction continue, racine carréeLes dames berrichonnes - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée Cet article étudie le jeu des dames berrichonnes dans lequel N joueurs remplissent à tour de rôle un damier 6*6 puis retirent leurs jetons à tour de rôle en marquant ainsi des points : un joueur qui retire un jeton marque n points, où n est le maximum du nombre de cases vides à partir de ce jeton dans une des quatre directions. Le joueur ayant le plus de points à la fin de la partie gagne. Les élèves s’intéressent ici particulièrement à la variante à deux joueurs et essaient de déterminer des heuristiques de gain pour le joueur 1.
Mots clés : jeu de stratégieVoir aussi :
Maudits rectangles - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéePour un tableau de taille fixée mxn, le problème est de le remplir avec des entiers dans chacune de ses cases et en mettant le moins d’entiers différents possible. Ceci doit se faire en faisant en sorte que lorsque le remplissage est fini, il n’existe aucun rectangle à l’intérieur du tableau dont les quatre cases aux sommets contiennent le même entier.
Mots clés : congruence, combinatoireForme des dunes - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeIt is assumed that sand is poured on top of a horizontal elevated support to form a dune. At some point, no further quantity of sand changes the form of the dune, because all the additional sand slides on the side of the dune and falls outside of the support.
The work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
Mots clés : forme, équation, disque, polygone, géométrie dans l'espaceThe work investigates the shape of the crest of the dune when this stable situation is reached. The equation of the crest is determined for various kinds of support bounded by segments and/or arcs of a circle.
L'éternelle fortune - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeUn nombre fini de pièces d’or est réparti en paquet. A chaque étape, une pièce d’or est retirée de chaque tas pour former un nouveau tas. Cette opération est répétée avec la nouvelle répartition. La question est alors de savoir si le processus s'arrête et si oui au bout de combien d’opérations.
L'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Mots clés : combinatoire, empilementL'article présente le problème de différentes façons : avec des piles, des nombres pour finir par un « boulier » qui permet de mettre en évidence des opérations et justifie efficacement les résultats.
Oubli à Macondo - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeDans le lointain village de Macondo, les habitants font face à la peste de l’oubli qui est subitement apparue dans la région. Ils semblent se remémorer tous les nombres qu’ils connaissaient auparavant, comme 0, 1, 100, −3, et même π et √2, mais, ils ont oublié comment calculer. Désormais, ils appellent ’somme’ de deux nombres le maximum entre ces deux nombres et ’produit’ de deux nombres l’ancienne addition entre ces deux nombres.
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Comment fonctionne ce nouveau mode de calcul ?
Arrosage du lycée - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès) Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eThe work considers a school's building site with some water points in it. The problem to be solved is the determination of the water point that is the closest to an arbitrary point in the site. Three solutions are given. The first one directly computes the distances using the program GeoGebra. The second solution uses the properties of the perpendicular bisector of a segment to split the plane into various pieces, each closer to a water point. A C++ program is used. The third solution consists of an application of Lee’s algorithm. In the final section, a generalization of the second approach is proposed.
Mots clés : distance, modélisation, modèle mathématique, GeogebraUn modèle stochastique pour la gestion des stocks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) Lycée Val de Durance (Pertuis) Lycée Bellevue (Alès)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleIn this work, a model for the management of fishing stocks is studied under the assumptions that, in a some site, the growth of a certain species is limited by the available resources and that a constant amount is fished every year. It is mainly a discrete time model: evolution from one year to the next given by a recurrence close to the logistic map, but the variant in continuous time, governed by a differential equation is also studied. Depending on the value of the parameters (maximum biomass of the site, initial biomass, basic reproduction rate, quantity fished), different evolutions appear: extinction, stabilization or, in the discrete case, chaotic evolution.
Mots clés : dynamique des populations, évolution, suite logistique, convergence, chaos, extinctionTwo problems on touching circles - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleSangaku are traditional Japanese wood paintings representing geometric problems. In this work, the authors consider series of circles tangent to each other and to a same given line, or to each other and to a same other circle. In the first case, they determine the radii of the generated circles and relate their structure to the Stern-Brocot tree, a binary tree whose vertices correspond to all positive rational numbers. In the second case, using the inversion transformation it is shown that the first Sangaku can be mapped to the second one, so that they are actually equivalent.
Mots clés : sangaku, cercle, tangent, arbre de Stern-Brocot, inversionExploring Lill's method: beyond graphical solution - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleThe aim of this article is an in-depth study of Lill’s method, an ingenious graphical method of finding the roots of polynomials of any degree developed by Austrian engineer Eduard Lill and
published on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to…
Mots clés : racine, polynôme, polygone régulier, nombre complexepublished on the Nouvelles annales de mathematiques in 1867 where the proof is left to the reader. Initially we analyze the original method to better understand how it works and we produce some proofs about its fundamental properties and a couple of results: we recognize a nice connection with the well known Ruffini’s method for factoring polynomials and we use its geometrical properties to represent particular algebraic numbers and to give an expression for the number π. Finally we generalize the method and by exploiting its properties we show how it allows to…
Faites des routes, pas la guerre ! - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eIl s’agit d’un jeu à deux, où on commence avec deux châteaux et un certain nombre de villes puis chacun à tour de rôle construit une route reliant deux lieux, villes ou château. Les routes doivent être liées, directement ou non, à l’un des deux châteaux. Le joueur qui crée une route permettant d’aller d’un château à un autre a perdu.
Il est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Mots clés : jeu, graphe, combinatoireIl est montré que dans le cas d’un nombre pair de villes le second joueur gagne avec une une stratégie par symétrie, et que dans le cas d’un nombre impair de villes, l’un ou l’autre ou l’autre des joueurs selon que ce nombre est de la forme 4k+1 ou 4k+3 a un gain quasi automatique.
Damier à noircir - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeÉtant donné un damier carré de n cases de côté et quelques cases initialement noircies à l’intérieur, peut-on colorier entièrement ce damier sachant qu’on peut colorier une case si elle possède au minimum deux cases voisines (par un côté) noircies. Ce texte donne quelques exemples, puis en utilisant la notion de périmètre de la figure noircie, établit une condition nécessaire sur le nombre de cases noircies initialement pour colorier tout le carré. Des cas particuliers où on peut tout noircir sont exhibés. Enfin certains cas lorsque la figure du départ et les cases ne sont plus carrées seront examinés.
Mots clés : pavage, coloriageLa vie d'un plancton - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eLes élèves du collège Alain Fournier à Orsay ont étudié la probabilité de survie d’un plancton qui se déplace verticalement. Chaque jour, il va d’une unité vers le haut avec probabilité de 1/2, ou d’une unité vers le bas avec une probabilité de 1/2. Le plancton meurt s’il atteint la surface ou le fond de la mer. Les élèves ont étudié, en fonction de la hauteur de départ, si le plancton pouvait survivre indéfiniment, puis — s’il ne survivait pas indéfiniment — quel serait le temps moyen au bout duquel il serait tué et enfin s’il serait tué en touchant plus tôt le fond ou la surface.
Mots clés : probabilité, marche aléatoire, convergenceBoom ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eOn cherche à stocker n paquets de dynamite dans une cave de longueur N. Attention, on ne peut pas placer deux paquets côte à côte sinon ils explosent ! Combien y a-t-il de façons de stocker la dynamite ?
Mots clés : combinatoireAlerte au voleur - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eCe travail étudie la manière de recouvrir un carré par des disques. La première partie traite du recouvrement par un nombre donné de disques identiques, il s’agit alors de trouver le rayon minimum. Pour un recouvrement avec un, deux ou quatre disques, le problème est entièrement résolu. Pour un recouvrement avec trois disques, les jeunes chercheurs proposent une méthode presqu’optimale qui découle d’une étude avec Geogebra.
Dans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Mots clés : disque, surface, recouvrementDans une seconde partie, le rayon des disques est imposé à 1 et les jeunes chercheurs se sont intéressés au nombre minimum de disques nécessaires pour recouvrir un carré de côté 10. Il ont aussi étudié, la surface perdue qui est la différence entre la surface totale des disques et celle du carré.
Le facteur ne repassera pas - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eLe travail du facteur n’est pas si simple que vous pensez ! Imaginons une rue composée de n maisons alignées. Partant de la première, quels sont tous les ordres possibles de parcours des maisons pour y déposer le courrier ? Parmi ces trajets, lesquels minimisent la distance parcourue par le facteur ?
Lesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Mots clés : dénombrement, optimisationLesquels la maximisent ? Les réponses proposées utilisent les fonctions factorielle et exponentielle.
Ovalie - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eAu rugby, on peut marquer 3 points (via un drop ou une pénalité), 5 points (via un essai non transformé) ou 7 points (via un essai transformé) ? Est-ce que 13-10 est un score possible ? Est-ce que 4-3 est un score possible ? Quels scores peut-on réaliser ? Etant donné un score, combien y a-t-il de façons différentes de le réaliser ?
Mots clés : arithmétiqueL'allumeur de lampadaires - Lycée Jean Lurçat (Bruyères) Lycée Claude Gellée (Épinal)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée Dans l’allée d’une ville 10 lampadaires sont disposés en ligne numérotés de 1 à 10, ils sont éteints ou allumés chaque soir par un allumeur de lampadaires ; il les allume de la droite vers la gauche selon la règle suivante : si un lampadaire est allumé il change l’état du suivant c’est-à-dire s’il était allumé il l’éteint et s’il était éteint, il l’allume. Le premier soir seul le lampadaire numéro 1 est allumé on cherche donc au bout de combien de soirs tous les lampadaires seront allumés et dans un second temps si on peut prévoir leur comportement pour un nombre n de lampadaires. Les résultats obtenus sont qu’au bout de 2^n jours, il y a 2^n lampadaires allumés, et que le jour suivant il n’y en a plus que 2.
Mots clés : triangle de Pascal, récurrence, coefficient binomialEquidecomposability of polygons
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eIt is proved that, given two polygons of equal area, each of them can be decomposed into finitely many parts that can be rearranged to form the other by means of translations and rotations (Wallace–Bolyai–Gerwien theorem). The proof is divided into three steps: (1) any polygon can be cut into triangles; (2) any given triangle can be cut into smaller polygons that rearranged form a rectangle with equal area; (3) any rectangle can be cut into smaller polygons which rearranged form a square of equal area.
Mots clés : surface, polygoneLine Drawing Algorithm - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeThis article presents a fast line segment plotting algorithm using only integer calculations, due to J. E. Bresenham, and also the analogous circle plotting algorithm.
Mots clés : pixel, algorithme, algorithme de BresenhamSuite diatomique - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleL’article s’intéresse à la suite de Stern et démontre plusieurs propriétés, pour certaines assez surprenantes, qui n’ont été établies qu’assez récemment. En s’inspirant des pistes esquissées par Jean-Paul Delahaye dans un article de la revue « Pour la Science » (n°420, octobre 2012, disponible sur le site de l’auteur : https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/227.pdf), l’article démontre un ensemble de propriétés et théorèmes qui lient la suite de Stern à celle de Fibonacci, mais également au triangle de Pascal, la représentation hyperbinaire des entiers, ou encore le dénombrement des nombres rationnels.
Mots clés : suite numérique, suite de Fibonacci, triangle de Pascal, binaire, rationnel, récurrence, arbre, fraction continueJeux de stratégie : tic-tac-toe, achi, pikaria - Lycée français Van Gogh (La Haye) École Européenne (La Haye)
DiaporamaRecherche d'une stratégie permettant de gagner ou de ne pas perdre au tic-tac-toe, achi et pikaria.
Mots clés : algorithmeArticle : Flyovers - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eOne tries to connect a given number of towns by roads, with bridges (“flyovers”) to avoid crossings at intersections. What is the minimum number of bridges required for n towns? The problem is solved up to 6 towns, and for 7 and 8 towns examples are given that yield at least an upper bound of the minimum number of flyovers.
Mots clés : graphe, graphe complet, graphe planaireArticle : Piece of Cake - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeCet article (écrit en anglais) traite du problème de couper un gâteau, ou une forme plane, en deux morceaux d'aire égale, en un coup de couteau. Il propose une construction à la règle et au compas dans le cas d'un triangle, d'un quadrilatère convexe, puis, plus généralement d'un polygone convexe à n côtés. Il s'intéresse ensuite au cas où le gâteau a un trou : il propose une construction dans les cas où on peut en un coup de couteau couper le trou en 2 part égales et le gâteau sans trou en 2 part égales. Enfin, il propose une solution numérique pour couper des polygones convexes à n côtés en m parts égales.
Problems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life.…
Mots clés : géométrie, polygone, construction à la règle et au compas, récurrenceProblems of cutting a 2D shape (usually a cake) in multiple pieces of equal areas often occur in daily life.…
Article : Regardant autour - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeWhether two points above the Earth surface can “see” each other depends on the distance between them and on their altitude. In the work, the relationship between distance and altitudes is calculated in various cases.
Mots clés : géométrie, trigonométrieArticle : Nombres au choix - Lycée Français de San Francisco
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleÉtant donnés quatre nombres entiers a, b, x et y, on peut successivement multiplier par a ou ajouter b, dans l’ordre qu’on veut. En fonction de ces données, quand peut-on d’atteindre tous les entiers supérieurs à un certain nombre ? Ce problème est complètement résolu dans l’article au moyen de l’arithmétique et en particulier des congruences.
Mots clés : arithmétique, congruence, racine primitiveArticle : In between - Colegiul national B.P. Hasdeu (Buzau)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eYou get lost in a street with houses numbered from 1 to n (which is a positive integer - a known value), placed on only one side of the road. All you know is that the numbers of the houses on the right side of your home add up to the same result as the numbers of the houses on its left. Can you find your address?
Mots clés : somme d'entiers, carré, carré parfait, nombre triangulaireArticle : Calculs d'aire sur papier quadrillé - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens}
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eLe but est de trouver le lien unissant le nombre de points intérieurs, le nombre de points sur le bord, et l'aire d'un polygone dont les sommets sont des points d’un quadrillage. Une formule (formule de Pick) est conjecturée à partir d’exemples, puis démontrée dans des cas simples et une piste est donnée pour la généraliser.
Mots clés : polygone, aire, quadrillage, formule de PickArticle : Jeu de dés - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale L’enjeu du problème « Alea Jacta Est » est de définir une stratégie efficace pour un jeu de dés dont les règles sont les suivantes.
Ce jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a…
Mots clés : analyse de jeu, probabilité, stratégie gagnante, programmation, loi binomialeCe jeu se joue avec deux joueurs et un meneur du jeu. Les joueurs prennent connaissance de deux dés cubiques équilibrés comportant des faces bleues et des faces rouges. Puis le meneur du jeu prend au hasard un dé sans le montrer aux joueurs. Il le lance alors à l’abri des regards et annonce la couleur de la face supérieure du dé lancé, comme on lit le numéro sorti au lancé d’un dé classique à faces chiffrées. Le but des joueurs est de deviner quel dé a été lancé. Le meneur du jeu lance son dé, en annonçant à chaque fois la couleur obtenue, jusqu’à ce qu’un des joueurs dise le dé qu’il pense avoir été lancé. S’il a…
Voir aussi :
Article : Balle aux prisonniers - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleCe travail détermine les chances de victoire de chaque joueur lors d’un jeu de balle aux prisonniers à trois joueurs. Dans cette version, chaque joueur touché est éliminé, le dernier joueur est déclaré vainqueur.
La première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des…
Mots clés : arbre, stratégie gagnante, probabilitéLa première étude consiste à modéliser le problème. Comme la durée de la partie n’est pas connue à priori, cela nécessite la mise au point « d’arbres en boucle » qui permettent de visualiser des situations qui se répètent.
Le deuxième travail, une fois les hypothèses clairement énoncées, consiste à établir des stratégies gagnantes pour chaque joueur, en fonction différents paramètres : ordre dans le jeu, précision du tir et choix de passer ou non son tour. Ce travail est basé sur le calcul des probabilités consécutif à l’étude des…
Voir aussi :
Article : Compter les rebonds - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeDeux cubes se déplacent sans frottements avec le sol sur une ligne droite bordée d'un côté par un mur. Initialement, le premier cube est immobile, et le second est lancé vers lui à une certaine vitesse. Les rebonds entre les 2 cubes et entre le premier cube et le mur sont supposés se produire sans perte d'énergie. Dans cet article, on détermine le nombre de rebonds en fonction des masses des cubes et de la vitesse initiale à l’aide d’une représentation géométrique. La généralisation au cas de plus de 2 cubes et la prise en compte de pertes d'énergie sont aussi envisagées.
Mots clés : dynamique, collisionVoir aussi :
Article : Étude des espèces invasives - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleThis paper considers the development of a garden (represented by a matrix) in which, every year, plants spread seeds over the adjacent plots according to specified patterns. Different patterns are considered, and the growth of the garden is investigated by means of C++ programs or matrix operations.
Mots clés : matrice, algorithme, programmationArticle : Volume d’un arbre - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleThe aim of the paper is the calculation of the volume and of the density of an idealized tree. Every branch in the tree has the form of a truncated cone and is assumed to generate two new smaller branches similar to it. The full tree is obtained by repeating the duplication process infinitely many times on each branch.
The volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for…
Mots clés : volume, densité, convergenceThe volume of the full tree turns out to be expressed by a geometric series, which is convergent for suitable values of the ratio of similarity between two consecutive branches.
Another result presented in the work regards the density ρ of a tree. It is shown that ρ can be expressed in terms of the density of the dry tree, of the density of water, and of the percentage of water in the wet tree.
An Android application for…
Article : Modélisation de la croissance de végétaux - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeL-systems are introduced as models for plant growth.
Mots clés : L-système, récurrenceArticle : Decomposing integers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeWhat are the integers that can be written as x2+ay2, where a∈Z is fixed?
Les élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Mots clés : arithmétique, équation diophantienneLes élèves résolvent graphiquement les cas a=0,1,2,-1,-2 pour un entier n entre -21 et 21.
Article : Visite à la Mezquita - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale La grande mosquée de Cordoue contient plus de 800 colonnes, disposées régulièrement sur un quadrillage. Si on se place au centre, quelles colonnes sont visibles, lesquelles ne le sont pas ? Y a t-il de grandes zones non visibles ? La question de la visibilité d’une colonne est liée au pgdc entre leur deux coordonnées. À l’aide d’une exploration informatique poussée, des images des colonnes visibles sont créées et une grande zone cachée est trouvée.
Mots clés : configuration de points, colonne, coordonnée, pgcd, nombres premiers entre eux, code, modélisation informatiqueArticle : Le sujet dont vous êtes l’auteur - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeThe work consists of two problems proposed by the students themselves.
In the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Mots clés : simulation, répartition des nombres premiers, combinatoireIn the first problem, the authors consider this question: “given an n×n table and a prime number p, in how many ways the table can be filled with integer numbers such that all the products on each row and each column is p or -p?”.
In the second problem, the question to be answered is: “given a product N = p_1 p_2 ... p_n of different prime numbers, in how many ways N can be written as x^2-y^2, where x and y are positive natural numbers?”
Both problems are solved in the work. Some simulations with the program C++ are also given
Article : Dominos sur grilles trouées - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleIn this paper the author studies the possibilities of paving with dominos a square grid where an arbitrary number of obstacles are placed, that is from which an arbitrary number of cells have been removed. Different approaches are considered: direct study for a grid with a pair of obstacles, examples with more obstacles, approach by graph theory and then by linear algebra.
Mots clés : pavage, domino, graphe, graphe biparti, système linéaireArticle : Une question de tournois - Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eCet article étudie les situations d’égalité lorsque des équipes se rencontrent les une les autres lors d’un tournoi. Y est discutée la probabilité qu’apparaissent, à l’issue d’un tournoi, des équipes
« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Mots clés : tournoi, graphe, combinatoire« jumelles » ayant obtenu les mêmes résultats au cours de leurs matchs.
Article : Irrational numbers - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale Si d est un entier dont la décomposition en nombres premiers ne contient pas de carrés, trouver les entiers a et b tels que a+b√d soit inversible et que son inverse de soit la forme a’+b’ √d où a’ et b’ sont des entiers.
Mots clés : écriture des nombres, équation de PellArticle : La grosse équation - Lycée Le Likès (Quimper)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleLes auteurs étudient l’équation diophantienne x/(y+z)+y(x+z)+z/(x+y) = 4.
Les tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par…
Mots clés : équation diophantienne, géométrieLes tests sur un grand nombre de cas au moyen d’un ordinateur les amènent d'abord à la conjecture qu’il n’y a pas de solutions dans l’ensemble des nombres entiers positifs. Ils démontrent ensuite que cette conjecture est fausse. La détermination d’une solution utilise un bel argument géométrique qui permet de simplifier les calculs et de trouver la solution cherchée au moyen d’un processus itératif astucieux. Au vu des grands nombres impliqués, cette solution ne pouvait être obtenue à l’aide d’un simple algorithme de test. Au contraire, l’utilisation cruciale d’une approche géométrique, en considérant une certaine surface dans l’espace et la courbe obtenue par…
Article : Jeu de type morpion - Lycée Les Catalins (Montélimar) Collège Marguerite Duras (Montélimar)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eCe jeu de type morpion est une version un peu différente du morpion classique, dans le sens où le joueur 1 cherche à aligner trois pions sur un morceau de quadrillage et l'autre (joueur 2) cherche à l'en empêcher. La forme du quadrillage est libre et les alignements en diagonale proscrits. L’autrice exhibe plusieurs formes minimales gagnantes pour le premier joueur quelques soient les coups du deuxième joueur : si un quadrillage contient une des ces formes, alors le premier joueur gagne. Un certain nombre de cas sont traités, avec des résultats établis et des conjectures qui restent à démontrer.
Mots clés : jeu, morpion, stratégie de jeu, stratégie gagnanteArticle : Le lapin et le camion - Lycée Le Likès (Quimper)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeUn lapin doit traverser une route sans se faire écraser par un camion. À partir de cette situation, on va plonger dans l’espace-temps et y trouver un cône et des coniques.
Mots clés : poursuite, espace-temps, conique, ellipseArticle : La valse des polygones - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eSoit p un polygone circonscrit à un cercle de centre O et p’ son image par une rotation de centre O.
Ce travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Mots clés : polygone, périmètre, aire, rotation, trigonométrie, polygone régulierCe travail étudie les propriétés (nombres de côtés, aires et périmètres) des polygones obtenus par réunion et par intersection de p et p’.
Article : Pariez, mais je gagne - Collège Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eIl s’agit de trouver une stratégie pour ranger dans l’ordre, face dessus, une série de cartes numérotées présentées dans le désordre et retournées ou non ; à chaque coup on choisit deux cartes adjacentes, on les permute et on retourne l’une d’entre elles. Pour le jeu simplifié sans les retournements, une stratégie gagnant en un minimum de coups est établie dans cet article ; avec les retournements, il apparaît une condition de parité pour que le problème soit résoluble.
Mots clés : permutation, transposition, stratégie, paritéArticle : L’objet Invisible - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eDans cet article un objet est dit « invisible » quand on voit ce qui est derrière lui, comme si l’objet n'était pas là. Un objet peut être rendu invisible en déviant les rayons de lumière avec un système de miroirs, mais ces miroirs doivent être positionnés et orientés astucieusement pour que d’une part les rayons de lumière reprennent la direction initiale après les multiples réflexions par les miroirs et d’autre part n’intersectent pas l’objet, le rendant ainsi « invisible » . Pour ce faire, une analyse géométrique détaillée des propriétés de réflexion de la lumière est faite et plusieurs configurations sont trouvées. Une de ces configurations est confirmée par une expérience.
Mots clés : géométrie, triangle, miroir, optique géométriqueArticle : Les pokemons - École alsacienne (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eUn pokémon est attribué à chaque élève d’un groupe. Le but est que chaque élève retrouve son pokémon. Les élèves passent les uns après les autres dans une salle et donnent une réponse. Chaque élève connaît la liste des pokémons utilisés, ceux attribués aux élèves suivants et les réponses précédentes. Le but est de trouver une stratégie pour faire le moins d ‘erreurs possibles.
Mots clés : algorithme, jeu, code correcteurArticle : La grenouille - École alsacienne (Paris)
ArticleLecture conseillée pour tous niveauxLes auteurs considèrent un quadrillage rectangulaire, avec un nombre arbitraire de lignes et de colonnes, privé de deux cases situées à deux coins opposés. Une grenouille se trouve sur ce quadrillage et peut se déplacer seulement d’une case à l’une des quatre cases adjacentes. La question est de savoir s’il existe des chemins de la grenouille qui couvrent toute la table en ne passant pas plus d’une fois par chaque case.
Il est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Mots clés : quadrillage, chemin, chemin hamiltonienIl est montré que le problème a une solution quand le nombre de lignes ou celui des colonnes est impair, mais qu’il n’y en a pas quand le nombre de lignes et celui des colonnes sont tous deux pairs.
Problème de la pizza - École alsacienne (Paris)
Narration de rechercheLecture conseillée pour tous niveauxMario et Luigi ont une pizza. Mario découpe la découpe comme il le veut mais il doit forcément faire un nombre pair de parts (qui peuvent être de tailles différentes). Ils choisissent ensuite tour à tour une part en commençant par Luigi qui prend la part qu'il veut mais ensuite le choix devra se faire de manière adjacente à la part prise précédemment.
Mario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Mots clés : fraction, stratégieMario peut-il faire un découpage lui permettant d’avoir plus de pizza, quels que soient les choix de Luigi ?
Article : Drôle de carrelage - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eNous voulons remplir un couloir de taille 2 par n avec des dominos de taille 2 par 1. Combien y a-t-il de façons de procéder ? Le résultat est démontré grâce à la fameuse suite de Fibonacci ! Et pour un couloir de taille 3 par n ?
Mots clés : pavage, domino, combinatoire énumérativeArticle : Le hasard peut-il nous mettre d’accord ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eOn considère une classe de 22 élèves. Au départ, chaque élève a un joueur de l'équipe de France préféré parmi la liste des 22 joueurs sélectionnés pour l'Euro de foot. Chaque jour un élève E choisit un autre élève F et devient influencé par celui-ci dans le sens où le joueur préféré de E devient le joueur préféré de F.
Si les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Mots clés : probabilité, hasard, convergenceSi les deux avaient initialement le même joueur préféré rien ne change...
Les élèves finiront-ils tous un jour par aduler le même joueur ? Quand ?
Article : La conspiration de la terre plate - Collège Alain Fournier (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4eL’article étudie les effets de la représentation plane de la terre sur les distances et les surfaces.
Mots clés : carte, géométrie sphérique, distance, surface minimaleArticle : The clock and the planets - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeThe aim of the article is to study the angles that the clock hands form.
We will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Mots clés : coordonnée polaire, géométrie, rotationWe will describe which angle the two clock hands form in a determined hour during the day and
then we will analyze some particular situation.
Then, starting from the clock problem, we will study the planetary motion, we will find out the
angular position and the time at which it would be more advantageous to launch a spaceship from
one planet to reach another one with the shortest possible distance.
Finally we will propose the results of two simulations concerning the Solar System using Unity.
Article : Les tours de Hanoï - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeDans cet article, on s’intéresse au jeu appelé "tours de Hanoï". On détermine le nombre de coups
minimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Mots clés : tour de Hanoï, suite récurrente, algorithme récursifminimum pour résoudre le jeu, on donne un programme qui donne la solution optimale et on établit
quelques statistiques. On s’intéresse ensuite à plusieurs variantes du jeu où certains mouvements sont
interdits.
Article : Extinction d’une population - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleCe sujet traite du processus dit de Galton-Watson . On a au départ un individu à la génération 0. A chaque nouvelle génération, chaque individu de la génération n a une probabilité pi d’avoir i enfants, la famille des pi étant fixée. Quelle est la probabilité que la descendance de l’individu initial finisse par s’éteindre. Dans ce travail les élèves résolvent le problème pour p0=1/8, p1=3/8, p2=3/8 et p3=1/8.
Mots clés : suite, fonction, limite, convergence, calcul de probabilitéArticle : Un triangle peut en cacher (beaucoup) d’autres - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeUn triangle équilatéral de côté n est découpé en triangles équilatéraux de côté 1 par les parallèles aux côtés. Combien de triangles de toutes tailles peut-on voir au total ?
Mots clés : triangle, combinatoire, dénombrementArticle : Les droïds à l’attaque - Lycée Raynouard (Brignoles) Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleChaque planète dans une galaxie est accessible de certaines autres et est habitée par un certain nombre de droïdes. A la fin de chaque siècle, chaque droïde en envoie une copie aux planètes accessibles et s’autodétruit. La population de droïdes des planètes est étudiée dans ce travail, en fonction du nombre initial de droïdes et de la relation d’accessibilité. Certains problèmes sont modélisés au moyen de matrices, d’autres sont étudiés dans le cadre des graphes.
Mots clés : graphe, matrice, robotArticle : Social distancing in the classroom - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycéeOur research deals with arranging a certain number of students and a teacher in a classroom, while maintaining the social distance between the people in the room. Having the dimensions of the class and the length of the distance that must be kept between the students, we have to find an optimal method of arrangement, so that we can introduce as many people in the class as possible.
Mots clés : géométrie, cristallographique, surface minimale, polygone régulierArticle : The roof is on fire - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleProblems that require determining the optimal trajectory between two points under certain restrictions often occur in practice. In this paper we try to find the position of a point such that the path that joins two given points, passing through, is traveled in minimum time. The speeds with which the road is traveled until the arrival in and after leaving are different. In the second part of the article we consider the speed constant along the trajectory, but we impose more restrictions on the trajectory.
Mots clés : dérivation, distance minimaleArticle : Breeding (like) rabbits - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminaleThe students study the evolution of a group of rabbits. They start with an ideal case where the mortality rate is null, then they consider a more realistic approach, introducing new variables, namely the mortality rates for immature and adult rabbits.
Mots clés : suite de Fibonacci, suite récurrente, matriceDiaporama : Le sens de l’équilibre - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
DiaporamaOn a n droites et un certain nombre de plots. On dispose 3 plots sur chaque droite, ce qui détermine le nombre p de plots. Les plots sont numérotés de 1 à p. On fait la somme des numéros de plots de chaque droite : si cette somme est la même pour toutes les droites, la figure est dite « équilibrée » et la somme des numéros de plots sur chaque droite est la « constante magique ». Les auteurs montrent comment on peut calculer les valeurs possibles de cette constante magique. Ils traitent ensuite le cas où on a deux ou trois droites et font un premier essai pour 5 droites.
Mots clés : combinatoire, divisibilitéDiaporama : Toujours un jeu gourmand - Collège du Westhoek (Coudekerque Branche)
DiaporamaCet article étudie le jeu à deux joueurs qui se joue avec une “tablette de chocolat” rectangulaire et où, tour à tour chacun des joueurs choisit deux carrés côte-à-côte sur la tablette parmi ceux qui ne sont pas encore pris. Le joueur qui ne dispose plus de deux carrés côte-à-côte a perdu. Après avoir étudié quelques situations particulières, on établit des stratégies gagnantes pour le second joueur dans le cas des tablettes pair x pair, et pour le premier dans le cas impair x pair.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, grille, dominoArticle : Mille pattes - Lycée Louis Massignon (Casablanca)
ArticleLecture conseillée pour tous niveauxLes mille-pattes n’ont pas de doigts, mais ils ont des pattes qu’ils peuvent plier, tendre ou croiser ! L’objectif de ce travail est d’établir diverses manières de compter qui puissent convenir à un mille-pattes. En préliminaires, l’article décrit un ensemble de méthodes pour compter sur les doigts d’une main, notamment une méthode originale mise au point par les élèves. Deux méthodes sont ensuite comparées : la première ou chaque patte peut être soit tendue, soit pliée, et la deuxième où deux pattes voisines peuvent être croisées ou non. La première correspond au système binaire et le décompte des combinaisons possibles permet de compter jusqu’à 1023 avec 10 pattes. Les quatre opérations usuelles sont décrites dans ce système. Il est ensuite montré que le…
Mots clés : combinatoire, suite de Fibonacci, base 2Article : Automates cellulaires: un feu de forêt - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleOn s’intéresse à la question de la propagation d’un feu de forêt selon un modèle d’automate cellulaire. Afin de modéliser la propagation, on modélise la forêt en une grille, et on considère que l’évolution de chaque case de la grille va dépendre des cases alentours (ou à une certaine distance).A un instant t (le temps est discrétisé en tours) une forêt est composée d’arbres, d’arbres en feu, et de cendres. Par exemple, on pourra dire qu’une case d’arbre prendra feu si il y a au moins 1 case d’arbre en feu à côté d’elle. Un arbre se sera totalement consumé au bout de x tours.
Il s’agit d’étudier, au travers d’une implémentation, la possibilité de propagation d’un feu de forêt, et les conditions d’arrêt de celui-ci. On pourra également prendre en…
Mots clés : automate cellulaire, propagation, modèle mathématique, optimisation spatiale, espéranceIl s’agit d’étudier, au travers d’une implémentation, la possibilité de propagation d’un feu de forêt, et les conditions d’arrêt de celui-ci. On pourra également prendre en…
Article : Le redécoupage électoral ou Gerrymandering - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLe gerrymandering est un terme anglo-saxon désignant la pratique consistant à découper la carte électorale de façon plus ou moins artificielle de manière à avantager un parti ou candidat. Dans ce travail, les élèves montrent quelles mathématiques se cachent derrière un gerrymandering efficace.
Mots clés : combinatoire, statistiqueDiaporama : Stratégies dans les jeux. - Collège l’Impernal (Luzech)
DiaporamaPeut-on trouver une stratégie pour gagner à coup sûr au jeu des allumettes ?
Et au morpion ?
Mots clés : stratégie, analyse de jeu, jeu de NimEt au morpion ?
Article : Dénombrement des arbres enracinés - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
ArticleUn arbre enraciné est représenté mathématiquement en choisissant une racine, et en lui faisant pousser des branches, puis au bout de ces branches d'autres branches, etc. Chaque jonction est un nœud de l'arbre. Cet article propose, pour un entier n donné, de compter le nombre d'arbres enracinés à n nœuds.
Préparez-vous pour un beau voyage au pays des combinaisons avec et sans répétitions, aboutissant après plusieurs démonstrations par récurrence, à une superbe formule ! Les élèves ont ensuite écrit un programme en langage Python pour calculer les premières valeurs à l'aide de leur formule.
Mots clés : arbre, arbre enraciné, dénombrement, combinatoire énumérativePréparez-vous pour un beau voyage au pays des combinaisons avec et sans répétitions, aboutissant après plusieurs démonstrations par récurrence, à une superbe formule ! Les élèves ont ensuite écrit un programme en langage Python pour calculer les premières valeurs à l'aide de leur formule.
Article : Additions pannumériques. - Collège Henry de Montherlant (Neuilly en Thelle)
ArticleOn veux faire l’addition de deux nombres entiers à trois chiffres pour en obtenir un troisième de telle façon que tous les chiffres de 1 à 9 apparaissent dans cette addition. Commencez par trouver quelques exemples...Que peut-on remarquer concernant les chiffres du résultat de l’addition ? Est-ce une coïncidence ? Peut-on faire la liste de toutes les additions répondant à la question ?
Mots clés : addition, arithmétiqueArticle : Nombre de chemins à New-York - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleOn détermine les nombres de chemins pour aller d'un point à un autre dans une grille rectangulaire puis on généralise la question à des grilles avec des segments manquants, à des grilles hexagonales, à des réseaux en trois ou plusieurs dimensions et à des grilles sur des cylindres.
Mots clés : grille, chemin, combinatoire, coefficient binomial, coefficient multinomialVoir aussi :
Article : Hyperbolic tilings - Lycée Żmichowska (Varsovie)
ArticleCet article présente la construction à l’aide de Geogebra de plusieurs pavages du disque hyperbolique à partir d’un triangle ou un quadrilatère en utilisant des inversions.
Mots clés : pavages, géométrie hyperbolique, inversionVoir aussi :
Article : ENI game and probability - Lycée Żmichowska (Varsovie)
ArticleThe ENI game is a generalization of a well-known guessing game with second chance. There are two players, H and S, and there is a treasure hidden by H and to be found by S in one of n>2 different locations. After a first guess of S, the correctness of the guess is not reveiled by H, who instead reveals for some other location than the guess, and other than the location where is the treasure, that the treasure is not there. After that, S can stick to his original guess, or make another guess. The question is which strategy is better, statistically speaking. The of the article; it must give a good description of the subject and also give the main resultson webpageposted this abstract will be authors first show the results of an excel simulation and of a…
Mots clés : probabilité, simulationVoir aussi :
Article : La calculatrice aux touches magiques - Collège l’Estaque (Marseille)
ArticleUne calculatrice possède trois touches supplémentaires :
• La première calcule la somme des chiffres d’un nombre entier.
• La seconde calcule le produit des chiffres d’un nombre entier .
• La troisième calcule la somme des carrés des chiffres d’un nombre entier.
Que se passe-t’il si on prend un nombre entier et qu’on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
Mots clés : suite de nombres entiers, arithmétique, nombres base 10, divisibilité par 9, Scratch• La première calcule la somme des chiffres d’un nombre entier.
• La seconde calcule le produit des chiffres d’un nombre entier .
• La troisième calcule la somme des carrés des chiffres d’un nombre entier.
Que se passe-t’il si on prend un nombre entier et qu’on appuie plusieurs fois sur une de ces touches ?
Article : Compter les 1 par paquets de 2 - Lycée Carnot (Paris)
ArticleDans ce travail, on étudie une variante de la suite de Conway. La règle adoptée ici ne prend pas en compte les triplets – de sorte que “111” est transformé en “2111” et que les termes de la suite contiennent seulement les chiffres 1 et 2 –, et les “2” ne sont pas regroupés – de sorte que “22” est transformé en “1212”. La notion de “motif” est introduite, ce qui permet de construire les termes de la suite d’une manière simple. Les motifs sont également utilisés pour calculer la proportion de 1 et de 2 pour chaque terme. Pour les termes d’indice assez grand, ces pourcentages sont calculés à l’aide d’un programme en Python. Ils apparaissent se stabiliser à des valeurs proches de 60% et 40%.
Mots clés : suite de Conway, combinatoire des mots, substitution, système linéaireVoir aussi :
Article : S’échapper du manège diabolique - Lycée Carnot (Paris)
ArticleUne puce se trouve sur un plateau circulaire de rayon r et s'y déplace en faisant des petits sauts de longueur inférieure ou égale à s. Entre chaque saut de puce, un robot fixé à l'extérieur du plateau peut le faire tourner en déplaçant le bord d'une longueur inférieure ou égale à t. La puce ne peut s'échapper du plateau que si elle atteint le bord en dehors des bras du robot (qui sont de longueur t). Quelles sont les positions où la puce a une stratégie permettant de s'échapper ?
Mots clés : jeu, géométrie, poursuiteVoir aussi :