Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
La ruche
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024Une ruche d’abeilles est un pavage du plan par des polygones, c’est à dire que l’on dispose des polygones côte à côte de sorte à remplir le plan. On considère que la ruche est construite à partir d’un polygone. Afin de consommer le moins de cire possible pour construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport R =aire/périmètre.
Quel est le meilleur pavage composé des polygones réguliers identiques?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé des polygones réguliers différents.
Quel est le meilleur pavage composé des polygones réguliers identiques?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé des polygones réguliers différents.
Coloriage de figures
Collège de l’Europe (Ardres) 2023-2024(a) Combien de carrés différents peut-on constituer si ses côtés sont colorés à l’aide de deux couleurs (ou trois ou quatre couleurs). Les deux carrés colorés sont considérés comme identiques si, en tournant l’un d’entre eux, on trouve l’autre.
(b) On peut poser une question analogue pour un rectangle au lieu d’un carré.
(c) Combien de cubes 1 x 1 x 1 différents peut-on constituer si ses faces sont colorées à l’aide de deux couleurs ?
(b) On peut poser une question analogue pour un rectangle au lieu d’un carré.
(c) Combien de cubes 1 x 1 x 1 différents peut-on constituer si ses faces sont colorées à l’aide de deux couleurs ?
Les couleurs de l'automne
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On considère un arbre de mathématicien : de chaque nœud, il y a deux branches qui partent. Les extrémités finales des branches sont les feuilles de l’arbre (on peut ou non considérer la racine comme une feuille). On peut colorier les branches de cet arbre avec trois couleurs, de sorte que chaque nœud soit la jonction de trois branches de couleurs différentes.
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe… voir la suite
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe… voir la suite
Le mouton
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024Un mouton broute toute l'herbe à laquelle il peut accéder. On suppose qu'on peut limiter ses mouvements en l'attachant à une ou plusieurs clôtures Quelle région va-t-il brouter ?
Téléportation
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024 Une ville vient d'acquérir un téléporteur qui permet de relier directement deux points P et Q. On cherche à se rendre d'un point A à un point B par le trajet le lus court possible. Selon les situations, faut-il utiliser le téléporteur ou pas ?
Mon meilleur ennemi
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024"Ton tableau est tombé, mais si tu veux je peux le raccrocher avec deux clous". Méfiez-vous de votre ami : en réalité, il a en tête d'attacher la ficelle de telle sorte que si n'importe lequel des deux clous se décroche, le tableau tombe quand même.
Chasse au trésor
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024"Mon trésor est à égale distance des deux palmiers et de l'océan"
Halloween
Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy) 2023-2024Chameau en promenade
Collège Anatole France (Nœux-les-Mines) 2023-2024Un chameau vit seul dans le désert. Sa principale activité consiste en des promenades sur la route rectiligne qui part de chez lui. Mais c’est un chameau un peu particulier : pour pouvoir marcher, il doit s’alimenter en permanence. De plus, il se nourrit exclusivement de pâte d’amande, et 1kg de pâte d’amande lui permet de marcher 10km. Et enfin, il ne peut jamais transporter avec lui plus de 1kg de pâte d’amande. Le sujet consiste à étudier la distance maximale que peut effectuer le chameau selon la quantité de pâte d'amande dont il dispose chez lui sachant qu'il doit toujours pouvoir revenir chez lui (afin de ne pas mourir de faim dans le désert).
Les pavages avec des polyminos
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On s'intéresse à des pavages que l'on peut former avec des triminos coudés (trois petits carrés qui ne sont pas alignés - on dit aussi triomino).
On constate que si l'on agrandit un trimino par un facteur 2, alors on peut le recouvrir sans chevauchement avec 4 triminos en les plaçant convenablement.
Est-ce encore possible si on l'agrandit par un facteur 3 ? 37 ? 173 ? n ?
On constate que si l'on agrandit un trimino par un facteur 2, alors on peut le recouvrir sans chevauchement avec 4 triminos en les plaçant convenablement.
Est-ce encore possible si on l'agrandit par un facteur 3 ? 37 ? 173 ? n ?
Les circuits électriques
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On dispose d'une très grande collection de résistances qui sont toutes identiques (1 ohm). Pour fabriquer de nouvelles sortes de résistance, on peut soit placer des résistances en série, ou bien en parallèle.
Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en série, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1+R2. Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en parallèle, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1 R2 / (R1+R2).
Quelles valeurs de résistances peuvent être obtenues avec nos résistances de 1 ohm ?
Est-il possible de fabriquer une résistance qui aurait pour valeur 69/17 ohm ?
Si oui, comment utiliser le moins de résistances et quel est ce minimum ?
Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en série, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1+R2. Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en parallèle, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1 R2 / (R1+R2).
Quelles valeurs de résistances peuvent être obtenues avec nos résistances de 1 ohm ?
Est-il possible de fabriquer une résistance qui aurait pour valeur 69/17 ohm ?
Si oui, comment utiliser le moins de résistances et quel est ce minimum ?
Nombres écartés
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On considère des paires de nombres que l'on aligne de la façon suivante : 11423243.
On constate que les "1" sont placés de sorte que la distance entre leurs emplacements soit égale à 1, la distance entre les emplacements des "2" est égale à 2, et ainsi de suite.
Peut-on toujours créer de telles suites lorsque l'on considère les paires de nombres de 1 jusqu'à n ?
On constate que les "1" sont placés de sorte que la distance entre leurs emplacements soit égale à 1, la distance entre les emplacements des "2" est égale à 2, et ainsi de suite.
Peut-on toujours créer de telles suites lorsque l'on considère les paires de nombres de 1 jusqu'à n ?
Les piliers
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024Pour fabriquer un immeuble, on a besoin de piliers. La société qui nous livre des piliers nous a donné des piliers qui ont tous des hauteurs différentes : 1, 2, 3,..., n.
Peut-on fabriquer deux colonnes qui arrivent à la même hauteur pour poser notre premier étage ?
On veut maintenant poser nos piliers de sorte qu'ils parviennent à une même hauteur plusieurs fois d'affilée pour poser plusieurs étages. Est-ce possible ?
Pour le prochain immeuble, il faut trois piliers. Puis le troisième immeuble contiendra quatre piliers. Peut-on généraliser ce qui a été trouvé avec deux piliers ?
Et si maintenant la société nous livre des hauteurs qui ne sont pas des entiers consécutifs (par exemple : les entiers impairs ; les nombres carrés ; les nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.) ?
Peut-on fabriquer deux colonnes qui arrivent à la même hauteur pour poser notre premier étage ?
On veut maintenant poser nos piliers de sorte qu'ils parviennent à une même hauteur plusieurs fois d'affilée pour poser plusieurs étages. Est-ce possible ?
Pour le prochain immeuble, il faut trois piliers. Puis le troisième immeuble contiendra quatre piliers. Peut-on généraliser ce qui a été trouvé avec deux piliers ?
Et si maintenant la société nous livre des hauteurs qui ne sont pas des entiers consécutifs (par exemple : les entiers impairs ; les nombres carrés ; les nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.) ?
Les circuits automobiles de Catan
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On utilise des pièces qui ont la forme d'hexagones réguliers (tous de même dimension) pour fabriquer des circuits fermés.
Les hexagones peuvent être de trois sortes : un morceau de route qui relie deux côtés adjacents (type 1), un morceau de route qui relie deux côtés séparés par un seul côté (type 2), un morceau de route qui relie deux côtés opposés (type 3). Le but est de construire un circuit avec un certain nombres de pièces de chaque sorte.
Les hexagones peuvent être de trois sortes : un morceau de route qui relie deux côtés adjacents (type 1), un morceau de route qui relie deux côtés séparés par un seul côté (type 2), un morceau de route qui relie deux côtés opposés (type 3). Le but est de construire un circuit avec un certain nombres de pièces de chaque sorte.
Jeu des bâtonnets
Association Science Ouverte (Bobigny) 2023-20243. Jeu des batônnets
Deux joueurs A et B jouent avec un bâton de longueur 𝑛 entière, au moins égale à deux (les longueurs sont en centimètres).
Le joueur A casse le bâton en deux parties de longueurs entières mais différentes.
Ensuite, le joueur B casse l’un des deux bâtons en deux parties de longueurs entières non nulles et distinctes.
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
1. Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
2. Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?
Deux joueurs A et B jouent avec un bâton de longueur 𝑛 entière, au moins égale à deux (les longueurs sont en centimètres).
Le joueur A casse le bâton en deux parties de longueurs entières mais différentes.
Ensuite, le joueur B casse l’un des deux bâtons en deux parties de longueurs entières non nulles et distinctes.
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
1. Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
2. Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?
Distances entières entre des points
Association Science Ouverte (Bobigny) 2023-20242. Distances entières entre des points
Pour tout entier naturel non nul n, on appelle ℰn l’ensemble de toutes les figures d’un plan euclidien composées de n points qui sont tous à distance entière les uns des autres.
Pour 𝑛 = 1,2,3, 4 (voire plus), étudier et décrire ℰn.
Pour tout entier naturel non nul n, on appelle ℰn l’ensemble de toutes les figures d’un plan euclidien composées de n points qui sont tous à distance entière les uns des autres.
Pour 𝑛 = 1,2,3, 4 (voire plus), étudier et décrire ℰn.
Tas de cailloux
Association Science Ouverte (Bobigny) 2023-2024Il s'agit d'étudier les masses de cailloux d'un tas qu'on peut subdiviser en 2 tas de mêmes masses sous certaines conditions
Congestion routière
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024Il a été observé en pratique que rajouter des axes de circulation pouvait, curieusement, ralentir le trafic, ou qu'au contraire, fermer un axe (ainsi la 42ème rue à New-York le 22 avril 1990, une des rues les plus animées de Manhattan) pouvait rendre le trafic plus fluide. Comment donner des exemples de telles situations --- idéalement, des exemples s'approchant des changements de circulation au sein du centre-ville de Laval ?
Bandits à K bras
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024On suppose faire face à une machine à sous avec K >= 2 bras. Chaque bras j procure des gains aléatoires, selon une loi de Bernoulli de paramètre p_j inconnu. Comment bien identifier un bon bras (voire le meilleur bras), et quels sont des écueils à éviter dans cette quête ? On pourra idéalement commencer à explorer ce sujet avec des simulations numériques.
Les nombres qui nous entourent
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024Des observations effectuées depuis un siècle et demi montrent que les nombres que nous rencontrons dans la vie quotidienne se répartissent selon une certaine loi. Faites l'expérience --- prenez une ou plusieurs sources de données, comme un exemplaire de journal, relevez tous les nombres, et classez-les : qu'observez-vous ? Nous essaierons ensuite d'expliquer mathématiquement cette loi, en créant numériquement des séries de nombres 'naturels'.
Anticiper l'anticipateur
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024On regroupe n personnes pour jouer à un jeu très simple. Chaque joueur va écrire de manière caché sur un papier un nombre entre 0 et 100, puis placera ce papier dans un chapeau. Le gagnant est le joueur qui aura été le plus proche des deux tiers de la moyenne de tous les nombres proposés. Derrière ce jeu apparament trivial se cache-t-il de redoutable stratégie gagnante ?
Mystérieuses spirales
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024On trace dans le plan les points de coordonnées polaires (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) . . . Il semble qu’il se dégage une spirale à 6 bras du nuage de points.
Si on prend un peu de hauteur, la spirale semble avoir 44 bras !
Pouvez-vous expliquer ce mystérieux phénomène ?
Que se passe-t-il si on ne considère plus que les points de coordonnées des nombres premiers ?
Si on prend un peu de hauteur, la spirale semble avoir 44 bras !
Pouvez-vous expliquer ce mystérieux phénomène ?
Que se passe-t-il si on ne considère plus que les points de coordonnées des nombres premiers ?
Morpion reloaded
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Fatigués que leurs parties du jeu de morpion classique se terminent toujours par des matchs nuls, deux élèves proposent la variante suivante du jeu :
— le jeu se déroule sur un damier infini dans les deux directions.
— on fixe un entier n≥2.
— le premier joueur joue les croix et le second les ronds.
— le premier joueur gagne s’il parvient à aligner n croix (horizontalement, verticalement ou en diagonale) ; sinon, le second joueur est déclaré gagnant.
Ce jeu est-il plus intéressant que le jeu classique? Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour l’un ou l’autre des joueurs ? Cela dépend-il de l’entier n choisi ?
— le jeu se déroule sur un damier infini dans les deux directions.
— on fixe un entier n≥2.
— le premier joueur joue les croix et le second les ronds.
— le premier joueur gagne s’il parvient à aligner n croix (horizontalement, verticalement ou en diagonale) ; sinon, le second joueur est déclaré gagnant.
Ce jeu est-il plus intéressant que le jeu classique? Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour l’un ou l’autre des joueurs ? Cela dépend-il de l’entier n choisi ?
Potion magique
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Asterix a perdu un tonneau de potion magique au milieu d’une cave remplie de mille tonneaux de vin, tous identiques. Pour retrouver ce tonneau, il reçoit l’aide des habitants de son village. Seul problème, les effets de la potion apparaissent 24h après la consommation, et les gaulois ont besoin d’avoir retrouvé le tonneau de potion magique pour le lendemain car les romains vont attaquer. La stratégie d’Asterix est la suivante : chaque habitant va goûter immédiatement le contenu d’un ou plusieurs tonneau, puis on attend 24h et on regarde qui bénéficie des effets de la potion magique. En fonction du résultat, on devine quel est le tonneau recherché.
Quel est le nombre minimal d’habitants nécessaire pour identifier le bon tonneau? Proposer une stratégie optimale. Panoramix remarque cependant que la méthode n’est pas complètement fiable, puisque parfois, certains gaulois ne réagissent pas à ce mélange alcool-potion comme prévu : il arrive que certains ayant goûté à la potion n’y soient pas sensibles, et… voir la suite
Quel est le nombre minimal d’habitants nécessaire pour identifier le bon tonneau? Proposer une stratégie optimale. Panoramix remarque cependant que la méthode n’est pas complètement fiable, puisque parfois, certains gaulois ne réagissent pas à ce mélange alcool-potion comme prévu : il arrive que certains ayant goûté à la potion n’y soient pas sensibles, et… voir la suite
La monnaie de l'empereur
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Dans un pays très lointain, deux forgerons concurrents, notés A et B, sont responsables de la fabrication des pièces de monnaie. L’empereur impose les règles suivantes pour réguler la concurrence féroce entre les deux individus :
— dans ce pays, le nombre 1 porte malheur, rendre la monnaie est interdit, et tous les prix doivent être des nombres entiers positifs.
— chaque forgeron choisit, en alternance, un entier k ≥ 1 et obtient le droit de fabriquer en grande quantité des pièces de valeur k. La seule contrainte sur l’entier k est que les pièces de valeur k ne soient pas inutiles, c’est-à-dire que l’on ne puisse pas payer la somme k à l’aide des autres pièces déjà fabriquées.
— le forgeron qui est obligé de choisir la valeur 1 est frappé par la malédiction et doit laisser la place à son concurrent.
Est-on sûr que ce procédé fournit un vainqueur en un temps fini ? Le nombre de valeurs différentes choisies peut-il être arbitrairement grand ? Comment pourriez-vous conseiller les… voir la suite
— dans ce pays, le nombre 1 porte malheur, rendre la monnaie est interdit, et tous les prix doivent être des nombres entiers positifs.
— chaque forgeron choisit, en alternance, un entier k ≥ 1 et obtient le droit de fabriquer en grande quantité des pièces de valeur k. La seule contrainte sur l’entier k est que les pièces de valeur k ne soient pas inutiles, c’est-à-dire que l’on ne puisse pas payer la somme k à l’aide des autres pièces déjà fabriquées.
— le forgeron qui est obligé de choisir la valeur 1 est frappé par la malédiction et doit laisser la place à son concurrent.
Est-on sûr que ce procédé fournit un vainqueur en un temps fini ? Le nombre de valeurs différentes choisies peut-il être arbitrairement grand ? Comment pourriez-vous conseiller les… voir la suite
Le football théorique
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Ce jeu se joue sur un terrain rectangulaire quadrillé à m lignes horizontales et n lignes verticales, avec m et n impairs. Le côté gauche du terrain représente le but du joueur G, et le côté droit celui du joueur D. Le jeu se joue sur les intersections des lignes, et non sur les cases. On place un jeton noir (appelé "ballon") sur le point central du terrain. Chaque joueur dispose d’une réserve de jetons blancs (appelés "joueurs").
Ensuite, chacun leur tour, les joueurs peuvent faire une (et une seule) des actions suivantes :
— placer un joueur sur une position vide.
— déplacer le ballon en sautant, éventuellement plusieurs fois consécutives, par-dessus un ou plusieurs joueurs voisins du ballon et alignés (horizontalement, verticalement ou en diagonale) et en arrivant sur la position suivante. Les joueurs utilisés lors de cette action sont retirés du terrain.
Le premier joueur (G ou D) qui amène le ballon sur la ligne de but de son adversaire, ou au-delà, gagne… voir la suite
Ensuite, chacun leur tour, les joueurs peuvent faire une (et une seule) des actions suivantes :
— placer un joueur sur une position vide.
— déplacer le ballon en sautant, éventuellement plusieurs fois consécutives, par-dessus un ou plusieurs joueurs voisins du ballon et alignés (horizontalement, verticalement ou en diagonale) et en arrivant sur la position suivante. Les joueurs utilisés lors de cette action sont retirés du terrain.
Le premier joueur (G ou D) qui amène le ballon sur la ligne de but de son adversaire, ou au-delà, gagne… voir la suite
Jeu du moulin
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Elaborer une stratégie pour le jeu du moulin.
Trouver les masses
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024On possède plusieurs tubes dont on ne connaît pas les masses, peut-on établir des stratégies pour approximer
leurs masses sans balance ?
leurs masses sans balance ?
Snake
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Sur un plateau de jeu, un serpent essaye de manger une souris qui cherche à survivre le plus longtemps
possible. A chaque tour, le serpent grandit de façon à ce que sa tête avance d’une case et que son corps
occupe toutes les cases par lesquelles il est passé ; la souris, elle, se déplace d’1 ou 2 cases sans passer par
dessus le serpent. Quelle stratégie est la meilleure pour chaque animal ?
possible. A chaque tour, le serpent grandit de façon à ce que sa tête avance d’une case et que son corps
occupe toutes les cases par lesquelles il est passé ; la souris, elle, se déplace d’1 ou 2 cases sans passer par
dessus le serpent. Quelle stratégie est la meilleure pour chaque animal ?
Le Blob et le labyrinthe
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Comment un blob peut-il trouver la sortie d'un labyrinthe. Trouve-t-il le chemin optimal ? Trouve-t-il toujours la sortie ?
Trajectoires dans l'espace, points de Lagrange
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Différents sujets autour des trajectoires de satellites dans l'espace. Problème de transfert d'une orbite à une autre, modification des trajectoires d'un corps satellisé, approche du problème à 2 corps puis du problème à 3 corps restreint, points de Lagrange.
Dominos
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objectif est de paver le plan avec des dominos
Babylone
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024Après avoir déchiffré une tablette Babylonienne, les élèves s'intéresserons aux méthodes d'approximation des racines carrées.
Pise
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objet est d'étudier la stabilité de différents types de tours.
Paradoxe
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024Un escargot, qui avance à une vitesse de 1 mètre par heure, se trouve sur une corde élastique de 100 mètres de long. Il est extrêmement déterminé à atteindre l’autre extrémité de la corde. Cependant, toutes les heures, un géant infatigable et malicieux tire sur la corde élastique, l’étirant de 100 mètres.
L'escargot parviendra-t-il au bout de la corde ?
L'escargot parviendra-t-il au bout de la corde ?
Structures
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objet est l'étude de différentes structures (triangulation, parenthésage, chemins sur une gille, arbres et nombre d'arêtes...) puis dans un deuxième temps comprendre pourquoi elles sont reliées entre elles par un même objet mathématique.
Commerce spatial
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Au confins de l’univers se trouvent 5 planètes tournant au même rythme et sur la même orbite autour d’un même soleil. Suite à des guerres 4 des cinq planètes (la rouge, la bleue, la jaune et la verte) ne disposent plus que de 2 navettes spatiales quand la grise n’en a plus qu’une. Chaque planète a par contre gardé deux pistes d’atterrissage en état.
À partir d’une situation de départ donnée (chaque navette posée sur une planète, pas forcément la sienne) comment faire pour que, en respectant certaines règles chaque navette retourne sur sa planète ?
À partir d’une situation de départ donnée (chaque navette posée sur une planète, pas forcément la sienne) comment faire pour que, en respectant certaines règles chaque navette retourne sur sa planète ?
Doublement et triplement parfait
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Un tableau à trois ligne et trois colonnes est dit tableau de tridouble si
• Les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres.
• Le nombre de la deuxième ligne est le double de celui de la première ligne.
• Le nombre de la troisième ligne est le triple de celui de la première ligne.
On dit qu’un tableau de tridouble est parfait si chaque chiffre n’est utilisé qu’une seule fois dans le tableau.
Questions. Existe-t-il des tableaux de tridouble parfaits ? Si oui combien ?
• Les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres.
• Le nombre de la deuxième ligne est le double de celui de la première ligne.
• Le nombre de la troisième ligne est le triple de celui de la première ligne.
On dit qu’un tableau de tridouble est parfait si chaque chiffre n’est utilisé qu’une seule fois dans le tableau.
Questions. Existe-t-il des tableaux de tridouble parfaits ? Si oui combien ?
Assemblage impossible de tortues
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Un puzzle est composé de 9 pièces carrées, qu’il s’agit d’assembler pour former un carré en respectant les couleurs et les formes des tortues : on ne peut pas assembler deux têtes ou deux queues de tortues.
Combien y a-t-il de manières différentes de former un carré avec les neufs pièces si on ne cherche pas à respecter les couleurs ni même les formes des tortues ?
Est-il possible de proposer un puzzle « difficile » avec seulement 4 pièces ?
Combien y a-t-il de manières différentes de former un carré avec les neufs pièces si on ne cherche pas à respecter les couleurs ni même les formes des tortues ?
Est-il possible de proposer un puzzle « difficile » avec seulement 4 pièces ?
Jeu de cubes
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024On aligne en bas autant de cubes côte à côte qu’il y aura d’étages ; on surmonte chaque rangée d’une rangée possédant un cube de moins, ces cubes étant côte à côte, chaque cube étant placé exactement sur un cube de la rangée en dessous ; on colorie en gris un cube sur deux, comme sur un damier, en commençant par un cube gris en bas à gauche.
Quels sont tous les empilements possibles à 4, 5, 6 étages ?
• Quels est dans chacun des cas précédents le nombres de cubes gris ?
• Dans les cas précédents combien de configurations ont le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
• Pour quels nombres d’étages inférieurs à 10 existe-t-il des configurations avec le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
Quels sont tous les empilements possibles à 4, 5, 6 étages ?
• Quels est dans chacun des cas précédents le nombres de cubes gris ?
• Dans les cas précédents combien de configurations ont le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
• Pour quels nombres d’étages inférieurs à 10 existe-t-il des configurations avec le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
Choisir c'est renoncer
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Vous habitez dans une rue rectiligne avec deux arrêts de bus situés tous deux à égale distance de chez vous, l’un à droite, l’autre à gauche. Vous sortez de chez vous et ne savez pas lequel choisir. Vous faites un mètre à droite, puis hésitez à continuer ou à partir dans l’autre sens. Vos hésitations se reproduisent toutes les secondes et vous font opter à chaque instant, sans préférence, à faire un mètre à droite ou à gauche. Essayez de décrire vos pérégrinations !
Nombres en sandwich
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Un entier strictement positif k est dit “en sandwich” si on peut trouver un entier n > k tel que la somme des nombres de 0 à k − 1 est égale à la somme des nombres de k + 1 à n. Pourriez-vous trouver tous les nombres en sandwich, ainsi que, pour chacun d’eux, l’entier n correspondant ?
Le XV et au-delà
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Quels scores sont possibles au rugby ? Pour un score donné, combien de scénarios ont-ils pu y conduire ?
Ne parle pas la bouche pleine
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Vous croquez un Oreo. En supposant que votre bouche ait exactement la même forme que l’Oreo, où le croquer pour en manger la moitié d’un coup ? Même question avec d’autres formes.
La formule-à-Toto : le retour !
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Toto a du mal avec les formules. L’an dernier il pensait que la dérivée d’un produit était égale au produit des dérivées. Cette année il pense que la dérivée d’un quotient est égale au quotient des dérivées. Peut-il néanmoins avoir raison dans certains cas ?
Bizarre, vous avez dit bizarre !
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Dans la géométrie plane “classique” que vous pratiquez, le plan contient une infinité de points, par deux points distincts passe une et une seule droite et deux droites distinctes peuvent se couper (en un seul point) ou ne pas se couper (parallèles). Pourriez-vous imaginer une géométrie bizarre dans laquelle votre plan aurait un nombre fini N de points et les conditions suivantes seraient vérifiées :
i. vos droites auraient toutes le même nombre n < N de points ;
ii. par n’importe quel point du plan passeraient exactement n droites ;
iii. par deux points distincts du plan passerait une et une seule droite ;
iv. deux droites distinctes se couperaient toujours en un seul point ?
i. vos droites auraient toutes le même nombre n < N de points ;
ii. par n’importe quel point du plan passeraient exactement n droites ;
iii. par deux points distincts du plan passerait une et une seule droite ;
iv. deux droites distinctes se couperaient toujours en un seul point ?
Répartition des nombres premiers
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024On note P(n) le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Il s'agit de retrouver l'équivalent P(n) ~ n/ln(n) par l'expérimentation.
Les kaplas au dessus du vide
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024On empile un nombre N de kaplas de longueur L (parallélépipèdes en bois tous de la même taille) au bord d'une table, la longueur perpendiculaire à celui-ci. De quelle longueur, au maximum, la pile de kaplas peut-elle déborder au-dessus du vide au-delà de la table ? Peut-on, en augmentant N indéfiniment, atteindre un débordement arbitrairement grand ?
Découpage d'un gâteau
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024Comment découper un gâteau en maximum de parts possibles, en donnant le minimum de coups de couteau possible ? On ne demande pas à ce que les parts soient égales !
Plus précisément, en combien de parts au maximum peut-on couper un gâteau avec 1 coup de couteau, 2 coups, 3 coups, etc ?
Peut-on trouver le nombre de parts maximum pour n coups de couteau ?
Plus précisément, en combien de parts au maximum peut-on couper un gâteau avec 1 coup de couteau, 2 coups, 3 coups, etc ?
Peut-on trouver le nombre de parts maximum pour n coups de couteau ?
L'addition des cancres
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024Et si la somme des fractions a/b et c/d se faisait ainsi a/b+c/d=(a+c)/(b+d)?
Coder un rectangle par des carrés
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024Pour caractériser la forme d’un rectangle, on considère souvent le rapport longueur/largeur. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion longueur/largeur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme.
En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence. Par exemple avec un rectangle de 16 par 9, le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s’arrête puisqu’il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.
Questions :
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Si on part de n’importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s’arrête ?
• Comment comparer deux nombres si on connait juste leur codages ?
En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence. Par exemple avec un rectangle de 16 par 9, le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s’arrête puisqu’il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.
Questions :
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Si on part de n’importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s’arrête ?
• Comment comparer deux nombres si on connait juste leur codages ?
Nombres magiques
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024On appelle nombre magique un nombre dont le carré, c’est-à-dire le nombre multiplié par lui-même, est symétrique par le milieu, comme par exemple 307, qui vérifie 307×307 = 94249.
Comment en construire d’autres ?
Est-il possible de construire des familles de tels nombres (par exemple 1, 11, 111, 1111, etc) ? Ces familles sont-elles infinies ?
Comment en construire d’autres ?
Est-il possible de construire des familles de tels nombres (par exemple 1, 11, 111, 1111, etc) ? Ces familles sont-elles infinies ?
L'awale sous-harmonique
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024 Une fonction est sous-harmonique (respectivement sur-harmonique) lorsque sa valeur en tout point est inférieure ou égale (resp. supérieure ou égale) à la moyenne de ses valeurs au voisinage (définition volontairement vague et informelle...). En cas d'égalité, on parle de fonction harmonique.
L'Awalé est un jeu africain, se jouant à deux, qui consiste à répartir des graines dans un ensemble de cases selon une règle bien déterminée. Celui qui ne peut plus continuer le jeu a perdu. Dans l'Awalé sous-harmonique, le plateau de jeu est composé d'une ligne de plusieurs cases (le nombre de cases est noté C). Au début du jeu, on dispose un certain nombre de graines (mettons g) dans chaque case SAUF la dernière, et une autre quantité de graines (mettons G supérieur ou égal à g) dans la dernière case. Le premier joueur choisit une case intérieure (c'est-à-dire différente de la première et de la dernière) et rajoute des graines à sa convenance, mais en respectant la règle suivante :… voir la suite
L'Awalé est un jeu africain, se jouant à deux, qui consiste à répartir des graines dans un ensemble de cases selon une règle bien déterminée. Celui qui ne peut plus continuer le jeu a perdu. Dans l'Awalé sous-harmonique, le plateau de jeu est composé d'une ligne de plusieurs cases (le nombre de cases est noté C). Au début du jeu, on dispose un certain nombre de graines (mettons g) dans chaque case SAUF la dernière, et une autre quantité de graines (mettons G supérieur ou égal à g) dans la dernière case. Le premier joueur choisit une case intérieure (c'est-à-dire différente de la première et de la dernière) et rajoute des graines à sa convenance, mais en respectant la règle suivante :… voir la suite
Désitération
Faculté des Sciences d'Orsay 2023-2024Est-ce qu'il existe une fonction f:R->R telle que f o f coïncide avec une fonction puissance ? avec la fonction exponentielle ?
Est-ce qu'on peut résoudre f o f o f = exp ?
Des idées pour poursuivre ?
Est-ce qu'on peut résoudre f o f o f = exp ?
Des idées pour poursuivre ?
Distributif
Faculté des Sciences d'Orsay 2023-2024La multiplication des réels est distributive par rapport à l'addition. Question: quelle opération est distributive par rapport à la multiplication ?
Chou-Fleur
Collège Charles Sénard (Caluire-et-Cuire), Lycée La Martinière Diderot (Lyon) 2023-2024Lorsqu'on procède à une désignation en faisant "chou-fleur" (par exemple pour savoir quel pays lancera le ballon dans un match, ou qui commencera entre 2 joueurs), y a-t-il moyen de savoir à l'avance qui gagnera ?
Distance entre les joueurs, taille des pieds , triche permise ou non ... y a-t-il des paramètres déterminants ?
Distance entre les joueurs, taille des pieds , triche permise ou non ... y a-t-il des paramètres déterminants ?
Triplet d'entiers consécutifs
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024On considère trois entiers consécutifs, et on calcule leur somme et leur produit.
Par exemple : 3, 4 et 5. Ensuite : 3 + 4 + 5 = 12 ; 3 × 4 × 5 = 60.
Ou alors : 835, 836, 837. Ensuite : 835 + 836 + 837 = 2 508 ; 835 × 836 × 837 = 584 276 220.
On remarque que la somme est un multiple de trois et que le produit est multiple de six.
Généraliser la remarque à tout triplet d’entiers consécutifs.
Établir des propriétés arithmétiques et géométriques des triplets d’entiers consécutifs.
Par exemple : 3, 4 et 5. Ensuite : 3 + 4 + 5 = 12 ; 3 × 4 × 5 = 60.
Ou alors : 835, 836, 837. Ensuite : 835 + 836 + 837 = 2 508 ; 835 × 836 × 837 = 584 276 220.
On remarque que la somme est un multiple de trois et que le produit est multiple de six.
Généraliser la remarque à tout triplet d’entiers consécutifs.
Établir des propriétés arithmétiques et géométriques des triplets d’entiers consécutifs.
Rencontre au sommet
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024Alice et Bob courent autour d’un stade d'athlétisme. Alice met 7 minutes pour faire le tour du stade. Bob quand à lui met 11 minutes. Ils partent les deux du même points de départ. Lorsque Alice part le chronomètre affiche 2 minutes. Bob part ensuite. Le chronomètre est à 4 minutes.
(1) Qu’indiquera le chronomètre la première fois que Alice et Bob se croiseront à leur point de départ ?
(2) Ils ont décidé de courir pendant deux heures. Combien de fois vont-il se croiser au point de départ ?
La comète de Halley a été aperçue en 1986 la dernière fois et elle passe toutes les 76 ans. La comète de Gauss a été aperçue la dernière fois en 1954 et elle passe toutes les 105 ans.
(1) Dans combien de temps pourra-t-on voir ces deux comètes en même temps ?
(2) Quelles sont toutes les années où ce phénomène aura lieu ?
Généralisation : soient p1, p2 deux nombres premiers et soient x1, x2 deux entiers naturels, on reprend le problème avec Alice et Bob. Cependant Alice met… voir la suite
(1) Qu’indiquera le chronomètre la première fois que Alice et Bob se croiseront à leur point de départ ?
(2) Ils ont décidé de courir pendant deux heures. Combien de fois vont-il se croiser au point de départ ?
La comète de Halley a été aperçue en 1986 la dernière fois et elle passe toutes les 76 ans. La comète de Gauss a été aperçue la dernière fois en 1954 et elle passe toutes les 105 ans.
(1) Dans combien de temps pourra-t-on voir ces deux comètes en même temps ?
(2) Quelles sont toutes les années où ce phénomène aura lieu ?
Généralisation : soient p1, p2 deux nombres premiers et soient x1, x2 deux entiers naturels, on reprend le problème avec Alice et Bob. Cependant Alice met… voir la suite
Récolte de maïs
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024Cinq paysans mettent leur récolte d'épis de maïs ensemble de la même silo. Cependant une nuit un premier paysan se lève. Il coupe la récolte d’épis en cinq parts égales, il en cache quatre parts pour lui-même et laisse le reste. Il retourne ensuite se coucher. Un deuxième paysan se lève fait la même chose avec le tas qu’il reste puis il se rendort. Ainsi de suite pour le troisième, quatrième et cinquième paysan. Combien y avait-il d’épis de maïs au minimum au départ ?
Variantes :
(1) Même question avec n paysans où n est un entier naturel.
(2) Il y a une souris dans le silo qui récupère des épis pour elle. Juste avant qu’un paysan ne partage le tas, la souris prend un épi pour elle. Même question dans ce nouveau cadre.
(3) Même question avec n paysans, où n est un entier naturel, et la souris.
Variantes :
(1) Même question avec n paysans où n est un entier naturel.
(2) Il y a une souris dans le silo qui récupère des épis pour elle. Juste avant qu’un paysan ne partage le tas, la souris prend un épi pour elle. Même question dans ce nouveau cadre.
(3) Même question avec n paysans, où n est un entier naturel, et la souris.
Le triple saut
Vauban, École et Lycée Français de Luxembourg 2023-2024On choisit une position de départ.
A l’aide de 3 dés on calcule la longueur de l’élan.
Puis on relance les 3 dés qu’on ajoute à la position obtenue pour voir la longueur du saut.
A l’aide de 3 dés on calcule la longueur de l’élan.
Puis on relance les 3 dés qu’on ajoute à la position obtenue pour voir la longueur du saut.
SOS pour les travaux publics
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Est-il possible de raccorder 3 maisons à l'eau, l'électricité et la fibre sans faire croiser les réseaux ?
Plus généralement, étudier le cas de n maisons à relier à n points.
Plus généralement, étudier le cas de n maisons à relier à n points.
Opération bizarre
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Définition d'un opérateur entre 2 nombres entiers
Des goûts et des couleurs
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-20241/ Blanche et Gilles jouent à tour de rôle, Blanche commence en coloriant une case d'une ligne d'une couleur (vert, jaune ou rouge) ; Blanche gagne si 3 cases successives contiennent les 3 couleurs ; Gilles doit l'en empêcher. Stratégie gagnante pour l'un ou l'autre ?
2/ Idem avec 4 couleurs sur une ligne limitée à 11 cases, sachant que Gilles ne peut colorier une case limitrophe à celle que Blanche vient de colorier.
2/ Idem avec 4 couleurs sur une ligne limitée à 11 cases, sachant que Gilles ne peut colorier une case limitrophe à celle que Blanche vient de colorier.
L'héritage
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Une sœur et un frère héritent d'un terrain en forme de quadrilatère convexe avec un pommier sur l'un des côtés ; est-il possible de couper, par un trait passant par le pommier, le terrain en 2 parties de même aire ?
Les carreaux traversants
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024Sur des carreaux de côté 1, on dessine deux chemins qui joignent les côtés deux à deux (opposés ou consécutifs). On carrelle ensuite une pièce rectangulaire.
Des vagues de cailloux ?
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024On considère un nombre infini de boîtes alignées. Chaque boîte peut être vide ou contenir un caillou. Un chariot avance, quand il arrive sur une boîte libre, il dépose un caillou s'il en a un réserve, sinon il ne fait rien. Quand il arrive sur une boîte avec un caillou, il le prend. Que se passe-t-il quand on fait passer le chariot un grand nombre de fois? Peut-on prédire la solution finale? Peut-on retrouver la condition initiale?
Les univers de Pacman
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024Dans le jeu, Pacman semble de déplacer sur un carré sauf que, quand il sort part la droite il rentre par la gauche et quand il sort par le haut, il rentre par le bas. Ainsi, les bords du carré ne correspondent à aucune réalité pour lui : il se déplace sur une surface sans avoir conscience des bords. En se donnant plusieurs carreaux et un "patron", décrire la surface sur laquelle se déplace Pacman?
Voyage en train
Lycée Vaclav Havel (Bègles), Lycée Alfred Kastler (Talence) 2023-2024C’est le voyage pour le congrès de MATh.en.JEANS. Les participants prennent le train et cherchent les chemins les plus probabales
Mariage
Lycée Vaclav Havel (Bègles), Lycée Alfred Kastler (Talence) 2023-2024Deux anciens élèves de mathenjeans se marient et ont besoin des mathématiques pour créer des porte-noms pour leurs invités
répartir n points sur une sphère
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Comment répartir n points sur une sphère de sorte que la plus petite de leurs distances mutuelles soit aussi élevée que possible
Points voisins
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On considère une partie X du plan constituée d'un nombre fini de points chacun colorié en bleu ou en jaune. Certains points de X sont reliés entre eux par des traits. On attribue à chaque point jaune un nombre réel et on se pose la question suivante :
Peut-on attribuer à chaque point bleu un nombre réel égal à la moyenne des nombres attribués à ses voisins ?
Les voisins d'un point M de X sont les points reliés à M par un trait.
Peut-on attribuer à chaque point bleu un nombre réel égal à la moyenne des nombres attribués à ses voisins ?
Les voisins d'un point M de X sont les points reliés à M par un trait.
Une liste parfaite
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024 Une liste finie d'entiers naturels non nuls est dite parfaite si chacun de ses entiers divise la somme de tous les autres. Par exemple la liste (2,4 ,2) est parfaite. Mais celle-ci (1,2) ne l'est pas. La liste (1,1,...,1) constituée de n uns est parfaite.
Peut-on trouver une liste parfaite de longueur n fixée dont tous les entiers sont des entiers distincts deux à deux ?
Peut-on trouver une liste parfaite de longueur n fixée dont tous les entiers sont des entiers distincts deux à deux ?
Les billes de billard
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Cette entreprise a conçu un nouveau modèle de billes de billard ultra résistantes, et veut tester leur solidité en décidant de quel étage on peut les lâcher depuis l'immeuble de l'entreprise sans qu'elles se brisent à l'impact. On dispose seulement de deux billes prototypes, et l'immeuble fait 100 étages de haut.
En combien d'essais* au minimum peut-on déterminer à coup sûr l'étage maximal depuis lequel on peut lâcher une bille sans qu'elle se casse ?**
* Lâcher les deux billes en même temps compte pour deux essais.
** On supposera que les billes qui survivent à un essai ne sont pas fragilisées par l'essai.
En combien d'essais* au minimum peut-on déterminer à coup sûr l'étage maximal depuis lequel on peut lâcher une bille sans qu'elle se casse ?**
* Lâcher les deux billes en même temps compte pour deux essais.
** On supposera que les billes qui survivent à un essai ne sont pas fragilisées par l'essai.
L'araignée et la mouche
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Une boîte parallélépipédique de 20 cm × 10 cm × 10 cm posée sur une table. Une araignée se trouve au pied de la boîte, juste au milieu d'un des côtés de 10 cm. Une mouche se pose à un endroit quelconque de la boîte. L'araignée sait déterminer le chemin le plus court qui mène à la mouche tout en restant sur la boîte. La longueur L de ce chemin dépend de l'endroit où s'est posée la mouche. En se posant au bon endroit sur la boîte, la mouche peut rendre L le plus grand possible.
Quelle est cette valeur maximale de L ?
Quelle est cette valeur maximale de L ?
Parts égales?
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Géo a inventé un robot découpeur de tartes. Il est muni d'un tranchoir inamovible et d'un plateau tournant. On y dépose la tarte dans la machine, celle-ci la centre, actionne le tranchoir, ce qui découpe un rayon, puis fait tourner la tarte de l'angle θ, découpe un nouveau rayon, fait tourner la tarte, etc... On peut régler le nombre de coups de tranchoir et l'angle θ avant de lancer la machine. Géo s'amuse alors à découper au delà du tour complet et remarque que les parts ainsi obtenues ont des tailles différentes.
1. Par exemple il a réussi à régler θ pour obtenir 5 parts de 2 tailles différentes, 2 grandes parts et 3 petites. Quelles sont les valeurs de θ qui permettent cela ?
1. Pouvez-vous trouver un réglage pour obtenir 13 grandes parts et 5 petites ?
2. Trouver un réglage qui fait 4 tailles différentes.
3. Est-ce que le nombre de parts de chaque taille peut être quelconque ?
1. Par exemple il a réussi à régler θ pour obtenir 5 parts de 2 tailles différentes, 2 grandes parts et 3 petites. Quelles sont les valeurs de θ qui permettent cela ?
1. Pouvez-vous trouver un réglage pour obtenir 13 grandes parts et 5 petites ?
2. Trouver un réglage qui fait 4 tailles différentes.
3. Est-ce que le nombre de parts de chaque taille peut être quelconque ?
Forcer la chance
Collège La Sine (Vence) 2023-2024Après avoir compris la notion de probabilité et le lien avec les fréquences statistiques, les élèves traitent différents problèmes sur les lancers de dés, les dates d'anniversaire, la planche de Galton...
Rubik's cube & Maths
École Française Jules Verne de Riga 2023-2024Qu'avec des Uns
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Premières ordonnées
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Un casse-tête
Lycée Alfred Mézière (Longwy) 2023-2024Le sujet est basé sur un jeu, dont le but est de passer d’une combinaison de jetons (de différentes couleurs) à une autre, par l’intermédiaire d’une roue. Il existe 3 séries différentes de cartes, pour lesquelles on se pose ces 4 questions :
_ Quel serait un modèle mathématique du jeu ?
_ Peut-on trouver un algorithme de résolution ?
_ Peut-on trouver un algorithme qui donne des solutions optimales ?
_ Peut-on imaginer de nouvelles cartes qui n’auraient pas de solution ?
_ Quel serait un modèle mathématique du jeu ?
_ Peut-on trouver un algorithme de résolution ?
_ Peut-on trouver un algorithme qui donne des solutions optimales ?
_ Peut-on imaginer de nouvelles cartes qui n’auraient pas de solution ?
Transcodage
Lycée Alfred Mézière (Longwy) 2023-2024Comment transmettre un message en binaire, de manière la plus courte possible ?
Le problème consiste à transmettre un message en binaire. La difficulté est de convertir les 26 lettres de l’alphabet et l’espace, en suites de 1 et de 0, de façon à ce que le rendu binaire soit le plus court possible, mais qu’il puisse être décrypté.
Le problème consiste à transmettre un message en binaire. La difficulté est de convertir les 26 lettres de l’alphabet et l’espace, en suites de 1 et de 0, de façon à ce que le rendu binaire soit le plus court possible, mais qu’il puisse être décrypté.
Des horloges plus ou moins étranges !
Collège Marcel Pagnol (Noyen sur Sarthe), Lycée Lavoisier (Mayenne) 2023-2024Quelle heure est-il lorsque les aiguilles d'une horloge (minutes et heures) sont superposées ?
Faire des dames
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Un nombre pair n > 2 de pions sont placés en ligne sur la table. L’objectif est d’obtenir n/2 ”dames” (piles de 2 pions) en n/2 mouvements. Pour le premier mouvement, un pion peut sauter par-dessus son voisin (de gauche ou de droite) pour former une dame. Pour le second mouvement, un pion doit sauter par-dessus exactement deux pions (qui peuvent être soit deux pions seuls, soit deux pions formant une dame). Au 3e mouvement, un pion doit sauter au-dessus de 3 pions exactement et ainsi de suite.
Pour quelles valeurs de n existe-t-il une solution ?
Pour quelles valeurs de n existe-t-il une solution ?
Uniquement des sauts
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024On se déplace sur un segment [AB] de longueur 1 de la manière suivante :
— On part du point A.
— Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [AP], soit sur le milieu de [PB].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près.
Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
— On part du point A.
— Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [AP], soit sur le milieu de [PB].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près.
Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
Enlèvement extra-terrestre
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Une flotille de soucoupes volantes a été envoyée par la planète Ethernium pour ramener tous les habitants d’un immeuble de Chartres et les présenter dans leur zoo. Cet immeuble terrien contient 11 hommes et 14 femmes.
Les soucoupes arrivent une par une et prélèvent aléatoirement les personnes. Cependant, du fait de la politique ethernienne de stricte séparation des sexes, une soucoupe de peut pas transporter en même temps un homme et une femme. Par conséquent, chaque soucoupe continue son prélèvement tant que le sexe des humains prélevés reste le même. Si ils prennent une personne d’un autre sexe, alors cette personne est immédiatement replacée dans l’immeuble et la soucoupe s’en va avec son chargement et la soucoupe suivante se présente pour continuer l’enlèvement selon la même procédure, et ce jusqu’à ce que l’immeuble soit totalement vide. Quelle est la probabilité que la dernière personne enlevée soit une femme ?
Les soucoupes arrivent une par une et prélèvent aléatoirement les personnes. Cependant, du fait de la politique ethernienne de stricte séparation des sexes, une soucoupe de peut pas transporter en même temps un homme et une femme. Par conséquent, chaque soucoupe continue son prélèvement tant que le sexe des humains prélevés reste le même. Si ils prennent une personne d’un autre sexe, alors cette personne est immédiatement replacée dans l’immeuble et la soucoupe s’en va avec son chargement et la soucoupe suivante se présente pour continuer l’enlèvement selon la même procédure, et ce jusqu’à ce que l’immeuble soit totalement vide. Quelle est la probabilité que la dernière personne enlevée soit une femme ?
Transformer l’essai
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Au rugby, après un essai, l'équipe qui a marqué tente une transformation. Le botteur doit frapper le ballon posé au sol avec le pied pour le faire passer au-dessus de la barre transversale et entre les poteaux. Il choisit où il place la balle sur une ligne parallèle aux lignes de touche et passant par le point où l’essai a été marqué. Où le joueur doit-il placer le ballon pour maximiser ses chances de réussite ?
Ping game
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Using a row of counters, white on one side and black on the other. Starting with n number of black counters which all need to be turned to white according to the following rule: when we indicate a counter, the counters either side are turned to white. How should we proceed?
Gravity calculator
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024We need to code two numbers with beads and then make a circuit so that when all the beads are released, we obtain the result of the sum of the two numbers.
Modelling of forest fires
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Repeat patterns
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024We apply a ruler ti a black triangle whose point is up. We connect the mid-point of its sides and then remove the newly-formed triangle, thus obtaining three new black triangles.
We observe one triangle with side 1. What can be said about the number of triangles and points of x steps of the above rule?
We observe one triangle with side 1. What can be said about the number of triangles and points of x steps of the above rule?
Scaffolding
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Constructing polyhedrons
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Using solid or empty rods. You need to construct solid polyhedrons. The goal is to manage to create giant polyhedrons which do not collapse.
You may like to start with Platonic solids
You may like to start with Platonic solids
Soap bubbles
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024For a polygon P we try to work out the shortest route passing via the vertexes of P. In physical terms, this means working out how a film of soap would arrange itself in ordre to link up all the vertexes of a polygon.
Awelé or Mancala game
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024The marmots
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024A group of marmots decide to dig a new burrow for the coming winter, but this year they decide to optimize its layout. The problem is that marmots are light sleepers, which means that two rules need to be considered, plus a further one to stop the structure from caving in
The indecisive gardener
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024A gardener wants to create zones in his circular garden using strings.
1. How many zones can we create with $n$ strings, at the most?
2. We shall also study the following generalization: obstacles on the zone, juxtaposition of disks.
1. How many zones can we create with $n$ strings, at the most?
2. We shall also study the following generalization: obstacles on the zone, juxtaposition of disks.
Checkmate
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024We consider a 8 x 8 chessboard. We place a queen on it. Then, we place a second queen without her being eaten by the first one, etc.
1. How many queens can we put on the chessboard?
2. Same question with the knight, the bishop and another piece for which we can choose its move.
1. How many queens can we put on the chessboard?
2. Same question with the knight, the bishop and another piece for which we can choose its move.