Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
New worlds for Pac-Man
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Inside a regular polygon with 2k sides we must place n cherries and paths (not necessarily segments) that connect them. Each pair of paths can only cross in cherries and there can be no self-crossing.
For k = 2, 3, and 4, we want to figure out the maximum number of paths we can fit into our version of PacMan in each of the following cases.
(a) whether the sides of the polygon are barriers to the passage of PacMan;
(b) if PacMan's exit from one side [AB] of the polygon corresponds to entry into the opposite side [CD] ([AD] and [BC] being diagonals of maximum length), such that the distance from A of the exit point is the same distance from C to the entry point.
For k = 2, 3, and 4, we want to figure out the maximum number of paths we can fit into our version of PacMan in each of the following cases.
(a) whether the sides of the polygon are barriers to the passage of PacMan;
(b) if PacMan's exit from one side [AB] of the polygon corresponds to entry into the opposite side [CD] ([AD] and [BC] being diagonals of maximum length), such that the distance from A of the exit point is the same distance from C to the entry point.
Party linguistics
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024In a certain party there are n people, each of them speaks more than one language, each language is spoken by at least two people, no two people share knowledge of more than one language. It is possible to communicate a message by passing from one person to another, translating when necessary. Every person knows how to translate between the languages he knows, but understands nothing about a language he doesn't know.
(a) Under what conditions is it possible to pass a message among everyone, from one person to another, without the same person having to participate in sharing the message more than once?
(b) Find conditions under which it is possible to guarantee that a message can circulate by exploiting all the linguistic ties existing in the party (and therefore necessarily passing through the same person as many times as the languages he knows)?
(c) If a linguistic genius comes to the party who speaks all the languages spoken in the party, how do the answers to the above… voir la suite
(a) Under what conditions is it possible to pass a message among everyone, from one person to another, without the same person having to participate in sharing the message more than once?
(b) Find conditions under which it is possible to guarantee that a message can circulate by exploiting all the linguistic ties existing in the party (and therefore necessarily passing through the same person as many times as the languages he knows)?
(c) If a linguistic genius comes to the party who speaks all the languages spoken in the party, how do the answers to the above… voir la suite
Manhattan without incident
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024Some vehicles move on a grid, made up of intersecting horizontal and vertical lanes, and must avoid colliding. A collision between two vehicles could occur at a node (i.e. a point of intersection between a horizontal lane and a vertical lane), if the two vehicles pass through this node at the same instant of time. Or, a collision could also happen at a point in a lane between two nodes, if two vehicles are traveling in the same lane and pass that point at the same time.
In particular, all vehicles start from the lowest horizontal lane and must reach the highest horizontal lane. Furthermore, each vehicle is assigned a vertical departure lane and a vertical arrival lane. The problem is understanding how the vehicles should be routed, so that each vehicle reaches its destination without colliding with the others.
You can reason in the following hypotheses:
• the distance between two consecutive lanes, both vertical and horizontal, is always the same, and all vehicles travel at the same speed… voir la suite
In particular, all vehicles start from the lowest horizontal lane and must reach the highest horizontal lane. Furthermore, each vehicle is assigned a vertical departure lane and a vertical arrival lane. The problem is understanding how the vehicles should be routed, so that each vehicle reaches its destination without colliding with the others.
You can reason in the following hypotheses:
• the distance between two consecutive lanes, both vertical and horizontal, is always the same, and all vehicles travel at the same speed… voir la suite
Tile circles
Liceo Scientifico R. Bruni (Padova) 2023-2024A factory produces tiles (called "regular") in the format of regular polygons with n sides (each side measuring 1). An artist wants to build “tile circles” in his artwork.
For this reason he requires that neighboring tiles share a side and there are no overlaps.
i. For which regular polygons (i.e. for which n) is it possible to close the circle?
ii. Which figures appear at the center of the work?
For this reason he requires that neighboring tiles share a side and there are no overlaps.
i. For which regular polygons (i.e. for which n) is it possible to close the circle?
ii. Which figures appear at the center of the work?
Jeu de pièces
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024On considère un nombre pair de pièces de monnaie, alignées. Chaque pièce a une valeur strictement positive.
Deux joueurs jouent à tour de rôle en prenant une pièce soit à l'extrémité gauche, soit à l'extrémité droite.
Y a-t-il une stratégie pour un joueur lui permettant d’avoir au moins autant que l’autre à la fin de la partie ?
Deux joueurs jouent à tour de rôle en prenant une pièce soit à l'extrémité gauche, soit à l'extrémité droite.
Y a-t-il une stratégie pour un joueur lui permettant d’avoir au moins autant que l’autre à la fin de la partie ?
Dalles sur le chemin
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Jeu du chat et de la souris
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Ce jeu se joue sur un plateau de 21 cases, alignées, numérotées de 0 à 20. Au départ, le chat est sur la case 1. La souris est en 20 et elle doit essayer de rejoindre son trou situé en 0.
La souris joue la première ; elle choisit pour cela l’un des entiers de 1 à 9, le raye, le soustrait de 20 et va dans la case correspondante. Le chat choisit ensuite un entier de 1 à 9, le raye, l’ajoute à 1 et va à la case obtenue. Ensuite chacun d’eux, à tour de rôle, choisit l’un de ses nombres disponibles, l’ajoute ou le retranche à sa case actuelle pour obtenir sa nouvelle case.
Le chat n’a pas le droit d’aller en 0. Ni le chat, ni la souris n’ont le droit de sortir du terrain.
La partie s’arrête dans l’un des trois cas suivants :
– Après avoir joué, le chat atteint la case où est la souris : il a gagné. (Attention : on n’arrête pas la partie quand la souris arrive sur la case du chat).
– La souris réussit à se placer en 0 : elle a gagné.
– Les deux joueurs ont épuisé leurs… voir la suite
La souris joue la première ; elle choisit pour cela l’un des entiers de 1 à 9, le raye, le soustrait de 20 et va dans la case correspondante. Le chat choisit ensuite un entier de 1 à 9, le raye, l’ajoute à 1 et va à la case obtenue. Ensuite chacun d’eux, à tour de rôle, choisit l’un de ses nombres disponibles, l’ajoute ou le retranche à sa case actuelle pour obtenir sa nouvelle case.
Le chat n’a pas le droit d’aller en 0. Ni le chat, ni la souris n’ont le droit de sortir du terrain.
La partie s’arrête dans l’un des trois cas suivants :
– Après avoir joué, le chat atteint la case où est la souris : il a gagné. (Attention : on n’arrête pas la partie quand la souris arrive sur la case du chat).
– La souris réussit à se placer en 0 : elle a gagné.
– Les deux joueurs ont épuisé leurs… voir la suite
Pavages
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024On considère un damier carré de côté 8 dont on a enlevé une case.
Montrer qu’on peut toujours le couvrir parfaitement avec des “dalles” de la forme indiquée, quelle que soit la case enlevée au départ.
Essayer ensuite avec d’autres tailles (en particulier si la longueur du côté est une puissance de 2).
Montrer qu’on peut toujours le couvrir parfaitement avec des “dalles” de la forme indiquée, quelle que soit la case enlevée au départ.
Essayer ensuite avec d’autres tailles (en particulier si la longueur du côté est une puissance de 2).
Awalé infini
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Umbrellacity
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024A Skycity les habitants habitent dans de grandes tours reliées entre elles par des ponts. Il est toujours possible d’aller d’une tour à l’autre en passant par une suite de ponts. Afin d’embellir leur ville, ils ont accroché des tentures colorées entre les ponts.
• Y a-t-il un lien entre le nombres de tours, le nombre de ponts et le nombre de tentures ?
• Pour un nombre de tours donné est-il possible de savoir le maximum du nombre de ponts et le maximum du nombre de tentures nécessaire ?
• Y a-t-il un lien entre le nombres de tours, le nombre de ponts et le nombre de tentures ?
• Pour un nombre de tours donné est-il possible de savoir le maximum du nombre de ponts et le maximum du nombre de tentures nécessaire ?
Mathématiques et traitement contre le cancer
Lycée Montmajour (Arles) 2023-2024Comment améliorer les traitements contre le cancer avec des mathématiques ?
Nombres sur les grilles
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose d'une grille comme celle donnée en exemple. Le but du jeu est de remplir toutes les cases internes de la grille par des entiers en respectant la règle suivante : chaque valeur choisie est un entier qui ne doit pas dépasser la moyenne des entiers des quatre cases adjacentes. Le jeu s'arrête quand on ne peut plus appliquer cette règle. On pose alors les deux questions suivantes :
1 : Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2 : Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
1 : Le jeu s'arrête-t-il pour n'importe quelle grille ?
2 : Que peut-on dire des valeurs des cases internes dans le cas de l'arrêt du jeu ?
Verres d'eau
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose sur chaque case d'un quadrillage un verre contenant une certaine quantité d'eau. A chaque étape, on peut choisir l'un des verres et verser une partie de son contenu ou le tout dans le verre situé immédiatement à droite ou en-dessous. Peut-on avoir, après un certain nombre d'étapes, tous les verres remplis de la même quantité d'eau ?
Le jeu des sommes interdites
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On dispose d'un certain nombre b de boîtes et de n jetons numérotés de 1 à n.
Le jeu consiste à répartir par ordre croissant les jetons dans les boîtes, en respectant la règle suivante : on ne peut placer un jeton dans une boîte si son numéro est égal à la somme des numéros de deux jetons dans cette même boîte.
Quel est le plus grand nombre n de jetons qu'on peut placer dans les boîtes ? On peut commencer par le cas de deux boîtes c'est-à-dire b=2.
Le jeu consiste à répartir par ordre croissant les jetons dans les boîtes, en respectant la règle suivante : on ne peut placer un jeton dans une boîte si son numéro est égal à la somme des numéros de deux jetons dans cette même boîte.
Quel est le plus grand nombre n de jetons qu'on peut placer dans les boîtes ? On peut commencer par le cas de deux boîtes c'est-à-dire b=2.
Jeu de mots
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On commence notre jeu avec un mot constituée uniquement des lettres O et H. Sous chaque paire de lettres consécutives on écrit la lettre O ou la lettre H en respectant les trois règles suivantes :
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
Avec par exemple O H O O, en appliquant ces règles, on obtient une deuxième ligne H H O. En continuant, on obtient une troisième ligne O H et enfin le jeu se termine par H.
On remarque que ce jeu se termine avec en tout autant de H que de O (5 pour chaque lettre). On dit dans ce cas que le mot O H O O est équitable.
Étant donné un entier n, peut-on toujours trouver un mot équitable de longueur n ?
Règle 1 : si la paire de lettres est O O elle est remplacée par O
Règle 2 : si la paire de lettres est H H elle est remplacée par O
Règle 3 : si la paire de lettres est O H ou HO elle est remplacée par H
Avec par exemple O H O O, en appliquant ces règles, on obtient une deuxième ligne H H O. En continuant, on obtient une troisième ligne O H et enfin le jeu se termine par H.
On remarque que ce jeu se termine avec en tout autant de H que de O (5 pour chaque lettre). On dit dans ce cas que le mot O H O O est équitable.
Étant donné un entier n, peut-on toujours trouver un mot équitable de longueur n ?
Parties Bi-Dis
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Une partie du plan est dite Bi-dis si les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs. Que peut-on dire du nombre de points d'une partie Bi-dis ?
Deux valeurs
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Que peut-on dire d'une partie du plan dont les distances entre ses différents points ne prennent que deux valeurs ?
Parties Dis-Ent
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Une partie du plan est dite Dis-ent si les distances entre ses différents points sont des entiers naturels.
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
1. Que peut-on dire des polygones dont les sommets forment une partie Dis-ent ?
2. Peut-on trouver des parties Dis-ent infinies ?
La compagnie Matexcourrier
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024La compagnie Mathexcourrier a décidé que le prix d'envoi d'un objet est proportionnel à son profil. Pour une enveloppe, le profil est la longueur de son contour. Si un objet a la forme d'un parallélépipède, alors son profil est la somme de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur. Caroline souhaite envoyer par Mathexcourrier une lettre et un paquet. Elle pense faire des économies en mettant sa lettre dans une enveloppe avec un contour moins long et son paquet dans une boîte d'un profil plus petite. Peut-elle y arriver ?
Mosaïque de triangles
Collège Gisèle Halimi (Mérignac), Collège Bourran (Mérignac) 2023-2024On dessine une spirale de triangles équilatéraux, de plus en plus grands. On se demande dans quel triangle se trouve un point situé à 20m à droite, et 10m en haut.
Rugby
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Paradoxe d'anniversaires
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Le paradoxe d'anniversaires est un paradoxe mettant en œuvre la probabilité d'avoir la même date de naissance qu'une autre personne.
Boîte de conserve
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Comment construire une boîte de conserve avec un minimum de métal possible avec une boîte de conserve de 850 mL.
1000ème chiffre après la virgule
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Il faut trouver des moyens simples et explicites pour calculer le 1000ème chiffre après la virgule.
Boite de chocolats
Collège Eugène Delacroix (Saint Amant de Boixe), Collège Jean Rostand (La Rochefoucauld) 2023-2024Fabrique de puzzles
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique… voir la suite
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non unique… voir la suite
Construire des nombres entiers sous contrainte
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024Prenons 5 fois le nombre 5.
Avec les opérations habituelles (+, -, x, :) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
Quels sont tous les nombres entiers que l'on peut obtenir en utilisant 5 fois le nombre 5 avec les opérations habituelles ? On observe deux catégories de nombres.
Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ? En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Avec les opérations habituelles (+, -, x, :) et en utilisant les 5 nombres 5, comment obtenir le nombre 24 ?
Quels sont tous les nombres entiers que l'on peut obtenir en utilisant 5 fois le nombre 5 avec les opérations habituelles ? On observe deux catégories de nombres.
Si on fait la même chose avec 6 fois le nombre 6, qu'est-ce qu'on remarque ? En généralisant à n fois le nombre entier n, comment décrire toutes les possibilités ?
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ?
Collège Georges Pompidou (Cajarc), Lycée Raymond Savignac (Villefranche de Rouergue) 2023-2024Quels sont les jours fériés du calendrier 2023 ?
On ne va garder que les 8 jours fériés qui changent de jour de la semaine chaque année.
Sur les 8 jours fériés de cette année, combien sont un samedi ou un dimanche ?
Pour les années suivantes comment prévoir ?
Est-il possible qu'aucun jour férié ne tombe sur un samedi ou dimanche ?
Et combien au maximum ?
A partir des informations de 2023, comment avoir ces réponses pour n'importe quelle année future ?
On ne va garder que les 8 jours fériés qui changent de jour de la semaine chaque année.
Sur les 8 jours fériés de cette année, combien sont un samedi ou un dimanche ?
Pour les années suivantes comment prévoir ?
Est-il possible qu'aucun jour férié ne tombe sur un samedi ou dimanche ?
Et combien au maximum ?
A partir des informations de 2023, comment avoir ces réponses pour n'importe quelle année future ?
Problème de Monty Hall
École Française Jules Verne de Riga 2023-2024Les mosaiques de Thiele
Lycée français Jean Giono (Turin) 2023-2024Sur les traces de l'astronome et mathématicien danois Thorvald Thiele nous explorerons une façon de générer de très beaux motifs de mosaïques au moyen du concept de résidu quadratique dans l’ensemble des entiers de Gauss...
La calculight
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024On considère une machine à calculer qui ne prend en compte que des entiers positifs et qui possède trois touches :
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations : On change le nombre de départ, on change les touches… voir la suite
— la touche « ×3 » qui permet de multiplier un nombre par 3,
— la touche« ×3 + 2 » qui permet de multiplier un nombre par 3 puis d’ajouter 2 au résultat,
— la touche « : 2 » qui permet de diviser par deux un entier pair.
A l’aide de cette machine, on construit une suite de nombres entiers de la façon suivante :
1. On entre le chiffre 4,
2. On choisit une des touches proposées par la machine et on obtient un nouveau nombre entier,
3. On entre ce nouveau nombre entier et on itère le procédé à partir de l’étape 2.
Tout nombre obtenu par ce procédé est dit atteignable.
Exemples de questions à se poser :
1. Vérifier que 12 est atteignable.
2. Le nombre 2023 est-il atteignable ?
3. Existe-t-il des entiers non atteignables ?
4. Explorer d’autres situations : On change le nombre de départ, on change les touches… voir la suite
Les derniers chiffres
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024a) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de carrés des entiers consécutifs,
1^2 = 1×1 = 1, 2^2 = 2×2 = 4, 3^2 = 3×3 = 9, 4^2 = 4×4 = 16, 5^2 = 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs,
1^3 = 1 × 1 × 1 = 1, 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27, 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) La question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) La question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
1^2 = 1×1 = 1, 2^2 = 2×2 = 4, 3^2 = 3×3 = 9, 4^2 = 4×4 = 16, 5^2 = 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs,
1^3 = 1 × 1 × 1 = 1, 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27, 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) La question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) La question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
Au marché
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024(a) Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l’aller. Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
(b) On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
(b) On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Peut-on éclairer la maison entière ?
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Un électricien inexpérimenté se charge de l’installation d’une maison et commet des erreurs qui entraînent un allumage hétéroclite des pièces : lorsque l’on allume la lumière dans une pièce, on change l’état de l’éclairage dans toutes les pièces voisines à celle-ci,(d’éteint à allumé et d’allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérées comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus. Un problème se pose alors : comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les pièces sont au départ toutes éteintes. On peut considérer des maisons rectangulaires ainsi que des maisons de formes diverses.
Que des carrés et des rectangles
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024(a) On considère une grille carrée de taille n x n et on veut compter les carrés plus petits que contient cette grille. Par exemple, la grille 3 x 3 contient 9 carrés de taille 1 x 1 et 4 carrés de taille 2 x 2. Ainsi, au total, notre grille 3 x 3 contient 9+4+1 = 14 carrés.
De façon plus générale : combien de carrés de taille k x k contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de carrés contient au total une grille n x n ?
(b) Combien de rectangles de taille k x l contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de rectangles au total ? On peut se poser la même question pour les grilles rectangulaires de taille n x m.
De façon plus générale : combien de carrés de taille k x k contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de carrés contient au total une grille n x n ?
(b) Combien de rectangles de taille k x l contient une grille carrée de taille n x n ? Combien de rectangles au total ? On peut se poser la même question pour les grilles rectangulaires de taille n x m.
La ruche
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Une ruche d’abeilles est un pavage du plan par des polygones, c’est à dire que l’on dispose des polygones côte à côte de sorte à remplir le plan. On considère que la ruche est construite à partir d’un polygone. Afin de consommer le moins de cire possible pour construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport R =aire/périmètre.
Quel est le meilleur pavage composé des polygones réguliers identiques?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé des polygones réguliers différents.
Quel est le meilleur pavage composé des polygones réguliers identiques?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé des polygones réguliers différents.
Coloriage de figures
Collège Jacques Prévert (Watten), Collège de l’Europe (Ardres), Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024(a) Combien de carrés différents peut-on constituer en coloriant leurs côtés à l’aide de deux couleurs (ou trois ou quatre couleurs). Deux carrés colorés sont considérés comme identiques si, en tournant l’un d’entre eux, on trouve l’autre.
(b) On peut poser une question analogue pour un rectangle au lieu d’un carré.
(c) Combien de cubes 1 x 1 x 1 différents peut-on constituer en coloriant leurs faces à l’aide de deux couleurs ?
(b) On peut poser une question analogue pour un rectangle au lieu d’un carré.
(c) Combien de cubes 1 x 1 x 1 différents peut-on constituer en coloriant leurs faces à l’aide de deux couleurs ?
Les couleurs de l'automne
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On considère un arbre de mathématicien : de chaque nœud, il y a deux branches qui partent. Les extrémités finales des branches sont les feuilles de l’arbre (on peut ou non considérer la racine comme une feuille). On peut colorier les branches de cet arbre avec trois couleurs, de sorte que chaque nœud soit la jonction de trois branches de couleurs différentes.
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe… voir la suite
Sur cet arbre colorié, on part de la racine et on parcourt toutes les feuilles dans l’ordre des aiguilles d’une montre : ceci nous donne une séquence avec les couleurs rencontrées. Maintenant, pour une séquence de couleurs donnée, on peut essayer de retrouver un arbre ayant cette séquence... s’il en existe ! Pour un tout petit arbre avec seulement deux feuilles, on devine que les seules séquences possibles sont les séquences ayant deux couleurs différentes, et on voit bien que toutes les séquences ne correspondent pas nécessairement à un arbre.
On aimerait décrire les mots pour lesquels il existe un arbre ou pour lesquels il n’en existe… voir la suite
Le mouton
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024Un mouton broute toute l'herbe à laquelle il peut accéder. On suppose qu'on peut limiter ses mouvements en l'attachant à une ou plusieurs clôtures Quelle région va-t-il brouter ?
Téléportation
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024 Une ville vient d'acquérir un téléporteur qui permet de relier directement deux points P et Q. On cherche à se rendre d'un point A à un point B par le trajet le plus court possible. Selon les situations, faut-il utiliser le téléporteur ou pas ?
Mon meilleur ennemi
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024"Ton tableau est tombé, mais si tu veux je peux le raccrocher avec deux clous". Méfiez-vous de votre ami : en réalité, il a en tête d'attacher la ficelle de telle sorte que si n'importe lequel des deux clous se décroche, le tableau tombe quand même.
Chasse au trésor
Collège-Lycée Saint Magloire (Dol De Bretagne) 2023-2024"Mon trésor est à égale distance des deux palmiers et de l'océan"
Halloween
Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy) 2023-2024Chameau en promenade
Collège Anatole France (Nœux-les-Mines) 2023-2024Un chameau vit seul dans le désert. Sa principale activité consiste en des promenades sur la route rectiligne qui part de chez lui. Mais c’est un chameau un peu particulier : pour pouvoir marcher, il doit s’alimenter en permanence. De plus, il se nourrit exclusivement de pâte d’amande, et 1kg de pâte d’amande lui permet de marcher 10km. Et enfin, il ne peut jamais transporter avec lui plus de 1kg de pâte d’amande. Le sujet consiste à étudier la distance maximale que peut effectuer le chameau selon la quantité de pâte d'amande dont il dispose chez lui sachant qu'il doit toujours pouvoir revenir chez lui (afin de ne pas mourir de faim dans le désert).
Les pavages avec des polyminos
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On s'intéresse à des pavages que l'on peut former avec des triminos coudés (trois petits carrés qui ne sont pas alignés - on dit aussi triomino).
On constate que si l'on agrandit un trimino par un facteur 2, alors on peut le recouvrir sans chevauchement avec 4 triminos en les plaçant convenablement.
Est-ce encore possible si on l'agrandit par un facteur 3 ? 37 ? 173 ? n ?
On constate que si l'on agrandit un trimino par un facteur 2, alors on peut le recouvrir sans chevauchement avec 4 triminos en les plaçant convenablement.
Est-ce encore possible si on l'agrandit par un facteur 3 ? 37 ? 173 ? n ?
Les circuits électriques
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On dispose d'une très grande collection de résistances qui sont toutes identiques (1 ohm). Pour fabriquer de nouvelles sortes de résistance, on peut soit placer des résistances en série, ou bien en parallèle.
Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en série, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1+R2. Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en parallèle, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1 R2 / (R1+R2).
Quelles valeurs de résistances peuvent être obtenues avec nos résistances de 1 ohm ?
Est-il possible de fabriquer une résistance qui aurait pour valeur 69/17 ohm ?
Si oui, comment utiliser le moins de résistances et quel est ce minimum ?
Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en série, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1+R2. Lorsque l'on place deux résistances R1 et R2 en parallèle, la nouvelle résistance obtenue a pour valeur R1 R2 / (R1+R2).
Quelles valeurs de résistances peuvent être obtenues avec nos résistances de 1 ohm ?
Est-il possible de fabriquer une résistance qui aurait pour valeur 69/17 ohm ?
Si oui, comment utiliser le moins de résistances et quel est ce minimum ?
Nombres écartés
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On considère des paires de nombres que l'on aligne de la façon suivante : 11423243.
On constate que les "1" sont placés de sorte que la distance entre leurs emplacements soit égale à 1, la distance entre les emplacements des "2" est égale à 2, et ainsi de suite.
Peut-on toujours créer de telles suites lorsque l'on considère les paires de nombres de 1 jusqu'à n ?
On constate que les "1" sont placés de sorte que la distance entre leurs emplacements soit égale à 1, la distance entre les emplacements des "2" est égale à 2, et ainsi de suite.
Peut-on toujours créer de telles suites lorsque l'on considère les paires de nombres de 1 jusqu'à n ?
Les piliers
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024Pour fabriquer un immeuble, on a besoin de piliers. La société qui nous livre des piliers nous a donné des piliers qui ont tous des hauteurs différentes : 1, 2, 3,..., n.
Peut-on fabriquer deux colonnes qui arrivent à la même hauteur pour poser notre premier étage ?
On veut maintenant poser nos piliers de sorte qu'ils parviennent à une même hauteur plusieurs fois d'affilée pour poser plusieurs étages. Est-ce possible ?
Pour le prochain immeuble, il faut trois piliers. Puis le troisième immeuble contiendra quatre piliers. Peut-on généraliser ce qui a été trouvé avec deux piliers ?
Et si maintenant la société nous livre des hauteurs qui ne sont pas des entiers consécutifs (par exemple : les entiers impairs ; les nombres carrés ; les nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.) ?
Peut-on fabriquer deux colonnes qui arrivent à la même hauteur pour poser notre premier étage ?
On veut maintenant poser nos piliers de sorte qu'ils parviennent à une même hauteur plusieurs fois d'affilée pour poser plusieurs étages. Est-ce possible ?
Pour le prochain immeuble, il faut trois piliers. Puis le troisième immeuble contiendra quatre piliers. Peut-on généraliser ce qui a été trouvé avec deux piliers ?
Et si maintenant la société nous livre des hauteurs qui ne sont pas des entiers consécutifs (par exemple : les entiers impairs ; les nombres carrés ; les nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc.) ?
Les circuits automobiles de Catan
Lycée Jean Lurçat (Bruyères), Lycée Claude Gellée (Épinal) 2023-2024On utilise des pièces qui ont la forme d'hexagones réguliers (tous de même dimension) pour fabriquer des circuits fermés.
Les hexagones peuvent être de trois sortes : un morceau de route qui relie deux côtés adjacents (type 1), un morceau de route qui relie deux côtés séparés par un seul côté (type 2), un morceau de route qui relie deux côtés opposés (type 3). Le but est de construire un circuit avec un certain nombres de pièces de chaque sorte.
Les hexagones peuvent être de trois sortes : un morceau de route qui relie deux côtés adjacents (type 1), un morceau de route qui relie deux côtés séparés par un seul côté (type 2), un morceau de route qui relie deux côtés opposés (type 3). Le but est de construire un circuit avec un certain nombres de pièces de chaque sorte.
Jeu des bâtonnets
Association Science Ouverte (Drancy) 2023-2024Deux joueurs A et B jouent avec un bâton de longueur 𝑛 entière, au moins égale à deux (les longueurs sont en centimètres). Le joueur A casse le bâton en deux parties de longueurs entières mais différentes. Ensuite, le joueur B casse l’un des deux bâtons en deux parties de longueurs entières non nulles et distinctes.
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?
Les deux joueurs jouent ainsi alternativement jusqu’à ce que ce soit devenu impossible. Alors, le bâton initial est cassé en 𝑛1 bouts de 1 cm et 𝑛2 bouts de 2 cm.
- Si 𝑛1 > 𝑛2, le dernier joueur ayant joué est vainqueur.
- Si 𝑛1 < 𝑛2, le joueur n’ayant pas joué en dernier est vainqueur.
- Si 𝑛1 = 𝑛2, la partie est nulle.
Est-ce que le jeu se termine nécessairement et quels sont alors les nombres minimum et maximum d’étapes en lesquels il peut terminer ?
Supposons que A et B jouent au mieux. Vaut-il mieux jouer en premier ou en second ?
Distances entières entre des points
Association Science Ouverte (Bobigny) 2023-2024Pour tout entier naturel non nul n, on appelle ℰn l’ensemble de toutes les figures d’un plan euclidien composées de n points qui sont tous à distance entière les uns des autres.
Pour 𝑛 = 1,2,3, 4 (voire plus), étudier et décrire ℰn.
Pour 𝑛 = 1,2,3, 4 (voire plus), étudier et décrire ℰn.
Tas de cailloux
Association Science Ouverte (Bobigny) 2023-2024Il s'agit d'étudier les masses de cailloux d'un tas qu'on peut subdiviser en 2 tas de mêmes masses sous certaines conditions
Congestion routière
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024Il a été observé en pratique que rajouter des axes de circulation pouvait, curieusement, ralentir le trafic, ou qu'au contraire, fermer un axe (ainsi la 42ème rue à New-York le 22 avril 1990, une des rues les plus animées de Manhattan) pouvait rendre le trafic plus fluide. Comment donner des exemples de telles situations --- idéalement, des exemples s'approchant des changements de circulation au sein du centre-ville de Laval ?
Bandits à K bras
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024On suppose faire face à une machine à sous avec K >= 2 bras. Chaque bras j procure des gains aléatoires, selon une loi de Bernoulli de paramètre p_j inconnu. Comment bien identifier un bon bras (voire le meilleur bras), et quels sont des écueils à éviter dans cette quête ? On pourra idéalement commencer à explorer ce sujet avec des simulations numériques.
Les nombres qui nous entourent
Collège Fernand Puech (Laval), Lycée Douanier Rousseau (Laval) 2023-2024Des observations effectuées depuis un siècle et demi montrent que les nombres que nous rencontrons dans la vie quotidienne se répartissent selon une certaine loi. Faites l'expérience --- prenez une ou plusieurs sources de données, comme un exemplaire de journal, relevez tous les nombres, et classez-les : qu'observez-vous ? Nous essaierons ensuite d'expliquer mathématiquement cette loi, en créant numériquement des séries de nombres 'naturels'.
Anticiper l'anticipateur
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024On regroupe n personnes pour jouer à un jeu très simple. Chaque joueur va écrire de manière caché sur un papier un nombre entre 0 et 100, puis placera ce papier dans un chapeau. Le gagnant est le joueur qui aura été le plus proche des deux tiers de la moyenne de tous les nombres proposés. Derrière ce jeu apparemment trivial se cache-t-il une redoutable stratégie gagnante ?
Mystérieuses spirales
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024On trace dans le plan les points de coordonnées polaires (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4) . . . Il semble qu’il se dégage une spirale à 6 bras du nuage de points.
Si on prend un peu de hauteur, la spirale semble avoir 44 bras !
Pouvez-vous expliquer ce mystérieux phénomène ?
Que se passe-t-il si on ne considère plus que les points de coordonnées des nombres premiers ?
Si on prend un peu de hauteur, la spirale semble avoir 44 bras !
Pouvez-vous expliquer ce mystérieux phénomène ?
Que se passe-t-il si on ne considère plus que les points de coordonnées des nombres premiers ?
Morpion reloaded
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Fatigués que leurs parties du jeu de morpion classique se terminent toujours par des matchs nuls, deux élèves proposent la variante suivante du jeu :
— le jeu se déroule sur un damier infini dans les deux directions.
— on fixe un entier n≥2.
— le premier joueur joue les croix et le second les ronds.
— le premier joueur gagne s’il parvient à aligner n croix (horizontalement, verticalement ou en diagonale) ; sinon, le second joueur est déclaré gagnant.
Ce jeu est-il plus intéressant que le jeu classique? Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour l’un ou l’autre des joueurs ? Cela dépend-il de l’entier n choisi ?
— le jeu se déroule sur un damier infini dans les deux directions.
— on fixe un entier n≥2.
— le premier joueur joue les croix et le second les ronds.
— le premier joueur gagne s’il parvient à aligner n croix (horizontalement, verticalement ou en diagonale) ; sinon, le second joueur est déclaré gagnant.
Ce jeu est-il plus intéressant que le jeu classique? Peut-on trouver des stratégies gagnantes pour l’un ou l’autre des joueurs ? Cela dépend-il de l’entier n choisi ?
Potion magique
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Asterix a perdu un tonneau de potion magique au milieu d’une cave remplie de mille tonneaux de vin, tous identiques. Pour retrouver ce tonneau, il reçoit l’aide des habitants de son village. Seul problème, les effets de la potion apparaissent 24h après la consommation, et les gaulois ont besoin d’avoir retrouvé le tonneau de potion magique pour le lendemain car les romains vont attaquer. La stratégie d’Asterix est la suivante : chaque habitant va goûter immédiatement le contenu d’un ou plusieurs tonneau, puis on attend 24h et on regarde qui bénéficie des effets de la potion magique. En fonction du résultat, on devine quel est le tonneau recherché.
Quel est le nombre minimal d’habitants nécessaire pour identifier le bon tonneau? Proposer une stratégie optimale. Panoramix remarque cependant que la méthode n’est pas complètement fiable, puisque parfois, certains gaulois ne réagissent pas à ce mélange alcool-potion comme prévu : il arrive que certains ayant goûté à la potion n’y soient pas sensibles, et… voir la suite
Quel est le nombre minimal d’habitants nécessaire pour identifier le bon tonneau? Proposer une stratégie optimale. Panoramix remarque cependant que la méthode n’est pas complètement fiable, puisque parfois, certains gaulois ne réagissent pas à ce mélange alcool-potion comme prévu : il arrive que certains ayant goûté à la potion n’y soient pas sensibles, et… voir la suite
La monnaie de l'empereur
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Dans un pays très lointain, deux forgerons concurrents, notés A et B, sont responsables de la fabrication des pièces de monnaie. L’empereur impose les règles suivantes pour réguler la concurrence féroce entre les deux individus :
— dans ce pays, le nombre 1 porte malheur, rendre la monnaie est interdit, et tous les prix doivent être des nombres entiers positifs.
— chaque forgeron choisit, en alternance, un entier k ≥ 1 et obtient le droit de fabriquer en grande quantité des pièces de valeur k. La seule contrainte sur l’entier k est que les pièces de valeur k ne soient pas inutiles, c’est-à-dire que l’on ne puisse pas payer la somme k à l’aide des autres pièces déjà fabriquées.
— le forgeron qui est obligé de choisir la valeur 1 est frappé par la malédiction et doit laisser la place à son concurrent.
Est-on sûr que ce procédé fournit un vainqueur en un temps fini ? Le nombre de valeurs différentes choisies peut-il être arbitrairement grand ? Comment pourriez-vous conseiller les… voir la suite
— dans ce pays, le nombre 1 porte malheur, rendre la monnaie est interdit, et tous les prix doivent être des nombres entiers positifs.
— chaque forgeron choisit, en alternance, un entier k ≥ 1 et obtient le droit de fabriquer en grande quantité des pièces de valeur k. La seule contrainte sur l’entier k est que les pièces de valeur k ne soient pas inutiles, c’est-à-dire que l’on ne puisse pas payer la somme k à l’aide des autres pièces déjà fabriquées.
— le forgeron qui est obligé de choisir la valeur 1 est frappé par la malédiction et doit laisser la place à son concurrent.
Est-on sûr que ce procédé fournit un vainqueur en un temps fini ? Le nombre de valeurs différentes choisies peut-il être arbitrairement grand ? Comment pourriez-vous conseiller les… voir la suite
Le football théorique
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Ce jeu se joue sur un terrain rectangulaire quadrillé à m lignes horizontales et n lignes verticales, avec m et n impairs. Le côté gauche du terrain représente le but du joueur G, et le côté droit celui du joueur D. Le jeu se joue sur les intersections des lignes, et non sur les cases. On place un jeton noir (appelé "ballon") sur le point central du terrain. Chaque joueur dispose d’une réserve de jetons blancs (appelés "joueurs").
Ensuite, chacun leur tour, les joueurs peuvent faire une (et une seule) des actions suivantes :
— placer un joueur sur une position vide.
— déplacer le ballon en sautant, éventuellement plusieurs fois consécutives, par-dessus un ou plusieurs joueurs voisins du ballon et alignés (horizontalement, verticalement ou en diagonale) et en arrivant sur la position suivante. Les joueurs utilisés lors de cette action sont retirés du terrain.
Le premier joueur (G ou D) qui amène le ballon sur la ligne de but de son adversaire, ou au-delà, gagne… voir la suite
Ensuite, chacun leur tour, les joueurs peuvent faire une (et une seule) des actions suivantes :
— placer un joueur sur une position vide.
— déplacer le ballon en sautant, éventuellement plusieurs fois consécutives, par-dessus un ou plusieurs joueurs voisins du ballon et alignés (horizontalement, verticalement ou en diagonale) et en arrivant sur la position suivante. Les joueurs utilisés lors de cette action sont retirés du terrain.
Le premier joueur (G ou D) qui amène le ballon sur la ligne de but de son adversaire, ou au-delà, gagne… voir la suite
Jeu du moulin
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Elaborer une stratégie pour le jeu du moulin.
Trouver les masses
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024On possède plusieurs tubes dont on ne connaît pas les masses, peut-on établir des stratégies pour approximer
leurs masses sans balance ?
leurs masses sans balance ?
Snake
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Sur un plateau de jeu, un serpent essaye de manger une souris qui cherche à survivre le plus longtemps
possible. A chaque tour, le serpent grandit de façon à ce que sa tête avance d’une case et que son corps
occupe toutes les cases par lesquelles il est passé ; la souris, elle, se déplace d’1 ou 2 cases sans passer par
dessus le serpent. Quelle stratégie est la meilleure pour chaque animal ?
possible. A chaque tour, le serpent grandit de façon à ce que sa tête avance d’une case et que son corps
occupe toutes les cases par lesquelles il est passé ; la souris, elle, se déplace d’1 ou 2 cases sans passer par
dessus le serpent. Quelle stratégie est la meilleure pour chaque animal ?
Le Blob et le labyrinthe
Collège Paul Gauguin (Paris) 2023-2024Comment un blob peut-il trouver la sortie d'un labyrinthe. Trouve-t-il le chemin optimal ? Trouve-t-il toujours la sortie ?
Trajectoires dans l'espace, points de Lagrange
Lycée Stendhal (Milan) 2023-2024Différents sujets autour des trajectoires de satellites dans l'espace. Problème de transfert d'une orbite à une autre, modification des trajectoires d'un corps satellisé, approche du problème à 2 corps puis du problème à 3 corps restreint, points de Lagrange.
Dominos
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objectif est de paver le plan avec des dominos
Babylone
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024Après avoir déchiffré une tablette Babylonienne, les élèves s'intéresserons aux méthodes d'approximation des racines carrées.
Pise
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objet est d'étudier la stabilité de différents types de tours.
Chemins sur une grille
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objectif est de déterminer le nombre de chemins allant d'un point à un autre sur une grille
Structures
Lycée Blaise Pascal (Orsay) 2023-2024L'objet est l'étude de différentes structures (triangulation, parenthésage, chemins sur une gille, arbres et nombre d'arêtes...) puis dans un deuxième temps comprendre pourquoi elles sont reliées entre elles par un même objet mathématique.
Commerce spatial
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Au confins de l’univers se trouvent 5 planètes tournant au même rythme et sur la même orbite autour d’un même soleil. Suite à des guerres 4 des cinq planètes (la rouge, la bleue, la jaune et la verte) ne disposent plus que de 2 navettes spatiales quand la grise n’en a plus qu’une. Chaque planète a par contre gardé deux pistes d’atterrissage en état.
À partir d’une situation de départ donnée (chaque navette posée sur une planète, pas forcément la sienne) comment faire pour que, en respectant certaines règles chaque navette retourne sur sa planète ?
À partir d’une situation de départ donnée (chaque navette posée sur une planète, pas forcément la sienne) comment faire pour que, en respectant certaines règles chaque navette retourne sur sa planète ?
Doublement et triplement parfait
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Un tableau à trois lignes et trois colonnes est dit tableau de tridouble si
• Les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres.
• Le nombre de la deuxième ligne est le double de celui de la première ligne.
• Le nombre de la troisième ligne est le triple de celui de la première ligne.
On dit qu’un tableau de tridouble est parfait si chaque chiffre n’est utilisé qu’une seule fois dans le tableau.
Questions. Existe-t-il des tableaux de tridouble parfaits ? Si oui combien ?
• Les trois lignes contiennent chacune un nombre de trois chiffres.
• Le nombre de la deuxième ligne est le double de celui de la première ligne.
• Le nombre de la troisième ligne est le triple de celui de la première ligne.
On dit qu’un tableau de tridouble est parfait si chaque chiffre n’est utilisé qu’une seule fois dans le tableau.
Questions. Existe-t-il des tableaux de tridouble parfaits ? Si oui combien ?
Assemblage impossible de tortues
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024Un puzzle est composé de 9 pièces carrées, qu’il s’agit d’assembler pour former un carré en respectant les couleurs et les formes des tortues : on ne peut pas assembler deux têtes ou deux queues de tortues.
Combien y a-t-il de manières différentes de former un carré avec les neufs pièces si on ne cherche pas à respecter les couleurs ni même les formes des tortues ?
Est-il possible de proposer un puzzle « difficile » avec seulement 4 pièces ?
Combien y a-t-il de manières différentes de former un carré avec les neufs pièces si on ne cherche pas à respecter les couleurs ni même les formes des tortues ?
Est-il possible de proposer un puzzle « difficile » avec seulement 4 pièces ?
Jeu de cubes
Collège Grimaux (Rochefort), Collège Fernand Garandeau (La Tremblade) 2023-2024On aligne en bas autant de cubes côte à côte qu’il y aura d’étages ; on surmonte chaque rangée d’une rangée possédant un cube de moins, ces cubes étant côte à côte, chaque cube étant placé exactement sur un cube de la rangée en dessous ; on colorie en gris un cube sur deux, comme sur un damier, en commençant par un cube gris en bas à gauche.
Quels sont tous les empilements possibles à 4, 5, 6 étages ?
• Quels est dans chacun des cas précédents le nombres de cubes gris ?
• Dans les cas précédents combien de configurations ont le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
• Pour quels nombres d’étages inférieurs à 10 existe-t-il des configurations avec le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
Quels sont tous les empilements possibles à 4, 5, 6 étages ?
• Quels est dans chacun des cas précédents le nombres de cubes gris ?
• Dans les cas précédents combien de configurations ont le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
• Pour quels nombres d’étages inférieurs à 10 existe-t-il des configurations avec le même nombre de cubes gris que de cubes blancs ?
Choisir c'est renoncer
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Vous habitez dans une rue rectiligne avec deux arrêts de bus situés tous deux à égale distance de chez vous, l’un à droite, l’autre à gauche. Vous sortez de chez vous et ne savez pas lequel choisir. Vous faites un mètre à droite, puis hésitez à continuer ou à partir dans l’autre sens. Vos hésitations se reproduisent toutes les secondes et vous font opter à chaque instant, sans préférence, à faire un mètre à droite ou à gauche. Essayez de décrire vos pérégrinations !
Nombres en sandwich
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Un entier strictement positif k est dit “en sandwich” si on peut trouver un entier n > k tel que la somme des nombres de 0 à k − 1 est égale à la somme des nombres de k + 1 à n. Pourriez-vous trouver tous les nombres en sandwich, ainsi que, pour chacun d’eux, l’entier n correspondant ?
Le XV et au-delà
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Quels scores sont possibles au rugby ? Pour un score donné, combien de scénarios ont-ils pu y conduire ?
Ne parle pas la bouche pleine
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Vous croquez un Oreo. En supposant que votre bouche ait exactement la même forme que l’Oreo, où le croquer pour en manger la moitié d’un coup ? Même question avec d’autres formes.
La formule-à-Toto : le retour !
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Toto a du mal avec les formules. L’an dernier il pensait que la dérivée d’un produit était égale au produit des dérivées. Cette année il pense que la dérivée d’un quotient est égale au quotient des dérivées. Peut-il néanmoins avoir raison dans certains cas ?
Bizarre, vous avez dit bizarre !
Lycée Jean Lurçat (Perpignan), Lycée Maillol (Perpignan), Lycée Arago (Perpignan) 2023-2024Dans la géométrie plane “classique” que vous pratiquez, le plan contient une infinité de points, par deux points distincts passe une et une seule droite et deux droites distinctes peuvent se couper (en un seul point) ou ne pas se couper (parallèles). Pourriez-vous imaginer une géométrie bizarre dans laquelle votre plan aurait un nombre fini N de points et les conditions suivantes seraient vérifiées :
i. vos droites auraient toutes le même nombre n < N de points ;
ii. par n’importe quel point du plan passeraient exactement n droites ;
iii. par deux points distincts du plan passerait une et une seule droite ;
iv. deux droites distinctes se couperaient toujours en un seul point ?
i. vos droites auraient toutes le même nombre n < N de points ;
ii. par n’importe quel point du plan passeraient exactement n droites ;
iii. par deux points distincts du plan passerait une et une seule droite ;
iv. deux droites distinctes se couperaient toujours en un seul point ?
Répartition des nombres premiers
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024On note P(n) le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Il s'agit de retrouver l'équivalent P(n) ~ n/ln(n) par l'expérimentation.
Les kaplas au dessus du vide
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024On empile un nombre N de kaplas de longueur L (parallélépipèdes en bois tous de la même taille) au bord d'une table, la longueur perpendiculaire à celui-ci. De quelle longueur, au maximum, la pile de kaplas peut-elle déborder au-dessus du vide au-delà de la table ? Peut-on, en augmentant N indéfiniment, atteindre un débordement arbitrairement grand ?
Découpage d'un gâteau
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024Comment découper un gâteau en maximum de parts possibles, en donnant le minimum de coups de couteau possible ? On ne demande pas à ce que les parts soient égales !
Plus précisément, en combien de parts au maximum peut-on couper un gâteau avec 1 coup de couteau, 2 coups, 3 coups, etc ?
Peut-on trouver le nombre de parts maximum pour n coups de couteau ?
Plus précisément, en combien de parts au maximum peut-on couper un gâteau avec 1 coup de couteau, 2 coups, 3 coups, etc ?
Peut-on trouver le nombre de parts maximum pour n coups de couteau ?
L'addition des cancres
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024Et si la somme des fractions a/b et c/d se faisait ainsi a/b+c/d=(a+c)/(b+d)?
Coder un rectangle par des carrés
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024Pour caractériser la forme d’un rectangle, on considère souvent le rapport longueur/largeur. Par exemple, un écran 16/9 est un écran rectangulaire dont la proportion longueur/largeur est égale à 16/9. Ces écrans peuvent être grands ou petits, mais ils ont tous la même forme.
En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence. Par exemple avec un rectangle de 16 par 9, le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s’arrête puisqu’il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.
Questions :
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Si on part de n’importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s’arrête ?
• Comment comparer deux nombres si on connait juste leur codages ?
En reportant la largeur sur la hauteur si elle est plus grande (en pliant ou avec le compas), et le contraire sinon, on divise le rectangle en un carré et un rectangle plus petit. On regarde ce nouveau rectangle et on recommence. Par exemple avec un rectangle de 16 par 9, le découpage comprend successivement 1 carré pris dans la largeur, 1 dans la hauteur, 3 dans la largeur, 2 dans la hauteur puis on s’arrête puisqu’il ne reste plus rien. On code alors 1-1-3-2.
Questions :
• Comment retrouver les proportions des rectangles à partir de leurs codages ?
• Si on part de n’importe quelle forme, est-on sûr que le découpage s’arrête ?
• Comment comparer deux nombres si on connait juste leur codages ?
Nombres magiques
Collège Sainte-Marie (Langon) 2023-2024On appelle nombre magique un nombre dont le carré, c’est-à-dire le nombre multiplié par lui-même, est symétrique par le milieu, comme par exemple 307, qui vérifie 307×307 = 94249.
Comment en construire d’autres ?
Est-il possible de construire des familles de tels nombres (par exemple 1, 11, 111, 1111, etc) ? Ces familles sont-elles infinies ?
Comment en construire d’autres ?
Est-il possible de construire des familles de tels nombres (par exemple 1, 11, 111, 1111, etc) ? Ces familles sont-elles infinies ?
L'awale sous-harmonique
Lycée Emile Duclaux (Aurillac) 2023-2024 Une fonction est sous-harmonique (respectivement sur-harmonique) lorsque sa valeur en tout point est inférieure ou égale (resp. supérieure ou égale) à la moyenne de ses valeurs au voisinage (définition volontairement vague et informelle...). En cas d'égalité, on parle de fonction harmonique.
L'Awalé est un jeu africain, se jouant à deux, qui consiste à répartir des graines dans un ensemble de cases selon une règle bien déterminée. Celui qui ne peut plus continuer le jeu a perdu. Dans l'Awalé sous-harmonique, le plateau de jeu est composé d'une ligne de plusieurs cases (le nombre de cases est noté C). Au début du jeu, on dispose un certain nombre de graines (mettons g) dans chaque case SAUF la dernière, et une autre quantité de graines (mettons G supérieur ou égal à g) dans la dernière case. Le premier joueur choisit une case intérieure (c'est-à-dire différente de la première et de la dernière) et rajoute des graines à sa convenance, mais en respectant la règle suivante :… voir la suite
L'Awalé est un jeu africain, se jouant à deux, qui consiste à répartir des graines dans un ensemble de cases selon une règle bien déterminée. Celui qui ne peut plus continuer le jeu a perdu. Dans l'Awalé sous-harmonique, le plateau de jeu est composé d'une ligne de plusieurs cases (le nombre de cases est noté C). Au début du jeu, on dispose un certain nombre de graines (mettons g) dans chaque case SAUF la dernière, et une autre quantité de graines (mettons G supérieur ou égal à g) dans la dernière case. Le premier joueur choisit une case intérieure (c'est-à-dire différente de la première et de la dernière) et rajoute des graines à sa convenance, mais en respectant la règle suivante :… voir la suite
Désitération
Faculté des Sciences d'Orsay 2023-2024Est-ce qu'il existe une fonction f:R->R telle que f o f coïncide avec une fonction puissance ? avec la fonction exponentielle ?
Est-ce qu'on peut résoudre f o f o f = exp ?
Des idées pour poursuivre ?
Est-ce qu'on peut résoudre f o f o f = exp ?
Des idées pour poursuivre ?
Distributif
Faculté des Sciences d'Orsay 2023-2024La multiplication des réels est distributive par rapport à l'addition. Question: quelle opération est distributive par rapport à la multiplication ?
Chou-Fleur
Collège Charles Sénard (Caluire-et-Cuire), Lycée La Martinière Diderot (Lyon) 2023-2024Lorsqu'on procède à une désignation en faisant "chou-fleur" (par exemple pour savoir quel pays lancera le ballon dans un match, ou qui commencera entre 2 joueurs), y a-t-il moyen de savoir à l'avance qui gagnera ?
Distance entre les joueurs, taille des pieds , triche permise ou non ... y a-t-il des paramètres déterminants ?
Distance entre les joueurs, taille des pieds , triche permise ou non ... y a-t-il des paramètres déterminants ?
Triplet d'entiers consécutifs
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024On considère trois entiers consécutifs, et on calcule leur somme et leur produit.
Par exemple : 3, 4 et 5. Ensuite : 3 + 4 + 5 = 12 ; 3 × 4 × 5 = 60.
Ou alors : 835, 836, 837. Ensuite : 835 + 836 + 837 = 2 508 ; 835 × 836 × 837 = 584 276 220.
On remarque que la somme est un multiple de trois et que le produit est multiple de six.
Généraliser la remarque à tout triplet d’entiers consécutifs.
Établir des propriétés arithmétiques et géométriques des triplets d’entiers consécutifs.
Par exemple : 3, 4 et 5. Ensuite : 3 + 4 + 5 = 12 ; 3 × 4 × 5 = 60.
Ou alors : 835, 836, 837. Ensuite : 835 + 836 + 837 = 2 508 ; 835 × 836 × 837 = 584 276 220.
On remarque que la somme est un multiple de trois et que le produit est multiple de six.
Généraliser la remarque à tout triplet d’entiers consécutifs.
Établir des propriétés arithmétiques et géométriques des triplets d’entiers consécutifs.
Rencontre au sommet
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024Alice et Bob courent autour d’un stade d'athlétisme. Alice met 7 minutes pour faire le tour du stade. Bob quand à lui met 11 minutes. Ils partent les deux du même points de départ. Lorsque Alice part le chronomètre affiche 2 minutes. Bob part ensuite. Le chronomètre est à 4 minutes.
(1) Qu’indiquera le chronomètre la première fois que Alice et Bob se croiseront à leur point de départ ?
(2) Ils ont décidé de courir pendant deux heures. Combien de fois vont-il se croiser au point de départ ?
La comète de Halley a été aperçue en 1986 la dernière fois et elle passe toutes les 76 ans. La comète de Gauss a été aperçue la dernière fois en 1954 et elle passe toutes les 105 ans.
(1) Dans combien de temps pourra-t-on voir ces deux comètes en même temps ?
(2) Quelles sont toutes les années où ce phénomène aura lieu ?
Généralisation : soient p1, p2 deux nombres premiers et soient x1, x2 deux entiers naturels, on reprend le problème avec Alice et Bob. Cependant Alice met… voir la suite
(1) Qu’indiquera le chronomètre la première fois que Alice et Bob se croiseront à leur point de départ ?
(2) Ils ont décidé de courir pendant deux heures. Combien de fois vont-il se croiser au point de départ ?
La comète de Halley a été aperçue en 1986 la dernière fois et elle passe toutes les 76 ans. La comète de Gauss a été aperçue la dernière fois en 1954 et elle passe toutes les 105 ans.
(1) Dans combien de temps pourra-t-on voir ces deux comètes en même temps ?
(2) Quelles sont toutes les années où ce phénomène aura lieu ?
Généralisation : soient p1, p2 deux nombres premiers et soient x1, x2 deux entiers naturels, on reprend le problème avec Alice et Bob. Cependant Alice met… voir la suite
Récolte de maïs
Collège Jean Bauhin (Audincourt) 2023-2024Cinq paysans mettent leur récolte d'épis de maïs ensemble de la même silo. Cependant une nuit un premier paysan se lève. Il coupe la récolte d’épis en cinq parts égales, il en cache quatre parts pour lui-même et laisse le reste. Il retourne ensuite se coucher. Un deuxième paysan se lève fait la même chose avec le tas qu’il reste puis il se rendort. Ainsi de suite pour le troisième, quatrième et cinquième paysan. Combien y avait-il d’épis de maïs au minimum au départ ?
Variantes :
(1) Même question avec n paysans où n est un entier naturel.
(2) Il y a une souris dans le silo qui récupère des épis pour elle. Juste avant qu’un paysan ne partage le tas, la souris prend un épi pour elle. Même question dans ce nouveau cadre.
(3) Même question avec n paysans, où n est un entier naturel, et la souris.
Variantes :
(1) Même question avec n paysans où n est un entier naturel.
(2) Il y a une souris dans le silo qui récupère des épis pour elle. Juste avant qu’un paysan ne partage le tas, la souris prend un épi pour elle. Même question dans ce nouveau cadre.
(3) Même question avec n paysans, où n est un entier naturel, et la souris.
Le triple saut
Vauban, École et Lycée Français de Luxembourg 2023-2024On choisit une position de départ.
A l’aide de 3 dés on calcule la longueur de l’élan.
Puis on relance les 3 dés qu’on ajoute à la position obtenue pour voir la longueur du saut.
A l’aide de 3 dés on calcule la longueur de l’élan.
Puis on relance les 3 dés qu’on ajoute à la position obtenue pour voir la longueur du saut.
SOS pour les travaux publics
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Est-il possible de raccorder 3 maisons à l'eau, l'électricité et la fibre sans faire croiser les réseaux ?
Plus généralement, étudier le cas de n maisons à relier à n points: quel est le nombre minimal de croisements ?
Plus généralement, étudier le cas de n maisons à relier à n points: quel est le nombre minimal de croisements ?
Opération bizarre
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Définition d'un opérateur entre 2 nombres entiers