Travaux d'élèves récents
Nous publions directement ici les travaux d'élèves de l'année, non nécessairement aboutis, articles, narrations de recherche, diaporamas,…, en attendant relecture et validation par le comité d'édition.
Pour les posters, voir la page dédiée.
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Un partage équitable - Collège Langevin Wallon (Blainville sur l'Eau)
Deux personnes (ici des hamsters …) décident de partager équitablement les sommes (ici ce sont des grains) qu’elles ont chacune en leur possession. Pour cela à chaque « tour », celle qui a le plus (A) donne à l’autre (B) la somme que B a en sa possession. Est ce qu’ainsi le « jeu » s’arrête et A et B à la fin du jeu ont la même somme ?
Le Jeu de la Vie dans les Océans - Collège Paul Valéry (Valence)
Comment modéliser la vie dans les océans en nous inspirant du jeu de la vie de John Conway ?
Mots clés : jeu de la vieThe paving's world - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Dans cet article, on étudie les différents pavages du plan effectués, à partir d’un motif de base, en utilisant des translations, des rotations et des symétries. Les 17 pavages trouvés sont illustrés chacun par un exemple.
Mots clés : symétrie, translation, transformation, rotation, parallélogramme, planVehicle Trajectory Modelling - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Vehicles while moving follow specific trajectories, which present particular and interesting aspects when studied with mathematical tools. The goal of this article is to analyse the trajectories of two different vehicles. First we will analyze the motion of a bicycle, focusing on its footprint, and then we will move to the development of a simple model to compute the optimal racing line of an F1 car on track.
Mots clés : optimisation, algorithme de Dikjstra, trajectoireVehicle Trajectory Modelling - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The text “The Geometry of Parallel Parking” explores a new geometric model inspired by the curved paths vehicles follow while maneuvering, particularly during parallel parking. Starting from the observation that a car’s trajectory can be represented by two quarter-circle arcs of opposite curvature, the authors build a non-Euclidean plane geometry where “distance” between points is defined as the length of such composite arcs rather than straight segments. They prove several theorems about these arcs—showing, for example, that aligned arcs behave additively while non-aligned ones satisfy a triangle-inequality-type relation—thus establishing a metric space with a modified value of π. Further sections define fundamental geometric concepts (segments, angles, triangles) within this framework and demonstrate that areas coincide with Euclidean ones, while perimeters are scaled by a constant factor. Finally, the paper analyzes how this geometry models the motion of a car in parallel parking, providing analytic…
Mots clés : géométrie non euclidienne, espaceVehicle Trajectory Modelling - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Dans ce projet, les auteurs s’interrogent sur la manière dont les mathématiques peuvent améliorer la sécurité routière. Ils partent du constat que toute modification brutale de la courbure d’une route augmente les risques de perte de contrôle pour les conducteurs. Pour répondre à cette problématique, ils explorent la conception de tracés optimisés où la transition entre les segments est la plus fluide possible.
Pour ce faire, ils utilisent principalement la spirale d’Euler, une courbe dont la particularité est d’avoir une courbure qui varie linéairement avec sa longueur. Ils démontrent comment cette propriété permet d’éviter les ruptures de trajectoire dangereuses.
Méthodes et résultats principaux :
• Approximation de tracés : Les élèves développent des méthodes pour approximer n'importe quelle courbe à l'aide de segments de spirales d’Euler, en s'appuyant sur les intégrales de Fresnel.
• Modélisation géométrique : Ils utilisent le plan complexe pour…
Mots clés : modélisation, spiralePour ce faire, ils utilisent principalement la spirale d’Euler, une courbe dont la particularité est d’avoir une courbure qui varie linéairement avec sa longueur. Ils démontrent comment cette propriété permet d’éviter les ruptures de trajectoire dangereuses.
Méthodes et résultats principaux :
• Approximation de tracés : Les élèves développent des méthodes pour approximer n'importe quelle courbe à l'aide de segments de spirales d’Euler, en s'appuyant sur les intégrales de Fresnel.
• Modélisation géométrique : Ils utilisent le plan complexe pour…
Doublons dans le triangle de Pascal - Faculté des Sciences d'Orsay
On détermine tous les cas où deux cases voisines du triangle de Pascal ont la même valeur. Le résultat fait apparaître la suite de Fibonacci.
On propose une extension du triangle de Pascal à tous les entiers relatifs et on résout le problème des voisins égaux (ou opposés) pour cette extension.
Mots clés : triangle de Pascal, équation de Pell, équation diophantienne, limiteOn propose une extension du triangle de Pascal à tous les entiers relatifs et on résout le problème des voisins égaux (ou opposés) pour cette extension.
Pavage et drôles de fractions - Collège Georges Pompidou (Cajarc)
Notre sujet consiste à prendre un rectangle avec certaines dimensions, puis le paver avec des carrés du plus grand possible jusqu’au plus petit. Et enfin, à transformer ce pavage en fraction continue. Et à l’inverse prendre une fraction continue et retrouver les dimensions du rectangle pavé qui correspond.
Nid d'aigle - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Dans ce problème, une ligne brisée représente la silhouette d'une montagne sur laquelle chaque sommet est un nid d'aigles. On dispose de plusieurs aigles qui doivent surveiller tous les nids. On se pose la question du nombre minimum d'aigles à placer dans les nids pour surveiller tous les nids d'une montagne.
Le groupe a élaboré différentes techniques et les a mises à l'épreuve.
Mots clés : optimisation, comptage, géométrieLe groupe a élaboré différentes techniques et les a mises à l'épreuve.
La bibliothèque désorganisée - École Européenne de Karlsruhe
Un bibliothécaire doit retrouver un livre se trouvant dans un ensemble de piles de livres en déplaçant le minimum de livres.
Mots clés : algorithme, optimisation, stratégie, déplacementKirkman’s Schoolgirls - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Fifteen young schoolgirls walk every day of the week, from Monday to Sunday, in an orderly way, forming five rows of three schoolgirls each. How should we organize them every day of the week so that no pair of schoolgirls shares the same row for more than one day?
With the simplify version
First, we can simplify the topic by considering nine schoolgirls. If we perform a calculation based on the set {9;8} (where 9 represents all the girls, and 8 represents all the girls excluding one), we can make the simplified calculation: 8÷2=4. Therefore, we can suppose that the nine girls can walk for four different days without being next to the same neighbors. Then, if we represent this scenario using tables, the result is also four days.
Then, we can deduce that nine schoolgirls can walk for four days under these conditions.
With fifteen girls
Afterward, we can apply the same reasoning to fifteen schoolgirls. If we perform the calculation based on the set {15;14}, we find:…
Mots clés : combinatoire, dénombrementWith the simplify version
First, we can simplify the topic by considering nine schoolgirls. If we perform a calculation based on the set {9;8} (where 9 represents all the girls, and 8 represents all the girls excluding one), we can make the simplified calculation: 8÷2=4. Therefore, we can suppose that the nine girls can walk for four different days without being next to the same neighbors. Then, if we represent this scenario using tables, the result is also four days.
Then, we can deduce that nine schoolgirls can walk for four days under these conditions.
With fifteen girls
Afterward, we can apply the same reasoning to fifteen schoolgirls. If we perform the calculation based on the set {15;14}, we find:…
Les nombres avec répétitions - Lycée Stendhal (Milan)
Étude des nombres entiers avec répétition, c’est-à-dire de la forme AA ou AAA ou AAAA, etc.
Mots clés : nombre, répétition, critère de divisibilitéBalancing non-coplanar points - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Given n non-coplanar points (n ≥ 4), we will say we have balanced them if we find a plane equidistant from each of the n points.
a) Let A, B, C and D be four non-coplanar points. How many planes do these points balance?
b) Let A, B, C, D and E be five non-coplanar points. How many planes do these points balance?
In this article we proved that the solution provided in the book from which this problem was selected was wrong due to oversimplification and a mistake in the generalization of point a). Our solution took us through may areas of mathematics, such as space geometry, vectors and graphs, all combined into a creative and interesting proof.
Mots clés : géométrie dans l'espace, équidistanta) Let A, B, C and D be four non-coplanar points. How many planes do these points balance?
b) Let A, B, C, D and E be five non-coplanar points. How many planes do these points balance?
In this article we proved that the solution provided in the book from which this problem was selected was wrong due to oversimplification and a mistake in the generalization of point a). Our solution took us through may areas of mathematics, such as space geometry, vectors and graphs, all combined into a creative and interesting proof.
Les éclipses - Lycée Stendhal (Milan)
Par rapport au sujet proposé, voici les parties abordées :
– PARTIE 1 : Le rayon de la Terre
– PARTIE 2 : Les distances et angles de l’espace
– PARTIE 3 : Temps passé par un satellite dans l’ombre de son astre attracteur
– PARTIE 4 : L’éloignement de la Lune et la fin des éclipses lunaires
– PARTIE 5 : Modélisation, étude vectorielle et cycle de Saros
Mots clés : éclipse, trigonométrie, Python, Thalès, angle– PARTIE 1 : Le rayon de la Terre
– PARTIE 2 : Les distances et angles de l’espace
– PARTIE 3 : Temps passé par un satellite dans l’ombre de son astre attracteur
– PARTIE 4 : L’éloignement de la Lune et la fin des éclipses lunaires
– PARTIE 5 : Modélisation, étude vectorielle et cycle de Saros
Problème du "Lights out" - Lycée Germaine Tillion (Le Bourget)
Les cases d'un carré n x n peuvent être saines ou malades. Lorsqu’on modifie le statut d’une case, (saine ou malade), cela modifie également le statut des cases adjacentes. L'article examine la possibilité soigner toutes les cases malades sur un carré n×n . Il démontre quelques résultats sur les solutions à l’aide de matrices binaires, puis dans un second temps donne des résultats sur des carrés de différentes tailles : 2×2 ; 3×3 ; 4×4 ; 5x5.
Mots clés : matrice, symétrie, épidémieBiftecks - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un bifteck doit être cuit deux minutes de chaque côté. Une poêle peut contenir n biftecks. Combien de temps faut-il au minimum pour cuire k biftecks ?
Mots clés : logiqueDistances de pixels - Lycée de l'Harteloire (Brest)
La partie la plus importante du travail effectué a consisté en la recherche d'un procédé de calcul de la "distance en pixels" entre deux points. Ce procédé a été établi puis démontré par l'arithmétique, il a ensuite été traduit en un ensemble de fonctions Python permettant de visualiser des cercles de différents rayons en utilisant cette "distance en pixels". L'observation de ces figures conduit à émettre des conjectures, qui sont restées en l'état faute de temps disponible pour les étudier.
Mots clés : pixel, distance, équation paramétriqueDes pavages rectangulaires - Lycée de l'Harteloire (Brest)
D’où viennent les dimensions des feuilles A4 ? Cette question est répondue, au travers d’études plus générales sur le placement de tuiles à l’intérieure ou à l’extérieure de matrices, de façon à ce que la nouvelle matrice obtenue ait les mêmes proportions que la matrice initiale. Les matrices considérées sont rectangulaires, puis triangulaires, pentagonales et hexagonales.
Mots clés : géométrie, équation, anglePile ou face - Lycée Jean-Paul Sartre (Bron)
n boites, numérotées de 1 à n avec n un entier supérieur ou égal à 2, contiennent chacune une pièce, posée du côté pile ou face avec une chance sur deux.
Deux joueurs, Alice et Bob, choisissent chacun un ordre pour regarder les boites. Une fois les ordres choisis les deux joueurs regardent en même temps la première boite de leur ordre, puis la deuxième, jusqu’à ce que l’un des joueurs ait vu une “Face”, auquel cas, ce joueur a gagné !
Les auteurs donnent un critère pour déterminer, étant donnés les deux ordres choisis, si l’un deux a le plus de chances de gagner, et lequel.
Mots clés : pile ou face, probabilitésDeux joueurs, Alice et Bob, choisissent chacun un ordre pour regarder les boites. Une fois les ordres choisis les deux joueurs regardent en même temps la première boite de leur ordre, puis la deuxième, jusqu’à ce que l’un des joueurs ait vu une “Face”, auquel cas, ce joueur a gagné !
Les auteurs donnent un critère pour déterminer, étant donnés les deux ordres choisis, si l’un deux a le plus de chances de gagner, et lequel.
Sauts de puce - Lycée Stendhal (Milan)
Recherche de valeurs périodiques par une fonction continue de [0;1] dans [0;1]. Caractéristique de ces valeurs.
Mots clés : saut, système dynamique, récurrenceEmpilements de disques - Lycée Simone Veil (Marseille)
L'article étudie l'empilement de disques de densité maximale dans un rectangle.
Mots clés : empilement, disque, optimisation, calcul d'aireOù arroser pour que tout pousse ? - Lycée Montdory (Thiers)
Dans un jardin de coté n*n où n est un entier, des plantes ont été plantées sans que l'on sache vraiment où. Nous devons décider de cases à arroser afin que :
1. chaque plante soit arrosée au moins une fois,
2. nous arrosions le moins possible.
Plusieurs cas sont étudiées suivant différentes sortes de plantes.
Partie 2 : les plantes rectangulaires 3*1 ;
Partie 3 : les plantes en "L" de longueurs 3 ;
Partie 4 : les plantes rectangulaires 4*1 ;
Partie 5 : les plantes "mixtes" de longueur 3 (en "L" ou 3*1) ;
1. chaque plante soit arrosée au moins une fois,
2. nous arrosions le moins possible.
Plusieurs cas sont étudiées suivant différentes sortes de plantes.
Partie 2 : les plantes rectangulaires 3*1 ;
Partie 3 : les plantes en "L" de longueurs 3 ;
Partie 4 : les plantes rectangulaires 4*1 ;
Partie 5 : les plantes "mixtes" de longueur 3 (en "L" ou 3*1) ;
The cactus (Topic n°5) - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Our research topic was based on Lindenmayer systems, which are a type of formal language primarily used to simulate a simplified version of the growth of plants. These types of systems were introduced by Aristid Lindenmayer, a Hungarian biologist, in 1968.
Our journey into Lindenmayer systems began with the intention of simulating cactus growth, but quickly evolved into a broader exploration of how simple rules can model complex natural behaviors. Starting with sketches and physical models, we examined the visual and structural logic of growth patterns. We then developed mathematical models to describe how these patterns evolve, followed by programmatic simulations using Python and 3D graphics. The project culminated in 3D-printed models that brought our virtual plants into the real world—demonstrating the powerful intersection of mathematics, nature, and design.
Mots clés : L-système, modèle mathématique, simulationOur journey into Lindenmayer systems began with the intention of simulating cactus growth, but quickly evolved into a broader exploration of how simple rules can model complex natural behaviors. Starting with sketches and physical models, we examined the visual and structural logic of growth patterns. We then developed mathematical models to describe how these patterns evolve, followed by programmatic simulations using Python and 3D graphics. The project culminated in 3D-printed models that brought our virtual plants into the real world—demonstrating the powerful intersection of mathematics, nature, and design.
Réparateur spatial - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Il s’agit d’effectuer des déplacements équidistants sur la circonférence d’un cercle. Les élèves tentent de répondre aux questions posées dans le sujet par des calculs de trigonométrie et démontrent que le produit d’un nombre rationnel non nul et d’un nombre irrationnel est irrationnel.
Mots clés : arithmétique, trigonométrie, géométrie, rationnel, irrationnelUn jeu avec des Kapla - Lycée du Pays d'Aunis (Surgères)
Ce travail étudie la manière d’empiler des parallélépipède rectangles, appelés kapla, de sorte que l’iso-barycentre reste sur un axe vertical donné. Les jeunes chercheurs présentent deux méthodes qui utilisent la symétrie de la construction. La seconde méthode met en jeu les nombres harmoniques.
Mots clés : série harmoniqueLa bonne stratégie - Lycée du Pays d'Aunis (Surgères)
On prend chacun son tour des grains dans un tas (qui contient initialement, par exemple 400 grains ou 9 grains), sans pouvoir en prendre plus que la moitié.
Par exemple, si le tas contient 400 grains, vous pouvez en prendre au plus 200 ; s’il contient 9 grains, vous pouvez en prendre au plus 4.
Lorsque le tas n’a plus qu’un grain, il n’est plus possible de jouer, le joueur qui se trouve devant cette situation a donc perdu.
Un des deux joueurs est-il sûr de gagner ? Comment ?
Mots clés : stratégie gagnante, puissance de 2, récurrencePar exemple, si le tas contient 400 grains, vous pouvez en prendre au plus 200 ; s’il contient 9 grains, vous pouvez en prendre au plus 4.
Lorsque le tas n’a plus qu’un grain, il n’est plus possible de jouer, le joueur qui se trouve devant cette situation a donc perdu.
Un des deux joueurs est-il sûr de gagner ? Comment ?
Fin des puissances de 2 - Lycées Léonce Vieljeux et René Josué Valin (La Rochelle)
Quels sont les derniers chiffres dans l’écriture d’une puissance de deux quelconque ? Par exemple, quels sont les 3 derniers chiffres de 212 (réponse : 096) ? Cet article apporte une preuve que le dernier chiffre apparaît avec un cycle de longueur 4 (2,4,8,6), les deux derniers chiffres suivent un cycle de longueur 20, et les trois derniers obéissent à un cycle de longueur 100. Une conjecture est posée selon laquelle les n derniers chiffres suivent toujours un cycle, et que ce cycle est de longueur 4x5n. Cette conjecture est soutenue par un programme informatique, et deux preuves en sont proposées.
Mots clés : puissance de 2, arithmétique, EulerUn problème de distance - Lycée Georges Clémenceau (Reims)
Sujet: Comment faire rentrer le maximum de personnes dans une salle en respectant une distanciation entre les individus, dont la valeur est fixée à l’avance.
Mots clés : optimisation, géométrie, configuration, distance minimaleAllo les pompiers - Lycée français Van Gogh (La Haye)
Comment modéliser un feu de forêt qui se propage dans plusieurs directions à la fois ? En partant de cas réels, nous avons utilisé la géométrie, la chimie et les équations mathématiques pour mieux comprendre et simuler les incendies. Grâce à des programmes et des formules, nous avons tenté de prédire la rencontre de foyers, la vitesse de propagation… et même l’impact du vent !
Mots clés : modélisation, programmation, concentrique, énergie, équation différentielleLa multiplication des gâteaux - Lycée français Van Gogh (La Haye)
On dispose de gâteaux et on les coupe à l’aide d’un couteau dont la lame est toujours suffisamment grande. Combien de parts de gâteaux obtient on au maximum ? C'est à cette question que tente de répondre cet article. Après de nombreux essais puis à l'aide d'un programme SCRATCH, les auteurs établissent un certain nombre de conjectures pour y répondre.
Mots clés : modélisation, Scratch, fonction affine, récurrencePersistance de nombres - Lycée Raynouard (Brignoles)
Ce travail étudie la persistance des nombres. Les jeunes chercheurs prouvent plusieurs résultats sur les produits des chiffres qui composent un nombre en base 10. Il les exploitent ensuite dans la mise au point d’algorithmes optimisés.
Mots clés : arithmétique, algorithmeLa course de cartes - Lycée Raynouard (Brignoles)
Article en anglais.
’article présente une étude sur une double marche aléatoire associées à une suite cyclique et en particulier la probabilité de « terminer » au même endroit après un cycle. Cette étude est formulée sous forme d’une course de « voitures » qui avancent en suivant des règles précises.
Mots clés : parcours fermé’article présente une étude sur une double marche aléatoire associées à une suite cyclique et en particulier la probabilité de « terminer » au même endroit après un cycle. Cette étude est formulée sous forme d’une course de « voitures » qui avancent en suivant des règles précises.
Contamination - Lycée Raynouard (Brignoles)
Différents résultats sur le nombre de cases à contaminer pour qu'une grille le soit entièrement.
Mots clés : jeu de la vie, dynamique, récurrence, automate cellulaireLa courte-paille - Lycée Raynouard (Brignoles)
une compilation des différents résultats obtenus en fonction des découpages.
Mots clés : jeu, dénombrement, stratégieLes médailles - LFI Charles de Gaulle (Pékin)
Les élèves ont étudié des cas possibles de cercles tangents avec des contraintes arithmétique et n'ont trouvé aucune solution
Saut en hauteur - LFI Charles de Gaulle (Pékin)
Les élèves ont étudié des cas de franchissement d'une hauteur partant de 1m puis de 0.1m en 0.1m avec une loi de probabilité fonction de (1/2)^n
Mots clés : arbre, probabilités, probabilité conditionnelle, sérieA strange staircase (Topic n°11) - Lycée Val de Durance (Pertuis)
Un escalier consistant au départ en une seule marche cubique évolue au cours du temps (discret) en multipliant ses marches (dont les dimensions se réduisent) et ses virages afin de conserver sa hauteur totale et de rester circonscrit dans le cube initial. L’article détermine les dimensions des marches, leur nombre et le nombre de virages au temps n et fait apparaître par projection sur un plan une courbe de Peano.
Mots clés : algorithme récursif, L-système, système dynamique discret, remplissageLes automates.... - Lycée Olympe de Gouge (Montech)
Nous avons travaillé sur les applications de {0,1}^n dans {0;1}^n. Ces applications nous ont permis de définir des réseaux d'automates booléens.
Les travaux se sont orientés suivant deux axes:
-l'étude des réseaux dans le cas des configurations à 3 éléments
- les configurations pour des valeurs plus importantes mais pour une famille d'applications particulière.
Vous pourrez découvrir dans notre article nos différentes recherches. Celles ci ne sont pas abouties, nous vous laissons libre d'y réfléchir si le sujet vous tente!
Mots clés : opération booléenneLes travaux se sont orientés suivant deux axes:
-l'étude des réseaux dans le cas des configurations à 3 éléments
- les configurations pour des valeurs plus importantes mais pour une famille d'applications particulière.
Vous pourrez découvrir dans notre article nos différentes recherches. Celles ci ne sont pas abouties, nous vous laissons libre d'y réfléchir si le sujet vous tente!
No Money Without Mathematics - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
This project explores the strong connection between mathematics and economics, focusing on risk, decision-making, and insurance models. Concepts such as expected utility theory, risk preferences, and the benefits of risk-sharing, are analyzed and examplified, showing how mathematical principles help manage financial uncertainty.
The study of Allais paradox reveals that human decisions often deviate from classical economic models. This highlights the need to complement mathematical models with behavioral insights.
Mots clés : probabilitésThe study of Allais paradox reveals that human decisions often deviate from classical economic models. This highlights the need to complement mathematical models with behavioral insights.
The Twin Treasure - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Imagine you are in front of two probabilistic treasures : each time you open the first one you get a reward with probability P1, and each time you open the second one you get a reward with probability P2. You are allowed T openings, but have no knowledge of neither P1 nor P2. How to maximize your reward ?
Mots clés : probabilité, calcul numériqueLast One Standing - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
In the game show ’Last One Standing’, n contestants are arranged in a circle, each numbered from 1 to n. The host eliminates contestant number 1, and then counts every second contestant clockwise, who is then asked to leave the circle. This process repeats until only one contestant remains.
If you are a contestant on this game show, what seat should you sit in to be the last one standing?
Further possible questions are:
• If instead every kth contestant is eliminated, what is the optimal seat?
• Further, suppose the mth contestant picked is the winner. What is the optimal seat in this game?
• Suppose the host now alternates, eliminating every second player, then every third player, and then repeating. What should your strategy be now?
Mots clés : algorithmeIf you are a contestant on this game show, what seat should you sit in to be the last one standing?
Further possible questions are:
• If instead every kth contestant is eliminated, what is the optimal seat?
• Further, suppose the mth contestant picked is the winner. What is the optimal seat in this game?
• Suppose the host now alternates, eliminating every second player, then every third player, and then repeating. What should your strategy be now?
Tourner-rouler - Lycée français de Madrid
Nous dessinons à main levée et d’un seul trait une forme fermée F dans un espace bidimensionnel avec un centre O qui correspond à son centre de rotation. Nous cherchons à savoir s’il existe une forme F' avec un centre de rotation O' tel que nous faisons tourner F et F' autour de leurs centres respectifs, il existe toujours un point du contour de F et de F' qui se confondent en suivant continûment le contour de F.
Mots clés : polygone, rotation, coordonnée polaireOù est caché le chat de mamie ? - Lycée Gabriel Fauré (Paris)
Un chat est caché dans un immeuble du quartier et il se déplace chaque nuit d'un immeuble à un immeuble adjacent relié par une rue. Chaque matin, nous pouvons vérifier la présence du chat dans un seul immeuble. En fonction du graphe des immeubles et des rues, on cherche à déterminer une stratégie pour trouver le chat, et le cas échéant le nombre maximum de jours nécessaires.
Mots clés : graphe, algorithme de recherche, stratégieL'hôtelier - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
4 vacanciers quittent un hôtel sans payer, chacun vers un point cardinal, à des vitesses différentes (3;5;9;18 km/h); Au bout d'1h l'hôtelier part (à 45km/h) pour les rattraper l'un après l'autre, en repassant par l'hôtel entre chaque. Quelle stratégie doit-il adopter pour terminer le plus vite possible ?
Le comptable - Lycée Léonce Vieljeux (La Rochelle)
Peut-on trouver 3 entiers naturels distincts 2 à 2, de 2 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et dont la somme est divisible par 2 d'entre eux ?
Et 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et dont la somme est divisible par 3 d'entre eux ?
Mots clés : arithmétique, écriture décimale, divisionEt 4 entiers naturels distincts 2 à 2, de 3 chiffres, commençant tous par le même chiffre, et dont la somme est divisible par 3 d'entre eux ?
L'héritage - Lycées Vieljeux et Valin (La Rochelle)
Un terrain est modélisé par un quadrilatère convexe doit être légué à un frère et une sœur lors d’un héritage. Sur un des côtés de ce terrain se trouve un pommier.
Dans un souci d’équité, le terrain doit être partagé en deux terrains de même aire et chacun doit posséder la moitié du pommier.
Existe t il segment qui passe par ce pommier en partageant équitablement ce quadrilatère.
Mots clés : aire, quadrilatèreDans un souci d’équité, le terrain doit être partagé en deux terrains de même aire et chacun doit posséder la moitié du pommier.
Existe t il segment qui passe par ce pommier en partageant équitablement ce quadrilatère.
Forming puzzles. Patterns using geometrical shapes - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
The paper examines some constructions of plane geometric figures obtained by cutting and rearranging other figures (that in general are squares).
Mots clés : modèle mathématique, construction géométriqueÉtude de la finalité des nombres - Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères)
Prenons un nombre entre 10 et 99 (par exemple 77) et multiplions les deux chiffres qui le composent (7 × 7 = 49). Si nous avons encore un nombre entre 10 et 100, nous recommençons jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre :
77 → 49 → 36 → 18 → 8. (1)
Mots clés : arithmétique77 → 49 → 36 → 18 → 8. (1)
Prime numbers - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Euclide a pu démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers. Sauriez-vous le montrer également ? Mais beaucoup de questions peuvent encore se poser:
Existe-t-il des nombres premiers k tel que n=k² − 1 soit aussi un nombre premier ?
Un entier k étant préalablement choisi, existe-t-il des nombres premiers n tel que n + k est encore un nombre
premier ?
Existe-t-il beaucoup de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 ?
Existe-t-il des nombres premiers k tel que n=k² − 1 soit aussi un nombre premier ?
Un entier k étant préalablement choisi, existe-t-il des nombres premiers n tel que n + k est encore un nombre
premier ?
Existe-t-il beaucoup de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 ?
Suites de Fibonacci et de Perrin - Lycée Gustave Eiffel (Budapest)
Dans ce travail, les jeunes chercheurs étudient la suite de Fibonacci Fn. Ils obtiennent la formule explicite à l’aide des matrices. Ils proposent des résultats sur le comportement asymptotique de la suite Fn+1/ Fn . Ils se sont penchés sur la vitesse de convergence à l’aide de l’outil informatique.
Les jeune chercheurs donnent aussi des pistes de généralisations, notamment pour la suite de Perrin.
Mots clés : suite, suite de Fibonacci, matrice, limiteLes jeune chercheurs donnent aussi des pistes de généralisations, notamment pour la suite de Perrin.
Trajectoires dans l'espace, points de Lagrange - Lycée Stendhal (Milan)
Quelques problèmes de mécanique céleste sont étudiés :
– À 2 corps, le rendez-vous spatial : deux satellites sont en orbite circulaire autour de la Terre. Comment procéder pour qu’un des deux rejoigne l’autre. “Orbiting/déorbiting” : est-il plus intéressant de faire tomber sur Terre un satellite en fin de vie ou de l’envoyer sur une orbite lointaine ?
– À 3 corps, la sphère d’influence d’un corps : la région de l’espace où l’influence d’un corps est prépondérante par rapport à celle d’un corps plus massif. Les points de Lagrange : ceux où un troisième corps plus léger reste fixe par rapport aux deux premiers.
Mots clés : système dynamique, gravitation, Kepler, Newton, orbite, trajectoire, énergie– À 2 corps, le rendez-vous spatial : deux satellites sont en orbite circulaire autour de la Terre. Comment procéder pour qu’un des deux rejoigne l’autre. “Orbiting/déorbiting” : est-il plus intéressant de faire tomber sur Terre un satellite en fin de vie ou de l’envoyer sur une orbite lointaine ?
– À 3 corps, la sphère d’influence d’un corps : la région de l’espace où l’influence d’un corps est prépondérante par rapport à celle d’un corps plus massif. Les points de Lagrange : ceux où un troisième corps plus léger reste fixe par rapport aux deux premiers.
Jeu du charlatan - Collège Fernand Léger (Saint-Martin d'Hères)
L’article concerne le jeu « Le jeu du Charlatan ». Des données statistiques y sont présentées et, dans certains cas, la probabilité de victoire est indiquée
Mots clés : statistique, calcul de probabilité, jeuOn fait des pizzas - Lycée Koeberlé (Sélestat)
On cherche à dénombrer les pizzas de n parts que l'on peut faire avec un ingrédient sur chaque part, en disposant de g ingrédients différents à répartir sur autant de parts chacun, les pizzas se correspondant par une rotation étant comptées pour une seule.
Des exemples sont discutés puis une formule générale est démontrée. Un programme Python est également présenté. Enfin, une réflexion est menée pour évaluer ce nombre pour de très grandes valeurs de n et g.
Mots clés : combinatoire, dénombrement, coefficient binomial, coefficient multinomialDes exemples sont discutés puis une formule générale est démontrée. Un programme Python est également présenté. Enfin, une réflexion est menée pour évaluer ce nombre pour de très grandes valeurs de n et g.
Petit carré deviendra grand - Lycée Jean-Baptiste Corot (Douai)
On montre comment découper et assembler des carrés de côté 1 pour en former un seul dont la surface est la somme des surfaces des petits carrés.
Mots clés : géométrie, carré, découpage, carré parfaitLes dés - Lycée Jean-Baptiste Corot (Douai)
Etant donné deux dés classiques à 6 faces est-il possible de changer les numéros sur les dés sans changer les probabilités obtenues sur la somme des deux dés lors d'un lancer. Une possibilité est montrée dans le cas des dés à 6 faces ainsi que dans celui des dés à 4 faces
Mots clés : combinatoire, dénombrement, probabilitésMusical improvisation - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
How many tunes can one compose from 7 notes ? As much as we want, since the tune C-C-C-...-C can be made as long as necessary. Now we make the problem more tricky by giving some constraints: how many tunes can one compose, forbidding any repetition of a 2 note-long pattern (for instance ...-E-C-...-E-C-..., is forbidden) or forbidding any direct repetition of a single note (for instance ...-D-D-... is forbidden). The article tackles these problems and some related problems, such as the evaluation of the number of tunes of a given length, using graph theory.
Mots clés : dénombrement, graphe, matrice d'adjacenceSommes d'entiers consécutifs - Lycée Emmanuel d'Alzon (Nîmes)
Certains nombres peuvent s'écrire comme la somme d'au moins deux nombres entiers consécutifs, par exemple : 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Est-ce vrai pour tous les nombres entiers positifs ? On établit la forme générale des nombres qui peuvent s’obtenir ainsi et on montre que ce n’est pas possible pour les puissances de 2.
Mots clés : arithmétique, nombre entier, entier naturel, paritéGravity calculator - Lycée Val de Durance (Pertuis) Colegiul National E. Racovita (Cluj)
Cet article (en anglais) décrit la conception de machines physiques permettant de calculer l’addition de nombres codés à l’aide de billes. L’objectif est, à partir de deux nombres représentés par un nombre de billes correspondant aux unités, dizaines, etc. de produire un assortiment de billes correspondant à l’addition des deux nombres. Différents modèles de mécanismes sont présentés (plusieurs groupes ayant travaillé sur le sujet), présentant essentiellement les mêmes caractéristiques, la pièce principale étant un système permettant de réaliser un système de retenues pour l’addition. Les trois premiers mécanismes, assez similaires, concernent l’addition de nombre représentés en base dix, avec un contenant intermédiaire ne pouvant contenir que neuf billes. Lorsque les unités à ajouter dépassent ce nombre, un système de portes permet de libérer la dixième bille qui rejoindra les billes des dizaines, les neuf billes étant ensuite éjectées du mécanisme. Le deuxième mécanisme introduit une notion d’arrivée…
Mots clés : base de numération, numération binaire, additionModelling of forest fires - Lycée Val de Durance (Pertuis) Colegiul National E. Racovita (Cluj)
The aim of the work is to simulate the spread of fires in forests and examine how fire behavior is influenced by the spatial arrangement of trees. Forests are schematized as matrices, and the expansion of fire follows a few simple rules. Three approaches to the problem are considered, along with the corresponding computer programs.
Mots clés : algorithme, automate cellulaire, simulationGéométribourg - Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)
Sire Point-Carré, le seigneur de Géométribourg, était un peu fou, et imposait une taxe sur la surface vitrée des maisons de la ville. Il imposait également que toutes les fenêtres de Géométribourg soient triangulaires et composées exclusivement de triangles ! La taxe a payer dépendra du nombre des fenêtres. Ainsi si les habitants de Géométribourg souhaitent réduire ou agrandir leurs fenêtres, ils auront besoin d' estimer les coûts afin d'éviter les mauvaises surprises. Numérobis est un architecte qui a trouvé une idée ingénieuse, dont nous allons nous servir afin de répondre à ce problème.
Plume et ses citrouilles - Collège Edmond de Goncourt (Pulnoy)
Plume est un chat apprenti qui veut réussir son examen de sorcier. Ce dernier consiste à transformer une série de citrouilles dans un ordre spécifique (plusieurs couleurs, plusieurs tailles) en une seule et même grande citrouille orange. Il doit trouver (si elle existe) une méthode systématique lui permettant d'atteindre son but. Il a une série de formules autorisées qu'il doit utiliser selon des règles bien précises.
Des grilles harmonieuses - Lycées J.-P. Sartre (Bron) et E. Herriot (Lyon)
On dispose d’une grille carrée vide à autour de laquelle des nombres sont écrits. Le but est de remplir la grille de sorte que chaque case soit la moyenne des cases qui lui sont adjacentes.
Peut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Mots clés : harmonium, grille, moyenne, système linéairePeut-on toujours compléter une grille donnée ? Il est montré en général qu’il y a au plus une seule solution, et le problème est résolu pour les grilles 1 x n, les grilles 2 x 2 et les grilles 3 x 3 avec un calcul explicite des valeurs obtenues dans chaque case.
Dominos - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Partant d’un problème de dénombrement de pavages d’un échiquier 2Xn par des dominos 2X1, les auteurs étudient les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 et leur lien avec celle de Fibonacci et le nombre d’or.
Mots clés : nombre d'or, suite de Fibonacci, suite récurrente, récurrence, dénombrementChemins sur une grille - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On imagine une grille carrée de n*n cases allant d’un point de départ en bas à gauche à un point d’arrivée en haut à droite. En supposant que l’on ne puisse aller que vers la droite et le haut :
-Combien existe-t-il de chemins allant du départ à l’arrivée ?
-Combien existe-t-il de chemins si on ne peut passer que dans la moitié nord-ouest de la grille ?
-Combien existe-t-il de chemins sur une grille rectangle de côtés n et k avec n et k quelconques ?
Mots clés : combinatoire, chemin-Combien existe-t-il de chemins allant du départ à l’arrivée ?
-Combien existe-t-il de chemins si on ne peut passer que dans la moitié nord-ouest de la grille ?
-Combien existe-t-il de chemins sur une grille rectangle de côtés n et k avec n et k quelconques ?
Plan d'attaque - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
On cherche à transmettre un point cardinal (Nord, Ouest, Sud ou Est) à un maximum de soldat via des officiers et des sous-officiers qui ont une probabilité non nulle de se tromper. La question est de savoir comment procéder en un temps donné pour y parvenir. Nous avons établi des probabilités d'avoir la bonne informations pour chaque soldat sur les deux premières minutes. Ensuite, nous avons voulu généraliser notre raisonnement sur 5 minutes afin d'obtenir une formule donnant le nombre d'officiers et de sous-officiers informés en n minutes. Enfin, par l'utilisation de suites arithmético-géométriques, nous avons pu établir des formules nous donnant la probabilité pour chaque soldat d'avoir la bonne information quelque soit le moment où celui-ci l'obtient.
Mots clés : arbre de possibilités, probabilité, probabilité conditionnelleCaptain Kirk - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
On cherche à trouver une ville dans un plan carré en testant des points de ce carré, à chaque test on sait si on se rapproche ou pas de la ville. Dans cet article, on mesure l’efficacité de plusieurs stratégies et on propose une stratégie optimale.
Mots clés : médiatrice, aléatoire, surface, optimisation, carré, triangleRobinson - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges)
Sujet: Robinson s’est échoué sur une île déserte et y a rencontré un autochtone appelé
Vendredi. Chacun d’entre eux doit récupérer des vivres afin de survivre. Ils ont tous
deux des rendements différents et un besoin hebdomadaire précis.
Est-il intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à
récolter des vivres ?
Production: Nous avons étudié plusieurs cas: travail seul, travail en collaboration. Pour le cas en collaboration, nous avons envisagé plusieurs possibilités d'équité: gain du même temps, gain d'une même proportion de temps, travail à temps égaux. Puis nous avons commencé à étudier le cas de trois personnes.
Mots clés : équation, optimisation, système d'équationsVendredi. Chacun d’entre eux doit récupérer des vivres afin de survivre. Ils ont tous
deux des rendements différents et un besoin hebdomadaire précis.
Est-il intéressant pour eux de collaborer afin de passer moins de temps à
récolter des vivres ?
Production: Nous avons étudié plusieurs cas: travail seul, travail en collaboration. Pour le cas en collaboration, nous avons envisagé plusieurs possibilités d'équité: gain du même temps, gain d'une même proportion de temps, travail à temps égaux. Puis nous avons commencé à étudier le cas de trois personnes.
Les voûtes nubiennes - Lycée de l'Harteloire (Brest)
Le problème étudié est celui d’empilement de briques en les espaçant au maximum, sans que la structure soit déséquilibrée. En expérimentant avec des kaplas, les élèves ont trouvé que l’on doit décaler le n-ième kapla de 12/(2n) cm, pour des kaplas de 12 cm. Une première tentative de prouver cette formule avec une technique du fractionnement échoue, mais une deuxième en utilisant des barycentres permet de la prouver.
Nous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Mots clés : barycentre, suite, sérieNous proposons plusieurs approches, la première est expérimentale, la deuxième est basée sur le fractionnement des briques et la troisième sur l'utilisation des barycentres, qui corrobore l'approche expérimentale.
Les jours fériés tombent-ils souvent le week-end ? - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
L’impression générale est que les jours fériés tombent trop souvent le week-end. Ça n’est pourtant pas le cas pour le lundi de Pâques, le jeudi de l’Ascension ou bien le lundi de la Pentecôte. Mais qu’en est-il des huit autres qui, eux, tombent à date fixe ? Cet article montre que les années se répètent à l’identique selon un cycle de 400 ans, ce qui permet de ne s’intéresser qu’à un nombre grand mais fini de jours. La répartition des jours fériés selon les jours de la semaine est ensuite établie, démontrant qu’entre 1 et 4 jours fériés (inclus) tombent chaque année le week-end, mais que la probabilité qu’un jour férié tombe un jour de week-end est même légèrement inférieure à celle des autres jours de la semaine.
Mots clés : arithmétique, probabilitésFabrique de puzzles - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
On veut fabriquer des puzzles. A partir de pièces carrées de coté fixé, on est autorisé à modifier les cotés en enlevant un triangle ou en ajoutant un triangle de sorte que les pièces s'emboîtent parfaitement.
Combien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non…
Mots clés : puzzle, dénombrementCombien y a-t-il de pièces différentes si on n'autorise ni rotation, ni retournement ? Même question si on n'autorise que les rotations (et pas les retournements)? Et si on autorise rotation et retournement?
Un puzzle de taille mxn est un ensemble de mn pièces qu'on peut assembler en forme de rectangle de longueur m centimètres et de largeur n centimètres, sans tourner ni retourner les pièces et que les cotés plats soient uniquement sur les bords.
Un puzzle est unique s'il y a une seule façon d'assembler les pièces (à échange de pièces identiques près).
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mx1, pour tout m?
Et un puzzle non unique?
Peut-on trouver un puzzle unique de taille mxn, pour tout m et tout n?
Et un puzzle non…
Construire des nombres entiers sous contrainte - Collège Pompidou (Cajarc) Lycée Savignac (Villefranche de Rouergue)
Les auteurs étudient l’ensemble des nombres entiers naturels que l’on peut obtenir en prenant un nombre n et en effectuant (n-1) opérations successives sur n nombres valant tous n. Les auteurs produisent un algorithme qui en dresse la liste.
Mots clés : entier naturel, opération, arithmétique, algorithmeCastells de a - Lycée Arago (Perpignan)
Cet article traite de 3 “empilements” infinis composés avec un réel a>0. L'objectif est de trouver pour quelles valeurs de a ces empilements définissent bien un nombre. On modélise chaque empilement sous forme d'une suite récurrente. Pour les deux premiers empilements, construits avec la racine carrée puis comme fraction continue, on montre que la suite converge et on détermine sa limite, que l'on interprète comme la solution du problème. Pour le troisième, construit avec une suite d’exposants a, on détermine un intervalle I tel que la suite converge si a appartient à I et diverge si a est extérieur à I.
Mots clés : itération, racine carrée, fraction continue, puissance, suite récurrente, point fixeSentinelles - Collège Alain Fournier (Orsay)
Un château a une forme polygonale. Du haut de ses remparts sont postées des sentinelles qui peuvent voir à un kilomètre. Où vaut-il mieux les placer pour voir l'ennemi le plus tôt possible dans la plupart des cas si le château est carré ? Que dire si l'on remplace le carré par un cercle ? par un autre polygone ?
A journey through the wonders of Fermat's Point - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
The Fermat point is a remarkable point of a triangle introduced by the French mathematician Pierre de Fermat in the XVII century. In this article we studied some known properties of such point, also managing to discover some new interesting characteristics. We started analysing triangles, moving to quadrilaterals and finally to polygons. Regarding triangles, by slightly modifying the definition of Fermat point, we obtained a new set of points and we proved that the Fermat point belongs to this set as well as the triangle centroid and the orthocenter. Moving away from triangles, we obtained some results involving regular polygons, but because of the complexity of the task we were not able to find a method to determine the Fermat point in irregular polygons. For this reason, we used calculus to develop an algorithm to approximate Fermat point.
Mots clés : géométrie, triangle, quadrilatère, polygoneLaser Guess - Collège Saint-Exupéry (Mulhouse)
Nous avons une grille et nous essayons de trouver une figure cachée à l’aide de valeurs situées aux côtés de la grille : peut-on trouver la figure cachée seulement à l’aide de ces valeurs ? Y a-t-il une figure unique associée des valeurs ou des valeurs uniques à une figure ?
Si l’on prend pour exemple cette grille, au-dessus de la première ligne horizontale, il y a un 0, il ni donc pas une partie de la figure cachée dans cette ligne. Sur la deuxième ligne horizontale il y a un 2, on sait donc qu’il y a une partie de la figure cachée dans cette ligne, on va s’aider des lignes verticales pour la trouver. En remplissant les cases supposées faire partie de la figure cachée on obtient ce résultat.
Pour en revenir à la problématique, on peut affirmer que les valeurs ne sont pas uniques à une figure car si l’on prend une grille plus simple (2x2) avec 1 comme valeur de chaque côté, il y a deux possibilités.
Si l’on prend pour exemple cette grille, au-dessus de la première ligne horizontale, il y a un 0, il ni donc pas une partie de la figure cachée dans cette ligne. Sur la deuxième ligne horizontale il y a un 2, on sait donc qu’il y a une partie de la figure cachée dans cette ligne, on va s’aider des lignes verticales pour la trouver. En remplissant les cases supposées faire partie de la figure cachée on obtient ce résultat.
Pour en revenir à la problématique, on peut affirmer que les valeurs ne sont pas uniques à une figure car si l’on prend une grille plus simple (2x2) avec 1 comme valeur de chaque côté, il y a deux possibilités.
Mètre pliant - Lycée de l'Harteloire (Brest)
L'étude d'un mètre pliant non gradué débouche sur les deux questions suivantes. Comment s'assurer que toutes les mesures qu'il permet sont distinctes ? Comment s'assurer que toutes les mesures qu'il permet sont consécutives à partir de 1 ?
L'article propose une réponse à la première question en définissant le mètre pliant le plus court ayant des mesures toutes distinctes. Pour la deuxième question, plusieurs systèmes de mètres à mesures consécutives sont proposés dont le plus performant présente un taux de mesures non distinctes qui tend vers zéro.
Mots clés : puissance de 2, suite géométrique, récurrenceL'article propose une réponse à la première question en définissant le mètre pliant le plus court ayant des mesures toutes distinctes. Pour la deuxième question, plusieurs systèmes de mètres à mesures consécutives sont proposés dont le plus performant présente un taux de mesures non distinctes qui tend vers zéro.
Croissance d'un cristal - Collège Alain Fournier (Orsay)
On considère un rectangle dont les quatre côtés s'éloignent du centre avec des vitesses v1,v2, v3, v4. Comment évolue l'aire du rectangle ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Et si on considère un polygone dont les côtés s'éloignent à des vitesses constantes mais différentes : que se passe-t-il pour un parallélogramme ? pour un triangle ? pour un polygone régulier ? Est-ce que le nombre de côtés change ?
Couleurs, cercles et carrés - Collège Alain Fournier (Orsay)
On trace des cercles dans le plan. La figure obtenue délimite des régions du plan. Deux régions sont dites adjacentes si elles ont au moins un arc de cercle en commun. Combien de couleurs au minimum faut-il pour colorier les régions de sorte que deux régions adjacentes soient de couleurs différentes (et si on dit que deux régions sont adjacentes si elles sont séparées par une ligne de longueur non nulle) ? Et si on fait en sorte que l’intersection de deux côtés de carrés distincts soit ou bien vide, ou bien deux points ? Le résultat est-il encore vrai si on remplace les cercles par des carrés ? Peut-on généraliser à d'autres polygones ?
Mots clés : couleurUn problème d'urnes et de boules - Collège Alain Fournier (Orsay)
On répartit dans deux urnes identiques N boules blanches et N boules noires indistinguables au toucher, puis on tire une boule dans l'une des deux urnes au hasard.
Pour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Mots clés : probabilité, urnePour quelle répartition a-t-on le plus de chances de tirer une boule blanche ? Et pour des nombres quelconques d’urnes, de boules blanches et de boules noires ?
Échecs et maths - Collèges Fleming et Fournier (Orsay)
Variante du cavalier d’Euler qui s’interroge sur la possibilité d’atteindre les points du plan en utilisant uniquement les déplacements du cavalier des échecs, ces déplacements doublant à chaque étape. Un octogone apparaît qui s’agrandit à chaque étape. Une belle conjecture de parités permet de modéliser les déplacements et donne lieux à la question : peut-on atteindre les points de coordonnées (2n+1 ; 0) de l’axe des abscisses ? Existe-t-il un algorithme qui permettrait de le faire ?
Mots clés : parité, graphe