Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Mots variés et mots circulaires
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Comme nous sommes mathématiciens, le sens des mots ne nous intéresse pas et on considère que
tout mot est acceptable (même s'il n'a pas de sens).
tout mot est acceptable (même s'il n'a pas de sens).
Calculs faciles de surfaces
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On s’intéresse à une classe particulière de polygones : les polygones entiers. Pour les définir nous
avons besoin de travailler sur une feuille à petits carreaux. Un point d’une feuille à petits carreaux est
un point entier s’il se trouve à l’intersection de deux lignes du quadrillage. Un polygone dessiné sur
votre feuille à petits carreaux est un polygone entier si tous ses sommets sont des points entiers.
avons besoin de travailler sur une feuille à petits carreaux. Un point d’une feuille à petits carreaux est
un point entier s’il se trouve à l’intersection de deux lignes du quadrillage. Un polygone dessiné sur
votre feuille à petits carreaux est un polygone entier si tous ses sommets sont des points entiers.
Découpages convenables
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On nommera forme avec des carrés (ou forme tout court) une juxtaposition de carrés de même taille
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
Forme avec des carrés
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024On nommera forme avec des carrés (ou forme tout court) une juxtaposition de carrés de même taille
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
collés les uns aux autres (à chaque fois côté contre côté). Les trous sont autorisés, mais il faut que la
pièce soit d'un seul tenant.
Suites multiplicatives
Lycée Bellevue (Alès), Lycée Jean-Baptiste Dumas (Alès), Lycée Jacques Prévert (St Christol lès Alès) 2023-2024Partant d'un nombre entier, par exemple 95, on en multiplie les chiffres ce qui donne 45(=9×5) ; on
recommence et cela donne 20(=4×5) ; on recommence et cela donne 0, qui lui-même redonne 0, et
donc on s'arrête.
On note cela : 95→45→20→0.
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95. Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
recommence et cela donne 20(=4×5) ; on recommence et cela donne 0, qui lui-même redonne 0, et
donc on s'arrête.
On note cela : 95→45→20→0.
On dit qu'il s'agit de la suite multiplicative partant de 95. Sa longueur est 4. Elle arrive sur 0.
Le sujet consiste à étudier les suites multiplicatives.
Les tactiques de TIC & TAC
Collège Chepfer (Villers lès Nancy) 2023-2024Sur un graphe, TIC se place le premier sur un sommet qu’il choisira puis TAC au nez rouge se place sur un autre sommet qu’il aura convenablement choisi. TIC part à la chasse de TAC.
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC contre TAC. Les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle d’abord TIC puis TAC, sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Sur un graphe donné, si TIC peut attraper TAC quelle que soit la façon de jouer de TAC, on dira que TIC a une stratégie gagnante et que le graphe est TIC gagnant. Dans le cas contraire, si TAC arrive indéfiniment à éviter TIC quelle que soit la façon de jouer de TIC, on dira que TAC a une stratégie gagnante et le graphe est TAC gagnant.
Le but de cet exposé est de déterminer si un graphe est TIC ou TAC gagnant et de trouver peut être certaines caractéristiques de ces graphes !
Il s’agit d’un jeu de course-poursuite de TIC contre TAC. Les déplacements se font à chaque fois d’un sommet à un sommet voisin du graphe le long d’une arête, à tour de rôle d’abord TIC puis TAC, sans possibilité de rester sur place. TIC doit attraper TAC, c’est-à-dire arriver sur le même sommet que TAC.
Sur un graphe donné, si TIC peut attraper TAC quelle que soit la façon de jouer de TAC, on dira que TIC a une stratégie gagnante et que le graphe est TIC gagnant. Dans le cas contraire, si TAC arrive indéfiniment à éviter TIC quelle que soit la façon de jouer de TIC, on dira que TAC a une stratégie gagnante et le graphe est TAC gagnant.
Le but de cet exposé est de déterminer si un graphe est TIC ou TAC gagnant et de trouver peut être certaines caractéristiques de ces graphes !
L'horizon
Collège Jean-Jacques Rousseau (Carvin) 2023-2024Jusqu'où peut -on voir?
Une aiguille à l'économie
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On fait tourner sur elle-même une aiguille de 10 cm de longueur. Quelle est la plus petite surface dans laquelle on peut lui faire faire un tour sur elle-même ?
Les fractions égyptiennes
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024Une fraction égyptienne est une fraction qui est la somme de trois fractions de la forme 1/n où n est un entier positif. Quelles sont les fractions égyptiennes ?
Une dynamique de triangles
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On se donne un triangle ABC de périmètre 1. On note A’ le symétrique de A par rapport au côté opposé, B’ le symétrique de B par rapport au sommet opposé, C’ etc... On obtient un nouveau triangle A’B’C’. On effectue une homothétie pour transformer A’B’C’ en un triangle de longueur 1. Peut-on retomber sur un triangle identique à ABC ?
La courbe du jeu de carte
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024Quand on étale un jeu de cartes dans le sens puis que l'on retourne la carte du dessous, cela soulève les autres cartes et crée un pic que l'on peut facilement déplacer d'un doigt. Quelle est la formule de la courbe approximativement tracée par le sommet de ces cartes ?
Subdivision
Lycée Martin Malvy (Cazères) 2023-2024On prend un polyèdre convexe. On regarde le milieu de chaque arrête. Ça nous donne les sommets d’un nouveau polyèdre convexe. Et on recommence. Étudier le nombre de sommets obtenus en fonction du polyèdre de départ, quand on itère le procédé.
Diagonales
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Notre histoire se déroule dans une petite commune appelée Tiercelieu. Or cette commune n’est pas des plus ordinaires. Il s’y passe des évènements mystérieux voire inexplicables. Lors des soirs de pleine Lune certains habitants ont un comportement étrange. Nous retrouvons ces mêmes matins des maisons effondrées. En tant qu’ingénieurs de la ville, nous sommes chargés d’imaginer des bâtiment plus solides pour ne plus subir cette catastrophe. Bien sûr, cela doit rentrer dans le budget de la commune et cela commence par la réduction des matériaux…
L'hôtelier
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-20244 vacanciers quittent un hôtel sans payer, chacun vers un point cardinal, à des vitesses différentes (3;5;9;18 km/h); Au bout d'1h l'hôtelier part (à 45km/h) pour les rattraper l'un après l'autre, en repassant pas l'hôtel entre chaque. Quelle stratégie doit-il adopter pour terminer le plus vite possible ?
Le comptable
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Peut-on déterminer 3 entiers naturels distincts 2 à 2, de 2 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 2 d'entre eux ?
Peut-on déterminer 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 3 d'entre eux ?
Peut-on déterminer 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et tels que leur somme est divisible par 3 d'entre eux ?
Les nombres Noël
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Dans une ville nomme Tagadasoinsoinou chaque enfant a un numéro de série. Le maire décide de réunir tous les enfants de la ville et de donner 100000 euros aux enfants dont les parents ont un chiffre miroir. Pour le numéro de série de la mère il faut ajouter 2 au numéro de l’enfant et il faut multiplier le nombre de l’enfant par 2 pour trouver le nombre du père.
La tondeuse magique
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024La tondeuse
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Trions trions
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024Construction métallique
Collège Saint-Adrien (Villeneuve d'Ascq), Collège Théodore Monod (Lesquin) 2023-2024La calculight
Collège Jacques Prévert (Watten) 2023-2024On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations :
— On change le nombre de départ,
— On change les… voir la suite
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations :
— On change le nombre de départ,
— On change les… voir la suite
Tournicolor
Collège Jacques Prévert (Watten) 2023-2024Sur une île déserte, vivent des caméléons particuliers : ils peuvent prendre soit la couleur rouge, soit la couleur bleue, soit la couleur verte. Et leur couleur évolue uniquement en fonction des rencontres entre caméléons selon la règle suivante :
— Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne se passe,
— Si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur.
Le nombre de caméléons présents sur l’île ne change pas.
A partir d’une configuration de départ, on s’intéresse à l’évolution de la répartition des caméléons par couleurs.
Exemples de questions à se poser :
1. Existe-t-il des configurations stables, c’est-à-dire qui une fois atteintes n’évolueront plus ?
2. A partir d’une configuration de départ donnée, peut-on arriver à la situation où tous les caméléons sont de couleur identique ?
3. Peut-on toujours, quel que soit le nombre de caméléon présents et quelle que soit la configuration de… voir la suite
— Si deux caméléons de même couleur se rencontrent, rien ne se passe,
— Si deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les deux la troisième couleur.
Le nombre de caméléons présents sur l’île ne change pas.
A partir d’une configuration de départ, on s’intéresse à l’évolution de la répartition des caméléons par couleurs.
Exemples de questions à se poser :
1. Existe-t-il des configurations stables, c’est-à-dire qui une fois atteintes n’évolueront plus ?
2. A partir d’une configuration de départ donnée, peut-on arriver à la situation où tous les caméléons sont de couleur identique ?
3. Peut-on toujours, quel que soit le nombre de caméléon présents et quelle que soit la configuration de… voir la suite
Un air de famille
Collège Jacques Prévert (Watten) 2023-2024On considère un jeu dans lequel on construit des personnages présentant les caractéristiques suivantes :
— Forme : ronde ou carrée.
— Cheveux : avec ou sans.
— Yeux : noirs, gris ou blancs.
— Bras : deux bras ou un bras droit uniquement ou un bras gauche uniquement ou pas de bras.
— Jambe : deux jambes ou une jambe droite uniquement ou une jambe gauche uniquement ou pas de jambe.
Ces personnages sont créés à partir d’un logiciel qui remplit un tableau de deux colonnes et cinq lignes, chaque cas contenant un 0 ou un 1 avec probabilité 1/2. Ce tableau est appelé la carte génétique du personnage.
La première ligne correspond à la forme, la deuxième aux cheveux, la troisième aux yeux, la quatrième aux bras et la cinquième aux jambes. Et on a les règles suivantes :
— Forme : si la première ligne contient deux 0, la forme est carrée, sinon elle est ronde.
— Cheveux : si la deuxième ligne contient deux 0, le personnage est chauve, sinon il a des cheveux.… voir la suite
— Forme : ronde ou carrée.
— Cheveux : avec ou sans.
— Yeux : noirs, gris ou blancs.
— Bras : deux bras ou un bras droit uniquement ou un bras gauche uniquement ou pas de bras.
— Jambe : deux jambes ou une jambe droite uniquement ou une jambe gauche uniquement ou pas de jambe.
Ces personnages sont créés à partir d’un logiciel qui remplit un tableau de deux colonnes et cinq lignes, chaque cas contenant un 0 ou un 1 avec probabilité 1/2. Ce tableau est appelé la carte génétique du personnage.
La première ligne correspond à la forme, la deuxième aux cheveux, la troisième aux yeux, la quatrième aux bras et la cinquième aux jambes. Et on a les règles suivantes :
— Forme : si la première ligne contient deux 0, la forme est carrée, sinon elle est ronde.
— Cheveux : si la deuxième ligne contient deux 0, le personnage est chauve, sinon il a des cheveux.… voir la suite
Le black jack
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Le jeu des petits carrés
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Deux joueurs jouent sur un quadrillage de n carreaux par n carreaux (commencer par
n = 3,4) dont le bord est déjà tracé. Chacun trace à son tour un trait sur un côté du quadrillage, sauf s’il referme un carreau, auquel cas il colorie celui-ci de sa couleur et a le droit
de rejouer (jusqu’à ce qu’il ne termine plus de carreau). Pour la présentation, ce sera plus
simple à expliquer au tableau.
Auriez-vous une stratégie pour ce jeu ?
n = 3,4) dont le bord est déjà tracé. Chacun trace à son tour un trait sur un côté du quadrillage, sauf s’il referme un carreau, auquel cas il colorie celui-ci de sa couleur et a le droit
de rejouer (jusqu’à ce qu’il ne termine plus de carreau). Pour la présentation, ce sera plus
simple à expliquer au tableau.
Auriez-vous une stratégie pour ce jeu ?
Les jetons sauteurs
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024On dispose quatre jetons rouges et quatre jetons noirs en alternant les couleurs et en
laissant un espace vide de deux cases à la fin, comme dans la première figure ci-dessous.
Un coup consiste à déplacer deux jetons voisins dans l’espace libre. On souhaite arriver à
la situation où tous les jetons noirs sont suivis de tous les jetons rouges, voir ci-dessous.
Est-ce possible ? Si oui, en combien de coups ? Et si on veut d’abord ranger les jetons rouges
puis les noirs ? Et avec une disposition initiale différente ?
laissant un espace vide de deux cases à la fin, comme dans la première figure ci-dessous.
Un coup consiste à déplacer deux jetons voisins dans l’espace libre. On souhaite arriver à
la situation où tous les jetons noirs sont suivis de tous les jetons rouges, voir ci-dessous.
Est-ce possible ? Si oui, en combien de coups ? Et si on veut d’abord ranger les jetons rouges
puis les noirs ? Et avec une disposition initiale différente ?
Des calculs de racines faciles
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Voici un calcul faux vu dans une vidéo : pour calculer la racine carrée d’un entier, on
additionne ses chiffres et on retranche 2. Par exemple :
√25 : 2 + 5 − 2 = 5, √64 : 6 + 4 − 2 = 8.
Est-ce que cela marche pour beaucoup d’entiers ? Une infinité ? Ou seulement pour un
nombre fini d’entiers, et dans ce cas lesquels ?
En s’inspirant de ceci, on peut inventer une règle similaire (bien évidemment encore
fausse) pour la racine cubique d’un entier : on additionne ses chiffres et on retranche 3.
additionne ses chiffres et on retranche 2. Par exemple :
√25 : 2 + 5 − 2 = 5, √64 : 6 + 4 − 2 = 8.
Est-ce que cela marche pour beaucoup d’entiers ? Une infinité ? Ou seulement pour un
nombre fini d’entiers, et dans ce cas lesquels ?
En s’inspirant de ceci, on peut inventer une règle similaire (bien évidemment encore
fausse) pour la racine cubique d’un entier : on additionne ses chiffres et on retranche 3.
Le chat et la souris
Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris) 2023-2024Jeu de pièces
Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris) 2023-2024Pavages
Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024Plus court chemin entre deux points dans la vie
Lycée Jean Jaurès (Reims) 2023-2024Quel est le plus court chemin entre deux points... dans la vraie vie ? En effet, la ligne droite est optimale... s'il y a pas d'obstacles (dans le plan, dans l'espace, sur une sphère, sur un pavé, dans le plan d'une ville, etc...)
M&M's
Collège Marcel Pagnol (Noyen sur Sarthe), Lycée Lavoisier (Mayenne) 2023-2024Combien vais-je manger de bonbons selon la règle de tirage aléatoire choisie
Jeux de dames
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Des dames noires et des dames blanches doivent échanger leurs positions en se déplaçant sur des espaces vides ou en sautant par dessus une autre. Combien de déplacement minimums seront nécessaires ? Y a-t-il une stratégie à adopter ? Et si le nombre de blanches et noires est différent ?
La cagette de pommes
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Contamination de pommes dans une cagette en fonction des pommes autour. Combien de pommes pour tout contaminer ? Où les placer ? Et si les cagettes ne sont pas carrées mais rectangulaires ?
Trajectoires de marins
Collège Carnot (Dijon) 2023-2024Comment se déplacer d'un point à l'autre sur le globe en utilisant des routes les plus courtes possibles ? Où va-t-on lorsqu'on se déplace avec un angle constant avec un méridien ? Et si la Terre était un donut ?
Comptons des escaliers
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On dispose d'un nombre donné de briques et on souhaite compter le nombre d'escaliers différents que l'on peut faire. L'objectif est de compter le nombre d'escaliers différents pour un nombre de briques donné.
Motifs Hitomezashi
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen) 2023-2024Les figures de l'ombre
Lycée Marcel Sembat (Sotteville-lès-Rouen) 2023-2024Des chiffres et des chiffres
Collège Kennedy (Mulhouse) 2023-2024Nous travaillons sur le jeu mathématique de l'émission télévisée.
Optimisation size garbage
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024A family has three garbage bins: blue (recyclables), green (compost), and black (others). At the beginning of the first week, all the bins are empty. Each week, the family generates a total of 10kg of waste. The waste is then sorted and placed in the bins. Then the heaviest bin is emptied, and its contents are thrown away. What is the minimum requirement (in kg) of each bin so that it does not overflow?
The card game:
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Two players are given a deck of cards numbered from 1 to 6. Each of them picks a card from the deck. The person with the higher card will win the game. After the cards are picked, one of the players asks the other one 'Do you want to exchange your card with mine?'. Should the other player respond with a yes or a no, assuming perfect logical reasoning by both players? What should be the response if the number of cards is 10?
Cake-cutting problem: How to fairly divide a cake
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Suppose you want to divide a cake, with uneven distributions, between two people in a way that makes both of them satisfied, i.e., both of them believe that they have a better or equally good piece as the other one. Such a solution is called an envy-free solution. This is a classical problem whose solution is given by the ‘you cut, I choose’ approach. This means that one of the players cuts the cake into two pieces, and the other one chooses which one to pick for themselves. Since the first player knows that if they cut the cake into unequal pieces then the other player can just pick the better piece, the best strategy for the first player is to cut the cake into equally valued pieces. So the first player would be equally happy independent of the piece they get. The second player then just chooses the piece which makes them more happy, and we get an envy-free solution. How can one generalize this approach to divide a cake between 3 players?
Le problème de la répartition des gains de Pascal
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Deux joueurs jouent à un jeu de hasard, disons pile ou face. Ils ont parié 100€, le gagnant étant le premier à arriver à 100 victoires. Malheureusement, ils se voient forcés d’arrêter la partie avant la fin, alors qu’ils en étaient respectivement à 81 et 49 victoires. Quelle serait une répartition juste de la mise ?
Un point, deux états
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024On considère une particule qui peut être dans trois états : au repos, excitée et désintégrée. On l’observe à chaque seconde et on note X_n l’état observée à la n-ième seconde. Quand elle est au repos, à chaque seconde, elle a une probabilité p de s’exciter. Quand elle est excitée, à chaque seconde, elle a une probabilité q de se désintégrer. Quand elle est désintégrée, on recommence l’expérience. Pour choisir l’état initial de la nouvelle expérience, on tire au hasard parmi tous les états observés jusque là (sur toutes les expériences passées). Autrement dit, si la particule se désintègre à la fin de l’étape n, X_{n+1} prend la valeur de X_K où K est un nombre aléatoire uniformément choisi entre 1 et n. Que se passe-t-il en temps long ? Ne verra-t-on plus que des états excités au bout d’un moment ? Leur proportion tendra-t-elle vers 1 ?
Machine à sous
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Dans un jeu vidéo, plusieurs tâches sont possibles (par exemple, tâche 1=aller battre tel monstre; tâche 2=aller chercher tel objet, etc.). À chaque fois qu’on réalise une tâche, on a une certaine probabilité de recevoir une récompense. Cette probabilité est propre à chaque tâche (par exemple, à chaque fois qu’on réalise la tâche 1, on a une probabilité p_1 d’avoir une récompense, qui sera toujours la même si on recommence la tâche 1, mais qui est différente de la probabilité de récompense de la tâche 2), et le joueur ne la connaît pas. Le fait de recevoir une récompense est indépendant d’une tâche à l’autre (au moment où l’on termine la tâche 1, tout se passe comme si le jeu lançait en l’air une pièce non-équilibrée qui aurait une probabilité p_1 de faire pile, et si elle fait pile il donne une récompense). Quelle stratégie le joueur peut-il adopter pour maximiser son gain sur le long terme ?
Le problème de Parcoursup
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024On se pose le problème que se sont posé les concepteurs de Parcoursup : on a d’un côté N étudiants qui veulent s’inscrire à des formations, et de l’autre M places dans diverses formations. Les étudiants et les formations ont leur critères de préférences, qui leurs sont propres. À partir de là, que peut-on faire ? Quelles propriétés peut-on souhaiter exiger d’une méthode de répartition ? Peut-on trouver des méthodes qui ont ces garanties ? Que se passe-t-il si on regarde un problème à trois corps, où par exemple le but serait de former des trios en choisissant une université, un doctorant et un directeur de thèse, chacun avec ses préférences individuelles ?
Le voyageur de commerce
Lycée Notre Dame du Grandchamp (Versailles), Lycée Charles de Gaulle (Poissy) 2023-2024Un voyageur doit visiter une liste de villes puis revenir à son point de départ. Étant données deux villes A et B dans la liste, on connaît le coût d’aller de A à B (ce peut être par exemple la distance, ou le prix du billet de train, ou le temps de trajet). Peut-on trouver une méthode pour choisir l’ordre dans lequel visiter les villes, de façon à minimiser le coût total du voyage ?
Palindromes
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Paver le plan avec des dominos et des rectangles
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Mots variés et mots circulaires
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Suite de nombres
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024[sujet ?]
Lycée Gustave Eiffel (Dijon), Lycée Jean-Marc Boivin (Chevigny-St-Sauveur) 2023-2024Le tour de la galaxie
Lycée Carnot (Dijon) 2023-2024Dans la galaxie de Star Wa.rs, à partir d'une planète donnée, on peut en rejoindre toute autre par un passage dans l'hyperspace. Enfin presque : certains passages sont bloqués par des champs d'astéroïdes, on dit alors que ces planètes sont « distantes ». Au dép art de la planète de son choix à bord de son Faucon Millénium, Han Solo doit chercher Leia dans 5 planètes : Naboo, Aderaan, Kashyyyk, Coruscant et Dagobah. Il n'a le droit de passer qu'une seule fois par chaque planète, avant de revenir à la case du départ, les chasseurs Tie étant à ses trousses. Il aura alors fait le tour de la galaxie.
Esprit compétitif
Lycée Carnot (Dijon) 2023-2024Jean-Bernard et sa femme Bernadette, sont à la plage et regardent les gens se baigner. Soudain, un garçon commence à crier à l'aide dans l'eau. Jean-Bernard décide de lui porter secours. Il court tout droit vers le garçon, se jette à l'eau, puis nage vers lui. Entre temps Bernadette réfléchit. Les deux se trouvent à dix mètres de l'eau, le garçon à dix mètres du rivage, 20 mètres plus à l'est.
Party linguistics
Liceo scientifico E. Curiel (Padova) 2023-2024No car crash in Manhattan!
Liceo scientifico E. Curiel (Padova) 2023-2024Jeux de dames
Collège Montchapet (Dijon) 2023-2024Les dames blanches doivent occuper les places des dames noires et vice-versa.
Règles : une dame peut se déplacer vers un carré adjacent, s’il est vide. Une dame peut sauter au-dessus d’une dame adjacente vers un carré vide.
Quel est le nombre de minimal de mouvements nécessaires pour atteindre l’objectif ?
Autant de dames noires et blanches de chaque côté ou pas.
Schématisation grâce à un jeu de dames chinoises.
Règles : une dame peut se déplacer vers un carré adjacent, s’il est vide. Une dame peut sauter au-dessus d’une dame adjacente vers un carré vide.
Quel est le nombre de minimal de mouvements nécessaires pour atteindre l’objectif ?
Autant de dames noires et blanches de chaque côté ou pas.
Schématisation grâce à un jeu de dames chinoises.
La cagette de pommes
Collège Montchapet (Dijon) 2023-2024Savoir quand et comment une cagette peut être contaminée dans sa totalité. Cagettes carrées ou rectangulaires. Schématisation grâce au jeu Othello (pomme saine blanche / pomme pourrie noire)
Les calendriers
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Avion et ravitaillement
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Construction d'un pont
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Jeux de stratégie
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Cryptographie 2
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Cryptographie 1
Lycée Jean Puy (Roanne) 2023-2024Poligoni speciali
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Consider n segments of length a and another n segments of length b.
(a) Suppose a ≠ b. Can you construct a convex polygon with 2n sides in such a way that the lengths of adjacent sides are different, but all the internal angles are equal?
What are the longest diagonals of such a polygon?
(b) A diagonal and a side of the polygon are said to be commensurable if the quotient of their lengths is rational. Study the commensurability of the diagonals with the sides when:
i. a = b;
ii. a ≠ b (try to see what happens in some specific examples).
(a) Suppose a ≠ b. Can you construct a convex polygon with 2n sides in such a way that the lengths of adjacent sides are different, but all the internal angles are equal?
What are the longest diagonals of such a polygon?
(b) A diagonal and a side of the polygon are said to be commensurable if the quotient of their lengths is rational. Study the commensurability of the diagonals with the sides when:
i. a = b;
ii. a ≠ b (try to see what happens in some specific examples).
Nuovi mondi per PacMan
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Inside a regular polygon with 2k sides we must place n cherries and paths (not necessarily segments) that connect them. Each pair of paths can only cross in cherries and there can be no self-crossing.
For k = 2, 3, and 4, we want to figure out the maximum number of paths we can fit into our version of PacMan in each of the following cases.
(a) whether the sides of the polygon are barriers to the passage of PacMan;
(b) if PacMan's exit from one side [AB] of the polygon corresponds to entry into the opposite side [CD] ([AD] and [BC] being diagonals of maximum length), such that the distance from A of the exit point is the same distance from C to the entry point.
For k = 2, 3, and 4, we want to figure out the maximum number of paths we can fit into our version of PacMan in each of the following cases.
(a) whether the sides of the polygon are barriers to the passage of PacMan;
(b) if PacMan's exit from one side [AB] of the polygon corresponds to entry into the opposite side [CD] ([AD] and [BC] being diagonals of maximum length), such that the distance from A of the exit point is the same distance from C to the entry point.
Party linguistics
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024In a certain party there are n people, each of them speaks more than one language, each language is spoken by at least two people, no two people share knowledge of more than one language. It is possible to communicate a message by passing from one person to another, translating when necessary. Every person knows how to translate between the languages he knows, but understands nothing about a language he doesn't know.
(a) Under what conditions is it possible to pass a message among everyone, from one person to another, without the same person having to participate in sharing the message more than once?
(b) Find conditions under which it is possible to guarantee that a message can circulate by exploiting all the linguistic ties existing in the party (and therefore necessarily passing through the same person as many times as the languages he knows)?
(c) If a linguistic genius comes to the party who speaks all the languages spoken in the party, how do the answers to the above… voir la suite
(a) Under what conditions is it possible to pass a message among everyone, from one person to another, without the same person having to participate in sharing the message more than once?
(b) Find conditions under which it is possible to guarantee that a message can circulate by exploiting all the linguistic ties existing in the party (and therefore necessarily passing through the same person as many times as the languages he knows)?
(c) If a linguistic genius comes to the party who speaks all the languages spoken in the party, how do the answers to the above… voir la suite
Manhattan senza incidenti
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Some vehicles move on a grid, made up of intersecting horizontal and vertical lanes, and must avoid colliding. A collision between two vehicles could occur at a node (i.e. a point of intersection between a horizontal lane and a vertical lane), if the two vehicles pass through this node at the same instant of time. Or, a collision could also happen at a point in a lane between two nodes, if two vehicles are traveling in the same lane and pass that point at the same time.
In particular, all vehicles start from the lowest horizontal lane and must reach the highest horizontal lane. Furthermore, each vehicle is assigned a vertical departure lane and a vertical arrival lane. The problem is understanding how the vehicles should be routed, so that each vehicle reaches its destination without colliding with the others.
You can reason in the following hypotheses:
• the distance between two consecutive lanes, both vertical and horizontal, is always the same, and all vehicles travel at the same speed… voir la suite
In particular, all vehicles start from the lowest horizontal lane and must reach the highest horizontal lane. Furthermore, each vehicle is assigned a vertical departure lane and a vertical arrival lane. The problem is understanding how the vehicles should be routed, so that each vehicle reaches its destination without colliding with the others.
You can reason in the following hypotheses:
• the distance between two consecutive lanes, both vertical and horizontal, is always the same, and all vehicles travel at the same speed… voir la suite
Tile circles
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024A factory produces tiles (called "regular") in the format of regular polygons with n sides (each side measuring 1). An artist wants to build “tile circles” in his artwork.
For this reason he requires that neighboring tiles share a side and there are no overlaps.
i. For which regular polygons (i.e. for which n) is it possible to close the circle?
ii. Which figures appear at the center of the work?
For this reason he requires that neighboring tiles share a side and there are no overlaps.
i. For which regular polygons (i.e. for which n) is it possible to close the circle?
ii. Which figures appear at the center of the work?
Jeu de pièces
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Dalles sur le chemin
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Jeu chat-Souris
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Pavages
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Awalé infini
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Umbrellacity
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024A Skycity les habitants habitent dans de grandes tours reliées entre elles par des ponts. Il est toujours possible d’aller d’une tour à l’autre en passant par une suite de ponts. Afin d’embellir leur ville, ils ont accroché des tentures colorées entre les ponts.
• Y a-t-il un lien entre le nombres de tours, le nombre de ponts et le nombre de tentures ?
• Pour un nombre de tours donné est-il possible de savoir le maximum du nombre de ponts et le maximum du nombre de tentures nécessaire ?
• Y a-t-il un lien entre le nombres de tours, le nombre de ponts et le nombre de tentures ?
• Pour un nombre de tours donné est-il possible de savoir le maximum du nombre de ponts et le maximum du nombre de tentures nécessaire ?
Mathématiques et traitement contre le cancer
Lycée Montmajour (Arles) 2023-2024Comment améliorer les traitements contre le cancer avec des mathématiques ?
Nombres sur les grilles
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante : chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle. On pose alors les deux questions suivantes :
1 : Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2 : Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante : chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle. On pose alors les deux questions suivantes :
1 : Le jeu s'arrête-t-il… voir la suite
1 : Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2 : Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante : chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle. On pose alors les deux questions suivantes :
1 : Le jeu s'arrête-t-il… voir la suite
Verres d'eau
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose sur chaque case d'un quadrillage un verre contenant une certaine quantité d'eau. A chaque étape, on peut choisir l'un des verres et verser une partie de son contenu ou le tout dans le verre situé immédiatement à droite ou en-dessous. Peut-on avoir, après un certain nombre d'étapes, tous les verres remplis de la même quantité d'eau ?
Le jeu des sommes interdites
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose d'un certain nombre b de boîtes et de n jetons numérotés de 1 à n.
Le jeu consiste à répartir par ordre croissant les jetons dans les boîtes, en respectant la règle suivante : on ne peut placer un jeton dans une boîte si son numéro est égal à la somme des numéros de deux jetons dans cette même boîte.
Quel est le plus grand nombre n de jetons qu'on peut placer dans les boîtes ? On peut commencer par le cas de deux boîtes c'est-à-dire b=2.
Le jeu consiste à répartir par ordre croissant les jetons dans les boîtes, en respectant la règle suivante : on ne peut placer un jeton dans une boîte si son numéro est égal à la somme des numéros de deux jetons dans cette même boîte.
Quel est le plus grand nombre n de jetons qu'on peut placer dans les boîtes ? On peut commencer par le cas de deux boîtes c'est-à-dire b=2.
Jeu de mots
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On commence notre jeu avec un mot constituée uniquement des lettres O et H.
Par exemple O H O O. Sous chaque paire de lettres consécutives on écrit la lettre O ou la lettre H en respectant les trois règles suivantes :
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
En appliquant ces règles, on obtient O H O O .
H H O
En continuant, on obtient une troisième ligne O H O O
H H O
O H
En fin le jeu se termine par O H O O
H H O… voir la suite
Par exemple O H O O. Sous chaque paire de lettres consécutives on écrit la lettre O ou la lettre H en respectant les trois règles suivantes :
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
En appliquant ces règles, on obtient O H O O .
H H O
En continuant, on obtient une troisième ligne O H O O
H H O
O H
En fin le jeu se termine par O H O O
H H O… voir la suite
Parties Bi-Dis
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Une partie du plan est dite Bi-dis si les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs. Que peut-on dire du nombre de points d'une partie Bi-dis ?
Deux valeurs
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Que peut-on dire d'une partie du plan dont les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs ?
Parties Dis-Ent
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Une partie du plan est dite Dis-ent si les distances entre ses différents points sont des entiers naturels.
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
La compagnie Matexcourrier
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024La compagnie Mathexcourrier a décidé que le prix d'envoi d'un objet est proportionnel à son profil. Pour une enveloppe, le profil est la longueur de son contour. Si un objet a la forme d'un parallélépipède, alors son profil est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Caroline souhaite envoyer par Mathexcourrier une lettre et un paquet. Elle pense faire des économies en mettant sa lettre dans une enveloppe avec un contour moins long et son paquet dans une boîte d'un profil plus petite. Peut-elle y arriver ?
Mosaïque de triangles
Collège Gisèle Halimi (Mérignac), Collège Bourran (Mérignac) 2023-2024On dessine une spirale de triangles équilatéraux, de plus en plus grands. On se demande dans quel triangle se trouve un point situé à 20m à droite, et 10m en haut.
Rugby
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Paradoxe d'anniversaires
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Le paradoxe d'anniversaires est un paradoxe mettant en œuvre la probabilité d'avoir la même date de naissance qu'une autre personne.
Boîte de conserve
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Comment construire une boîte de conserve avec un minimum de métal possible avec une boîte de conserve de 850 mL.
1000ème chiffre après la virgule
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Il faut trouver des moyens simples et explicites pour calculer le 1000ème chiffre après la virgule.
Boite de chocolats
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024La boite de chocolats doit être carrée, les chocolats doivent mesurer 1 cm de coté et sont des carrés. On doit mettre le plus possible dans la boîte de chocolats sans les superposer ni les découper.
Fabrique de puzzles
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique… voir la suite
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique… voir la suite
Construire des nombres entiers sous contrainte
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024Prenons 5 fois le nombre 5.
Avec les opérations habituelles (+, -, x, :) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
Quels sont tous les nombres entiers que l'on peut obtenir en utilisant 5 fois le nombre 5 avec les opérations habituelles ? On observe deux catégories de nombres.
Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ? En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Avec les opérations habituelles (+, -, x, :) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
Quels sont tous les nombres entiers que l'on peut obtenir en utilisant 5 fois le nombre 5 avec les opérations habituelles ? On observe deux catégories de nombres.
Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ? En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ?
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024Quels sont les jours fériés du calendrier 2023 ?
On ne va garder que les 8 jours fériés qui changent de jour de la semaine chaque année.
Sur les 8 jours fériés de cette année, combien sont un samedi ou un dimanche ?
Pour les années suivantes comment prévoir ?
Est-il possible qu'aucun jour férié ne tombe sur un samedi ou dimanche ?
Et combien au maximum ?
A partir des informations de 2023, comment avoir ces réponses pour n'importe quelle année future ?
On ne va garder que les 8 jours fériés qui changent de jour de la semaine chaque année.
Sur les 8 jours fériés de cette année, combien sont un samedi ou un dimanche ?
Pour les années suivantes comment prévoir ?
Est-il possible qu'aucun jour férié ne tombe sur un samedi ou dimanche ?
Et combien au maximum ?
A partir des informations de 2023, comment avoir ces réponses pour n'importe quelle année future ?
Problème de Monty Hall
École Française Jules Verne de Riga 2023-2024Les mosaiques de Thiele
Lycée français Jean Giono (Turin) 2023-2024Sur les traces de l'astronome et mathématicien danois Thorvald Thiele nous explorerons une façon de générer de très beaux motifs de mosaïques au moyen du concept de résidu quadratique dans l’ensemble des entiers de Gauss...
La calculight
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations : On change le nombre de départ, on change les touches… voir la suite
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations : On change le nombre de départ, on change les touches… voir la suite
Les derniers chiffres
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024a) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de carrés des entiers consécutifs,
1^2 = 1×1 = 1, 2^2 = 2×2 = 4, 3^2 = 3×3 = 9, 4^2 = 4×4 = 16, 5^2 = 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs,
1^3 = 1 × 1 × 1 = 1, 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27, 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) La question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) La question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
1^2 = 1×1 = 1, 2^2 = 2×2 = 4, 3^2 = 3×3 = 9, 4^2 = 4×4 = 16, 5^2 = 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs,
1^3 = 1 × 1 × 1 = 1, 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27, 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) La question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) La question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
Au marché
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024(a) Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l’aller. Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
(b) On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
(b) On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Peut-on éclairer la maison entière ?
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024Un électricien inexpérimenté se charge de l’installation d’une maison et commet des erreurs qui entraînent un allumage hétéroclite des pièces : lorsque l’on allume la lumière dans une pièce, on change l’état de l’éclairage dans toutes les pièces voisines à celle-ci,(d’éteint à allumé et d’allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérées comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus. Un problème se pose alors : comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les pièces sont au départ toutes éteintes. On peut considérer des maisons rectangulaires ainsi que des maisons de formes diverses.
Que des carrés et des rectangles
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024(a) On considère une grille carrée de taille n x n et on veut compter les carrés plus petits que contient cette grille. Par exemple, la grille 3 x 3 contient 9 carrés de taille 1 x 1 et 4 carrés de taille 2 x 2. Ainsi, au total, notre grille 3 x 3 contient 9+4+1 = 14 carrés.
De façon plus générale : combien de carrés de taille k x k contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de carrés contient au total une grille n x n ?
(b) Combien de rectangles de taille k x l contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de rectangles au total ? On peut se poser la même question pour les grilles rectangulaires de taille n x m.
De façon plus générale : combien de carrés de taille k x k contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de carrés contient au total une grille n x n ?
(b) Combien de rectangles de taille k x l contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de rectangles au total ? On peut se poser la même question pour les grilles rectangulaires de taille n x m.