Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Tresses colorées
Collège Romain Rolland (Soyaux) 2023-2024On dispose de 5 fils de couleur dans un certain ordre, on fait des tresses. Qu'advient-il de l'ordre des couleurs ?
A square in a curve
Lycée Marseilleveyre (Marseille), Lycée Victor Hugo (Marseille), Colegiul Ortodox "Mitropolitul Nicolae Colan" (Cluj-Roumanie) 2023-2024We draw a closed curve on the plane. Can we always choose 4 distinct points on this curve, A, B, C, D, such that ABCD forms a square?
To begin, one can study specific curves, for instance, those formed by segments (polygons) and/or having certain symmetries. One can also replace the square with something else, for example, an equilateral triangle.
To begin, one can study specific curves, for instance, those formed by segments (polygons) and/or having certain symmetries. One can also replace the square with something else, for example, an equilateral triangle.
Mechanics Sequence
Lycée Marseilleveyre (Marseille), Lycée Victor Hugo (Marseille), Colegiul Ortodox "Mitropolitul Nicolae Colan" (Cluj-Roumanie) 2023-2024One draws a grid on a plane formed by regular intervals of horizontal and vertical lines. Then, a half-line is drawn in any direction. As one travels along this half-line, observe the lines it intersects. Assign 1 to each vertical line and 2 to each horizontal line. If the line passes through an intersection point between horizontal and vertical lines, arbitrarily choose to write 1 and then 2.
What is obtained for half-lines [OA) for points A with simple coordinates, for example, (3; 2)? Can one predict, based on the coordinates of A, the length of the repeating block (if it exists) or the proportion of 2 in the sequence?
Can such a sequence contain 1122? Are there other forbidden blocks?
What is obtained for half-lines [OA) for points A with simple coordinates, for example, (3; 2)? Can one predict, based on the coordinates of A, the length of the repeating block (if it exists) or the proportion of 2 in the sequence?
Can such a sequence contain 1122? Are there other forbidden blocks?
Substitution sequences
Lycée Marseilleveyre (Marseille), Lycée Victor Hugo (Marseille), Colegiul Ortodox "Mitropolitul Nicolae Colan" (Cluj-Roumanie) 2023-2024A substitution is an operation which consists of replacing each digit by a sequence of numbers, according to predefined rules.
For example, consider the substitution 1 -> 123; 2 -> 13; 3 -> 2. If we apply it to 123, we get 123 13 2, we get 123 13 2. if we apply it again, we get 123 13 2 123 2 13.
We can see that each "number" we obtain is twice as long as the previous one (why?), and that it starts with a "number" and starts with this one. If we repeat this process indefinitely, we obtain an infinite sequence:
1231321232131231321312321231321232131232…
What happens if we apply the substitution to this sequence?
The sequence obtained has the following remarkable property: it never contains two consecutive identical blocks, for example 1232 1232. We can try a proof by the absurd, but it's a bit long because you have to study several cases. I propose to do this with another substitution, which has the same property: 1 -> 12; 2 -> 34; 3… voir la suite
For example, consider the substitution 1 -> 123; 2 -> 13; 3 -> 2. If we apply it to 123, we get 123 13 2, we get 123 13 2. if we apply it again, we get 123 13 2 123 2 13.
We can see that each "number" we obtain is twice as long as the previous one (why?), and that it starts with a "number" and starts with this one. If we repeat this process indefinitely, we obtain an infinite sequence:
1231321232131231321312321231321232131232…
What happens if we apply the substitution to this sequence?
The sequence obtained has the following remarkable property: it never contains two consecutive identical blocks, for example 1232 1232. We can try a proof by the absurd, but it's a bit long because you have to study several cases. I propose to do this with another substitution, which has the same property: 1 -> 12; 2 -> 34; 3… voir la suite
Steinhaus sequence
Lycée Marseilleveyre (Marseille), Lycée Victor Hugo (Marseille), Colegiul Ortodox "Mitropolitul Nicolae Colan" (Cluj-Roumanie) 2023-2024Hugo Steinhaus (1887-1972), One Hundred Problems in Elementary Mathematics, 1963.
We write the two numbers 2 and 3: 23.
We take these two numbers, calculate their product 2 × 3 = 6 and write it down: 236.
We take the numbers 3 (again) and 6, calculate their product 3 × 6 = 18 and write it on the back: 23618.
We take the numbers 6 and 1, calculate their product 6 × 1 = 6 and write it as: 236186.
We repeat the process endlessly, this produces a series of numbers:
2361868484832323232246666666482436...
Is this sequence really infinite? What numbers appear in it? We notice blocks of consecutive identical numbers: 22, 6666666. Other numbers form do they have blocks like this? How many repetitions can there be? And if we change the starting numbers, what can happen?
We write the two numbers 2 and 3: 23.
We take these two numbers, calculate their product 2 × 3 = 6 and write it down: 236.
We take the numbers 3 (again) and 6, calculate their product 3 × 6 = 18 and write it on the back: 23618.
We take the numbers 6 and 1, calculate their product 6 × 1 = 6 and write it as: 236186.
We repeat the process endlessly, this produces a series of numbers:
2361868484832323232246666666482436...
Is this sequence really infinite? What numbers appear in it? We notice blocks of consecutive identical numbers: 22, 6666666. Other numbers form do they have blocks like this? How many repetitions can there be? And if we change the starting numbers, what can happen?
Numbers after the decimal point
Lycée Marseilleveyre (Marseille), Lycée Victor Hugo (Marseille), Colegiul Ortodox "Mitropolitul Nicolae Colan" (Cluj-Roumanie) 2023-2024When we do a division, sometimes it works out correctly:3/4=0,75
But most often, no: 1/3=0,3333333
We observe that a digit or a group of digits, repeats itself indefinitely. For what?
We can we predict the size of this group figures?
2.Experiment, make conjectures. Sometimes this repeating group of numbers is preceded by something not repeated:1/6=0,166666666, When does this happen? Conversely if we give ourselves a sequence of numbers that repeats, can we find a division. Who gives these numbers after the decimal point?
3. Calculate 1/7, 3/7, 2/7 in that order. What do we notice? Does it continue with other fractions? Can we construct other examples with the same examples with the same phenomenon? How explain it?
But most often, no: 1/3=0,3333333
We observe that a digit or a group of digits, repeats itself indefinitely. For what?
We can we predict the size of this group figures?
2.Experiment, make conjectures. Sometimes this repeating group of numbers is preceded by something not repeated:1/6=0,166666666, When does this happen? Conversely if we give ourselves a sequence of numbers that repeats, can we find a division. Who gives these numbers after the decimal point?
3. Calculate 1/7, 3/7, 2/7 in that order. What do we notice? Does it continue with other fractions? Can we construct other examples with the same examples with the same phenomenon? How explain it?
Proportions
Collège Bétance (Muret) 2023-2024On cherche a representer des proportions. Comment trouver une représentation telle que chaque partie soit similaire à l'ensemble total ?
Modele de la glace
Collège Bétance (Muret) 2023-2024On cherche à compter les configurations d'arêtes sur un réseau de lignes telles qu'à chaque sommet, la structure
respecte la règle de la glace :
On attribue à chaque arête du réseau une flèche de telle manière à respecter la règle de la glace. Celle-ci stipule qu'à chaque sommet, il doit y avoir exactement deux flèches pointant vers le sommet (flèches entrantes) et exactement deux flèches pointant depuis le sommet (flèches sortantes). Il y a donc, pour chaque sommet, six agencements de flèches possibles.
respecte la règle de la glace :
On attribue à chaque arête du réseau une flèche de telle manière à respecter la règle de la glace. Celle-ci stipule qu'à chaque sommet, il doit y avoir exactement deux flèches pointant vers le sommet (flèches entrantes) et exactement deux flèches pointant depuis le sommet (flèches sortantes). Il y a donc, pour chaque sommet, six agencements de flèches possibles.
Sommes de carrés
Collège Bétance (Muret) 2023-2024Lister les nombres qui sont la somme des carrés de deux (trois) nombres successifs.
Quels nombres peuvent s'ecrire comme somme de deux carrés ?
Quels nombres peuvent s'ecrire comme somme de deux carrés ?
Tribus hiérarchiques
Lycée Joachim Du Bellay (Angers) 2023-2024Dans une tribu organisée avec des liens hiérarchiques, sous certaines conditions, il peut se produire une émeute qui modifie certains liens hiérarchiques. On cherche si il il existe une hiérarchie stable dans laquelle aucune émeute ne peut se produire.
La chèvre
Lycée Joachim Du Bellay (Angers) 2023-2024Un fermier place sa chèvre dans un pré (clôturé) circulaire de rayon R fixé. Il l’attache à un point A de la clôture avec une corde. Il désire trouver la longueur de la corde pour laquelle la chèvre puisse brouter exactement la moitié de la surface de son pré.
They see me rollin
Lycée Joachim Du Bellay (Angers) 2023-2024Une chaine est constituée de plusieurs pièces de monnaies collées les unes aux autres. On fait tourner autour de cette chaîne fixe une autre pièce de monnaie. On se demande combien de tours sur elle même elle fait quand elle revient à sa position initiale.
Duels de deux quads 4*4, mais 4 par 4
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Deux écuries de quads 4x4 tout-terrain, chacune constituée de 4 véhicules, sont en compétition. Chaque 4x4 doit affronter exactement une fois chaque véhicule de l’écurie adverse dans une
course d’une heure. La compétition dure 4h en tout et on dispose pour cela de 4 circuits (terre, sable, boue et caillouteux). Chaque heure 4 duels se dérouleront donc simultanément sur les 4 circuits et à la fin de la compétition chaque pilote devra avoir concouru sur chacun des circuits. Est-il possible d’organiser une telle compétition ? Dans l’affirmative, de combien de façons différentes ?
course d’une heure. La compétition dure 4h en tout et on dispose pour cela de 4 circuits (terre, sable, boue et caillouteux). Chaque heure 4 duels se dérouleront donc simultanément sur les 4 circuits et à la fin de la compétition chaque pilote devra avoir concouru sur chacun des circuits. Est-il possible d’organiser une telle compétition ? Dans l’affirmative, de combien de façons différentes ?
Monopoly
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Dans le jeu du Monopoly, la dernière case, "Rue de la Paix", est chère à l’achat mais rapporte beaucoup lorsqu’un adversaire y tombe. À l’inverse, la première case du plateau "Boulevard de Belleville" coûte peu et rapporte peu. Acquérir cette dernière parait à première vue moins intéressant à long terme que "Rue de la Paix". Est-ce vraiment le cas ?
Le lac aux îles
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Dans une partie de Minecraft on dispose d’une étendue parfaitement plate de blocs « Terre ». On souhaite y réaliser un lac comportant n îles et pour cela on transforme certains blocs « Terre »
en blocs « Eau ». Cependant, ceci pouvant devenir rapidement fastidieux, on cherchera à en transformer un minimum. Combien faut-il au minimum de blocs « Eau » pour délimiter n îles
sachant que des zones terre se touchant par un côté ou un angle forment une seule île ?
en blocs « Eau ». Cependant, ceci pouvant devenir rapidement fastidieux, on cherchera à en transformer un minimum. Combien faut-il au minimum de blocs « Eau » pour délimiter n îles
sachant que des zones terre se touchant par un côté ou un angle forment une seule île ?
Pourquoi y a-t-il un 29 février en 2024 ?
Collège Cel Le Gaucher (Mont-de-Marsan) 2023-2024L'objectif de cet atelier est de comprendre le mécanisme des années bissextiles dans notre calendrier et de se questionner sur les autres choix d'organisation de calendriers qui auraient pu être faits.
Suitable cuttings
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Covering the icosahedron with hats
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Plan paving
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Shapes with squares
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Construction de l'ensemble des réels
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Construction de l'ensemble des réels comme limites de suites rationnelles.
On compte en base 2, 3 ou autre base b de votre choix
1) Comment représenter un entier en base 3 ?
2) Que serait un nombre "deuximal", "tricimal", "b-cimal" comme on a des nombres "décimaux"?
3) Pourquoi les nombres rationnels ont toujours une représentation "tricimale",décimale et b-cimale ultimement périodique ?
4) Peut-on obtenir vraiment tous les réels comme limite de suite de nombres tricimaux ? décimaux ?
On compte en base 2, 3 ou autre base b de votre choix
1) Comment représenter un entier en base 3 ?
2) Que serait un nombre "deuximal", "tricimal", "b-cimal" comme on a des nombres "décimaux"?
3) Pourquoi les nombres rationnels ont toujours une représentation "tricimale",décimale et b-cimale ultimement périodique ?
4) Peut-on obtenir vraiment tous les réels comme limite de suite de nombres tricimaux ? décimaux ?
La grande crevasse
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Entre deux nombres premiers consécutifs il y a un “trou” formé de nombres composés. On s’intéresse
aux largeurs de ces trous : peuvent-ils être arbitrairement grands ou bien sont-ils limités par une
certaine taille maximale ?
Dans le même ordre d’idée, on s’intéresse maintenant aux nombres composés qui sont divisibles par un
carré parfait strictement supérieur à 1, par exemple 25 ou 44. On peut là encore regarder la longueur
des listes formées de tels entiers consécutifs et se poser la même question que précédemment.
aux largeurs de ces trous : peuvent-ils être arbitrairement grands ou bien sont-ils limités par une
certaine taille maximale ?
Dans le même ordre d’idée, on s’intéresse maintenant aux nombres composés qui sont divisibles par un
carré parfait strictement supérieur à 1, par exemple 25 ou 44. On peut là encore regarder la longueur
des listes formées de tels entiers consécutifs et se poser la même question que précédemment.
Prime numbers
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Euclid was able to demonstrate that there is an infinity of prime numbers. Could you also prove this?
But many questions can still arise:
Are there prime numbers $k$ so that $n = k^2 − 1$ is also a prime number?
With a previously chosen integer $k$, are there prime numbers $n$ so that $n + k$ is also a prime number? Are there many prime numbers congruent to $3$ modulo $4$? To $7$ modulo $9$?
But many questions can still arise:
Are there prime numbers $k$ so that $n = k^2 − 1$ is also a prime number?
With a previously chosen integer $k$, are there prime numbers $n$ so that $n + k$ is also a prime number? Are there many prime numbers congruent to $3$ modulo $4$? To $7$ modulo $9$?
Musical improvisation
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024A musician wants to improvise, but he wants to do so following few rules described in the drawing below.
1. Knowing that he will start his improvisation with a C, determine how many different tunes are possible.
2. If each note has a random length (chosen among: half note, quarter note, eighth note), how many tunes are possible?
1. Knowing that he will start his improvisation with a C, determine how many different tunes are possible.
2. If each note has a random length (chosen among: half note, quarter note, eighth note), how many tunes are possible?
539->135->15->5 et pour n entier?
Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux) 2023-2024Si vous connaissez les tables de multiplication jusqu'à 9, ce sujet est pour vous. On s'intéresse au calcul du produit des chiffres d'un nombre quelconque. On obtient toujours un chiffres, mais quel est-il? Est-il prévisible? Probablement prévisible?
Et si on changeait un peu les règles pour prolonger le jeu?
Et si on changeait un peu les règles pour prolonger le jeu?
Comment trouver quelqu'un sous une avalanche?
Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux) 2023-2024Une personne est sous une avalanche et on veut la localiser grâce à son Arva. Quelle direction doit-on choisir pour optimiser les recherches?
Une fourmi sur un ticket de métro
Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux) 2023-2024Une fourmi se balade sur un ticket de métro. Quel est le plus court chemin pour relier deux points?
Des carrés plus ou moins magiques
Lycée Gustave Eiffel (Bordeaux) 2023-2024Les carrés magiques contiennent trop de nombres. Et si l'on essayait de les remplir avec des -1, des 1 et des 0?... Peut-on obtenir toutes les valeurs possibles?....
Zones de clientèles de restaurants
Lycée Frédéric Mistral (Fresnes) 2023-2024Les restaurants MC et BK veulent conquérir le monde. Mais, il n'y a de place que pour un roi du monde, et celui qui sera couronné sera celui qui a le plus de clients. Malheureusement, ces derniers sont des gros paresseux et ne veulent aller qu'au restaurant le plus proche ! Les rues du monde posent également un problème, elles forment un damier, et les clients ne peuvent pas se déplacer en diagonale.
Trouver un polynôme inconnu
Lycée Frédéric Mistral (Fresnes) 2023-2024Deux personnes jouent au jeu suivant.
Le joueur 1 fabrique un polynôme P(x) avec la seule condition que ses coefficients soient des entiers. Le joueur 2 demande les images de nombres par ce polynôme et doit retrouver le polynôme P(x).
Combien le joueur 2 doit-il poser au minimum de questions au joueur 1 pour retrouver P(x) ?
Et si les coefficients ne sont plus des entiers ?
Le joueur 1 fabrique un polynôme P(x) avec la seule condition que ses coefficients soient des entiers. Le joueur 2 demande les images de nombres par ce polynôme et doit retrouver le polynôme P(x).
Combien le joueur 2 doit-il poser au minimum de questions au joueur 1 pour retrouver P(x) ?
Et si les coefficients ne sont plus des entiers ?
Retrouver une carte dans un jeu de cartes
Lycée Frédéric Mistral (Fresnes) 2023-2024Le but ? Retrouver une carte dans un jeu.
La difficulté ? Des mélanges américains ont été effectués.
Sera-t-il possible de retrouver la carte grâce aux mathématiques ?
La difficulté ? Des mélanges américains ont été effectués.
Sera-t-il possible de retrouver la carte grâce aux mathématiques ?
Paradoxe
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024Un escargot, qui avance à une vitesse de 1 mètre par heure, se trouve sur une corde élastique de 100 mètres de long. Il est extrêmement déterminé à atteindre l’autre extrémité de la corde. Cependant, toutes les heures, un géant infatigable et malicieux tire sur la corde élastique, l’étirant de 100 mètres.
L'escargot parviendra-t-il à atteindre le bout de la corde?
L'escargot parviendra-t-il à atteindre le bout de la corde?
Triplets Pythagoriciens
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024De l’étude des triangles rectangles, nous savons que l’équation 𝑎^2+𝑏^2=𝑐^2 admet au moins une solution en nombre entiers : (3,4,5).
En existe-t-il d’autres?
Si nous ne comptons pas les multiples de la même solution, en existe-t-il d’autres?
Existe-t-il une méthode pour établir la liste de tous les triplets qui satisfont l’équation de Pythagore?
Qu’en est-il des solutions entières pour les équations du genre 𝑥^𝑛+𝑦^^𝑛=𝑧^𝑛 ?
Une ouverture aux équations diophantiennes.
En existe-t-il d’autres?
Si nous ne comptons pas les multiples de la même solution, en existe-t-il d’autres?
Existe-t-il une méthode pour établir la liste de tous les triplets qui satisfont l’équation de Pythagore?
Qu’en est-il des solutions entières pour les équations du genre 𝑥^𝑛+𝑦^^𝑛=𝑧^𝑛 ?
Une ouverture aux équations diophantiennes.
Tous les nombres avec π
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Construire des nombres avec π :
Un jeu mathématique où l'objectif est de créer des nombres entiers en utilisant le nombre π, des opérations arithmétiques de base, et la fonction partie entière, avec une limite sur le nombre d'utilisations de π.
Un jeu mathématique où l'objectif est de créer des nombres entiers en utilisant le nombre π, des opérations arithmétiques de base, et la fonction partie entière, avec une limite sur le nombre d'utilisations de π.
Triangles équilibrés
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On rempli un triangle équilatéral de longueur de côté n avec des signes + ou – de la manière suivante :
• La première ligne contient une suite de n signes + ou -
• La seconde ligne contient n−1 signes + ou – obtenus en appliquant la règle suivante :
Sous chaque paire de signes consécutifs on place le signe du produit, c’est à dire
+ + + - - + - -
+ - - +
Et ainsi de suite....
Un exemple de triangle de taille n=5 construit en suivant cette règle :
++--+
+-+-
---
+-
-
On dit que ce triangle est équilibré si et seulement si il contient autant de signe + que de signe -.
• Peut-on construire un triangle équilibré de taille 3 ? 4 ?
• Pour quelles valeurs de n peut-on construire des triangles équilibrés ?
• Comment peut-on construire, si ils existent, des triangles équilibrés ?
• La première ligne contient une suite de n signes + ou -
• La seconde ligne contient n−1 signes + ou – obtenus en appliquant la règle suivante :
Sous chaque paire de signes consécutifs on place le signe du produit, c’est à dire
+ + + - - + - -
+ - - +
Et ainsi de suite....
Un exemple de triangle de taille n=5 construit en suivant cette règle :
++--+
+-+-
---
+-
-
On dit que ce triangle est équilibré si et seulement si il contient autant de signe + que de signe -.
• Peut-on construire un triangle équilibré de taille 3 ? 4 ?
• Pour quelles valeurs de n peut-on construire des triangles équilibrés ?
• Comment peut-on construire, si ils existent, des triangles équilibrés ?
Maha Thématik
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On a déterré un trésor dans la forêt mathématique. Il y a en particulier 2 parchemins très intriguants qui semblent être les premières pages d’un livre intitulé Mâhâtématike... les autres pages sont tombées en poussière. Peut-on réécrire ce livre ?
C’est quoi ces opérations “sôme” et “multiplikation” ? Peut-on définir une “soustraktion” ? Une “divizion” ? Une “pouissance” ? Une “rassine” ?
A quoi ressembleraient les« drouates » ? Ca serait quoi des « drouates » parallèles ? Perpendiculaires ?
Et les “écouations paulinomiales” ?
C’est quoi ces opérations “sôme” et “multiplikation” ? Peut-on définir une “soustraktion” ? Une “divizion” ? Une “pouissance” ? Une “rassine” ?
A quoi ressembleraient les« drouates » ? Ca serait quoi des « drouates » parallèles ? Perpendiculaires ?
Et les “écouations paulinomiales” ?
Les fractales
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Présentation du monde des fractales, étude du flocon de Von Koch, propriété des fractales, caractérisation et catégorisation, fractales financières, différentes dimensions dont la dimension de Hausdorff.
Sous suites bien ordonéés
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-202410 personnes de taille différente sont alignées. Démontrer qu’en retirant 6 personnes bien
choisies, les 4 personnes restantes sont alignées par ordre croissant ou décroissant de taille.
choisies, les 4 personnes restantes sont alignées par ordre croissant ou décroissant de taille.
Jeu de nombres : double et reste
Collège de Lattre de Tassigny (Le Perreux) 2023-2024A partir d'un programme de calculs, on range les nombres sous forme d'arbre.
Aire
Collège de Lattre de Tassigny (Le Perreux) 2023-2024Déterminer l’aire d'une figure dessinée sur papier pointé.
Suite de Queneau
Collège de Lattre de Tassigny (Le Perreux) 2023-2024 On donne un paquet de nombres. On rajoute à ce paquet un nouveau nombre :
1) plus grand que les nombres déjà présents.
2) ne pouvant pas s’obtenir en additionnant deux des nombres du paquet.
3) le plus petit possible.
Et on recommence…
1) plus grand que les nombres déjà présents.
2) ne pouvant pas s’obtenir en additionnant deux des nombres du paquet.
3) le plus petit possible.
Et on recommence…
Sudoku
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Démontrer que les nombres en rouge sont les mêmes que dans les carrés bleus.
Des boules et des trous
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Khaled et Khadidja joue à un jeu. Il y a 3 boules, et 10 trous. Les trois boules sont toutes à droite. A tour de rôle, ils déplacent autant de boules qu’ils le désirent vers la gauche. La condition pour bouger des boules est la suivante : on peut déplacer une boule autant qu’on le désire vers la gauche, mais si elle dépasse d’autres boules, alors on doit les bouger aussi à gauche de là où on l’a bougée. Celui qui n’a pas d’autre choix de bouger les boules tout à gauche a perdu. Alors, qui gagne ? Khaled commence.
Tablette de chocolat
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Arsène et Butin joue à un jeu : ils ont une tablette de chocolat de 100*50 carrés.
Tour à tour, ils choisissent un carré, et mangent tout ce qui est en haut et à droite du carré, ainsi que ledit carré. Par exemple, s’il choisit le carré en bas à gauche, il mange toute la tablette. Si un joueur est forcé de manger le carré en bas à gauche (c’est à dire qu’il ne reste plus que lui), alors il a perdu, et c’est à lui d’aller cambrioler Crédence.
Qui réussira à faire en sorte que l’autre cambriole ?
Tour à tour, ils choisissent un carré, et mangent tout ce qui est en haut et à droite du carré, ainsi que ledit carré. Par exemple, s’il choisit le carré en bas à gauche, il mange toute la tablette. Si un joueur est forcé de manger le carré en bas à gauche (c’est à dire qu’il ne reste plus que lui), alors il a perdu, et c’est à lui d’aller cambrioler Crédence.
Qui réussira à faire en sorte que l’autre cambriole ?
Chemin ninja
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Soit n ≥ 1 un entier. Un tatami nippon consiste en un triangle fait de 1+2+. . .+n cercles disposés de manière à constituer un triangle formé de n lignes, dont la ℓème ligne contient exactement ℓ cercles et a été coloriée de sorte qu’un de ces ℓ cercles soit rouge et que les autres cercles de la ligne soient incolores. On appelle chemin ninja toute suite de n cercles qui débute sur le cercle de la première ligne, dont chaque cercle est situé juste en-dessous du cercle qui le précède, et qui se termine sur un cercle de la dernière ligne.
Les ensembles sans somme
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Michel se pose la question suivante : lorsqu’il regarde les numéros des étiquettes sur les oreilles de ses 300 vaches, tous distincts, il a l’impression qu’il peut en extraire au moins un tiers tel que ledit tiers soit sans somme, c’est à dire qu’il n’existe pas de a, b et c tel que a+b=c. A-t-il raison ?
L'argent
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024A FuturoPolis, le Fisc et la police se posent la question suivante : quel est le nombre de pièces minimal afin qu’on puisse, avec ces pièces, atteindre toute somme d’argent entre 1 et 100 avec lesdites pièces ? Par exemple, avec 100 pièces de 1 futureuro , on peut atteindre toute somme entre 0 et 100. Mais on pourrait aussi imaginer de prendre 50 pièces de 1 futureuro et une de 50 futureuro. Comment optimiser la chose ?
Dénombrer
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024On s’intéresse à un problème de biologie. Des polymères sont constitués de chaînes d’atomes pouvant aller vers le haut (H), vers le bas (B) ou à droite. Ils ne peuvent pas retourner sur ses pas. Combien de chaînes à 100 atomes existent ? A 1000 ?
L'enfer
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Satan va dans le monastère de nain et leur dit "pour vos péchés, je vais vous mettre en enfer demain. En enfer, vous serez tous dans une cellule et ne pourrez pas communiquer les uns avec les autres. Ensuite, chaque jour, je prendrai l’un d’entre vous et le mettrai dans mon bureau personnel. Dans ce bureau, il y a une lampe qui commence éteinte.
Vous pourrez donc l’allumer ou l’éteindre. Si, à un moment, un nain dit que vous êtes tous passés, je vous libère. S’il se trompe, vous passerez l’éternité avec moi".
Quelle est la stratégie des nains ?
Vous pourrez donc l’allumer ou l’éteindre. Si, à un moment, un nain dit que vous êtes tous passés, je vous libère. S’il se trompe, vous passerez l’éternité avec moi".
Quelle est la stratégie des nains ?
Prison
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Un gardien de prison sadique joue à un jeu avec ses 200 prisonniers. Il mets 200 boîtes. Su chaque boîte, il y a le prénom d’un des prisonniers. Dans chaque boîte, il y a le prénom d’un prisonnier (peut être le même). Chaque prisonnier va dans la salle et ouvre 100 boîtes avant de les refermer. S’il tombe sur son prénom, il est libéré (et donc sort de la prison - il ne pourra donc plus parler avec les autres prisonniers), sinon, il décède. Ensuite, on fait rentrer le prisonnier suivant. Quelle est la stratégie des prisonniers pour en sauver le plus possible ?
BONUS : Si l’un des prisonniers décède, ils décèdent tous. Une autre idée de stratégie ?
BONUS : Si l’un des prisonniers décède, ils décèdent tous. Une autre idée de stratégie ?
Les nains
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Un diable va dans un monastère de nains, où il y a 100 nains. Il leur dit : "Demain, je vous mets en ligne, et vous aurez tous un chapeau noir ou blanc sur la tête. Ensuite, en partant du dernier (qui voit donc tous les chapeaux devant lui, mais pas le sien), vous direz "blanc" ou "noir". Si c’est la couleur de votre chapeau, vous survivez, sinon je vous tue. Puis je passerai au nain suivant". Quelle est la stratégie des nains pour avoir le moins de morts possible ?
Fraction Mongole
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024Est ce que toute fraction p/q s’écrit comme 1/p_1 + ...+ 1/p_k avec les p_1, ..., p_k tous distincts ?
Probabilité et nombres premiers
Lycée Grand-Air (La Baule-Escoublac), Lycée d'Estienne d'Orves (Carquefou) 2023-2024On tire a et b au hasard entre 0 et n − 1. Quelle est la probabilité que n divise ab ?
Palmares des clubs les moins chers
Lycée Rabelais (Saint Brieuc) 2023-2024Des clubs proposent plusieurs sports à certains prix. Si un club est plus cher qu'un autre dans toutes les disciplines, il est éliminé.
Les questions posées sont les suivantes : peut-il rester une infinité de club si le prix d'un sport n'est pas plafonné ? Si les prix des sports sont inférieurs à un prix fixé, peut-on dénombrer le nombre de clubs restant ?
Les questions posées sont les suivantes : peut-il rester une infinité de club si le prix d'un sport n'est pas plafonné ? Si les prix des sports sont inférieurs à un prix fixé, peut-on dénombrer le nombre de clubs restant ?
Saut à la perche
Lycée Rabelais (Saint Brieuc) 2023-2024On définit un processus dans le plan par des sauts par symétrie par rapport à un des sommets d'un polygone fixé.
La question est d'étudier les trajectoires de ce processus.
La question est d'étudier les trajectoires de ce processus.
Racine de -1 dans les nombres infinis en base b
Lycée Rabelais (Saint Brieuc) 2023-2024On considère des "nombres" s'écrivant avec un nombre infini de chiffres (dans une certaine base). On se donne des règles pour additionner et multiplier ces nombres. La question est de savoir si l'on peut trouver un tel nombre dont le carré vaut -1.
Marche au compas
Lycée Rabelais (Saint Brieuc) 2023-2024Ce sujet s'intéresse à la question suivante. On se donne un écartement de compas obtenu entre l'origine du plan et un point à coordonnées entières. Peut-on, en partant de l'origine et en se déplaçant parmi les points à coordonnées entières en respectant l'écartement de ce compas, atteindre tous ces points ?
Plantes vs Zombies
Collège Jean Monnet (Courçon), Collège Anne Frank (Sauzé Vaussais) 2023-2024Deux joueurs s’affrontent sur un quadrillage rectangulaire. L’un joue les plantes, l’autre les zombies.
A tour de rôle
1. chaque joueur choisi une case libre ;
2. place sur toute la ligne et la colonne correspondant à la case des plantes s’il joue les plantes,
ou des zombies s’il joue les zombies.
Le jeu se finit lorsque il n’y a plus de cases libres.
Le gagnant est celui qui à le plus de case.
A tour de rôle
1. chaque joueur choisi une case libre ;
2. place sur toute la ligne et la colonne correspondant à la case des plantes s’il joue les plantes,
ou des zombies s’il joue les zombies.
Le jeu se finit lorsque il n’y a plus de cases libres.
Le gagnant est celui qui à le plus de case.
Combien de zéros dans un produit d’entier ?
Collège Jean Monnet (Courçon), Collège Anne Frank (Sauzé Vaussais) 2023-2024Peut-on prévoir le nombre de zéros à la fin du produit suivant sans faire le calcul 2 × 3 × · · · × 20 × 21 ?
Plus généralement peut-on le faire pour le produit suivant 2 × 3 × · · · × n ?
Plus généralement peut-on le faire pour le produit suivant 2 × 3 × · · · × n ?
Tetris
Collège Jean Monnet (Courçon), Collège Anne Frank (Sauzé Vaussais) 2023-2024Combien peut-on avoir de pièce de tetris avec n carrés ?
Peut-on remplir complètement la grille de Tetris avec les différentes pièces ( en utilisant toutes les formes)
Peut-on remplir complètement la grille de Tetris avec les différentes pièces ( en utilisant toutes les formes)
Une drôle d'opération
Cité scolaire Émile Zola (Rennes) 2023-2024Essayons d'imaginer une nouvelle opération : que serait la "somme" de deux points ?
Dans le cas où les 2 points sont sur la parabole de la fonction carré, sur la courbe représentative de la fonction cube, comme définir une "somme" ? Les propriétés des sommes sont elles toujours vraies ?
Dans le cas où les 2 points sont sur la parabole de la fonction carré, sur la courbe représentative de la fonction cube, comme définir une "somme" ? Les propriétés des sommes sont elles toujours vraies ?
Ta fête
Collège Ernest Renan (St-Herblain), Collège Jean Rostand (Orvault) 2023-2024Vous invitez aléatoirement des personnes à votre anniversaire. Combien de personnes faut-il inviter pour être sûr d'avoir au moins un groupe de 3 personnes qui se connaissent (ou ne se connaissent pas) mutuellement?
Effectif : 5 élèves de Renan + 3 élèves de Rostand
Effectif : 5 élèves de Renan + 3 élèves de Rostand
Traders en herbe
Collège Ernest Renan (St-Herblain), Collège Jean Rostand (Orvault) 2023-2024Des joueurs ont un numéro fétiche mais ce n'est pas celui qu'on leur distribue. Par quels échanges peuvent-ils récupérer ce numéro fétiche.
Une histoire de boîtes
Collège Ernest Renan (St-Herblain), Collège Jean Rostand (Orvault) 2023-2024Une équipe de 4 joueurs doit trouver la meilleure stratégie.
Il y a 4 boîtes sur lesquels les prénoms des joueurs sont inscrits. Chaque boîte contient également le prénom d'un des joueurs.
En ouvrant à tour de rôle deux boîtes, les joueurs pourront-ils tous retrouver la boîte contenant leur prénom ?
Il y a 4 boîtes sur lesquels les prénoms des joueurs sont inscrits. Chaque boîte contient également le prénom d'un des joueurs.
En ouvrant à tour de rôle deux boîtes, les joueurs pourront-ils tous retrouver la boîte contenant leur prénom ?
Le mieux est l'ennemi du bien
Collège Ernest Renan (St-Herblain), Collège Jean Rostand (Orvault) 2023-2024Un nouveau fast-food doit être construit en ville.
La mairesse veut l'éloigner autant que possible du centre ville.
Si elle organise un vote sur l'emplacement du fast-food auprès de ses habitants, quelle sera sa stratégie ?
La mairesse veut l'éloigner autant que possible du centre ville.
Si elle organise un vote sur l'emplacement du fast-food auprès de ses habitants, quelle sera sa stratégie ?
Une nouvelle librairie en ville
Collège Ernest Renan (St-Herblain), Collège Jean Rostand (Orvault) 2023-2024Dans une ville, les habitants situés le long d'une route doivent voter pour choisir l'emplacement d'une nouvelle librairie.
Connaissant les votes des autres habitants, Clément peut-il influencer par son vote sur le lieu de construction de cette librairie ?
Connaissant les votes des autres habitants, Clément peut-il influencer par son vote sur le lieu de construction de cette librairie ?
Des perles en algorithme
Lycée Teyssier (Bitche) 2023-2024Après le choix des 2 premières perles parmi n perles, on fabrique un collier en respectant un algorithme de construction. Nous allons étudier quelques une des nombreuses propriétés des colliers ainsi créés.
Le choix des poids
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024Une balance Roberval est constituée de deux plateaux. Pour peser un objet, on dispose d'un nombre n de masses connues que l'on place de part et d'autre de la balance ainsi que l'objet en essayant d'égaliser les masses (on peut placer des poids sur les deux plateaux à la fois). Comment
choisir ces n masses pour pouvoir mesurer tous les poids de 1 gramme à p grammes avec p maximal ?
choisir ces n masses pour pouvoir mesurer tous les poids de 1 gramme à p grammes avec p maximal ?
Un problème d'urnes et de boules
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024On se donne deux urnes identiques, N boules blanches et N boules noires indistinguables au toucher. On répartit les boules blanches et les boules noires dans les deux urnes selon notre choix. Les yeux bandés, on tire ensuite une boule dans l'une des deux urnes au hasard.
A-t-on autant de chance de tirer une boule blanche que de tirer une boule noire ?
Comment maximiser ses chances de tirer une boule blanche ?
Et si on augmente le nombre d'urnes ?
Et si on n'a pas le même nombre de boules blanches que de boules noires ?
A-t-on autant de chance de tirer une boule blanche que de tirer une boule noire ?
Comment maximiser ses chances de tirer une boule blanche ?
Et si on augmente le nombre d'urnes ?
Et si on n'a pas le même nombre de boules blanches que de boules noires ?
Couleurs, cercles et carrés
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024On trace des cercles dans le plan. La figure obtenue délimite des régions du plan. Deux régions sont dites adjacentes si elles ont au moins un arc de cercle en commun. Combien de couleurs au minimum faut-il pour colorier les régions de sorte que deux régions adjacentes soient de couleurs différentes ? Le résultat est-il encore vrai si on remplace les cercles par des carrés ? Peut-on généraliser à d'autres polygones ?
1
1
Croissance d'un cristal
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024On considère un rectangle dont les quatre côtés s'éloignent du centre avec des vitesses v1,v2, v3, v4. Comment évolue l'aire du rectangle ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Sentinelles
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024Un château a une forme polygonale. Du haut de ses remparts sont postées des sentinelles qui peuvent voir à un kilomètre. Où vaut-il mieux les placer pour voir l'ennemi le plus tôt possible dans la plupart des cas si le château est carré ? Que dire si l'on remplace le carré par un cercle ? par un autre polygone ?
Des carrés dans des carrés
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Afin de construire un nouveau parking, une ville se pose la question suivante : comment faire un parking le plus petit possible qui permette à toutes les voitures de la ville de s’y garer. Pour des raisons de construction et de contraintes de production, tous les véhicules de la ville sont des carrés de taille identique, et le parking a un seul niveau et également de forme carrée.
Quelle est la taille minimale du parking, en fonction du nombre de véhicules ( et de la taille des véhicules) ?
On pourra également s’intéresser aux projets d’autres villes, qui souhaitent garer le maximum de véhicules carrés dans un parking circulaire, ou le maximum de voitures circulaires dans un parking carré.
Les plus audacieuses et audacieux pourront imaginer des véhicules cubiques à garer dans un parking cubique, et minimiser la taille du parking en fonction du nombre de véhicules.
Quelle est la taille minimale du parking, en fonction du nombre de véhicules ( et de la taille des véhicules) ?
On pourra également s’intéresser aux projets d’autres villes, qui souhaitent garer le maximum de véhicules carrés dans un parking circulaire, ou le maximum de voitures circulaires dans un parking carré.
Les plus audacieuses et audacieux pourront imaginer des véhicules cubiques à garer dans un parking cubique, et minimiser la taille du parking en fonction du nombre de véhicules.
Le triangle de Pascal
Lycée Jacques Amyot (Melun) 2023-2024On choisit un nombre entier naturel non nul et on se demande combien de fois il apparaît dans le triangle de Pascal, ou s'il est possible qu'il apparaisse un nombre de fois fixé en avance.
Quelques propriétés du triangle de Pascal seront évoquées.
Quelques propriétés du triangle de Pascal seront évoquées.
Sommes d'entiers et palindromes
Lycée Jacques Amyot (Melun) 2023-2024Le problème est simple : on choisit un nombre entier naturel (par exemple 143) et on l'ajoute son nombre miroir ( ici ce sera 341). Si la somme est un nombre palindrome (ici 484... c'est gagné !) on arrête le processus. Sinon on le poursuit avec le nouveau nombre obtenu....
Ce procédé a-t-il toujours une fin ?
Ce procédé a-t-il toujours une fin ?
Deviner la carte
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Créer un code pour deviner une carte cachée parmi 4
La lumière dans le carré
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Minimiser le nombre de points à placer dans un carré pour qu'un point B fixé ne soit pas éclairé par les rayons lumineux partants d'un point A fixé.
Il s'agit d'un problème dans lequel il faut déterminer si un point peut être éclairé par une source lumineuse dans un carré, en considérant la réflexion sur les côtés et l'ajout de points obstruants.
Il s'agit d'un problème dans lequel il faut déterminer si un point peut être éclairé par une source lumineuse dans un carré, en considérant la réflexion sur les côtés et l'ajout de points obstruants.
Le roi de la forêt...
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Etudier différents types d'élections
Mille-pattes comptable et Dactylonomie Cent-pieds
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On se pose des questions sur la représentation de nombres avec des pattes de milles pattes et de cent-pieds
La chouette joueuse
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On étudie comment maximiser le nombre de pièces sur un échiquier telles qu'elle ne se mangent pas
Pierre, le cerf mutant
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Questions autour des ramification des bois d'un cerf de la forêt mathématique et de ceux d'un cerf mutant
Crise du logement en forêt...
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Question autour d'un arbre complet (si le nombre d'oiseaux est un multiple du nombre d'écureuils et le nombre d’écureuils est un multiple du nombre de lapins)
Les pistons de Minecraft
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024Déterminer le nombre minimum de pistons à activer pour pousser n blocs de n cases vers la droite
Comptons des escaliers
Lycée Jean Rostand (Caen), Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On dispose d’un nombre donné de briques et on souhaite compter le nombre d’escaliers différents que l’on peut faire. Mais qu’est-ce qu’un escalier ? C’est une succession de marches, pas nécessairement de la même taille, mais toujours de plus en plus hautes.
L'épreuve de sagesse
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On doit déterminer les chiffres des unités, des dizaines, etc de u(1111) avec u(n+1)=3^u(n) et u(0)=3
Monominos et triominos
Lycée français Charles de Gaulle (Ankara), Lycée français Notre Dame de Sion (Istanbul), Lycée français Pierre Loti (Istanbul) 2023-2024On veut paver un échiquier avec des triominos et le moins de monominos possibles.
Le rendu de la pièce
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024Dans le royaume du Gondor, le nouveau roi assemble les savants du royaume pour frapper sa monnaie. Il veut profiter de l’occasion pour choisir les valeurs p1 , . . . , pn des pièces de façon optimale, c’est à dire qu’avec un nombre minimal n de pièces, on veut pouvoir rendre toutes les valeurs inférieures à 500 avec aussi peu de pièces que possible.
L’un des savants propose de choisir les valeurs 1,2,3,5,7,11,13,17,19,... jusqu’à ce que la somme des valeurs soit supérieure à 500. Un autre propose 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . . Pouvez-vous faire mieux ? Quel est le meilleur choix ?
Pour ne pas avoir à jeter toutes les anciennes pièces de monnaie q1 , . . . , qn , le roi se demande comment rendre la monnaie de façon efficace, c’est à dire en utilisant le moins de pièces que possibles pour un montant donné. Avez-vous un algorithme (une méthode) à proposer ? Est-elle optimale ? Pouvez-vous donner une borne sur l’écart en nombre de pièces entre la solution donnée par votre algorithme, et… voir la suite
L’un des savants propose de choisir les valeurs 1,2,3,5,7,11,13,17,19,... jusqu’à ce que la somme des valeurs soit supérieure à 500. Un autre propose 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . . Pouvez-vous faire mieux ? Quel est le meilleur choix ?
Pour ne pas avoir à jeter toutes les anciennes pièces de monnaie q1 , . . . , qn , le roi se demande comment rendre la monnaie de façon efficace, c’est à dire en utilisant le moins de pièces que possibles pour un montant donné. Avez-vous un algorithme (une méthode) à proposer ? Est-elle optimale ? Pouvez-vous donner une borne sur l’écart en nombre de pièces entre la solution donnée par votre algorithme, et… voir la suite
Les diamants sont éternels mais ont un prix
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Selon quelles proportions doit-on découper un diamant en deux pour que le prix devienne minimal ?
Et si on veut le couper en trois? en N diamants ?
Le prix d'un saphir est proportionnel au cube de sa masse. Le découpe-t-on de la même manière ?
Et si on veut le couper en trois? en N diamants ?
Le prix d'un saphir est proportionnel au cube de sa masse. Le découpe-t-on de la même manière ?
Échecs et maths
Collège Alexandre Fleming (Orsay), Collège Alain Fournier (Orsay) 2023-2024Échecs et maths
On place un cavalier sur une grille carré infinie. Le cavalier est situé à un point d’intersection de la grille, et non dans une des cases comme sur un échiquier classique ! Il se déplace selon les règles usuelles (un pas en avant, deux de côté).
Après chaque déplacement, le cavalier double de taille. En particulier, son prochain déplacement sera deux fois plus grand que le précédent !
Dessiner l’ensemble des points que l’on peut atteindre en 1 coups, 2 coups, 3 coups. Que remarquez-vous ? Pouvez-vous le démontrer ? Quelle différence y a-t-il avec un cavalier classique (qui ne double pas à chaque tour) ?
On place un cavalier sur une grille carré infinie. Le cavalier est situé à un point d’intersection de la grille, et non dans une des cases comme sur un échiquier classique ! Il se déplace selon les règles usuelles (un pas en avant, deux de côté).
Après chaque déplacement, le cavalier double de taille. En particulier, son prochain déplacement sera deux fois plus grand que le précédent !
Dessiner l’ensemble des points que l’on peut atteindre en 1 coups, 2 coups, 3 coups. Que remarquez-vous ? Pouvez-vous le démontrer ? Quelle différence y a-t-il avec un cavalier classique (qui ne double pas à chaque tour) ?
Le défi de Mickaël Launay
Faculté des Sciences d'Orsay 2023-2024Existe-t-il une opération qui est à l'addition ce que l'addition est à la multiplication ?
Somme et aire
Lycée d’Artois (Nœux-les-Mines) 2023-2024Comment déterminer l'aire sous une courbe.
La règle infernale
Lycée d’Artois (Nœux-les-Mines) 2023-2024Comment tracer un segment entre deux points très éloignés avec une règle trop petite et un compas.
On fait des pizzas
Lycée Koeberlé (Sélestat) 2023-2024Le sujet est de compter le nombre de pizzas qu'il est possible de créer en s'imposant les contraintes suivantes : la pizza est prédécoupée en n parts et sur chacune de ses parts on dispose un ingrédient choisi parmi k. La pizza doit avoir autant de parts de chaque ingrédient.
Pavage de la place du village
Collège Jean Renoir (Boulogne) 2023-2024Une municipalité souhaite paver la place du village. Pour cela le cahier des charges dit que:
- Tous les pavés sont des polygones réguliers (on peut utiliser un ou deux types de polygones)
- Le pavage lui-même est régulier (en un sens à préciser)
Pouvez-vous aider le maire à faire la liste de tous les motifs envisageables ?
- Tous les pavés sont des polygones réguliers (on peut utiliser un ou deux types de polygones)
- Le pavage lui-même est régulier (en un sens à préciser)
Pouvez-vous aider le maire à faire la liste de tous les motifs envisageables ?
Montante descendante
Collège Jean Renoir (Boulogne) 2023-2024Un nombre pair (2n) de joueurs d’échecs sont placés deux par deux sur des tables de 1 à n. À chaque étape de la montante descendante, le gagnant de la partie dans la table numéro i “monte” à la table i + 1 (sauf à la table numéro n où le gagnant reste sur place) tandis que le perdant “descend” à la table i - 1 (sauf à la table numéro 1 où le perdant reste sur place).
On suppose qu’à chaque match, le meilleur joueur gagne et que les joueurs ont des niveaux tous différents.
À partir de combien d’étapes peut-on être sûr que la table où se situe chaque joueur reflète son niveau ?
On suppose qu’à chaque match, le meilleur joueur gagne et que les joueurs ont des niveaux tous différents.
À partir de combien d’étapes peut-on être sûr que la table où se situe chaque joueur reflète son niveau ?
Le tamis de Sierpinski
Collège Jean Renoir (Boulogne) 2023-2024On prend un triangle équilatéral, on le découpe en quatre et on enlève le triangle du milieu. On recommence avec les trois triangles restants.
A quoi la figure ressemble-telle au bout de plusieurs étapes ? On l’appelle triangle ou tamis de Sierpinski. Trouver d’autres méthodes pour le construire. On pourra aussi essayer de calculer l’aire et le périmètre de la figure obtenue à chaque étape.
A quoi la figure ressemble-telle au bout de plusieurs étapes ? On l’appelle triangle ou tamis de Sierpinski. Trouver d’autres méthodes pour le construire. On pourra aussi essayer de calculer l’aire et le périmètre de la figure obtenue à chaque étape.
Couper le quadrillage
Collège Jean Renoir (Boulogne) 2023-2024On considère un quadrillage 10 × 10. Si on trace une droite, on colorie les cases qui sont coupées par la droite.
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du carré ?
Pile et face en solitaire
Collège Jean Renoir (Boulogne) 2023-2024On considère une rangée de k pièces, qui peuvent être du côté pile ou du côté face. A chaque tour, on doit retirer une pièce face retourner les pièces voisines. On cherche a savoir dans quels cas il est possible de retirer toutes les pièces de la rangée.
Maman, j'ai déréglé mon clavier....
Lycée Ernest Bichat (Luneville) 2023-2024Par une froide matinée d’hiver, vous êtes en train de jouer travailler sur votre ordinateur en sirotant votre boisson préférée lorsque, tout à coup, c’est le drame... Vous renversez votre verre sur votre ordinateur ! Après séchage, tout semble fonctionner normalement.... Vraiment?
Jardin de Barnabé
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Barnabé a délimité dans son jardin une surface carrée où il souhaitait planter ses choux. En le voyant faire, sa femme lui demande, amusée, s'il était capable de délimiter une surface carrée en mettant chaque coin sur le bord du jardin. Barnabé lui répond qu'il n'y arriverait pas à cause de la forme du contour du jardin. Barnabé a-t-il raison ?