Modèle de population - Lycée Charles de Gaulle (Poissy)

On considère une population de cellules. On note N(k) le nombre de cellules après k étapes. À chaque étape, l'une des cellules meurt avec une certaine probabilité, et sinon donne naissance à une cellule supplémentaire. On suppose que la probabilité pour la cellule de se cloner est de la forme a*(1-N(k)/M) (ou zéro si ce nombre est négatif) où a et M sont deux paramètres. Question : est-ce que la population va forcément, un jour, atteindre l'extinction complète ? Quand M est très grand, l'évolution de la population semble-t-elle aléatoire ? Peut-on l'approcher par une tendance déterministe, si oui laquelle ? Selon la valeur de a, quand M est grand, observe-t-on des comportements différents ?