Parts égales ? - Collège l’Impernal (Luzech)

Géo a inventé un robot découpeur de tartes. Il est muni d'un tranchoir inamovible et d'un plateau tournant. On y dépose la tarte dans la machine, celle-ci la centre, actionne le tranchoir, ce qui découpe un rayon, puis fait tourner la tarte de l'angle θ, découpe un nouveau rayon, fait tourner la tarte, etc... On peut régler le nombre de coups de tranchoir et l'angle θ avant de lancer la machine. Géo s'amuse alors à découper au delà du tour complet et remarque que les parts ainsi obtenues ont des tailles différentes.
1. Par exemple il a réussi à régler θ pour obtenir 5 parts de 2 tailles différentes, 2 grandes parts et 3 petites. Quelles sont les valeurs de θ qui permettent cela ?
1. Pouvez-vous trouver un réglage pour obtenir 13 grandes parts et 5 petites ?
2. Trouver un réglage qui fait 4 tailles différentes.
3. Est-ce que le nombre de parts de chaque taille peut être quelconque ?