Les sujets des ateliers MATh.en.JEANS
Des goûts et des couleurs
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-20241/ Blanche et Gilles jouent à tour de rôle, Blanche commence en coloriant une case d'une ligne d'une couleur (vert, jaune ou rouge) ; Blanche gagne si 3 cases successives contiennent les 3 couleurs ; Gilles doit l'en empêcher. Stratégie gagnante pour l'un ou l'autre ?
2/ Idem avec 4 couleurs sur une ligne limitée à 11 cases, sachant que Gilles ne peut colorier une case limitrophe à celle que Blanche vient de colorier.
2/ Idem avec 4 couleurs sur une ligne limitée à 11 cases, sachant que Gilles ne peut colorier une case limitrophe à celle que Blanche vient de colorier.
L'héritage
Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle), Lycée Valin (La Rochelle) 2023-2024Une sœur et un frère héritent d'un terrain en forme de quadrilatère convexe avec un pommier sur l'un des côtés ; est-il possible de couper, par un trait passant par le pommier, le terrain en 2 parties de même aire ?
Les carreaux traversants
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024Sur des carreaux de côté 1, on dessine deux chemins qui joignent les côtés deux à deux (opposés ou consécutifs). On carrelle ensuite une pièce rectangulaire. Y a-t-il toujours un chemin qui joint le côté gauche au côté droit? Peut-on calculer la probabilité que cela arrive?
Des vagues de cailloux ?
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024On considère un nombre infini de boîtes alignées. Chaque boîte peut être vide ou contenir un caillou. Un chariot avance, quand il arrive sur une boîte libre, il dépose un caillou s'il en a un en réserve, sinon il ne fait rien. Quand il arrive sur une boîte avec un caillou, il le prend. Que se passe-t-il quand on fait passer le chariot un grand nombre de fois? Peut-on prédire la solution finale? Peut-on retrouver la condition initiale?
Les univers de Pacman
Lycée Jacques Monod (Saint-Jean de Braye) 2023-2024Dans le jeu, Pacman semble se déplacer sur un carré sauf que, quand il sort par la droite, il rentre par la gauche et quand il sort par le haut, il rentre par le bas. Ainsi, les bords du carré ne correspondent à aucune réalité pour lui : il se déplace sur une surface sans avoir conscience des bords. En se donnant plusieurs carreaux et une "règle sur les entrées/sorties", décrire la surface sur laquelle se déplace Pacman.
Voyage en train
Lycée Vaclav Havel (Bègles), Lycée Alfred Kastler (Talence) 2023-2024C’est le voyage pour le congrès de MATh.en.JEANS. Les participants prennent le train et cherchent les chemins les plus probabales
Mariage
Lycée Vaclav Havel (Bègles), Lycée Alfred Kastler (Talence) 2023-2024Deux anciens élèves de mathenjeans se marient et ont besoin des mathématiques pour créer des porte-noms pour leurs invités
Répartir n points sur une sphère
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024Comment répartir n points sur une sphère de sorte que la plus petite de leurs distances mutuelles soit aussi élevée que possible
Points voisins
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024On considère une partie X du plan constituée d'un nombre fini de points chacun colorié en bleu ou en jaune. Certains points de X sont reliés entre eux par des traits. On attribue à chaque point jaune un nombre réel et on se pose la question suivante :
Peut-on attribuer à chaque point bleu un nombre réel égal à la moyenne des nombres attribués à ses voisins ?
Les voisins d'un point M de X sont les points reliés à M par un trait.
Peut-on attribuer à chaque point bleu un nombre réel égal à la moyenne des nombres attribués à ses voisins ?
Les voisins d'un point M de X sont les points reliés à M par un trait.
Une liste parfaite
Lycée Pierre Mendès-France (Tunis), Lycée Alexandre Dumas (Alger) 2023-2024 Une liste finie d'entiers naturels non nuls est dite parfaite si chacun de ses entiers divise la somme de tous les autres. Par exemple la liste (2,4 ,2) est parfaite. Mais celle-ci (1,2) ne l'est pas. La liste (1,1,...,1) constituée de n uns est parfaite.
Peut-on trouver une liste parfaite de longueur n fixée dont tous les entiers sont des entiers distincts deux à deux ?
Peut-on trouver une liste parfaite de longueur n fixée dont tous les entiers sont des entiers distincts deux à deux ?
Les billes de billard
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Cette entreprise a conçu un nouveau modèle de billes de billard ultra résistantes, et veut tester leur solidité en décidant de quel étage on peut les lâcher depuis l'immeuble de l'entreprise sans qu'elles se brisent à l'impact. On dispose seulement de deux billes prototypes, et l'immeuble fait 100 étages de haut.
En combien d'essais* au minimum peut-on déterminer à coup sûr l'étage maximal depuis lequel on peut lâcher une bille sans qu'elle se casse ?**
* Lâcher les deux billes en même temps compte pour deux essais.
** On supposera que les billes qui survivent à un essai ne sont pas fragilisées par l'essai.
En combien d'essais* au minimum peut-on déterminer à coup sûr l'étage maximal depuis lequel on peut lâcher une bille sans qu'elle se casse ?**
* Lâcher les deux billes en même temps compte pour deux essais.
** On supposera que les billes qui survivent à un essai ne sont pas fragilisées par l'essai.
L'araignée et la mouche
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Une boîte parallélépipédique de 20 cm × 10 cm × 10 cm posée sur une table. Une araignée se trouve au pied de la boîte, juste au milieu d'un des côtés de 10 cm. Une mouche se pose à un endroit quelconque de la boîte. L'araignée sait déterminer le chemin le plus court qui mène à la mouche tout en restant sur la boîte. La longueur L de ce chemin dépend de l'endroit où s'est posée la mouche. En se posant au bon endroit sur la boîte, la mouche peut rendre L le plus grand possible.
Quelle est cette valeur maximale de L ?
Quelle est cette valeur maximale de L ?
Parts égales ?
Collège l’Impernal (Luzech), Lycée Clément Marot (Cahors) 2023-2024Géo a inventé un robot découpeur de tartes. Il est muni d'un tranchoir inamovible et d'un plateau tournant. On y dépose la tarte dans la machine, celle-ci la centre, actionne le tranchoir, ce qui découpe un rayon, puis fait tourner la tarte de l'angle θ, découpe un nouveau rayon, fait tourner la tarte, etc... On peut régler le nombre de coups de tranchoir et l'angle θ avant de lancer la machine. Géo s'amuse alors à découper au delà du tour complet et remarque que les parts ainsi obtenues ont des tailles différentes.
1. Par exemple il a réussi à régler θ pour obtenir 5 parts de 2 tailles différentes, 2 grandes parts et 3 petites. Quelles sont les valeurs de θ qui permettent cela ?
1. Pouvez-vous trouver un réglage pour obtenir 13 grandes parts et 5 petites ?
2. Trouver un réglage qui fait 4 tailles différentes.
3. Est-ce que le nombre de parts de chaque taille peut être quelconque ?
1. Par exemple il a réussi à régler θ pour obtenir 5 parts de 2 tailles différentes, 2 grandes parts et 3 petites. Quelles sont les valeurs de θ qui permettent cela ?
1. Pouvez-vous trouver un réglage pour obtenir 13 grandes parts et 5 petites ?
2. Trouver un réglage qui fait 4 tailles différentes.
3. Est-ce que le nombre de parts de chaque taille peut être quelconque ?
Forcer la chance
Collège La Sine (Vence) 2023-2024Après avoir compris la notion de probabilité et le lien avec les fréquences statistiques, les élèves traitent différents problèmes sur les lancers de dés, les dates d'anniversaire, la planche de Galton...
Rubik's cube & Maths
École Française Jules Verne de Riga 2023-2024Qu'avec des Uns
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Quels nombres entiers peut-on obtenir par un calcul utilisant uniquement n fois le nombre 1, des parenthèses (· · · ) et les opérations + et × ?
Premières ordonnées
Collège Pierre Fouché (Ille-sur-Têt), Collège Gustave Violet (Prades) 2023-2024Un casse-tête
Lycée Alfred Mézière (Longwy) 2023-2024Le sujet est basé sur un jeu, dont le but est de passer d’une combinaison de jetons (de différentes couleurs) à une autre, par l’intermédiaire d’une roue. Il existe 3 séries différentes de cartes, pour lesquelles on se pose ces 4 questions :
_ Quel serait un modèle mathématique du jeu ?
_ Peut-on trouver un algorithme de résolution ?
_ Peut-on trouver un algorithme qui donne des solutions optimales ?
_ Peut-on imaginer de nouvelles cartes qui n’auraient pas de solution ?
_ Quel serait un modèle mathématique du jeu ?
_ Peut-on trouver un algorithme de résolution ?
_ Peut-on trouver un algorithme qui donne des solutions optimales ?
_ Peut-on imaginer de nouvelles cartes qui n’auraient pas de solution ?
Transcodage
Lycée Alfred Mézière (Longwy) 2023-2024Comment transmettre un message en binaire, de manière la plus courte possible ?
Le problème consiste à transmettre un message en binaire. La difficulté est de convertir les 26 lettres de l’alphabet et l’espace, en suites de 1 et de 0, de façon à ce que le rendu binaire soit le plus court possible, mais qu’il puisse être décrypté.
Le problème consiste à transmettre un message en binaire. La difficulté est de convertir les 26 lettres de l’alphabet et l’espace, en suites de 1 et de 0, de façon à ce que le rendu binaire soit le plus court possible, mais qu’il puisse être décrypté.
Des horloges plus ou moins étranges !
Collège Marcel Pagnol (Noyen sur Sarthe), Lycée Lavoisier (Mayenne) 2023-2024Quelle heure est-il lorsque les aiguilles d'une horloge (minutes et heures) sont superposées ?
Faire des dames
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Un nombre pair n > 2 de pions sont placés en ligne sur la table. L’objectif est d’obtenir n/2 ”dames” (piles de 2 pions) en n/2 mouvements. Pour le premier mouvement, un pion peut sauter par-dessus son voisin (de gauche ou de droite) pour former une dame. Pour le second mouvement, un pion doit sauter par-dessus exactement deux pions (qui peuvent être soit deux pions seuls, soit deux pions formant une dame). Au 3e mouvement, un pion doit sauter au-dessus de 3 pions exactement et ainsi de suite.
Pour quelles valeurs de n existe-t-il une solution ?
Pour quelles valeurs de n existe-t-il une solution ?
Uniquement des sauts
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024On se déplace sur un segment [AB] de longueur 1 de la manière suivante :
— On part du point A.
— Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [AP], soit sur le milieu de [PB].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près.
Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
— On part du point A.
— Si on se trouve en un point P du segment, on saute (au choix) soit sur le milieu de [AP], soit sur le milieu de [PB].
On veut approcher un point X fixé à un millionième près.
Est-ce toujours possible ? Combien de sauts faut-il alors ?
Enlèvement extra-terrestre
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Une flotille de soucoupes volantes a été envoyée par la planète Ethernium pour ramener tous les habitants d’un immeuble de Chartres et les présenter dans leur zoo. Cet immeuble terrien contient 11 hommes et 14 femmes.
Les soucoupes arrivent une par une et prélèvent aléatoirement les personnes. Cependant, du fait de la politique ethernienne de stricte séparation des sexes, une soucoupe de peut pas transporter en même temps un homme et une femme. Par conséquent, chaque soucoupe continue son prélèvement tant que le sexe des humains prélevés reste le même. Si ils prennent une personne d’un autre sexe, alors cette personne est immédiatement replacée dans l’immeuble et la soucoupe s’en va avec son chargement et la soucoupe suivante se présente pour continuer l’enlèvement selon la même procédure, et ce jusqu’à ce que l’immeuble soit totalement vide. Quelle est la probabilité que la dernière personne enlevée soit une femme ?
Les soucoupes arrivent une par une et prélèvent aléatoirement les personnes. Cependant, du fait de la politique ethernienne de stricte séparation des sexes, une soucoupe de peut pas transporter en même temps un homme et une femme. Par conséquent, chaque soucoupe continue son prélèvement tant que le sexe des humains prélevés reste le même. Si ils prennent une personne d’un autre sexe, alors cette personne est immédiatement replacée dans l’immeuble et la soucoupe s’en va avec son chargement et la soucoupe suivante se présente pour continuer l’enlèvement selon la même procédure, et ce jusqu’à ce que l’immeuble soit totalement vide. Quelle est la probabilité que la dernière personne enlevée soit une femme ?
Transformer l’essai
Lycée Jehan de Beauce (Chartres) 2023-2024Au rugby, après un essai, l'équipe qui a marqué tente une transformation. Le botteur doit frapper le ballon posé au sol avec le pied pour le faire passer au-dessus de la barre transversale et entre les poteaux. Il choisit où il place la balle sur une ligne parallèle aux lignes de touche et passant par le point où l’essai a été marqué. Où le joueur doit-il placer le ballon pour maximiser ses chances de réussite ?
Ping game
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Using a row of counters, white on one side and black on the other. Starting with n number of black counters which all need to be turned to white according to the following rule: when we indicate a counter, the counters either side are turned to white. How should we proceed?
Gravity calculator
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024We need to code two numbers with beads and then make a circuit so that when all the beads are released, we obtain the result of the sum of the two numbers.
Modelling of forest fires
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Repeat patterns
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024We apply a ruler ti a black triangle whose point is up. We connect the mid-point of its sides and then remove the newly-formed triangle, thus obtaining three new black triangles.
We observe one triangle with side 1. What can be said about the number of triangles and points of x steps of the above rule?
We observe one triangle with side 1. What can be said about the number of triangles and points of x steps of the above rule?
Scaffolding
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Constructing polyhedrons
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024Using solid or empty rods. You need to construct solid polyhedrons. The goal is to manage to create giant polyhedrons which do not collapse.
You may like to start with Platonic solids
You may like to start with Platonic solids
Soap bubbles
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024For a polygon P we try to work out the shortest route passing via the vertexes of P. In physical terms, this means working out how a film of soap would arrange itself in ordre to link up all the vertexes of a polygon.
Awelé or Mancala game
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024The marmots
Lycée Val de Durance (Pertuis), Colegiul National Emil Racovita (Cluj - Roumanie) 2023-2024A group of marmots decide to dig a new burrow for the coming winter, but this year they decide to optimize its layout. The problem is that marmots are light sleepers, which means that two rules need to be considered, plus a further one to stop the structure from caving in
The indecisive gardener
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024A gardener wants to create zones in his circular garden using strings.
1. How many zones can we create with $n$ strings, at the most?
2. We shall also study the following generalization: obstacles on the zone, juxtaposition of disks.
1. How many zones can we create with $n$ strings, at the most?
2. We shall also study the following generalization: obstacles on the zone, juxtaposition of disks.
Checkmate
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024We consider a 8 x 8 chessboard. We place a queen on it. Then, we place a second queen without her being eaten by the first one, etc.
1. How many queens can we put on the chessboard?
2. Same question with the knight, the bishop and another piece for which we can choose its move.
1. How many queens can we put on the chessboard?
2. Same question with the knight, the bishop and another piece for which we can choose its move.
Triangles and squares
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024Let’s consider a game with a certain number of tokens, all of them are the same. As you are handling them, you realize that you can place them one against the others so that they shape an equilateral triangle or a complete square.
What are the numbers of tokens that make this possible?
What are the numbers of tokens that make this possible?
The shepherd and his herd
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024A shepherd owns a 100-meter long fence but he has only got three stakes.
1. How should he place the stakes for his sheep to have the maximum surface to graze?
2. What if he has got four stakes instead of three?
1. How should he place the stakes for his sheep to have the maximum surface to graze?
2. What if he has got four stakes instead of three?
Triangles and probabilities
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-20241. Assume a stick is randomly broken into three pieces. What is the probability that the obtained pieces can form a triangle?
2. Let be the following numbers: 1, 2, 3, 4,…, n. We randomly choose 3 of them. What is the probability that the chosen numbers can be the lengths of the sides of a triangle?
3. We are wondering what happens if we modify problem 2, considering another sets of numbers. For example, what is probability for the set {1^2, 2^2,...., n^2} or {1^3,2^3,...., n^3} etc.
4. Secondly, what is the probability that four randomly chosen numbers of these sets can be the lengths of the sides of a quadrilateral?
2. Let be the following numbers: 1, 2, 3, 4,…, n. We randomly choose 3 of them. What is the probability that the chosen numbers can be the lengths of the sides of a triangle?
3. We are wondering what happens if we modify problem 2, considering another sets of numbers. For example, what is probability for the set {1^2, 2^2,...., n^2} or {1^3,2^3,...., n^3} etc.
4. Secondly, what is the probability that four randomly chosen numbers of these sets can be the lengths of the sides of a quadrilateral?
Consecutive integer numbers
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024The following equalities 5 = 2+3; 10 = 1+2+3+4; 12 = 3+4+5 show that 5, 10 and 12 can be written like the sum of at least two consecutive integer numbers.
1. Is this true for 18? What about 16?
2. Which positive integer numbers are the sum of at least two strictly positive integer numbers?
1. Is this true for 18? What about 16?
2. Which positive integer numbers are the sum of at least two strictly positive integer numbers?
The score at rugby
Colegiul National Mihail Eminescu (Satu Mare - Roumanie), Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes), Lycée Bellevue (Alès) 2023-2024 In a simplified version of a rugby game, players are able to score 3 or 5 points only. In these conditions, they can score 8 points but not 7.
1. What are the scores a team can get?
2. Can we get all the integer numbers from a certain number of points?
3. What happens when players follow the regular rules of rugby (with the conversion of trials)?
1. What are the scores a team can get?
2. Can we get all the integer numbers from a certain number of points?
3. What happens when players follow the regular rules of rugby (with the conversion of trials)?
Compter sans compter
Lycée français Van Gogh (La Haye) 2023-2024Les biologistes des poissons recherchent une méthode pour estimer le nombre de poissons (d'une certaine espèce) présents dans un lac.
Ils ont prévu de le faire en attrapant et en marquant les poissons puis ils les relâchent dans le lac. Lendemain, ils attrapent des poissons et comptent ceux qui sont marqués.
Qu’en pensez-vous ?
Ils ont prévu de le faire en attrapant et en marquant les poissons puis ils les relâchent dans le lac. Lendemain, ils attrapent des poissons et comptent ceux qui sont marqués.
Qu’en pensez-vous ?
Motifs labyrinthiques
Lycée français Van Gogh (La Haye) 2023-2024L'objet de cette expérience est de plier à plusieurs reprises des bandes de papier sans les déplier entre chaque pli. Une fois tous les plis réalisés, il vous suffit de déplier la bande pour observer le motif qui en résulte.
Objectifs :
• Appréhender le problème
• Décrire les motifs obtenus après différents pliages
• Anticiper les motifs sans avoir à effectuer les pliages réellement
Objectifs :
• Appréhender le problème
• Décrire les motifs obtenus après différents pliages
• Anticiper les motifs sans avoir à effectuer les pliages réellement
Polygonalisation d’aires optimales
Lycée français Van Gogh (La Haye) 2023-2024Le problème de polygonisation d’aire optimale prend un ensemble de points S en entrée et recherche en sortie un polygone simple ayant S comme ensemble de sommets et d’aire minimale ou maximale.
Le jeu du gendarme et du voleur
Lycée Raynouard (Brignoles) 2023-2024Certains plateaux de jeu (comme celui de Scotland Yard) peuvent se voir comme des graphes. Il y a des positions (sommets) qui sont reliées par des traits (des arêtes).
Le jeu des Gendarmes et du Voleur est le jeu à deux joueurs suivant :
Le premier joueur est la Gendarmerie et possède k gendarmes (k pions).
Le deuxième joueur est le Voleur (1 pion).
La Gendarmerie commence et place ses pions-gendarmes sur les sommets du graphe (deux pions peuvent être sur la même position); puis le Voleur place son pion sur un sommet.
Ensuite, la Gendarmerie et le Voleur déplacent leurs pions à tour de rôle. A chaque tour, un pion peut soit rester sur le sommet qu’il occupe soit aller sur un sommet voisin (relié au sommet actuel par une arête). Le but du jeu pour la Gendarmerie est d’attraper le Voleur, et le but pour le Voleur est de ne pas se faire attraper (soit durant un certain nombre de tour, soit parce qu’il ne pourra jamais se faire attraper)
Pour certains graphes… voir la suite
Le jeu des Gendarmes et du Voleur est le jeu à deux joueurs suivant :
Le premier joueur est la Gendarmerie et possède k gendarmes (k pions).
Le deuxième joueur est le Voleur (1 pion).
La Gendarmerie commence et place ses pions-gendarmes sur les sommets du graphe (deux pions peuvent être sur la même position); puis le Voleur place son pion sur un sommet.
Ensuite, la Gendarmerie et le Voleur déplacent leurs pions à tour de rôle. A chaque tour, un pion peut soit rester sur le sommet qu’il occupe soit aller sur un sommet voisin (relié au sommet actuel par une arête). Le but du jeu pour la Gendarmerie est d’attraper le Voleur, et le but pour le Voleur est de ne pas se faire attraper (soit durant un certain nombre de tour, soit parce qu’il ne pourra jamais se faire attraper)
Pour certains graphes… voir la suite
Processus de croissance aléatoire
Lycée Raynouard (Brignoles) 2023-2024On part d’un quadrillage infini avec un point de départ noir et le reste des carreaux sont blancs.
A chaque tour, on se déplace aléatoirement sur une des cases contiguës, si celle-ci est noire, on recommence, sinon on colorie la case en noir et on revient au point de départ.
Que va-t-il se passer si on répète 100 fois ce procédé ? 1000 fois ?
Prolongement 1 : en modifiant les chances d’aller sur une case plutôt qu’une autre à chaque tour, est-ce que le résultat final change beaucoup ? Peut-on dessiner n’importe quelle forme ?
Prolongement 2 : A chaque retour au point de départ, les cases noircies deviennent grises (mais sont encore considérées comme noires ) et si on ne retombe pas dessus durant 10 parties (on appellera partie une succession de sauts. La partie s’arrête si on tombe sur une case blanche), la case redevient blanche. Que cela change-t-il ?
A chaque tour, on se déplace aléatoirement sur une des cases contiguës, si celle-ci est noire, on recommence, sinon on colorie la case en noir et on revient au point de départ.
Que va-t-il se passer si on répète 100 fois ce procédé ? 1000 fois ?
Prolongement 1 : en modifiant les chances d’aller sur une case plutôt qu’une autre à chaque tour, est-ce que le résultat final change beaucoup ? Peut-on dessiner n’importe quelle forme ?
Prolongement 2 : A chaque retour au point de départ, les cases noircies deviennent grises (mais sont encore considérées comme noires ) et si on ne retombe pas dessus durant 10 parties (on appellera partie une succession de sauts. La partie s’arrête si on tombe sur une case blanche), la case redevient blanche. Que cela change-t-il ?
Répartition de chaleur
Lycée Raynouard (Brignoles) 2023-2024On considère une pièce, représentée par un rectangle, et on cherche à savoir comment la chaleur se répartit dans la pièce quand on impose la température sur les bords (murs, sol et plafond). Physiquement, la température dans une zone est la moyenne arithmétique des températures des zones voisines, par exemple si les pièces sont les cases d'un quadrillage, la température d'une pièce intérieure est la moyenne de ses quatre voisines. On supposera que les températures sur le bord sont fixées.
On s’intéressera aux questions suivantes : Peut-on toujours remplir un rectangle ? Comment faire ? Pour des températures fixées au bord, existe-t-il plusieurs répartitions de températures admissibles ?
Un premier exemple simple : que se passe-t-il si toutes les températures au bord sont égales à 0 ?
On pourra aussi considérer des cas un peu plus compliqués, par exemple si on suppose que certaines parties du bord sont munies d’un isolant. Dans ce cas la température est la moyenne des… voir la suite
On s’intéressera aux questions suivantes : Peut-on toujours remplir un rectangle ? Comment faire ? Pour des températures fixées au bord, existe-t-il plusieurs répartitions de températures admissibles ?
Un premier exemple simple : que se passe-t-il si toutes les températures au bord sont égales à 0 ?
On pourra aussi considérer des cas un peu plus compliqués, par exemple si on suppose que certaines parties du bord sont munies d’un isolant. Dans ce cas la température est la moyenne des… voir la suite
Liaison satellite
Lycée Raynouard (Brignoles) 2023-2024Un satellite de télécommunications géostationnaire est censé recevoir un nombre n de signaux émis depuis une source sur terre et les renvoyer vers leur destination également sur terre.
Pour cela, il dispose d'antennes de réception qui captent les signaux émis et d'antennes d'émission qui les renvoient. Malheureusement, les antennes peuvent tomber en panne (principalement si elles sont heurtées par un débris) et les pannes ne peuvent pas être réparées, le satellite étant à 36 000 km du sol.
Les constructeurs prévoient donc de mettre k antennes de réception et k antennes d'émission supplémentaires, afin de pouvoir tolérer k pannes reliées par un réseau d’interconnexion.
Ce réseau est constituée de commutateurs à quatre pattes (p1, p2, p3, p4) qui en changeant de position permettent de connecter p1 à p2 et p3 à p4 ou p1 à p3 et p2 à p4, ou p1 à p4 et p2 à p3. (Deux signaux différents peuvent passer par un commutateur mais emprunter des pattes différentes.)
Il… voir la suite
Pour cela, il dispose d'antennes de réception qui captent les signaux émis et d'antennes d'émission qui les renvoient. Malheureusement, les antennes peuvent tomber en panne (principalement si elles sont heurtées par un débris) et les pannes ne peuvent pas être réparées, le satellite étant à 36 000 km du sol.
Les constructeurs prévoient donc de mettre k antennes de réception et k antennes d'émission supplémentaires, afin de pouvoir tolérer k pannes reliées par un réseau d’interconnexion.
Ce réseau est constituée de commutateurs à quatre pattes (p1, p2, p3, p4) qui en changeant de position permettent de connecter p1 à p2 et p3 à p4 ou p1 à p3 et p2 à p4, ou p1 à p4 et p2 à p3. (Deux signaux différents peuvent passer par un commutateur mais emprunter des pattes différentes.)
Il… voir la suite
Forming puzzles. Patterns using geometrical shapes
Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) 2023-2024The purpose of our research project was to find and demonstrate different ways we can cut and use squares in order to make different geometrical shapes.
La logique au service des jeux
Collège Albert Camus (Miramas) 2023-2024Étude et création de jeux de logiques
Se faire des nœuds au cerveau
Lycée Baudelaire (Annecy), Lycée de l'Albanais (Rumilly) 2023-2024Vos missions si vous les acceptez :
1) faire passer sa tête à travers un ruban de Moebius ! Vous pouvez découper l’intérieur du ruban mais il doit rester en un seul morceau.
2) faire passer sa tête à travers un carré de papier de 10cm de côté ! Vous pouvez découper l’intérieur du carré mais la feuille doit rester en un seul morceau.
1) faire passer sa tête à travers un ruban de Moebius ! Vous pouvez découper l’intérieur du ruban mais il doit rester en un seul morceau.
2) faire passer sa tête à travers un carré de papier de 10cm de côté ! Vous pouvez découper l’intérieur du carré mais la feuille doit rester en un seul morceau.
Peut-on voir le Mont-Blanc depuis la tour Eiffel ?
Lycée Baudelaire (Annecy), Lycée de l'Albanais (Rumilly) 2023-2024La tour Eiffel possède la plus haute plateforme d’observation à 279, 11 mètres.
Jusqu’où peut-on voir ? Peut-on voir le Mont-Blanc qui culmine à 4807 m ?
Jusqu’où peut-on voir ? Peut-on voir le Mont-Blanc qui culmine à 4807 m ?
Peut-on tout représenter avec des traits ?
Lycée Baudelaire (Annecy), Lycée de l'Albanais (Rumilly) 2023-2024Nous disposons de 9 clous uniformément répartis sur un cercle de rayon 3 carreaux et d’une ficelle suffisamment longue. En reliant les clous entre eux à l’aide de la ficelle, comment reproduire une image pixelisée donnée ?
Iterations with tetrahedra
Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) 2023-2024Trouver la surface et le volume des "tétraèdres" de type 3D fractals
Without symmetry
Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) 2023-2024Comptage des configurations sans symétries axiales des ensembles de cellules d'un rectangle m x n
Patterns in friezes
Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) 2023-2024The purpose of our research was to analyze several sets of friezes and divide them into categories. We concluded that there are only 7 distinct patterns formed with 4 mathematical operations.
Dessins avec des cercles
Lycée Carnot (Paris) 2023-2024Prenons un cercle de rayon r_1 sur lequel on place un point rouge, en faisant tourner ce cercle à une vitesse ω_1 et en observant le mouvement de ce point, nous retrouvons notre cercle. Si nous rajoutons un deuxième cercle de rayon r_2 et de vitesse ω_2 = r_1ω_1/r_2, tel que le point rouge soit son centre, et que nous observons un point de ce deuxième cercle, une nouvelle figure va se former.
• Comment réaliser des fleurs à 2, 3, 4 pétales ?
• Comment tracer des fleurs avec plusieurs rangées de pétales ?
• Que se passe-t-il si on rajoute un 3e cercle ?
• Peut-on utiliser cette méthode pour tracer un dessin en particulier (par exemple un éléphant) avec 3, 4, n cercles ?
• Comment réaliser des fleurs à 2, 3, 4 pétales ?
• Comment tracer des fleurs avec plusieurs rangées de pétales ?
• Que se passe-t-il si on rajoute un 3e cercle ?
• Peut-on utiliser cette méthode pour tracer un dessin en particulier (par exemple un éléphant) avec 3, 4, n cercles ?
Reflets dans l’eau
Lycée Carnot (Paris) 2023-2024Un développeur de jeu vidéo cherche à simuler les reflets du soleil dans l’eau, pouvez-vous l’aider à faire le reflet le plus convaincant possible ? On peut modéliser dans un premier temps le soleil par un objet lointain qui émet des rayons parallèles, la surface de l’eau par un miroir plan quadrillé, et un observateur par un point.
• Supposons que le quadrillage a pour dimension 1x1. À quelles conditions l’observateur aperçoit-il le reflet ?
• Et si le quadrillage a pour dimension 1x3 ?
• En réalité, la réflexion à la surface de l’eau ne se comporte pas comme un miroir plan parfait, et l’observateur peut toujours partiellement voir le reflet même s’il ne respecte pas exactement les conditions trouvées précédemment. Question ouverte : comment pourrait-on modéliser cela ?
• On peut ensuite modéliser une grille de dimension 5x5, ou imaginer que la surface de l’eau prend la forme d’une vague...
• Que se passe-t-il pour d’autres formes/objets ?
Ce sujet est l’occasion… voir la suite
• Supposons que le quadrillage a pour dimension 1x1. À quelles conditions l’observateur aperçoit-il le reflet ?
• Et si le quadrillage a pour dimension 1x3 ?
• En réalité, la réflexion à la surface de l’eau ne se comporte pas comme un miroir plan parfait, et l’observateur peut toujours partiellement voir le reflet même s’il ne respecte pas exactement les conditions trouvées précédemment. Question ouverte : comment pourrait-on modéliser cela ?
• On peut ensuite modéliser une grille de dimension 5x5, ou imaginer que la surface de l’eau prend la forme d’une vague...
• Que se passe-t-il pour d’autres formes/objets ?
Ce sujet est l’occasion… voir la suite
Gardien de musée
Lycée Carnot (Paris) 2023-2024Un musée cherche à se protéger des cambrioleurs potentiels avec un minimum de gardiens. Chaque gardien est immobile et peut voir tout ce qui se passe autour de lui tant qu’un mur n’obstrue pas son champ de vision.
• Combien de gardiens sont nécessaires dans une pièce carrée avec un énorme pilier carré au milieu ? Comment les positionner ?
• Comment faire avec une pièce en forme de ”O” ?
• Qu’en est-il d’une pièce polygonale avec de nombreux recoins ? Peut-on trouver une méthode pour positionner un nombre optimal de gardiens ?
• Supposons que suite à une épidémie, un seul gardien soit disponible dans le musée et qu’il puisse se déplacer pour l’occasion. Quel trajet doit-il effectuer pour surveiller correctement le musée ? On peut imaginer que son objectif soit de minimiser la distance parcourue à chaque ronde ou encore de minimiser le temps où des recoins du musée restent sans surveillance.
• On peut également rajouter d’autres contraintes aux gardiens par exemple, si les… voir la suite
• Combien de gardiens sont nécessaires dans une pièce carrée avec un énorme pilier carré au milieu ? Comment les positionner ?
• Comment faire avec une pièce en forme de ”O” ?
• Qu’en est-il d’une pièce polygonale avec de nombreux recoins ? Peut-on trouver une méthode pour positionner un nombre optimal de gardiens ?
• Supposons que suite à une épidémie, un seul gardien soit disponible dans le musée et qu’il puisse se déplacer pour l’occasion. Quel trajet doit-il effectuer pour surveiller correctement le musée ? On peut imaginer que son objectif soit de minimiser la distance parcourue à chaque ronde ou encore de minimiser le temps où des recoins du musée restent sans surveillance.
• On peut également rajouter d’autres contraintes aux gardiens par exemple, si les… voir la suite
La bibliothèque de Babel
Lycée Français François Mitterrand (Brasilia), Liceo francès Louis Pasteur (Bogotá), Lycée français Jules Verne (Guatemala) 2023-2024Après avoir lu la nouvelle de Jorge Luis Borges "la bibliothèque de Babel", déterminez combien de livres contient la bibliothèque.
Publication(s) : La bibliothèque de Babel - Lycée Français François Mitterrand de BrasiliaTransformer l'essai
École alsacienne (Paris) 2023-2024Quand une équipe de rugby marque un essai, elle peut ensuite transformer l'essai en essayant d'envoyer avec un coup de pied le ballon entre les deux barres verticales. Le tireur doit cependant placer le ballon à la perpendiculaire de l'endroit où il a été plaqué. Selon l'endroit où le tireur place le ballon, l'angle de tir à sa disposition change. Y a-t-il une position optimale en terme d'angle de tir ? Dépend-elle de l'endroit où on a aplati ?
Le trésor du sultan
École alsacienne (Paris) 2023-2024Le sultan d'Agrabah dispose d'un grand trésor qu'un astucieux voleur nommé Aladdin cherche à dérober. Chaque nuit, Aladdin réussit à déjouer la surveillance des gardes et peut fouiller une des 17 pièces du palais. Si le trésor s'y trouve, il l'emporte sur son tapis volant et s'enfuit de la ville. Sur les conseils avisés de sa fille Jasmine, le sultan a décidé de changer chaque jour l'emplacement du trésor. Mais comme le trésor est lourd, il le déplace toujours dans une pièce voisine de celle dans laquelle il se trouvait la veille. Indiquer à Aladdin la marche à suivre pour s'emparer du trésor.
Une variante du morpion
École alsacienne (Paris) 2023-2024On s'intéresse au jeu de morpion mais avec la modification suivante. Au lieu d'inscrire X ou O dans une case, les joueurs disposent de 6 pièces chacun, qui sont bleues pour l'un et rouges pour l'autre. Ces pièces sont de 3 tailles, petite, moyenne ou grande. Chaque joueur a deux pièces de chaque taille. A son tour, un joueur peut soit poser une pièce sur une case vide, soit recouvrir une pièce adverse avec une de ses propres pièces d'une taille plus grande. Les parties sont-elles toujours nulles si les joueurs jouent parfaitement ? Un des joueurs a-t-il une stratégie gagnante ?
Le village des Liiliputiens
Collège Kieffer (Bitche) 2023-2024Explications de la fabrication du village d'un Lilliput de 1,5 cm.
Construire une tour
Lycée de l'Harteloire (Brest), Lycée de l'Iroise (Brest) 2023-2024On construit une tour avec des briques cubiques d'un matériau dont la résistance à la compression est limitée : chaque brique ne peut supporter une charge verticale supérieure au poids de 12 briques (y compris elle-même).
On suppose qu'à chaque niveau, les charges se répartissent uniformément sur le niveau inférieur, ce qui permet en élargissant la base d'atteindre des hauteurs supérieures à 12.
Peut-on construire une tour aussi haute que l'on veut ?
Le problème est-il différent si on peut fragmenter les briques en les découpant dans le sens horizontal ?
On suppose qu'à chaque niveau, les charges se répartissent uniformément sur le niveau inférieur, ce qui permet en élargissant la base d'atteindre des hauteurs supérieures à 12.
Peut-on construire une tour aussi haute que l'on veut ?
Le problème est-il différent si on peut fragmenter les briques en les découpant dans le sens horizontal ?
Les voûtes nubiennes
Lycée de l'Harteloire (Brest), Lycée de l'Iroise (Brest) 2023-2024La voûte nubienne est une technique ancestrale de construction de voûte sans utilisation d'échafaudage ni structure en bois ("cintre") lors de sa construction.
Plusieurs variantes existent mais le principe fondamental consiste à empiler des éléments de construction (à l'origine dans la haute antiquité égyptienne, des briques en terre crue), en réalisant un porte-à-faux qui reste dans la limite de l'équilibre, jusqu'à ce que se rejoignent les deux arches de la voûte.
On souhaite construire une voûte dont la hauteur n'excède pas 2,50 m avec des briques carrées de côté 40 cm et de hauteur 10 cm. Quelle largeur maximale peut-on se permettre entre bases des deux arches ?
Plusieurs variantes existent mais le principe fondamental consiste à empiler des éléments de construction (à l'origine dans la haute antiquité égyptienne, des briques en terre crue), en réalisant un porte-à-faux qui reste dans la limite de l'équilibre, jusqu'à ce que se rejoignent les deux arches de la voûte.
On souhaite construire une voûte dont la hauteur n'excède pas 2,50 m avec des briques carrées de côté 40 cm et de hauteur 10 cm. Quelle largeur maximale peut-on se permettre entre bases des deux arches ?
Mètre pliant
Lycée de l'Harteloire (Brest), Lycée de l'Iroise (Brest) 2023-2024On souhaite concevoir un mètre pliant non gradué, dont les sections sont des longueurs entières de centimètres et qui permettrait de mesurer n’importe quelle longueur de mesure entière en centimètres.
Par exemple, un mètre pliant de trois sections de longueurs 3, 4 et 5 permet de mesurer les longueurs 3, 4, 5 mais aussi 3 + 4 = 7, 4 + 5 = 9 et 3 + 4 + 5 = 12. Il permet aussi de mesurer les longueurs 1, 2 et 6, mais pas les longueurs 8 ni 10 ni 11... Peut-on faire un meilleur instrument ?
Par exemple, un mètre pliant de trois sections de longueurs 3, 4 et 5 permet de mesurer les longueurs 3, 4, 5 mais aussi 3 + 4 = 7, 4 + 5 = 9 et 3 + 4 + 5 = 12. Il permet aussi de mesurer les longueurs 1, 2 et 6, mais pas les longueurs 8 ni 10 ni 11... Peut-on faire un meilleur instrument ?
Ravitaillements historiques
Lycée Maurice Genevoix (Ingré) 2023-2024Votre mission : aider un valeureux messager à transporter le plus de bananes possibles au palais de l'empereur situé à 1000 lieues de leur lieu de stockage. Attention : il ne peut pas transporter plus de 1000 bananes à la fois et en mange une à chaque lieu parcourue !
Au feu
Collège Hélène de Fonsèque (Surgères) 2023-2024Si un feu se déclare dans la forêt, il se propage à un carré voisin (horizontalement ou verticalement) à chaque minute. Frédéric le pompier peut couper un carré d'arbre par minutes à l'endroit qu'il souhaite.
Pour chacun des cas suivants donner le nombre minimal d'arbres qui vont brûler :
1) le feu est très sympa et se propage comme on le souhaite;
2) le feu est sadique et se propage systématiquement dans la pire direction;
3) mêmes questions en supposant que le feu peut se propager en diagonale.
Pour chacun des cas suivants donner le nombre minimal d'arbres qui vont brûler :
1) le feu est très sympa et se propage comme on le souhaite;
2) le feu est sadique et se propage systématiquement dans la pire direction;
3) mêmes questions en supposant que le feu peut se propager en diagonale.
Maths for the best match
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2023-2024Our research deals with finding the probability and the optimal strategy that a chief of a tribe would find the girl with the highest IQ, in order to marry her. We propose to the chief the “k-strategy” to achieve his goal. We eliminate some of the women, regardless of their IQ and then choose the best option higher than the rejected ones. If he doesn’t choose the woman with the highest IQ, he will not get married this year.
Publication(s) : Maths for the best match - Colegiul National C. Negruzzi (Iași)Game of life on Various Tilings
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2023-2024The Game of Life is a game devised by the mathematician John Horton Conway. It consists of a square grid of cells, each of which is in one of two states: alive or dead. At each time step the cells change state according to certain rules depending on the states of neighbouring cells. The choice of a square grid of cells is arbitrary. In this article we devise new rules for a Game of Life on different types of tilings and explore what patterns emerge. The tilings discussed are the hexagonal and triangular tilings, as well as a one-dimensional variant.
Publication(s) : Game of life on Various Tilings - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)Are all infinities the same?
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2023-2024Infinity is a crucial concept in mathematics. Although abstract, we encounter it from the moment we begin learning about natural numbers, given their endlessness. Despite infinity seeming like the ultimate descriptor, are all infinities equal in magnitude? Can we identify different types of infinities? To explore these questions, we will compare the sizes of various infinite sets, including natural numbers, rational numbers, intervals of real numbers, and even the entire set of real numbers.
Publication(s) : Are all infinities the same? - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)Coin Problem
Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie) 2023-2024Problems of calculating different sums of money can often occur in real life. Although the number of coins used may differ, this research topic offers a fascinating glimpse into the intricacies of a unique currency system. In this paper we are presenting multiple methods of computing the possible sums of money an individual can pay according to the coins we have. We considered a limited number of coins (2 or 3) and even with this reduced number, it can be observed that there could be obtained almost all the sums, when the values of the coins are chosen properly, depending on the value of their greatest common divisor. We also present different possibilities of giving change back as well as give a programming solution to the problem.
Des triangles tricolores
Collège Îles de Loire (St Sébastien sur Loire), Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) 2023-2024Le jeu de Hex
Collège Îles de Loire (St Sébastien sur Loire), Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) 2023-2024Histoire de nœuds
Collège Îles de Loire (St Sébastien sur Loire), Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) 2023-2024La grande évasion
Collège Îles de Loire (St Sébastien sur Loire), Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) 2023-2024Canettes de soda et croquettes de poisson
Collège Froehlicher (Sissonne) 2023-2024Comment ranger de façon optimale des canettes de soda dans une caisse carrée ?