Travaux d'élèves récents

Nous publions directement ici les travaux d'élèves de l'année, non nécessairement aboutis, articles, narrations de recherche, diaporamas,…, mais aussi leurs articles en attendant relecture et validation par le comité d'édition.
Pour les posters, voir la page dédiée.
 
Un voyage infini ! - Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul) Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Pierre Loti (Istanbul)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Article sur le train infini, rédigé à l'issue du congrès de Potsdam
 
Plus court chemin sur une sphère - Association Science Ouverte (Bobigny)
DiaporamaLecture conseillée à partir du lycée
On montre que le plus court chemin sur une sphère qui relie deux points A et B est le plus petit des deux arcs de cercles dessinés sur la sphère, joignant A et B.
Mots clés : géométrie sphérique, inégalité triangulaire
 
Conduite en douceur - Faculté des Sciences d'Orsay
ArticleLecture conseillée niveau université ou classe préparatoire
L' article est en fait un cours d'analyse : comment lisser une courbe (ici un créneau)
Mots clés : analyse, algèbre
 
Conduite économe - Faculté des Sciences d'Orsay
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Modélisation d'un problème : optimiser, par un profil de vitesse adapté, la consommation d'énergie d'un véhicule qui traverse une rue interrompue par des feux. Calcul de l'espérance de l'optimum lorsque le temps d'entrée du véhicule est uniformément réparti dans une période des feux.
Résultat exposé en congrès mais ne figurant pas dans le compte-rendu : jusqu'à 3 feux, il existe toujours un temps d'arrivée qui permet de passer les feux sans ralentir.
Mots clés : modélisation
 
La fractale - Lycée français de San Francisco
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Etant donné une figure fractale, retrouver le motif de base et la transformation de l'etape n a (n+1)
 
L'élastique - Groupe scolaire Jean de la Fontaine (Fès)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Un élastique est fixé par un bout à un mur et par l’autre l’autre à un disque tournant enduit de colle. Quand le disque tourne, la partie de l’élastique qui entre en contact avec le disque est collée et ne se déforme plus tandis que la partie de l’élastique entre le mur et la zone de contact avec le disque s’étire. Il s’agit de déterminer le rayon du disque sachant que la longueur initiale de l’élastique est de 1m et que quand le disque a fait un tour complet sur lui-même, 90% de sa longueur initiale a été collée.
En remplaçant le disque par un polygone régulier à n côtés, on calcule la proportion de longueur initiale collée en fonction de la longueur d’un côté, en s ‘aidant d’un programme Scratch. On en déduit par tâtonnements la longueur du côté telle que 90 % de la longueur de l’élastique soit collée.
Mots clés : cercle, polygone régulier, discrétisation, Scratch
 
Trinquons - Groupe scolaire Jean de la Fontaine (Fès)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Comment trinquer efficacement autour d'une table ronde, en respectant quelques contraintes.
 
Pont de kapla - Lycée Baudelaire (Annecy) Lycée de l'Albanais (Rumilly)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Dans l'article, on considère un escalier de Kapla, composé d’un kapla par étage, tous exactement identiques et placés dans un espace idéalisé. On détermine une distance maximale qu’il est possible d’atteindre en optimisant au maximum notre structure.
Mots clés : Kapla, suite numérique
 
Quoridor - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Le Quoridor est un jeu de stratégie combinatoire abstrait de 2 à 4 joueurs, dont le but est de traverser un plateau tout en empêchant l’adversaire de le faire. Les auteurs proposent et étudient différentes stratégies gagnantes ou non sur différents plateaux simplifiés, et proposent une implémentation en Python du jeu qui leur permettra, par la suite, de tester algorithmiquement les stratégies proposées.
Mots clés : théorie des jeux, stratégie, algorithmique, modélisation, mathématiques discrètes
 
Quantik - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Cet article présente les recherches d’une stratégie gagnante au jeu de société quantik. Une première méthode qui donne le joueur 2 vainqueur semble prometteuse mais grâce à un programme, on exhibe une partie qui la met en défaut. Cependant, en changeant de méthode au moment critique, le joueur 2 parvient à gagner cette partie. Il est donc conjecturer que le joueur 2 peut toujours gagner sans d’autres éléments de preuve.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, raisonnement logique, algorithme
 
Analysis on the Manhattan geometry - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans une ville les rues sont perpendiculaires les unes aux autres, formant une grille. L’article étudie plusieurs problèmes associés à une telle grille.
- Dans le premier chapitre, lorsque tous les segments de la grille sont de longueur uniforme, on compte les chemins d’une intersection à une autre, en ajoutant éventuellement des conditions telles que passer ou non par un point. Lorsque les segments ont des longueurs différentes, le problème devient de trouver le chemin le plus court et on utilise pour cela l’algorithme de Dijkstra.
- Dans le deuxième chapitre, on modélise la grille comme un espace métrique en utilisant la “distance de Manhattan”, en considérant seulement les intersections. On étudie dans ce cadre les droites et les coniques, puis diverses applications à des problèmes inspirés par la planification urbaine.
- Dans le dernier chapitre, on aborde le cas où les rues sont aussi prises en compte.
Mots clés : géométrie, géométrie non euclidienne, dénombrement, chemin le plus court, algorithme de Dikjstra, médiatrice, conique, diagramme de Voronoï, recouvrement
 
La forêt infinie - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
Article
Nous sommes dans une forêt infinie... Les arbres sont parfaitement alignés à égale distance les uns des autres, comme s'ils étaient aux intersections des lignes d'une feuille à petits carreaux infinie. Dans chaque arbre il y a un coucou, et on suppose qu'ils sont tous à la même hauteur dans leur arbre et qu'ils peuvent voir dans toutes les directions horizontales. Deux coucous ne peuvent donc se voir que s'il n'y a pas un autre arbre entre eux.
À quelle condition deux coucous pris au hasard dans la forêt peuvent-ils se voir l'un l'autre ?
Est-ce qu'un coucou solitaire qui voudrait ne voir personne peut regarder dans une direction sans obstacle ?
 
Bazar, bizarre... Vous avez dit bizarre ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
DiaporamaLecture conseillée pour tous niveaux
Etude du mode de construction des cartes du jeu " bazar bizarre" :
- observations
- premières propriétés
- étude exhaustive des cartes possibles
Mots clés : combinatoire, jeu combinatoire
 
C'est quoi l'arnaque ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un magicien propose un pari avec des cartes rouges et noires. La règle du jeu est simple : le spectateur choisit une combinaison de couleurs pour trois cartes, puis le magicien choisit à son tour une combinaison. Ensuite, on tire des cartes, successivement. Dès qu’apparaît une suite de trois cartes correspondant à la combinaison choisie par l’un des deux joueurs, celui-ci gagne la partie. Par exemple, le spectateur choisit la combinaison rouge-noir-rouge et le magicien choisit la combinaison rouge-rouge-noir. Lon tire les cartes : rouge, noir, noir, rouge, rouge, noir. C’est donc le magicien qui remporte la partie.
Dans cet article, on établit une stratégie pour le magicien, lui assurant au moins 2 chances sur 3 de gagner dans tous les cas.
Mots clés : probabilité, arbre de possibilités, série géométrique, Python
 
Calcul de l'aire d'un polygone - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Article
Let’s consider a grid of equidistant dots on a plan. We draw a polygon on the grid whose tops are some dots of the grid. Is it possible to calculate the polygon’s area on the basis of the dots which are inside and on the edge of the polygon?
To solve the problem for any-given polygon, we can use the Pick’s theorem.

 
Procédé de Kaprekar - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Article
We take an integer (with 2 digits for the explanations);
• We put their digits in a descending order: it give us N1 = ba (such as b ≥ a);
• Then we put the same digits in an ascending order: we get N2 =ab (such as a ≤ b);
• After we subtract N1 by N2, it give us the difference D such as D = N1 – N2 = ba – ab.
And we do the algorithm again with the difference D until we find a loop or an end. We can complete the number with 0 at the left in order to always start with an integer with the same number of digits (2 in this example).
 
Aire finie, périmètre infini - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes) (article en anglais : Infinite perimeter)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
The authors study in that article the Kloch Flake; they prove, using the construction of the flake, that it is of infinite perimeter and finite area.
Mots clés : géométrie, fractal·e, suite géométrique
 
Probabilité d'être ruiné lors d'un Pile - Face - Lycée Jacques Amyot (Melun)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
 On réalise un jeu de hasard en lançant une pièce équilibrée. On gagne 2€ si on obtient PILE et on perd 1€ si on obtient FACE. L’article établit la probabilité d’être ruiné, en fonction de n, le nombre d’euros dont on dispose initialement. Cette probabilité dépend également du nombre de parties (lancers) effectuées. Après quelques expérimentations, manuelles puis informatiques, une relation de récurrence est établie sur la probabilité de perdre, ayant n euros en main, en fonction de celle de perdre avec n+2 euros et celle de perdre avec n-1 euros. La suite qui en découle est étudiée et son terme générique est calculé via l’étude de l’équation caractéristique et ses racines. Le résultat fait apparaître le nombre d’or φ : la probabilité de perdre, en débutant avec n euros, est (1/ φ)n.
Mots clés : calcul de probabilité, suite géométrique, limite, Python, polynôme, chaîne de Markov
 
Bacteria attacks - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
In a bacterial culture, some bacteria organisms are producing a toxic substance that kills other bacteria. The change in population is modelled by a system of differential equations, where the growth rate is proportional to the existing population N(t) and decreases at a rate proportional to the concentration of the toxic substance T(t).
Our purpose was to analyse the evolution of the population for any initial population and parameters, to synthesise our findings into conclusions, and pose questions for future research.
We have found that there are two ways of approaching the problem: a theoretical one and a computational, more experimental one. Although the mathematical approach would be closer to a real situation, we only used it for general information. For the actual solving, we settled on using the computational one, as we found it to be more flexible and suitable to our project.
Mots clés : modèle mathématique, fonction, graphe simulation
 
The largest building - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
The researched problem brings into the spotlight one of the ways of building construction.
We started by considering the necessary conditions for the equilibrium of the bricks. Then, we determined the maximum achievable length of a stacked block structure with an overhang. We found a mathematical construction rule, and we calculated the length of the construction.
Mots clés : série, récurrence, série harmonique
 
Evolution of parasites - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
This article studies how the populations P of a certain type of parasite and H of their hosts evolve in continuous or discrete time. Parasites deposit eggs on their hosts and, when the eggs hatch, the host dies. At each stage (unit of time), the number of eggs deposited depends on the probability that a parasite and a host will meet. It is assumed that this probability is proportional to the product H×P of the populations. So, in the case of discrete time, the dynamics is given by a system of recurrence equations, allowing us to calculate approximate solutions. In continuous time, this corresponds to a non-linear system of differential equations, and it is shown that the trajectory is determined explicitly by an equation linking P and H, depending on the initial data.

In our article, we present two approaches to solving our problem: an experimental approach and an analytical approach.
Mots clés : système dynamique, dynamique des populations, évolution, état stationnaire, trajectoire
 
Inflated sets - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Une figure convexe du plan étant donnée, une figure « gonflée » (« inflated set » dans le texte) vérifie la propriété suivante : lorsqu’on lui adjoint un point extérieur, puis que l’on considère l’enveloppe convexe du tout, on obtient une sur-figure dont le diamètre est strictement supérieur à celui de la figure initiale. Le travail présente la notion de figure gonflée et étudie les « gonflages » possibles (c’est-à-dire les figures gonflées à partir de celle-ci) pour quelques formes élémentaires : le triangle, le carré, le rectangle. Quelques considérations générales sont également apportées, dont le résultat final : si A et B sont deux gonflages différents d’une même figure de départ et que A est contenu dans B, alors A=B.
Mots clés : convexe, diamètre, cercle, distance, Reuleaux
 
Turning over coins - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
This topic is about sorting a stack of coins. First of all, we present the topic statement. Then, we show the steps in our approach and our findings. In the end, we link the programs we created based on the algorithm we discovered, as well as a web application.

Mots clés : combinatoire discrète, comptage
 
Traffic jams - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Our goal is to study the traffic flow and find out a general formula that expresses in how many steps the traffic will become fluid. We consider a traffic fluid when every single car can move forward.
Traffic jams are a real problem in today’s world. Not only because of the time lost by every single person in a traffic jam but because every car is polluting the atmosphere. We approached this problem differently and we tried to use an algorithmic approach. This approach will produce a result based on the number of cars in each case. We started from more particular cases and, finally, by using mathematical induction, we believe we reached some formulas.
Mots clés : comptage, récurrence
 
The machine to play the sticks game - Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
This topic consists of studying a "machine" made of a cup and legos. It will play against a human. According to its victories and defeats, it will learn and after a few games, it will be able to beat any person.
Our research focuses on determining how many games it takes for the machine to always win. After completing the task, we programmed a new machine for altered game parameters, such as the number of initial sticks, while also analyzing the outcomes.
Mots clés : simulation, probabilité, théorie des jeux
 
Jeu de société 2 - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Le problème traité concerne la recherche du nombre minimum de sommets d’une grille carrée à nxn points pour lequel tout sommet de la grille est sur au moins une droite passant par deux des sommets choisis, ainsi que la disposition des sommets ainsi choisis.
L’article détermine les valeurs exactes de ce nombre minimum pour des grilles de 2, 3 et 4 sommets, ainsi qu’un encadrement dans le cas général. Le minorant est de l’ordre de grandeur de la racine carrée de n et le majorant d’un peu moins de 2n.
L’article suggère finalement un moyen d’améliorer la borne supérieure en environ n, sans toutefois le prouver.
Mots clés : combinatoire, optimisation discrète, encadrement
 
Footing - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Cet article résume les travaux de recherche des élèves. Ils étudient la répartition des coureurs dans un stade au cours du temps. L'avancée d'un coureur dépend de celle du coureur devant lui
 
Évolution d'une population animale - Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès) - 2022-2023
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Dans cet article, on étudie l’évolution d’une population animale où à chaque pas de temps chaque couple d’adultes a un couple d’enfants et chaque couple d’enfants devient un couple d’adultes. On commence par le cas le plus simple où il n’y a que ces deux classes d’âges. Ensuite on sépare les adultes en deux classes d’âges et on introduit un coefficient de mortalité pour la dernière. On montre que ces systèmes sont régis par des systèmes de récurrence linéaires, ou des récurrences linéaires d’ordre 2 ou 3. Cela permet de calculer le nombre de couples à tout instant selon les données initiales. Enfin, une généralisation est donnée pour un nombre quelconque de classes d’âges avec une interprétation matricielle.
Mots clés : dynamique des populations, récurrence, suite récurrente, système linéaire, matrice
 
Generating an octagon - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
The problem studied in this article is the computation of the area of an octagon inside a square or parallelogram, constructed in its basic version as follows: the sides of the octagon are the 8 lines which join the corners of the quadrilateral with the middle of the (two) opposite sides. In this basic version, the area is shown to be one sixth of the area of the quadrilateral. A more advanced version is also worked out where the corners are joined to the near-quarter or some other ratio 1/n of the opposite sides. In this case they show that the area of the octagonal is (n-1)^2/n(n+1) the area of the quadrilateral. The regularity of the octagon is also studied. The proofs use only very classical theorems of geometry, such as the theorems of Thalès, Pythagoras, the sine rule and the theorem of similarity.
Mots clés : géométrie, construction géométrique
 
Nombres fusibles - Collège Germaine Tillion (Marseille)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Nombres fusibles. Voici la règle du jeu : on dispose de bougies à 2 mèches (une de chaque côté), autant que l’on veut. Lorsque
l’on allume une mèches la bougie se consume entièrement en 1 heure. Si on allume les deux mèches d’une même bougie en même
temps, celle-ci se consume donc entièrement en 1/2-heure. Au départ toutes les bougies sont éteintes et on a le droit d’allumer
autant de mèches que l’on veut au temps 0. On peut ensuite allumer autant de mèches que l’on veut à chaque fois qu’une (ou
plusieurs bougies) s'éteint parce que entièrement consumée. Questions : peut-on mesurer ainsi 2h (facile) ? 3/4-d’heure (oui mais
moins facile) ? 1/4-d’heure (non mais pourquoi) ? Quelles sont les temps que l’on peut mesurer (on les appelle les temps fusibles) ?
Et ceux que l’on ne peut pas ? Quel est le plus petit temps fusible après 3/4-d’heure ? Et après 1h ? Et après 2h ? .
Mots clés : fraction, puissance de 2, fonction, récurrence
 
Têtes chercheuses - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
  
 
Montante-Descendante - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
  
 
L’île au trésor - Collège Alexandre Fleming (Orsay) Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
  
 
Suites d'opérations - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
  
 
Des plis qui se déplient - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
On plie une bande de papier toujours dans le même sens, n fois. On déplie ensuite le pliage obtenu et dispose les plis de façon à former des angles droits dans le sens où ils ont été pliés. Les figures obtenues ont une surprenante structure fractale, que vous pourrez découvrir grâce au simulateur mis à disposition dans cet article !
Mots clés : fractal·e, suite, matrice, Python
 
Entiers remarquables - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
 Un nombre entier est dit remarquable si il existe un multiple de ce nombre dont l’écriture en base 10 est 99...900...0. Les auteurs démontrent qu’vec cette définition tous les entiers naturels sont remarquables. Ils décomposent le problème en plusieurs ca particuliers avant d’attaquer le cas général.
Mots clés : arithmétique, divisibilité, théorème d'Euler, théorème des restes chinois, théorème de Fermat
 
Un bon ascenseur - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Cet article porte sur différents algorithmes (stratégies) que peut suivre un ascenseur pour prendre en charge les personnes qui le sollicitent. A l’aide d’un programme en Python, une comparaison statistique des temps d‘attente est effectuée.
Mots clés : algorithme, optimisation, analyse de stratégie, programmation, temps d'attente
 
Le tour de l'île à la nage - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
 Afin de trouver la trajectoire optimale pour faire le tour de l’ile, nous avons utilisé deux méthodes: l'une avec le produit scalaire et l'autre reposant sur les équations de droite et le partitionnement du plan. Nous avons réalisé un programme en Python afin d'automatiser la méthode à toute ile polygonale. Enfin, nous avons commencé à étudier d'autres cas de figure où nous serions situés par exemple à 1 mètre de l'ile ce qui serait plus cohérent avec le fait de nager et non de marcher sur l'ile.
Mots clés : équation cartésienne, optimisation, programmation, distance la plus courte, enveloppe convexe
 
Tantrix - Lycée Alain Chartier (Bayeux)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Compte-rendu
 
Tantrix 3D - Lycée Alain Chartier (Bayeux)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Compte-rendu Tantrix.
 
Analyse et optimisation d'une mission spatiale - Lycée Stendhal (Milan)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L'objet de ce travail est de comparer du point de vue énergétique différentes manœuvres pour changer d'orbite un satellite. L’orbite de départ est un cercle de rayon centré sur le soleil et celle d’arrivée une ellipse dont le soleil est l’un des foyers. On étudie successivement le transfert direct, les transferts de Hohmann avec une demi-orbite elliptique intermédiaire et des transferts utilisant deux demi-ellipses intermédiaires, en calculant l’impulsion totale à donner au satellite dans chacun des cas.
Mots clés : Kepler, gravitation, Newton, trajectoire, ellipse
 
Démonstrations et Dessins - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Les dessins peuvent constituer un outil intéressant sur lequel peut reposer notre
intuition mathématique. Les auteurs présentent des exemples de résultats classiques
(Théorèmes de Pythagore, Thalès, formules de sommation d’entiers,...) pour lesquels des
représentations sous forme de dessins peuvent aider à expliquer et même à trouver des idées
de preuves !
Toutefois les dessins, à eux seuls, ne constituent pas une preuve et les auteurs n’oublient pas
d’ailleurs de nous illustrer le fait que dans certains cas, les dessins peuvent aussi nous
induire en erreur !
Mots clés : géométrie, théorème de Pythagore, théorème de Thalès
 
Deviner la carte cachée - Collège Le Calloud (La Tour-du-Pin)
Article
Notre sujet se base sur un paquet de 32 cartes à jouer soit du 7 à l'as. Dans une sélection aléatoire de x cartes parmi les 32 l’une d’entre elle est retournée, face cachée. Les autres cartes sont placées à la suite en ligne, face visible. L'un de nous est sorti de la salle et n’a pas vu la carte qui a été cachée. Son but est de retrouver la couleur, l’enseigne ou la valeur de la carte cachée, en analysant comment les cartes visibles ont été déposées.
Mots clés : tour de cartes
 
Une fourmi sur un tétraèdre régulier - Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
L’article propose de trouver le nombre de déplacements de longueur donnée d’une fourmi sur un tétraèdre régulier.
Les résultats sont généraux en commençant par une présentation rapide pour le cas d’un tétraèdre régulier,
puis une généralisation sur quelques formes géométriques en utilisant les graphes non orientés et leur matrice d’adjacence  : le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier et le cube. La démonstration permet de faire le lien entre les coefficients de la matrice et le nombre de trajets reliant les sommets et de longueur .
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacence, récurrence
 
Le mot le plus court (Braquage) - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Cet article s’attaque à la notion mathématique de super-permutation. Il s’agit de déterminer le « mot » le plus court contenant l’ensemble de toutes les permutations d’un certain nombre de lettres. L’article se résume principalement en un algorithme aléatoire permettant de construire des mots (pas nécessairement minimaux) contenant toutes ces permutations. Pour des alphabets de taille <6, il parvient à construire des super-permutations.
Mots clés : permutation, combinatoire des mots, algorithme, minimisation, factorielle
 
Labyrinthe à billes - Collège Saint-Louis (Capdenac)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Les règles du jeu "labyrinthe à billes" sont définies, et quelques cas particuliers sont étudiés.
Mots clés : labyrinthe, jeu
 
Aire minimale - Collège Sainte-Marie (Langon)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Dans un triangle de longueurs a, b et c (tel que a>b>c, inégalité non stricte), pour obtenir l’aire minimale de la partie non superposée après un seul pliage, nous nous sommes intéressés aux bissectrices de ce triangle.
On a vu que l’on peut écarter celle comprise entre la plus petite longueur et la plus grande.
Puis en fonction d’un critère très simple, le signe de ac - b², on peut choisir la bissectrice permettant d’obtenir une surface restante minimale.
Intuitivement, nous pensons avoir résolu le problème. Mais il reste à prouver que tous les autres pliages sont moins performants que celui d’une bissectrice.
 
Avec Ordre et Magie... - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Le codage binaire des cartes, des arbres de possibilités de rangement des cartes, un algorithme de rangement de ces cartes, des graphes nous ont permis de résoudre le problème.
Nous avons trouvé des rangements d’un jeu de 32 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 4 cartes suivantes.
Nous avons aussi vu qu’il était possible de supprimer certaines cartes bien précises et faire le tour de magie avec un jeu de 31, 30, 29, 28 cartes et même moins de cartes. Mais on ne peut supprimer une carte au hasard.
Nous savons aussi ranger un jeu de 64 cartes de manière à trouver une carte piochée au hasard dans le jeu rien qu'en connaissant sa couleur et celle des 5 cartes suivantes.
Mots clés : arbre de possibilités, graphe, algorithme, codage
 
Formule de Descartes-Euler - Lycée de l'Harteloire (Brest)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Autour de la fameuse formule de Descartes-Euler S-F+A=2
Mots clés : graphe, formule d'Euler
 
Jeu des trois couleurs - Lycée de l'Harteloire (Brest)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
On construit une pyramide avec des briques Lego de 3 couleurs différentes : on part d'une rangée quelconque de briques puis au-dessus de 2 briques, si elles sont de la même couleur on place une brique de cette couleur, et si elles sont de couleurs différentes on place une brique de la troisième couleur.
Peut-on deviner la couleur de la brique au sommet en regardant seulement la base ? Une réponse est donnée pour certaines longueurs de la base.
 
Jeu de Marienbad - Lycée de l'Harteloire (Brest)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Cet article étudie la réussite au jeu de Marienbad. Une statégie gagnante est obtenue à l’aide d’une décomposition en puissance de 2.
Mots clés : jeu de Nim, base 2, base de numération
 
Les tours de Hanoi - Lycée de l'Harteloire (Brest)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Des procédés de dénombrement des mouvements au jeu des Tours de Hanoï et des suppositions complémentaires.
Mots clés : Hanoï
 
Tours de trinques dans un bar - Lycée Jean Puy (Roanne)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un groupe de n personnes se réunit dans un bar autour d’une table ronde. Après avoir commandé leurs boissons elles ont pour objectif de trinquer une fois avec chacun le plus vite possible. Mais deux règles leurs sont imposées :
R1 : Elles ont interdiction que leurs bras se croisent quand elles trinquent.
R2 : Elles ne pourront trinquer qu’avec une seule personne à la fois.
Par conséquent elles devront procéder à plusieurs « tours de trinques », pour qu’elles puissent toutes trinquer avec tout le monde.
Le problème est de déterminer le nombre minimum de tours de trinques nécessaire.
Mots clés : trinquer, combinaison, algorithme, Python
 
Fractions égyptiennes - Lycée Raynouard (Brignoles)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Le texte étudie comment écrire une fraction positive inférieure à un comme somme de fractions unitaires (numérateurs égaux à 1) dont tous les dénominateurs sont différents. Un programme Python de décomposition est proposé.
Mots clés : fraction égyptienne, algorithme, Python
 
Voyageur de commerce - Lycée Raynouard (Brignoles)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Un voyageur cherche le chemin le plus court pour passer par toutes les villes. Comment va-t-il faire ?
Mots clés : graphe, voyage
 
Permutation de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Combien de cartes restent à leur place initiale en moyenne lorsque l'on mélange aléatoirement un jeu de cartes ? Cet article répond à la question pour les petites valeurs du nombre de cartes et établit des formules permettant de le calculer par récurrence en général.
Mots clés : permutation, dérangement, dénombrement, espérance
 
Sudoku - Lycée français Van Gogh (La Haye)
DiaporamaLecture conseillée à partir de la 4e
Dans ce travail, le sudoku est représenté mathématiquement. D'abord dans une version simplifiée (4x4), on détermine le nombre de grilles possibles.
Dans la version normale (9x9), le nombre de grilles n'est pas déterminé. Le travail consiste à représenter sous forme de tableau/matrice les grilles de sudoku. On présente aussi un algorithme qui permet de vérifier (l'ordinateur connaissant la solution), une grille remplie par l'utilisateur.
 
Salles d’examens - Lycée français Van Gogh (La Haye)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Etant donnée le problème sous contraintes suivant :
- une liste d'examens
- une liste de groupes
- une liste de salles disposant d'une capacité donnée
on cherche à déterminer un algorithme permettant d'organiser des examens de manière optimale.
Dans ce travail un algortihme est proposé.
 
Correcteur d'orthographe - Lycée français Van Gogh (La Haye)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Ce texte étudie le principe d’un correcteur orthographique. Après quelques idées intuitives, on étudie trois méthodes : méthode des combinaisons, distance de Levenshtein et méthode du clavier. On donne des exemples et on détaille chacune des deux premières méthodes.
Mots clés : distance, programme
 
Le loup, la chèvre et les choux - Lycée français Van Gogh (La Haye)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Cet article parle de la résolution du fameux problème du loup, de la chèvre et du chou. On expliquera dans cet article comment résoudre mathématiquement le premier problème rédigé de l'histoire. Ce sujet nous a été donné par Jordan Frecon, un chercheur en mathématiques, expert en intelligence artificielle. Tout d'abord, nous avons cherché à résoudre le problème avec des matrices, mais certaines matrices permettaient des transports illégaux (impossible physiquement). Nous avons alors cherché une solution algorithmique. Pour optimiser le programme Python, on l'a codé en C++. Ainsi, le problème basique résolu, nous avons cherché à approfondir notre sujet par une extension avec des variantes. On a aussi continué cela grâce aux graphes ainsi que par la création de nouveaux algorithmes qui ont été combinés avec les graphes. On a donc pu déterminer qu'il y avait plusieurs types de graphes: linéaire, circulaire et quelconque. Puis nous avons aussi trouvé un calcul pour connaître le nombre de…
 
Les puissances de 2 - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans cet article, nous nous sommes intéressés à différentes propriétés suivies par les chiffres qui composent les différentes puissances de 2. Elles ont été conjecturées grâce à des algorithmes.
Mots clés : motif, puissance de 2, algorithme
 
La place de théâtre - Lycée Paul Guérin (Niort)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Dans cet article, on calcule le nombre moyen de fois où vous devez vous relever dans une salle de spectacle où vous vous asseyez au hasard et vous devez changer de place chaque fois qu’arrive le spectateur ayant réservé la place que vous avez prise. On effectue quelques simulations puis on calcule cette espérance en fonction du nombre de places que contient la salle.
Mots clés : probabilité, loi de probabilité, espérance, série harmonique
 
Les poids cassés - Lycée du Pays d'Aunis et Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Les élèves ont travaillé sur le problème suivant : "Nicolas, le marchand, possède un poids de 40 kg. Il le laisse malencontreusement tomber et celui-ci se brise en 4 morceaux.
Chaque morceau pèse un nombre entier de kilos.
Question 1 : en utilisant astucieusement ces morceaux, Nicolas peut mesurer toutes les masses à partir de 1 kg et jusqu'à 40 kg.
Quelle est la masse de chaque morceau ?
Question 2 : avec un poids de 2023 kg, de combien de poids au minimum a-t-on besoin pour mesurer toutes les masses entre 1kg et 2023 kg ?"
Mots clés : numération, numération en base 3
 
Couper le quadrillage - Collège Hélène de Fonsèque (Surgères)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
On trace des droites sur un damier de 10x10 cases. Combien doit-on en dessiner au minimum pour que toutes les cases soient traversées au moins une fois ? Il est facile de trouver une solution à 10 droites, et bien plus ardu de faire mieux. C’est cependant possible et le groupe explique sa démarche de recherche et donne des éléments de preuve pour des damiers plus petits.
Mots clés : carré, géométrie, optimisation, droites sécantes, comptage, logique, condition nécessaire
 
Ravitaillement en vol - Collège Alain Fournier (Orsay) Collège Alexandre Fleming (Orsay)
Article
Un avion consomme pour simplifier une quantité constante de litres de carburant par kilomètre. Son réservoir est de taille fixée. Il est accompagné d'un groupe d'avions identiques qui servent à le ravitailler. Les avions dont le réservoir est vide abandonnent le groupe et atterrissent. On veut une stratégie pour aller le plus loin possible avec un nombre d'avions n fixé.
 
Optimal route - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Our research seeks to determine points M and N on the running track h, keeping the running distance d, in which AM=BN, as well as the minimum distance that Tom travels to get from one point to another.
Mots clés : géométrie
 
Lost in the Bermuda triangle - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
Our research deals with finding the shortest route from Dubai to Miami, without crossing the terrifying Bermuda Triangle.
Mots clés : géométrie
 
Shortest cobweb length - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Spider Webster is fed up of investing resources and energy in building new cobwebs every day, and wants to be more pragmatic when building its cobweb. Webster wants to build a cobweb of minimum total length, which connects the n points where it is attached. The considered cases are the triangle, the rectangle, the parallelogram and the regular square-base pyramid.
Mots clés : optimiser, géométrie
 
Pizza sharing - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Our task deals with being able to calculate how big a pizza is starting from a single edge of a slice and figuring out what tools are needed to do this.
We also need to figure out how to find the centre of a pizza and how to split it in half by using different tools.
Mots clés : cercle, arc, corde, rayon, centre
 
Tile wallpaper - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
ArticleLecture conseillée pour tous niveaux
A rectangular wall of size 2 × 10 is to be covered with tiles. The number of tiles is unlimited and each tile can be rotated according to your preference before mounting. In how many ways can we cover the entire wall using only 2 × 1 coloured tiles? What if we have access to both types of tiles, 1 × 1 and 2 × 1?
Mots clés : combinatoire
 
Counting configurations - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
A disc is divided into n sectors, each of which is to be painted with one of k possible colours, with the condition that two adjacent sectors have different colors. In a first part, two configurations which are obtained from each other by a rotation are considered as different, and the problem is solved firstly by a Python program for values of n, k up to n=12 and k=5. Then a general formula is obtained by means of a recurrence.
In a second part, the number of distinct configurations when we identify those that are obtained from each other by rotations is calculated for an example, but the general case remains open.
Mots clés : combinatoire, coloration, principe d'inclusion-exclusion, Python
 
Homework planning - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Passing an exam requires that among a sequence of n homeworks a student does not obtain k consecutive failures. This leads to counting sequences of n terms "P" (pass) or "F" (fail) without k consecutive "F". In this work a recurrence equation on n is established, k being fixed, and this equation is solved explicitly for k=2. Then, the authors study the probabilistic version where "P" is obtained with a certain probability p, independently for each homework.
Mots clés : combinatoire, combinatoire des mots, récurrence, probabilité
 
Cube de points - Lycée Catherine et Raymond Janot (Sens) Lycée Saint-Etienne (Sens)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
La première partie de ce travail présente un algorithme qui engendre une suite pseudo-aléatoire de points dans l’espace cartésien tridimensionnel. Les coordonnées de chaque point appartiennent à l’intervalle [-1,1]. Ensuite, l’algorithme est affiné en éliminant une partie de ces points de façon à faire apparaître les lettres X, Y et Z en négatif lorsqu’on regarde dans la direction de l’axe correspondant.
Mots clés : Python, géométrie dans l'espace, algorithme, aléatoire
 
Les triangles harmonieux - Lycée Pierre-Gilles de Gennes (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
Dans ce texte, on étudie des étoiles formées à partir de 3 triangles harmonieux (triangles partagés en 4 petits triangles contenant un nombre dont le centre est la moyenne des sommets). On a montré qu’on pouvait en construire autant qu’on voulait en expliquant comment le faire. Puis on a généralisé en imbriquant de telles étoiles et en définissant des opérations sur ces étoiles pour en construire d’autres.
Mots clés : base, équation, générateur, moyenne
 
Derrière la magie ... Le CODE ! (2) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Article
Après avoir énoncé les règles de fonctionnement de ce tour de magie, nous avons trouvé une formule qui selon les dimensions du plateau, indique le nombre de jetons que l’assistant pourra changer au maximum pour que le tour de magie fonctionne toujours.
Puis, si l’élève change son jeton en premier, nous avons trouvé comment l’assistant pourra toujours en changeant un seul jeton après l’élève permettre à la magicienne de retrouver le jeton changé par l’élève.
Mots clés : parité, code correcteur
 
Derrière la magie ... Le CODE ! (1) - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Une magicienne montre un de ses tours aux élèves. Ces derniers en recherchent l’explication scientifique, basée sur les codes correcteurs d’erreurs en informatique, et cherchent si ces explications restent valables en modifiant certains des paramètres du tour. C’est l’occasion de parler d’addition en binaire, en base 3 etc.
Mots clés : code correcteur, base 2, numération en base 3, parité, magie
 
Un partage sans fin ou sans faim? - Istituto di Istruzione Superiore Giordano Bruno (Mestre - Italie)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
In Autumn, a population of squirrels stocks up on hazelnuts to pass the Winter. Each squirrel collects his personal stock of hazelnuts. To make sure every squirrel has the same amount of hazelnuts, they made up a partition system: when two squirrels meet, they compare their stocks. The squirrel that has less hazelnuts receives by the other the same number of nuts as he owns. This method goes on until they own the same amount of hazelnuts.
Are there any situations where this partition never ends? If this partition ends, how many steps does it take to get to end?
Mots clés : partage, pair, impair, puissance de 2
 
Feu rouge - Lycée Carnot (Paris)
ArticleLecture conseillée à partir de la terminale
Un cycliste pressé roule à sa vitesse maximale. Depuis une certaine distance, il observe un feu changeant de couleur toutes les 20 secondes. L’objectif du cycliste est d’arriver au feu vert le plus rapidement possible, et avec la vitesse maximale. Pour cela il peut freiner puis accélérer, avec une accélération limitée.
On étudie les différents cas possibles selon les paramètres initiaux, vitesse, accélération, distance au feu, état du feu lorsque le cycliste le voit, et on essaie de donner la meilleure stratégie pour chaque cas : celui où la distance au feu est trop faible pour que le cycliste puisse s’arrêter ; celui où il n’a pas besoin de freiner ; celui où il peut freiner et reprendre sa vitesse maximale, celui où il doit de plus marquer un temps d’arrêt.
Mots clés : mouvement, vitesse, accélération
 
Say What You See - Lycée Ferdinand Buisson (Voiron)
ArticleLecture conseillée à partir de la 4e
Dans cet article une élève étudie la Suite de Conway (à partir du chiffre 1, on lit “un 1”, on écrit 11, puis de même “deux 1” donne 21, et on continue ainsi : 1211, 111221…). Les propriétés suivantes sont démontrées : on ne dépasse pas le chiffre 3, les longueurs sont toutes paires à partir du deuxième terme, et elles croissent.
Mots clés : suite de Conway, récurrence
 
Diviser pour mieux compter - Lycée Auguste Angellier (Dunkerque)
ArticleLecture conseillée à partir du lycée
On montre que les fractions continues à coefficients constants correspondent à des solutions d’équations du second degré à coefficients entiers, et on établit les développements en fraction continue de √2 et de √5.
Mots clés : fraction, fraction continue, racine carrée