Article : Partitions d un entier - Lycée Charles Poncet (Cluses) Lycée Camille Sée (Paris)

Article
Résumé de la production
Prenons un nombre entier positif n. De combien de façons peut-on écrire n , comme somme de nombres entiers positifs ? Le sens de la question varie selon que l'on considère des sommes ordonnées ou non : une composition de n sera une suite d'entiers positifs de somme n (ainsi (1,2,2) et (2,1,2) seront deux compositions distinctes de l'entier 5) tandis qu'une partition de n sera une liste d'entiers positifs, de somme n, rangée par ordre croissant (ainsi 1+2+2 et 2+1+2 seront des écritures différentes de la même partition du nombre 5, soit (1,2,2)). Les auteurs montrent que le nombre A( n) de compositions de n vaut 2^(n-1). Pour le nombre P( n) de partitions de l'entier n, ils donnent une expression simple de la série génératrice correspondante, c'est à dire de la somme infinie 1+ P(1)X^1+ P(2)X^2+ P(3)X^3+ ...
Mots clés
nombre entier
somme
partition
partage
décomposition
nombre polygonal
tableau de Young
série génératrice
série formelle
polynôme
produit infini
division par puissances croissantes
suite géométrique
Mac Mahon
Euler
combinatoire
Ramanujan
récurrence
somme infinie