Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Pas le droit à l’erreur
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024Alice aimerait envoyer un message informatique à son ami Bob. Malheureusement le canal qu’ils utilisent pour communiquer est bruité. Cela signifie que le message a de fortes chances d’arriver à son destinataire avec des erreurs.
Quelle méthode peuvent-ils utiliser afin que Bob soit sûr que le message ne comporte pas d’erreur ?
Quelle méthode peuvent-ils utiliser afin que Bob soit sûr que le message ne comporte pas d’erreur ?
L'art du gribouillage
Lycée Jules Ferry (Paris), Lycée Condorcet (Montreuil), Lycée Charles de Gaulle (Rosny) 2023-2024On cherche à dessiner des figures respectant les règles suivantes :
— la figure est formée d’un nombre fini de points, reliés ou non par des courbes continues.
— chaque courbe coupe chaque autre courbe exactement une fois (en comptant les extrémités communes
comme des intersections).
Si le nombre de points est fixé, on cherche à tracer un nombre maximal de courbes les reliant et respectant
les règles précédentes. Peut-on estimer le nombre de courbes maximal en fonction du nombre de points ?
— la figure est formée d’un nombre fini de points, reliés ou non par des courbes continues.
— chaque courbe coupe chaque autre courbe exactement une fois (en comptant les extrémités communes
comme des intersections).
Si le nombre de points est fixé, on cherche à tracer un nombre maximal de courbes les reliant et respectant
les règles précédentes. Peut-on estimer le nombre de courbes maximal en fonction du nombre de points ?
Ça ne tourne pas rond...
Lycée Maurice Genevoix (Ingré) 2023-2024Bruno possède un jeu en bois composé de deux pièces : un cube et un prisme dont la base est un triangle équilatéral, de côté 80 cm. Il pose la base du prisme à plat sur une table et s'amuse avec ce jeu en faisant tourner le cube autour du prisme, sans glissement.
Bruno constate qu'il peut faire tourner le cube deux fois sur un côté mais qu'il bascule durant le troisième tour. Il remarque ensuite que, lorsque son cube a fait un tour complet du prisme, il revient au même endroit qu’au départ.
Est-ce Bruno peut en déduire la mesure de l'arête du cube ?
Bruno constate qu'il peut faire tourner le cube deux fois sur un côté mais qu'il bascule durant le troisième tour. Il remarque ensuite que, lorsque son cube a fait un tour complet du prisme, il revient au même endroit qu’au départ.
Est-ce Bruno peut en déduire la mesure de l'arête du cube ?
Crash tests
Lycée Maurice Genevoix (Ingré) 2023-2024Steve et Bill ont bricolé un nouveau téléphone dans leur immeuble flambant neuf de 100 étages.
Ils disposent de deux exemplaires parfaitement identiques de leur nouveau joujou.
Ils veulent en tester la solidité lors d’une chute verticale avant d’en fabriquer davantage.
Nous savons qu'il est possible qu'ils se cassent étant lâchés entre le premier étage et le 100ème étage.
Le problème est de savoir à partir de quel étage cela se passe.
Dit autrement, lâchés des étages inférieurs, ils ne se casseront pas.
Ils disposent de deux exemplaires parfaitement identiques de leur nouveau joujou.
Ils veulent en tester la solidité lors d’une chute verticale avant d’en fabriquer davantage.
Nous savons qu'il est possible qu'ils se cassent étant lâchés entre le premier étage et le 100ème étage.
Le problème est de savoir à partir de quel étage cela se passe.
Dit autrement, lâchés des étages inférieurs, ils ne se casseront pas.
La guerre de fourmis
Lycée René Gosse (Clermont-l'Hérault), Lycée Jean Moulin (Béziers) 2023-2024Pas de trois sur la ligne
Lycée René Gosse (Clermont-l'Hérault), Lycée Jean Moulin (Béziers) 2023-2024On veut placer un maximum de points sur une grille carrée sans avoir 3 points alignés dans aucune direction.
Sumway to heaven
Lycée Loritz (Nancy) 2023-2024L'objectif du jeu est de placer, à tour de rôle ou en solitaire, des pierres numérotées sur un quadrillage, de telle façon que la valeur de la pierre posée, au moment où elle est posée, soit la somme de toutes les pierres voisines. Les pierres sont posées dans l'ordre des entiers : 1 puis 2 puis 3, etc...
Les chambres de la marquise
Lycée Jean Monnet (Strasbourg) 2023-2024La marquise possède une vaste dépendance, où chaque chambre est numérotée par des entiers positifs : 1, 2, 3, etc. Actuellement, chaque chambre est occupée par un seul invité. L'arrivée d'un nouvel invité nécessite une réorganisation pour que chaque chambre reste occupée par un seul invité. Comment procéder ? Ensuite, si chaque invité existant reçoit un cousin, quelle stratégie adopter pour loger tout le monde ? Puis, si la chambre numéro n doit accueillir n cousins, quelle méthode utiliser ? Enfin, si chaque chambre doit recevoir une liste d'invités, numérotés également par des entiers positifs, est-il possible d'appliquer la même règle pour les loger tous ? (Et si les invités étaient numérotés par des nombres réels ?)
La plomberie de la marquise
Lycée Jean Monnet (Strasbourg) 2023-2024La marquise dispose de cinq tuyaux d'eau alignés verticalement et en parallèle dans sa cuisine. Son plombier a des pièces spéciales qui peuvent modifier l'ordre des tuyaux. Par exemple, une pièce peut échanger l'eau du premier tuyau avec le deuxième, tandis que les autres tuyaux restent inchangés. La marquise s'interroge sur le nombre de fois qu'il faudrait répéter l'utilisation d'une même pièce avant que l'eau de chaque tuyau retourne dans son tuyau d'origine. Elle est particulièrement curieuse de savoir quel est le nombre maximal de répétitions nécessaires pour cela avec différentes pièces. De plus, elle se demande comment ce nombre évoluerait avec 6, 7 ou 10 tuyaux.
Le billard de la marquise
Lycée Jean Monnet (Strasbourg) 2023-2024La marquise possède dans son grand salon un billard unique, conçu avec un angle de 30 degrés. La taille du billard est si grande qu'on peut la considérer comme infinie. De plus, la qualité exceptionnelle du tissu du billard permet de supposer qu'il n'y a pas de frottement. Combien de rebonds maximum peut-on réaliser avec ce billard ? Et comment cela changerait-il si l'angle était différent ?
L'escalier de la marquise
Lycée Jean Monnet (Strasbourg) 2023-2024La marquise organise un jeu avec ses 13 enfants. Elle les place sur un escalier et leur donne à chacun un chapeau, soit noir, soit blanc. Le défi pour chaque enfant est de deviner la couleur de son propre chapeau. Le but est de maximiser le nombre d'enfants qui réussissent à deviner correctement. Avant la distribution des chapeaux, les enfants ont l'occasion de se réunir et d'élaborer une stratégie. Une fois les chapeaux distribués, chaque enfant a le droit de s'exprimer une seule fois, en prononçant uniquement "noir" ou "blanc". Quelle serait la meilleure stratégie à adopter ? De plus, comment le jeu évoluerait-il si trois couleurs de chapeaux étaient utilisées ?
Le jeu des arcs
Collège Sainte-Anne (Sebourg) 2023-2024Il se joue à deux sur une feuille de papier. On place au départ n points sur la feuille, n’importe où.
À tour de rôle, chaque joueur trace un arc reliant deux des points (non nécessairement distincts) déjà placés, et ajoute un point sur l’arc qu’il vient de tracer. Il n’y a que deux règles à respecter :
- l’arc ne doit pas se croiser lui-même, ni croiser aucun des arcs déjà tracés
- d’un même point, ne peuvent pas partir plus de trois arcs
Le joueur qui ne peut plus tracer d’arc a perdu.
Y a-t-il une stratégie permettant de gagner quel que soit le jeu de son adversaire ?
À tour de rôle, chaque joueur trace un arc reliant deux des points (non nécessairement distincts) déjà placés, et ajoute un point sur l’arc qu’il vient de tracer. Il n’y a que deux règles à respecter :
- l’arc ne doit pas se croiser lui-même, ni croiser aucun des arcs déjà tracés
- d’un même point, ne peuvent pas partir plus de trois arcs
Le joueur qui ne peut plus tracer d’arc a perdu.
Y a-t-il une stratégie permettant de gagner quel que soit le jeu de son adversaire ?
La ronde des chiffres
Collège Sainte-Anne (Sebourg) 2023-2024Par la règle qui suit, on définit une suite de chiffres : partant de quatre chiffres, par exemple 1−7−8−9, chaque nouveau terme est le chiffre des unités de la somme des quatre précédents. Donc dans l’exemple,
1 − 7 − 8 − 9 − 5 − 9 − 1 − 4 − 9 − 3 − 7 − 3 − 2 . . .
Quel est le 25ème chiffre de la suite précédente ?
- Si on part de 5 − 5 − 5 − 5, que se passe-t-il ?
- Même question pour 5 − 0 − 5 − 0
- Est-ce qu’on aura toujours des nombres (paquets de 4 chiffres) différents, ou est-ce que ça finira par boucler, toujours ?
- Si on part de 2 − 0 − 2 − 4, rencontrera-t-on 2 − 0 − 2 − 3 ?
- . . .
1 − 7 − 8 − 9 − 5 − 9 − 1 − 4 − 9 − 3 − 7 − 3 − 2 . . .
Quel est le 25ème chiffre de la suite précédente ?
- Si on part de 5 − 5 − 5 − 5, que se passe-t-il ?
- Même question pour 5 − 0 − 5 − 0
- Est-ce qu’on aura toujours des nombres (paquets de 4 chiffres) différents, ou est-ce que ça finira par boucler, toujours ?
- Si on part de 2 − 0 − 2 − 4, rencontrera-t-on 2 − 0 − 2 − 3 ?
- . . .
Un problème de facturation
Collège Sainte-Anne (Sebourg) 2023-2024On est dans une usine ultra-moderne : les clients commandent en ligne, les matériaux arrivent en quantité suffisante, et l’usine sort directement les produits emballés dans des cartons (tous identiques), avec l’adresse du client imprimée dessus. Les produits sont tous les mêmes, chacun pèse exactement 1 kg, chaque client commande exactement le nombre qu’il veut, mais 40 au maximum.
Petit problème, on a oubli De de prévoir la facturation, et on n’a pas accès aux commandes des clients - c’est ça, le progrès. Vous êtes À la sortie de la chaîne de fabrication, vous allez devoir vous débrouiller pour écrire sur chaque carton qui sort, le nombre de produits À l’intérieur. Vous n’avez pas le droit de les ouvrir bien sûr, mais vous avez une balance (Roberval), 40 produits et 4 cartons. À vous de remplir les 4 cartons, les fermer, pour qu’ensuite ça aille vite !
Combien de produits allez-vous mettre dans chacun des cartons ?
Exemple incomplet : avec juste deux cartons, si on met un objet dans l’… voir la suite
Petit problème, on a oubli De de prévoir la facturation, et on n’a pas accès aux commandes des clients - c’est ça, le progrès. Vous êtes À la sortie de la chaîne de fabrication, vous allez devoir vous débrouiller pour écrire sur chaque carton qui sort, le nombre de produits À l’intérieur. Vous n’avez pas le droit de les ouvrir bien sûr, mais vous avez une balance (Roberval), 40 produits et 4 cartons. À vous de remplir les 4 cartons, les fermer, pour qu’ensuite ça aille vite !
Combien de produits allez-vous mettre dans chacun des cartons ?
Exemple incomplet : avec juste deux cartons, si on met un objet dans l’… voir la suite
Jenga ou jeu d'empilage précaire
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024On joue au Jenga en oubliant la composante d’adresse/de vice. Concrètement, on dispose d’une tour de 3n briques disposées en étages de 3 briques chacun avec des orientations
perpendiculaires. On rappelle que le but est d’enlever chacun à son tour une brique d’un niveau qui n’est ni le dernier, ni l’avant-dernier, et de la poser sur le dernier niveau (sans faire de construction farfelue). Le joueur qui fait tomber la tour perd.
On fait les hypothèses suivantes :
— la brique centrale d’un niveau suffit à tenir les étages supérieurs ;
— les deux briques latérales ensemble tiennent aussi les étages supérieurs ;
— aucune autre configuration ne tient les étages supérieurs.
La partie se finit-elle ? Un joueur gagne-t-il ? Avez-vous une stratégie pour gagner ? On commencera par étudier des tours de petite taille (n = 3,4,5...) et si on avance, on généralisera.
perpendiculaires. On rappelle que le but est d’enlever chacun à son tour une brique d’un niveau qui n’est ni le dernier, ni l’avant-dernier, et de la poser sur le dernier niveau (sans faire de construction farfelue). Le joueur qui fait tomber la tour perd.
On fait les hypothèses suivantes :
— la brique centrale d’un niveau suffit à tenir les étages supérieurs ;
— les deux briques latérales ensemble tiennent aussi les étages supérieurs ;
— aucune autre configuration ne tient les étages supérieurs.
La partie se finit-elle ? Un joueur gagne-t-il ? Avez-vous une stratégie pour gagner ? On commencera par étudier des tours de petite taille (n = 3,4,5...) et si on avance, on généralisera.
L'encore plus drôle de morpion
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Dans le jeu du morpion, deux joueurs placent chacun à leur tour leur symbole (croix ou rond) dans une grille 3x3 et le but est d’être le premier à aligner trois de ses symboles.
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux sont identifiés, et les côtés verticaux sont identifiés avec des orientations différente.
Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ? Peut-il y avoir match nul ?
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux sont identifiés, et les côtés verticaux sont identifiés avec des orientations différente.
Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ? Peut-il y avoir match nul ?
Le drôle de morpion
Lycée Georges Imbert (Sarre-Union), Collège Pierre Claude (Sarre-Union) 2023-2024Dans le jeu du morpion, deux joueurs placent chacun à leur tour leur symbole (croix ou rond) dans une grille 3x3 et le but est d’être le premier à aligner trois de ses symboles.
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux et les côtés verticaux réfléchissant. Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ? Peut-il y avoir match nul ?
Ici, on voudrait jouer au morpion d’une manière un peu différente : les côtés horizontaux et les côtés verticaux réfléchissant. Que peut-on dire de ce jeu ? Pouvez-vous trouver comment gagner à tous les coups ? Peut-il y avoir match nul ?
Vive le ballon ovale !
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Vingt équipes de rugby participent à un tournoi. Le premier jour, chacune dispute un match. Le second jour, chaque équipe joue un autre match, contre une équipe différente de celle de la veille. Prouver qu'après ce second jour, il est possible de trouver un groupe de 10 équipes dont deux quelconques ne se sont pas encore rencontrées.
Les Nombres Fabuleux
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024307 est un nombre fabuleux car 307 x 307 = 94249 qui est un nombre symétrique par rapport au milieu. On recherche des nombres fabuleux, sachant que leurs carrés se terminent par 1, 4, 5, 6 ou 9. À partir d'un nombre fabuleux peut-on fabriquer des familles (ex: 11, 111, 1111,...) ? Ces familles sont-elles limitées ou illimitées ?
Communication sur une grille
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Quels points d'un quadrillage n x m peuvent être atteints en partant du coin en bas à gauche par des règles de déplacement données : "1 pas à droite et 3 pas en haut" ou "2 pas à gauche et 2 pas en bas" ?
Jeu sur un Damier
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Ce jeu se joue à 2 joueurs sur un damier n x m. Chaque joueur pose tour à tour un domino sur deux cases contigües (en ligne ou en colonne). Le premier que ne peut plus poser de domino a perdu.
Saurez vous, en fonction des dimensions si un des deux joueur a une stratégie gagnante.
Saurez vous, en fonction des dimensions si un des deux joueur a une stratégie gagnante.
Les Nombres Maigres
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Un entier naturel n est dit maigre si 2n est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs positifs. Que pouvez vous dire de ces nombres ? Y en a t'il beaucoup ..
Le carré de chocolat empoisonné
Collège Charles Guérin (Lunéville) 2023-2024On dispose d'une tablette de chocolat qui contient un carré de chocolat empoisonné. Le but du jeu est de ne pas manger le carré empoisonné.
Nombre de joueurs : 2
Règles du jeu :
Voici une tablette de chocolat dont le carré colorié est empoisonné. Chacun son tour, on casse une ou plusieurs rangées (ou colonnes). Celui qui mange le carré empoisonné a perdu.
Nombre de joueurs : 2
Règles du jeu :
Voici une tablette de chocolat dont le carré colorié est empoisonné. Chacun son tour, on casse une ou plusieurs rangées (ou colonnes). Celui qui mange le carré empoisonné a perdu.
Bande de Dawson
Collège Stendhal (Toulouse), Collège Michelet (Toulouse) 2023-2024le jeu: bande de n cases
Le but du jeu est d’être le dernier à cocher une case.
Règles du jeu :
Tour à tour les joueurs cochent une case; • Quand on coche une case, les cases voisines le sont aussi.
Le jeu est fini quand il n'est plus possible de cocher une case.
Problématique : Peut-on trouver une stratégie gagnante pour le premier joueur et si c’est le cas pour quelles tailles de bande ?
Le but du jeu est d’être le dernier à cocher une case.
Règles du jeu :
Tour à tour les joueurs cochent une case; • Quand on coche une case, les cases voisines le sont aussi.
Le jeu est fini quand il n'est plus possible de cocher une case.
Problématique : Peut-on trouver une stratégie gagnante pour le premier joueur et si c’est le cas pour quelles tailles de bande ?
Jeu de Chomp
Collège Stendhal (Toulouse), Collège Michelet (Toulouse) 2023-2024Soit une grille rectangulaire représentant une tablette de chocolat de dimensions données.
Le carré en bas à gauche est empoisonné ; Le but du jeu est de ne pas le récupérer.
Règles du jeu :
On a deux joueurs que l’on appelle J1 et J2 qui joueront en alternance. À chaque tour, un joueur choisit un carré de la tablette, le prend ainsi que tous les autres carrés qui forment le rectangle au-dessus et à droite du carré choisi.
Problématique : Peut-on trouver une stratégie gagnante pour le premier joueur et si c’est le cas pour quelles tailles de rectangle ?
Le carré en bas à gauche est empoisonné ; Le but du jeu est de ne pas le récupérer.
Règles du jeu :
On a deux joueurs que l’on appelle J1 et J2 qui joueront en alternance. À chaque tour, un joueur choisit un carré de la tablette, le prend ainsi que tous les autres carrés qui forment le rectangle au-dessus et à droite du carré choisi.
Problématique : Peut-on trouver une stratégie gagnante pour le premier joueur et si c’est le cas pour quelles tailles de rectangle ?
Quel est la quantité minimum de triangles aigus et
Lycée Français François Mitterrand (Brasilia), Liceo francès Louis Pasteur (Bogotá), Lycée français Jules Verne (Guatemala) 2023-2024Cryptographie par tomographie
Collège Saint-Exupéry (Mulhouse) 2023-2024On considère des grilles rectangulaires, dont certaines cases sont noircies et d’autre laissées vierges. Ca peut representer plein de choses : l’image en noir et blanc d’un motif ou d’une lettre capitale (les lettres du message “COUCOU !”), la position de mines ou de bateaux.
On peut imaginer que les cases noires sont effouies, comme pour des minerais sous la terre ou des cellules infectée dans le corps humain. A l’aides de rayons verticaux et horizontaux on a accés au nombre de cases noires traversées.
On se demande s’il est possible de reconstruire l’image en n’ayant seulement accés à ces valeurs données par les rayons ?
Comment procéder pour se faire ? Y a-t-il bien un ensemble de valeurs pour chaque image et vice-versa ?
On peut imaginer que les cases noires sont effouies, comme pour des minerais sous la terre ou des cellules infectée dans le corps humain. A l’aides de rayons verticaux et horizontaux on a accés au nombre de cases noires traversées.
On se demande s’il est possible de reconstruire l’image en n’ayant seulement accés à ces valeurs données par les rayons ?
Comment procéder pour se faire ? Y a-t-il bien un ensemble de valeurs pour chaque image et vice-versa ?
Le concours de pères Noël
Collège Saint-Exupéry (Mulhouse) 2023-2024Deux pères Noël jouent à qui sera le premier à dire “OHO”. Le matériel du jeu consiste en une rangée de 7 emplacements vides. A tour de rôle chaque prétendant père Noël rajoute une lettre “O” ou “H” dans une des cases vides. Le premier à écrire “OHO” sur trois cases consécutives a gagné. Si personne n’y parvient, personne n’est le Père Noël. Pas de cadeaux cette année !
Le sujet de recherche MeJ consistera à chercher comment gagner. On pourra faire varier les paramètres du jeu, en particulier changer le nombre de case qui ne devra pas forcément rester égal à 7. On pourra considérer des variantes :
— variantes sur les règles : considérer des cases qui ne sont pas alignées (une grille 3×3 ?), changer de mot (“HOO”, avoir plusieurs mots gagnant (“HOH” ou “OHO”), etc.)
— variante cosmétiques sur la petite histoire : des personnes qui envoient un SMS, des mineurs qui utilisent du TNT, des rescapés qui envoient des SOS, des ´el`eves qui font AHA. . .).
Le sujet de recherche MeJ consistera à chercher comment gagner. On pourra faire varier les paramètres du jeu, en particulier changer le nombre de case qui ne devra pas forcément rester égal à 7. On pourra considérer des variantes :
— variantes sur les règles : considérer des cases qui ne sont pas alignées (une grille 3×3 ?), changer de mot (“HOO”, avoir plusieurs mots gagnant (“HOH” ou “OHO”), etc.)
— variante cosmétiques sur la petite histoire : des personnes qui envoient un SMS, des mineurs qui utilisent du TNT, des rescapés qui envoient des SOS, des ´el`eves qui font AHA. . .).
Des plaques et des nombres
Collège Saint-Exupéry (Mulhouse) 2023-2024Inspiré de l’émission cinquantenaire “des chiffres et des lettres”, spécifiquement de l’épreuve de calcul “le compte est bon”.
On dispose d’un certain nombre de plaques (de 3 à 10 plaques. Ce sont 6 plaques dans le jeu) qu’on a le droit de choisir à sa guise. Par exemple, on peut décider de prendre quatre plaques sur lesquelles sont inscrits les nombres 5, 11, 11 et 20. Suivant le principe de l’émission, on se pose plusieurs questions :
— Comment choisir les plaques pour pouvoir atteindre le plus grand nombre de valeurs différentes ? (pour un nombre de plaques fixé)
— Comment choisir les plaques pour couvrir l’intervalle 1, 2, 3 . . . , n le plus large ? (pour un nombre de plaques fixé)
— Combien de plaques suffit-il d’avoir pour couvrir tout l’intervalle 101,. . .,999 ? (Est-ce que 6 plaques bien choisies peuvent suffire ? Est-ce que déjà on peut y arriver avec 50 plaques bien choisies ?)
On dispose d’un certain nombre de plaques (de 3 à 10 plaques. Ce sont 6 plaques dans le jeu) qu’on a le droit de choisir à sa guise. Par exemple, on peut décider de prendre quatre plaques sur lesquelles sont inscrits les nombres 5, 11, 11 et 20. Suivant le principe de l’émission, on se pose plusieurs questions :
— Comment choisir les plaques pour pouvoir atteindre le plus grand nombre de valeurs différentes ? (pour un nombre de plaques fixé)
— Comment choisir les plaques pour couvrir l’intervalle 1, 2, 3 . . . , n le plus large ? (pour un nombre de plaques fixé)
— Combien de plaques suffit-il d’avoir pour couvrir tout l’intervalle 101,. . .,999 ? (Est-ce que 6 plaques bien choisies peuvent suffire ? Est-ce que déjà on peut y arriver avec 50 plaques bien choisies ?)
La diagonale de la table d’addition
Collège Saint-Exupéry (Mulhouse) 2023-2024La diagonale de la table d’addition est constituée des nombres pairs entre zéro et vingt.
Quelles autres diagonales pourrait-on avoir en modifiant l’ordre d’écriture des nombres de 0 à 10, que ce soit sur la marge de gauche ou sur la marge de droite de la table d’addition ?
Quelles autres diagonales pourrait-on avoir en modifiant l’ordre d’écriture des nombres de 0 à 10, que ce soit sur la marge de gauche ou sur la marge de droite de la table d’addition ?
Tubes colorés
Lycée Les Catalins (Montélimar), Lycée Alain Borne (Montélimar) 2023-2024C'est un jeu de réflexion à un seul joueur.
Dans ce jeu, des tubes sont constitués de plusieurs étages avec des liquides de couleur sur chaque étage. Il y a un ou plusieurs tubes vides pour faire transiter le liquide.
Le but est que chaque liquide soit regroupé par couleur, séparé de tous les autres, chacun dans son propre récipient.
Dans ce jeu, des tubes sont constitués de plusieurs étages avec des liquides de couleur sur chaque étage. Il y a un ou plusieurs tubes vides pour faire transiter le liquide.
Le but est que chaque liquide soit regroupé par couleur, séparé de tous les autres, chacun dans son propre récipient.
Chemins colorés
Lycée Les Catalins (Montélimar), Lycée Alain Borne (Montélimar) 2023-2024On dispose d'une grille à quatre côtés. Deux côtés opposés sont colorés en bleu et les deux autres en rouge. Les cases de la grille sont coloriées avec ces deux couleurs.
À quelle(s) condition(s) y a-t-il un "chemin monochrome" reliant les deux bords de la même couleur que le chemin ?
À quelle(s) condition(s) y a-t-il un "chemin monochrome" reliant les deux bords de la même couleur que le chemin ?
Partage d'une parcelle
Collège Mortaix (Pont du Château), Collège Antoine de Saint Exupéry (Lempdes) 2023-2024Boîte de chocolats
Collège Notre Dame du Rocher (Chambéry) 2023-2024Peut-on remplir une boîte avec un maximum de chocolats ?
Peut-on représenter une image avec des traits ?
Collège Notre Dame du Rocher (Chambéry) 2023-2024Nous disposons de clous uniformément réparti sur un cercle de rayon 3 carreaux et une ficelle suffisemment longue.
En reliant les clous entre eux à l'aide de la ficelle comment reproduire une image ?
En reliant les clous entre eux à l'aide de la ficelle comment reproduire une image ?
Tous les nombres avec π
Collège Fabre d’Églantine (La Rochelle), Collège Françoise Dolto (La Jarrie) 2023-2024Le but de ce jeu est de trouver une formule permettant de calculer les nombres entiers en utilisant uniquement le nombre π, les opérations +, −, ×, / et la fonction partie entière : E.
Jusqu'où pouvez-vous allez en n'utilisant pas plus de 3 fois le symbole π ?
Jusqu'où pouvez-vous allez en n'utilisant pas plus de 3 fois le symbole π ?
Des carrés avec des carrés (collège)
Collège Fabre d’Églantine (La Rochelle), Collège Françoise Dolto (La Jarrie) 2023-2024Un fabricant de puzzles réalise des puzzles carrés avec des pièces toutes carrées. Les pièces peuvent être de tailles différentes mais doivent toutes être carrées et le résultat final doit-être un carré. Sur chaque boîte de puzzle il inscrit le nombre de pièces du puzzle. Quels sont les nombres qu’il ne pourra jamais inscrire ?
Les prisonniers et les nombres (collège)
Collège Fabre d’Églantine (La Rochelle), Collège Françoise Dolto (La Jarrie) 2023-2024Dix prisonniers se voient soumettre une épreuve dont, dépend leur survie et leur liberté ! Bien sûr ils savent quelle épreuve les attend et ils peuvent définir une stratégie à l’avance. On leur colle un numéro entre 1 et 10 sur le front, chacun voit les numéros des autres mais pas le sien et ils ne peuvent plus communiquer entre eux. Après un temps de réflexion, ils doivent tous en même temps dire un nombre entre 1 et 10.
Pour réussir il faut qu'un et un seul prisonnier donne le nombre qu'il porte.
Quelle stratégie permet de réussir à coup sûr ?
Pour réussir il faut qu'un et un seul prisonnier donne le nombre qu'il porte.
Quelle stratégie permet de réussir à coup sûr ?
Jeu des pions (collège)
Collège Fabre d’Églantine (La Rochelle), Collège Françoise Dolto (La Jarrie) 2023-2024À chaque tour, le joueur suivant ajoute un nombre de pions compris entre 1 et 3 différent de celui que vient d’ajouter le précédent.
Qui gagnera si la partie compte 4 tours ?
Qui gagnera si elle compte 5 tours ? 100 tours ? n tours ?
Qui gagnera si la partie compte 4 tours ?
Qui gagnera si elle compte 5 tours ? 100 tours ? n tours ?
Les polyominos
Lycée Baudelaire (Annecy), Lycée de l'Albanais (Rumilly) 2023-2024L’objectif est de remplir un rectangle le plus vite possible avec un choix de polyominos.
1. Chaque joueur commence avec 5 polyominos différents. Il faut remplir le plus vite possible un rectangle de 5x4.
2. Le gagnant choisit 2 pentaminos (polyomino à 5 cases). Il en prend 1 et en donne 1 à son adversaire. Il faut maintenant remplir un carré de 5x5.
3. De nouveau le gagnant choisit un autre pentamino et ils doivent remplir un rectangle de 6x5.
Question ? Peut-on choisir n’importe quel polyomino pour commencer ce jeu ?
Question ? Pourquoi si l’on sait remplir un rectangle de 4x5 avec des polyominos, pouvons-nous remplir un carré en rajoutant n’importe quel pentamino ?
1. Chaque joueur commence avec 5 polyominos différents. Il faut remplir le plus vite possible un rectangle de 5x4.
2. Le gagnant choisit 2 pentaminos (polyomino à 5 cases). Il en prend 1 et en donne 1 à son adversaire. Il faut maintenant remplir un carré de 5x5.
3. De nouveau le gagnant choisit un autre pentamino et ils doivent remplir un rectangle de 6x5.
Question ? Peut-on choisir n’importe quel polyomino pour commencer ce jeu ?
Question ? Pourquoi si l’on sait remplir un rectangle de 4x5 avec des polyominos, pouvons-nous remplir un carré en rajoutant n’importe quel pentamino ?
Jeu du charlatan
Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères) 2023-2024Vous êtes un charlatan qui veut participer à un concours de potions magiques où vous avez à votre disposition un sac contenant deux types d’ingrédients : des ingrédients explosifs et des ingrédients bonus avec chacun un pouvoir magique numéroté de 1 à 3. Le but est de créer une potion la plus puissante possible (c’est-à-dire avec la plus grande somme des ingrédients magiques) en choisissant judicieusement les ingrédients. Le petit problème est que vous n’avez pas le droit de regarder dans le sac quel ingrédient vous prenez et, comme vous êtes un charlatan, vous ne savez pas faire la différence entre les ingrédients explosifs et les ingrédients bonus. Vous allez donc devoir les choisir au hasard. Par contre vous savez que, dans votre sac, il y a 10 ingrédients répartis en :
— 4 ingrédients explosifs de puissance 1, 2 de puissance 2 et 1 de puissance 3.
— 1 ingrédient bonus de puissance 1, 1 de puissance 2 et 1 de puissance 3.
Il y a trois règles à se souvenir importantes…
— 4 ingrédients explosifs de puissance 1, 2 de puissance 2 et 1 de puissance 3.
— 1 ingrédient bonus de puissance 1, 1 de puissance 2 et 1 de puissance 3.
Il y a trois règles à se souvenir importantes…
Étude du jeu Lucky Number
Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères) 2023-2024Le but de ce sujet est de comprendre s’il y a des meilleures stratégies que d’autres. Pour ce faire, nous proposons de commencer par regarder un plateau de 2 par 2 et de se demander quelle est la probabilité de le remplir juste en tirant des jetons (on supposera qu’il n’y a que deux joueurs). Ensuite, nous proposons de regarder un plateau de 3 par 3 et de réfléchir, suivant le jeton tiré, quelle sera la position optimale à chaque fois. Enfin, nous pourrons regarder le vrai plateau du jeu. Pour ce dernier, il serait intéressant de coder des stratégies déterministes ou aléatoires et de les faire s’affronter.
Étude de la finalité des nombres
Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères) 2023-2024Prenons un nombre entre 10 et 99 (par exemple 77) et multiplions les deux chiffres qui le composent (7 × 7 = 49). Si nous avons encore un nombre entre 10 et 100, nous recommençons jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre :
77 → 49 → 36 → 18 → 8. (1)
Dans notre exemple, le chiffre 77 mène à 8, on dira alors que 77 est un antécédent de 8 et que 8 est la finalité de 77 (ici, 8 est également la finalité de 49, 36 et 18). Enfin, on parlera de chaîne pour parler de la suite de chiffres obtenue (comme dans le cas de (1)).
Est-on sûr que que chaque nombre possède une finalité ? Ou est-ce qu’une chaîne peut avoir des nombres qui sont toujours plus grands ? Ou alors, un nombre qui va créer un cycle (c’est-à-dire qu’à un moment on retombe sur un chiffre déjà présent dans la chaine) ? Est-ce que tous les chiffres possèdent un antécédent ? Est-ce qu’il y a des chiffres qui reviennent plus souvent que d’autres comme finalité ?
77 → 49 → 36 → 18 → 8. (1)
Dans notre exemple, le chiffre 77 mène à 8, on dira alors que 77 est un antécédent de 8 et que 8 est la finalité de 77 (ici, 8 est également la finalité de 49, 36 et 18). Enfin, on parlera de chaîne pour parler de la suite de chiffres obtenue (comme dans le cas de (1)).
Est-on sûr que que chaque nombre possède une finalité ? Ou est-ce qu’une chaîne peut avoir des nombres qui sont toujours plus grands ? Ou alors, un nombre qui va créer un cycle (c’est-à-dire qu’à un moment on retombe sur un chiffre déjà présent dans la chaine) ? Est-ce que tous les chiffres possèdent un antécédent ? Est-ce qu’il y a des chiffres qui reviennent plus souvent que d’autres comme finalité ?
Trapèzes discrets et dominos
Lycée Les Catalins (Montélimar), Lycée Alain Borne (Montélimar) 2023-2024Quels sont les "trapèzes discrets" que l'on peut paver de dominos ?
Le chasseur et le lapin
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Les chocolats
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Le cavalier du Nord-Est
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Deux groupes de 2 et 3 travaillent séparément.
Les triforces
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Le fugitif
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Les caméléons
Lycée Colbert (Tourcoing), Lycée Louis Pasteur (Lille) 2023-2024Deux groupes de 4 travaillent séparément sur deux créneaux différents
Les pirates
Lycée Honoré d Urfé (Saint Etienne) 2023-2024100 pirates d’un navire souhaitent enfin profiter de son butin. Le capitaine leur lance le défi suivant :
▶ Chaque pirate ira dans son bureau avant d’être débarqué sur l’île.
▶ Il pourra alors examiner 50 tiroirs parmi les 100, qui contiennent chacun la fiche d’un des pirates à bord. S’il trouve la sienne, il pourra l’emmener avec lui sur l’île.
▶ Si chaque pirate trouve sa fiche, ils auront accès au trésor. Autrement, ils seront abandonnés l’île.
Les pirates sont-ils damnés ? Ou ont-ils une chance de s’en sortir ?
▶ Chaque pirate ira dans son bureau avant d’être débarqué sur l’île.
▶ Il pourra alors examiner 50 tiroirs parmi les 100, qui contiennent chacun la fiche d’un des pirates à bord. S’il trouve la sienne, il pourra l’emmener avec lui sur l’île.
▶ Si chaque pirate trouve sa fiche, ils auront accès au trésor. Autrement, ils seront abandonnés l’île.
Les pirates sont-ils damnés ? Ou ont-ils une chance de s’en sortir ?
Les patates
Lycée Honoré d Urfé (Saint Etienne) 2023-2024On laisse x pommes de terre à la fin de l’automne dans un jardin. Celles-ci, après avoir poussé pendant le reste de l’année, meurent après avoir donné 4 autres pommes de terre.
Malheureusement, ce jardin étant bien petit, si les tubercules sont trop nombreux, beaucoup d’entre elles meurent de suite :
▶ Toutes, si le nombre de tubercules est plus grand que 100.
▶ x% sinon.
Si le jardinier ne fait rien, finira-t-il par trouver le même nombre de tubercules d’année en année ?
Que se passera-t-il si le jardinier prélève αx% des patates chaque année ?
Malheureusement, ce jardin étant bien petit, si les tubercules sont trop nombreux, beaucoup d’entre elles meurent de suite :
▶ Toutes, si le nombre de tubercules est plus grand que 100.
▶ x% sinon.
Si le jardinier ne fait rien, finira-t-il par trouver le même nombre de tubercules d’année en année ?
Que se passera-t-il si le jardinier prélève αx% des patates chaque année ?
Découpage de grille: stratégie gagnante
Lycée Pablo Neruda (St Martin d'Hères), Collège Édouard Vaillant (St-Martin d'Hères) 2023-20242 joueurs doivent découper et supprimer une partie de la grille proposée en prenant en compte la position d'une croix dans la grille. En fonction de la taille de la grille, qui a une stratégie gagnante ? laquelle ?
Comment carreler une cuisine ?
Lycée Pablo Neruda (St Martin d'Hères), Collège Édouard Vaillant (St-Martin d'Hères) 2023-2024Comment carreler une cuisine modélisée par une grille, en variant la forme des carreaux et en tenant compte de contraintes.
Binaire optimal : texte compact
Lycée La Martinière Duchère (Lyon) 2023-2024Notre projet porte sur les méthodes optimales pour compresser un texte composé des 26 lettres de l'alphabet et de l'espace en binaire afin qu'il puisse avoir un volume de stockage le plus faible possible. Nous avons d'abord appris les bases du binaires puis nous avons programmé un codeur et un décodeur en Python. Ensuite, nous avons étudié les méthodes de compression binaire puis nous les avons transposées en Python afin de coder et décoder un texte binaire compressé de façon optimale.
Des entiers au carré
Lycée La Martinière Duchère (Lyon) 2023-2024Nous avons étudié l’équation a^2+b^2=n*c^2. Notre but était de chercher les valeurs de n, entier positif, pour lesquelles il existe des solutions, avec a,b,c appartenant à N.
Pour ce faire, nous avons commencé par chercher les solutions pour des n petits. Nous avons réalisé un programme Python nous aidant dans notre tâche, afin de calculer toutes les solutions pour un n donné. Notre programme n’a pas fonctionné pour toutes les valeurs de n testées, nous avons donc cherché pourquoi. En généralisant, nous sommes arrivés à déterminer certaines valeurs de n pour lesquelles aucune solution n’existe. Nous avons également réussi à établir des remarques qui s’appliquent tout le temps.
Pour ce faire, nous avons commencé par chercher les solutions pour des n petits. Nous avons réalisé un programme Python nous aidant dans notre tâche, afin de calculer toutes les solutions pour un n donné. Notre programme n’a pas fonctionné pour toutes les valeurs de n testées, nous avons donc cherché pourquoi. En généralisant, nous sommes arrivés à déterminer certaines valeurs de n pour lesquelles aucune solution n’existe. Nous avons également réussi à établir des remarques qui s’appliquent tout le temps.
Au voleur
Lycée Jean-Paul Sartre (Bron), Lycée Edouard Herriot (Lyon) 2023-2024Une voleuse et un gendarme sont dans un espace donné (par exemple un disque de taille su ffisament grand). Chacun.e leur tour, la voleuse puis le gendarme se déplace d’une distance au plus égale à un mètre, dans la direction qu’iel souhaite. On suppose que les deux personnages savent à tout moment la position de l’autre.
Le gendarme peut-il attraper le voleur quelle que soit les positions de départ ? Le voleur peut-il s'échapper indéfiniment ?
Le gendarme peut-il attraper le voleur quelle que soit les positions de départ ? Le voleur peut-il s'échapper indéfiniment ?
Des polygones réguliers sur un quadrillage
Collège Mortaix (Pont du Château), Collège Antoine de Saint Exupéry (Lempdes) 2023-2024Des nombres rangés en carré
Collège Mortaix (Pont du Château), Collège Antoine de Saint Exupéry (Lempdes) 2023-2024Le feu à la forêt
Lycée Montdory (Thiers) 2023-2024Prenons un graphe à n sommets. En combien d’étapes minimum et maximum (en fonction de n), pouvons-nous mettre le feu sur tous les sommets sachant que, à chaque étape :
- le feu se propage à tous les sommets adjacents aux sommets déjà enflammés
- on peut allumer un feu supplémentaire sur l’un des sommets non enflammé.
Différents types de graphes sont à étudier : les lignes, les graphes étoilés, les arbres.
- le feu se propage à tous les sommets adjacents aux sommets déjà enflammés
- on peut allumer un feu supplémentaire sur l’un des sommets non enflammé.
Différents types de graphes sont à étudier : les lignes, les graphes étoilés, les arbres.
Autour d'un casse-tête
Collège Mortaix (Pont du Château), Collège Antoine de Saint Exupéry (Lempdes) 2023-2024Score au rugby
Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne) 2023-2024Peut-on obtenir n'importe quel score au rugby en combinant des pénalités à 3 points, des essais à 5 points, des transformations à 7 points?
Et si oui, de combien de manières? Et avec des pénalités à 4 points et des essais à 5 points?
Et si oui, de combien de manières? Et avec des pénalités à 4 points et des essais à 5 points?
Des grilles harmonieuses
Lycée Jean-Paul Sartre (Bron), Lycée Edouard Herriot (Lyon) 2023-2024On dispose d’une grille vide avec des valeurs inscrites à l’extérieur, à coté de chaque bord de la grille. Le but du jeu est de remplir toute la grille de telle sorte que chaque case soit la moyenne des cases qui lui sont adjacentes. Est-il toujours possible de remplir la grille ?
Le Triomino
Lycée Jean-Paul Sartre (Bron), Lycée Edouard Herriot (Lyon) 2023-2024Le Triomino est un jeu populaire qui généralise le domino. Une tuile de Triomino est en forme de triangle équilatéral. Il y a un chiffre entre 0 et 5 inscrit dans chaque angle. Il y a exactement une tuile pour chaque triplet de chiffres (avec possible répétitions de chiffres) et les chiffres sont placés dans l’ordre croissant lorsque l’on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. Notons que, si deux chiffres sont pareils, il y a qu’une seule tuile à rotation près. Quelle est l'a plus grande pyramide que l'on peut faire en respectant ces règles ? Des formes sont elles impossibles à faire ?
Les nénuphars carrés
École élémentaire de la Porte d’Ivry (Paris), Ecole élémentaire Félix Eboué (Le Pecq) 2023-2024Dans un étang de surface carrée (quadrillage 5x5), il y a des nénuphars carrés dans des cases. Quand deux cotés d'une case sont bordés par un nénuphar, un nouveau nénuphar apparaît le lendemain.
Combien de nénuphars minimum faut-il et comment les disposer pour remplir l'étang ?
Combien de nénuphars minimum faut-il et comment les disposer pour remplir l'étang ?
Les nombres de Quentin
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Quentin a inventé une famille de nombres entiers.
Ils ne commencent pas par 0 et sont formés de chiffres différents.
La somme de trois chiffres consécutifs d'un nombre de Quentin est toujours un multiple de 5.
Le nombre de chiffres qui le composent s'appelle sa longueur.
Quelle est la longueur maximale d'un nombre de Quentin ?
Combien y a-t-il de nombres de longueur maximale ?
Ils ne commencent pas par 0 et sont formés de chiffres différents.
La somme de trois chiffres consécutifs d'un nombre de Quentin est toujours un multiple de 5.
Le nombre de chiffres qui le composent s'appelle sa longueur.
Quelle est la longueur maximale d'un nombre de Quentin ?
Combien y a-t-il de nombres de longueur maximale ?
Le reversi
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024On utilise un jeu de reversi de manière un peu particulière : la grille de jeu est de taille 4x4 et toutes les cases contiennent un jeton face noire vers le haut.
On aimerait arriver à avoir tous les jetons face blanche vers le haut, en appliquant plusieurs fois la règle suivante : on choisit n’importe quel jeton, on le retourne ainsi que tous ses voisins horizontaux et verticaux.
Peut-on arriver à avoir les jetons tous blancs quelle que soit la configuration de départ ?
On aimerait arriver à avoir tous les jetons face blanche vers le haut, en appliquant plusieurs fois la règle suivante : on choisit n’importe quel jeton, on le retourne ainsi que tous ses voisins horizontaux et verticaux.
Peut-on arriver à avoir les jetons tous blancs quelle que soit la configuration de départ ?
Les seaux
Collège du Moulin des Prés (Paris), Collège Camille Claudel (Paris) 2023-2024Nous avons trois seaux de volume infini. Chaque sceau contient de l'eau.
Le but est de vider un seau par transvasements successifs.
La condition : on ne peut mettre dans un seau que la quantité qu'il contient déjà.
Le but est de vider un seau par transvasements successifs.
La condition : on ne peut mettre dans un seau que la quantité qu'il contient déjà.
Les mathématiques du Tétris
Lycée Louise Michel (Bobigny), Lycée Germaine Tillion (Le Bourget) 2023-2024Le jeu de puzzle Tetris est un jeu populaire où le but est d’empiler habilement des pièces pour créer des lignes.
Les pièces de Tetris sont constituées de 4 petits carrés de taille égale, et il en existe 7 types différents.
Combien existe-t-il de pentaminos ? d’hexaminos ? d’heptaminos ? d’octaminos ?
Les pièces de Tetris sont constituées de 4 petits carrés de taille égale, et il en existe 7 types différents.
Combien existe-t-il de pentaminos ? d’hexaminos ? d’heptaminos ? d’octaminos ?
Un drôle de carré
Lycée Louise Michel (Bobigny), Lycée Germaine Tillion (Le Bourget) 2023-2024Considérons un jeu de 32 cartes, et ne gardons que les As et les figures (Roi, Dame, Valet).
Peut-on placer ces seize cartes selon quatre lignes et quatre colonnes ne contenant jamais deux fois la même couleur (trèfle, cœur, carreau, pique) ou la même valeur (valet, dame, roi, as) ?
Peut-on placer ces seize cartes selon quatre lignes et quatre colonnes ne contenant jamais deux fois la même couleur (trèfle, cœur, carreau, pique) ou la même valeur (valet, dame, roi, as) ?
Les objets volants
Lycée français international Simone Veil (Düsseldorf) 2023-2024La ruche
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Une ruche d’abeille est un pavage du plan par des polygones, c’est à dire que l’on dispose des polygones côte à côte de sorte à remplir le plan. On considère que la ruche est construite à partir d’un polygone.
Afin de consommer le moins de cire possible pour construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport : R =aire/périmètre. Quel est le meilleur pavage composé de polygones réguliers identiques ? Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé de
polygones réguliers différents.
Afin de consommer le moins de cire possible pour construire la ruche, les abeilles veulent maximiser le rapport : R =aire/périmètre. Quel est le meilleur pavage composé de polygones réguliers identiques ? Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés sont de même longueur et tous les angles sont de même mesure. On peut envisager aussi un pavage composé de
polygones réguliers différents.
Éclairage
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Un électricien inexpérimenté se charge de l’installation d’une maison et commets des erreurs qui entraînent un allumage hétéroclite des pièces : lorsque l’on allume la lumière
dans une pièce, on change l’état de l’éclairage dans toutes les pièces voisines à celle-ci (d’éteint à allumé et d’allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérées comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus.
Un problème se pose alors : comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les pièces sont au départ toutes éteintes. On peut considérer des maisons rectangulaires ainsi que des maisons de formes diverses.
dans une pièce, on change l’état de l’éclairage dans toutes les pièces voisines à celle-ci (d’éteint à allumé et d’allumé à éteint). Les pièces en diagonale ne sont pas considérées comme adjacentes et ne sont donc pas concernées par le problème cité ci-dessus.
Un problème se pose alors : comment allumer toutes les pièces de la maison sachant que les pièces sont au départ toutes éteintes. On peut considérer des maisons rectangulaires ainsi que des maisons de formes diverses.
Chemin le plus court
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Comment relier deux points par le chemin le plus court ? Et si on devait rebondir ou toucher une droite ? deux droites ?
Les panneaux solaires
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024L’objectif principal est de proposer une installation solaire photovoltaïque adaptée à la toiture du bâtiment principal du collège en respectant certaines contraintes.
Le premier travail consiste à réaliser le calepinage optimal de l’installation solaire sur la surface utile du toit terrasse du bâtiment puis de conclure sur le système qui permettrait d’obtenir la meilleure production.
Le premier travail consiste à réaliser le calepinage optimal de l’installation solaire sur la surface utile du toit terrasse du bâtiment puis de conclure sur le système qui permettrait d’obtenir la meilleure production.
Les derniers chiffres
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024(a) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de carrés des entiers consécutifs 1×1 = 1, 2×2 = 4, 3×3 = 9, 4×4 = 16, 5×5 = 25, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs 1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) Question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) Question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
(b) Que peut-on dire de derniers chiffres dans la suite de cubes des entiers consécutifs 1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64, ...
(c) Question analogue pour la suite 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, ...
(d) Question analogue pour la suite 3, 3 × 3, 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 3 × 3, ...
Au marché
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024 Un paysan doit livrer sa récolte de blé (90 sacs) au marché de la ville voisine, distante de 50 km. Pour cela, il fait appel à un charretier. La charrette de celui-ci peut transporter 50 sacs. Le charretier demande comme salaire un sac de blé pour chaque kilomètre parcouru à l’aller. Heureusement, il ne demande rien pour le trajet retour.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Combien le paysan va-t-il pouvoir apporter de sacs au marché ?
On pose un problème analogue pour plusieurs paysans, chacun avec 90 sacs de blé à livrer à la ville distante de 50 km.
Les polyminos
Collège Lucie Aubrac (Dunkerque) 2023-2024Les polyminos sont des morceaux d’échiquiers qui sont d’un seul tenant : deux cases quelconques ont au moins un côté en commun. Un polymino composé de deux cases est
un domino, trois cases un trimino, .... On s'interesse aux pavages de grilles possibles par ces polyminos et notamment lorsqu'on retire certaines cases de la grille.
un domino, trois cases un trimino, .... On s'interesse aux pavages de grilles possibles par ces polyminos et notamment lorsqu'on retire certaines cases de la grille.
Un problème de graphe
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Dans le graphe complet Kn on colore au hasard chaque arête en sang ou or. Pour quelles valeurs de n est-on sûr qu’il y a un triangle monochrome ? Et si on utilise 3 couleurs ?
La tonte du jardin
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Comment faire passer la tondeuse à gazon dans un jardin rectangulaire divisé en cases en passant une fois et une seule par chaque case ?
Les gendarmes et le voleur
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024La scène se passe à New York, un cambriolage vient d’avoir lieu dans une bijouterie et le voleur s’enfuit sur sa moto. L’alerte est donnée et une voiture de police essaye de rattraper le voleur. La voiture est plus rapide que la moto, mais elle est moins maniable : le voleur peut-il s’échapper ?
Comme on est à New York, les rues sont bien droites et forment un quadrillage régulier. On suppose alors que chacun des joueurs (le gendarme et le voleur) joue à son tour, et que le voleur joue en premier. La moto est très maniable : à chaque coup, la moto se déplace d’une case dans n’importe quelle direction.
La voiture est plus rapide, et à chaque coup elle se déplace de deux cases; mais elle ne peut pas faire demi-tour à une intersection, donc ses déplacements sont limités.
Le gendarme gagne s’il réussit à rattraper le voleur; le voleur gagne s’il réussit à échapper au gendarme pendant 20 coups.
Peut-on prédire, selon les positions de départ, si le gendarme peut gagner, et lui fournir… voir la suite
Comme on est à New York, les rues sont bien droites et forment un quadrillage régulier. On suppose alors que chacun des joueurs (le gendarme et le voleur) joue à son tour, et que le voleur joue en premier. La moto est très maniable : à chaque coup, la moto se déplace d’une case dans n’importe quelle direction.
La voiture est plus rapide, et à chaque coup elle se déplace de deux cases; mais elle ne peut pas faire demi-tour à une intersection, donc ses déplacements sont limités.
Le gendarme gagne s’il réussit à rattraper le voleur; le voleur gagne s’il réussit à échapper au gendarme pendant 20 coups.
Peut-on prédire, selon les positions de départ, si le gendarme peut gagner, et lui fournir… voir la suite
Ah ce brevet !
Collège Le Riberal (Saint-Estève), Collège François Mitterrand (Toulouges) 2023-2024Le principal de votre collège pense que l’organisation des épreuves du brevet sont trop coûteuses. Il réunit tous les élèves de troisième et leur dit :
"Je vais vous réunir demain tous en rond. Puis je vais poser sur la tête de chacun de vous, au hasard, un chapeau rouge ou noir. Chaque élève peut voir la couleur des chapeaux des autres, mais pas la sienne. Chacun à son tour, les élèves annonceront la couleur de leur chapeau. Si un élève donne la couleur de son chapeau, il est dispensé des épreuves et obtient immédiatement son diplôme, sinon il doit passer les épreuves".
Les élèves ont la possibilité, avant d’avoir les chapeaux sur leurs têtes, de mettre au point une stratégie globale ; une fois que les chapeaux ont été posés, ils ne disent plus que ”mon chapeau est...”
Quelle stratégie doivent-ils adopter ? Même question, mais avec n > 2 couleurs de chapeau.
"Je vais vous réunir demain tous en rond. Puis je vais poser sur la tête de chacun de vous, au hasard, un chapeau rouge ou noir. Chaque élève peut voir la couleur des chapeaux des autres, mais pas la sienne. Chacun à son tour, les élèves annonceront la couleur de leur chapeau. Si un élève donne la couleur de son chapeau, il est dispensé des épreuves et obtient immédiatement son diplôme, sinon il doit passer les épreuves".
Les élèves ont la possibilité, avant d’avoir les chapeaux sur leurs têtes, de mettre au point une stratégie globale ; une fois que les chapeaux ont été posés, ils ne disent plus que ”mon chapeau est...”
Quelle stratégie doivent-ils adopter ? Même question, mais avec n > 2 couleurs de chapeau.
Quadrillage
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2023-2024On considère un quadrillage 10 x 10. Si l’on trace une droite, que l’on colorie les cases qui sont
coupées par la droite, combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du
carré ?
coupées par la droite, combien de droites faut-il au minimum pour colorier toutes les cases du
carré ?
Jeu du Flip
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2023-2024On part d’un damier de n lignes et m colonnes, que l’on appelle le damier n x m. On pose dessus
des pions d’othello reversi : blancs sur une face, noirs sur l’autre. On part d’un damier dont tous
les pions sont blancs (face blanche visible). Le but est de retourner tous les pions et donc se
retrouver avec un damier tout noir.
Pour cela :
• On a le droit de cliquer successivement sur les cases que l’on veut.
• Quand on clique sur une case, cela retourne les pions des 4 cases voisines mais
pas celui de la case sur laquelle on a cliqué.
(Sujet complet en pièce jointe)
des pions d’othello reversi : blancs sur une face, noirs sur l’autre. On part d’un damier dont tous
les pions sont blancs (face blanche visible). Le but est de retourner tous les pions et donc se
retrouver avec un damier tout noir.
Pour cela :
• On a le droit de cliquer successivement sur les cases que l’on veut.
• Quand on clique sur une case, cela retourne les pions des 4 cases voisines mais
pas celui de la case sur laquelle on a cliqué.
(Sujet complet en pièce jointe)
Mélanges de cartes
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2023-2024Combien de cartes en moyenne restent à leur place initiale lorsque l'on mélange aléatoirement un
jeu de cartes ?
jeu de cartes ?
Fractions égyptiennes
Lycée Joséphine Baker (Toulouse) 2023-2024Une fraction égyptienne est une fraction qui a pour numérateur 1 et un dénominateur entier
positif. On cherchera à démontrer qu'une fraction quelconque peut s’écrire en somme de fractions
égyptiennes. Les questions suivantes pourrons vous y aider. Peut-on décomposer une fraction non
unitaire inférieure à 1 en somme de fractions égyptiennes toutes différentes ? Comment
décomposer une fraction positive inférieure à 1 en somme de fractions égyptiennes ?
positif. On cherchera à démontrer qu'une fraction quelconque peut s’écrire en somme de fractions
égyptiennes. Les questions suivantes pourrons vous y aider. Peut-on décomposer une fraction non
unitaire inférieure à 1 en somme de fractions égyptiennes toutes différentes ? Comment
décomposer une fraction positive inférieure à 1 en somme de fractions égyptiennes ?
Les nombres palindromes
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024Triangles dans le triangle
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024Les nombres miroirs - P
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024additionner un nombre avec son nombre vu dans un miroir
948 + 849 = .... Que se passe-t-il ?
948 + 849 = .... Que se passe-t-il ?
Forêts et Parcs
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024On souhaite construire la plus grande forêt possible pour la planète mais sans en aligner 3. Comment peut-on faire ?
Le carré
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024Les nombres miroirs
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024Je prends un nombre que j'additionne à son palindrome. Qu'obtient-on ?
Le nombre de triangles dans un triangle
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024A partir d'un triangmle et de ^points sur les côtés, on va dénombrer le nombre de combinaison possible et donc savoir le nombre de triangles.
Les clés
Institution Sainte-Odile (Lambersart) 2023-2024A partir d'une serrure, on cherche toutes les clés qui peuvent entrer mais aussi celle qui va pouvoir ouvrir la serrure. Combien de clés allons-nous trouver ?
Captain Kirk
Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) 2023-2024On considère la planète "Square" dont la surface est assimilée à un carré de côté 1000km.
Le capitaine Kirk souhaite se rendre à la capitale "Square City", c’est à dire qu’il veut se faire téléporter à moins d’1km de la capitale (distance à laquelle il peut apercevoir la capitale et ainsi s’y rendre à pied).
Pour se téléporter, le capitaine Kirk indique les coordonnées du point de téléportation au vaisseau, et ce dernier téléporte le capitaine au point demandé.
Le capitaine Kirk dispose d’un capteur lui indiquant s’il s’est rapproché ou éloigné de la capitale après chaque "saut" de téléportation.
Au départ, le capitaine Kirk atterrit au point de coordonnées situé en bas à gauche de la planète.
Trouver une stratégie pour minimiser le nombres de "sauts" de Captain Kirk.
Le capitaine Kirk souhaite se rendre à la capitale "Square City", c’est à dire qu’il veut se faire téléporter à moins d’1km de la capitale (distance à laquelle il peut apercevoir la capitale et ainsi s’y rendre à pied).
Pour se téléporter, le capitaine Kirk indique les coordonnées du point de téléportation au vaisseau, et ce dernier téléporte le capitaine au point demandé.
Le capitaine Kirk dispose d’un capteur lui indiquant s’il s’est rapproché ou éloigné de la capitale après chaque "saut" de téléportation.
Au départ, le capitaine Kirk atterrit au point de coordonnées situé en bas à gauche de la planète.
Trouver une stratégie pour minimiser le nombres de "sauts" de Captain Kirk.
Plan d'attaque
Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) 2023-2024Une générale veut transmettre un ordre d’attaque sur une ville, mais ne veut dévoiler le lieu précis à ses troupes au dernier moment. Le lieu sera une des entrées de la ville (N, S, E ou O), à une heure précise h qui a été communiquée au préalable.
Pour ce faire, elle passe des appels téléphoniques pour donner le lieu de l’attaque. Chaque coup de téléphone prend 1 minute. Elle débute ses appels à h − 5 (elle peut donc passer 5 appels, mais les officiers appelés peuvent aussi passer des appels). La générale ne se trompe pas lors de ses appels.
Il y a n officiers (chacun a une probabilité e_n = 20% de chances de se tromper) en transmettant les informations) et p sous-officiers (e_p = 40%). Chaque sous-officier est en charge de déplacer son groupe, les officiers se déplacent tous seuls.
Proposer une structure de transmission permettant de maximiser les probabilités que tous les groupes arrivent au bon endroit.
Pour ce faire, elle passe des appels téléphoniques pour donner le lieu de l’attaque. Chaque coup de téléphone prend 1 minute. Elle débute ses appels à h − 5 (elle peut donc passer 5 appels, mais les officiers appelés peuvent aussi passer des appels). La générale ne se trompe pas lors de ses appels.
Il y a n officiers (chacun a une probabilité e_n = 20% de chances de se tromper) en transmettant les informations) et p sous-officiers (e_p = 40%). Chaque sous-officier est en charge de déplacer son groupe, les officiers se déplacent tous seuls.
Proposer une structure de transmission permettant de maximiser les probabilités que tous les groupes arrivent au bon endroit.
Aidons la DDT!
Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) 2023-2024On considère n villes situées situées sur un plan euclidien. Chaque ville est identifiée par une lettre et des coordonnées. On souhaite relier toutes les villes entre elles. Pour ce faire, on peut construire des routes et des ronds-points sachant que les coûts sont les suivants :
Route : 1 000 000 € le km linéaire ;
Rond-point : 1 000 000 € l’unité.
Il n’y a pas de limite au nombre de routes se rencontrant à un rond-point.
Comment relier les n villes pour minimiser le coût global ?
Route : 1 000 000 € le km linéaire ;
Rond-point : 1 000 000 € l’unité.
Il n’y a pas de limite au nombre de routes se rencontrant à un rond-point.
Comment relier les n villes pour minimiser le coût global ?
Robinson
Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) 2023-2024Robinson a échoué sur une île déserte et y a rencontré un autochtone appelé Vendredi. Chacun d’entre eux doit survivre, sachant que les besoins hebdomadaires d’un humain sont les suivants : 10 L d’eau et 6 kg de nourriture.
Capacités de récolte de Robinson: récupère 1 L d’eau en 3 h ; récupère 1 kg de nourriture en 4 h.
Capacités de récolte de Vendredi: récupère 1 L d’eau en 2 h ; récupère 1 kg de nourriture en 3 h.
On se demande dans ce problème s'il est intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à récolter des vivres ? Qu'en pensez-vous?
Capacités de récolte de Robinson: récupère 1 L d’eau en 3 h ; récupère 1 kg de nourriture en 4 h.
Capacités de récolte de Vendredi: récupère 1 L d’eau en 2 h ; récupère 1 kg de nourriture en 3 h.
On se demande dans ce problème s'il est intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à récolter des vivres ? Qu'en pensez-vous?
Les feux de forêts
Collège Villey Desmeserets (Caen), Lycée Malherbe (Caen) 2023-2024On s’intéresse à des forêts modélisées par des grilles. L’objectif est de tracer dans la forêt un chemin pour les pompiers, qui passe par une case voisine de chaque case de forêt (pour la protéger), mais qui soit le plus court possible (afin de limiter la surface de forêts à couper).
On pourra s’intéresser à des forêts rectangulaires, à des pompiers capables de protéger les cases le long du chemin ou aussi en diagonale (voire que en diagonale !), et même des pompiers capables de protéger les cases à distance 2 du chemin. On peut aussi diversifier la forme des forêts (grille triangulaire, hexagonale,...) ou la forme du chemin, en autorisant les embranchements et les impasses, en imposant que le chemin décrive une boucle. Quel que soit le choix que vous faites, on aimerait avoir les solutions pour des tailles de grilles variées.
On pourra s’intéresser à des forêts rectangulaires, à des pompiers capables de protéger les cases le long du chemin ou aussi en diagonale (voire que en diagonale !), et même des pompiers capables de protéger les cases à distance 2 du chemin. On peut aussi diversifier la forme des forêts (grille triangulaire, hexagonale,...) ou la forme du chemin, en autorisant les embranchements et les impasses, en imposant que le chemin décrive une boucle. Quel que soit le choix que vous faites, on aimerait avoir les solutions pour des tailles de grilles variées.
Les vélos et les feux rouges
Lycée en Forêt (Montargis) 2023-2024Je prends tous les jours une piste cyclable, sur laquelle il y a un certain nombre de feux de circulation. Lorsque je vois un autre vélo au loin devant moi, je me demande toujours si les feux que nous allons rencontrer vont plutôt m'aider à le rattraper, ou au contraire vont nous éloigner encore plus.
Le but de cette recherche est d'essayer de traduire cette question en termes mathématiques, et d'essayer d'y répondre, sous certaines hypothèses.
Le but de cette recherche est d'essayer de traduire cette question en termes mathématiques, et d'essayer d'y répondre, sous certaines hypothèses.