Publications MATh.en.JEANS

Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)

Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.

Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.

 
Article : La boîte de gateaux - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Article
L’étude porte sur le remplissage de boites avec un étage de gâteaux circulaires. Les rédacteurs ont commencé par des boites carrées, puis triangulaires, en forme de losange et ont fini par des boites circulaires. Trois types d’outils sont utilisés : un logiciel de géométrie, un tableur et des calculs algébriques (malheureusement les démonstrations ne sont pas présentes)
Mots clés : géométrie, optimisation, triangle équilatéral, trigonométrie
 
Article : Les embouteillages - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Article
Ce travail modélise la circulation de véhicules sur un circuit fermé. Il étudie la formation d’embouteillages en fonction du nombre de véhicules et de leur vitesse. Le circuit est modélisé par des cases, chaque case ne pouvant contenir qu’un seul véhicule. A chaque étape les véhicules tentent de se déplacer d’un certain nombre de cases vers l’avant. Les simulations effectuées montrent qu’en fonction de la densité du trafic les embouteillages vont se résorber ou non. Ces simulations sont en accord avec les propriétés démontrées par la suite.

Mots clés : modélisation, simulation, embouteillage, graphe, algorithme, programme, Algobox
 
Article : L’anneau des nains - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Article
Recherche de patrons d'un anneau formé de huit cubes.
Mots clés : 3D, patron, arbre de possibilités
 
Article : Problème des reines - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
Il s’agit de placer n reines sur un échiquier de dimension n x n, sans qu’elles soient en prise, de voir si c’est toujours possible, de recenser les cas où cela est impossible.
En première partie on propose une méthode générale de construction de configuration valide et on s’aperçoit que la méthode proposée ne convient pas quand n=6k+2
En deuxième partie, on propose une méthode pour obtenir une configuration de taille n+1 à partir d’une configuration de taille n sans reines sur la diagonale.
En troisième partie, un programme de détermination de toutes les configurations possibles rédigé avec le logiciel Xcas.
En quatrième partie, on démontre pourquoi l’algorithme de construction de configuration proposé en première partie marche dans le cas n=6k, n=6k+4 et pas dans le cas n=6k+2.
En dernière partie, on propose un autre algorithme de construction de configuration dans le cas n=6k+2.
Mots clés : échecs, combinatoire
 
Article : Balade à New-York - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
Un personnage se déplace sur une grille infinie modélisant la ville de New York. A l’étape i, il parcourt une distance i en ligne droite. On impose de changer de direction (selon les points cardinaux) à chaque étape. De plus la première et la dernière direction doivent être différentes. Le problème consiste à étudier l’existence d’un parcours qui revient à son point de départ.

Les auteurs commencent par trouver des solutions au problème avant de caractériser la longueur des solutions en montrant que ces longueurs sont exactement les multiples de 8.
Pour finir, ils comptent le nombre solutions possibles pour des longueurs valant 8, 16, 24 et 32. Ces dernières valeurs sont obtenues grâce à un algorithme implémenté en AlgoBox
Mots clés : polygone, grille, dénombrement
 
Article : Stationnement sur le périphérique... - Lycée Charles-Augustin Coulomb (Angoulême) Lycée Marguerite de Valois (Angoulême), Lycée Saint Paul (Angoulême)
Article
Il s’agit de déterminer le nombre moyen de voitures qu’on peut garer dans un parking à partir des données géométriques (parking circulaire ou linéaire).
Mots clés : algorithme, récurrence
 
Article : Gare aux tricheurs ! - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
A l'université d'O., pendant les examens, les tables sont placées régulièrement. N'ayant pas révisé, les étudiants essayent tous de tricher et les surveillants, s'asseyant à certaines places, ne peuvent contrôler que les 4 étudiants qui l'entourent. Nous avons trouvé le minimum de surveillants nécessaires pour surveiller de petites salles « carrées », jusqu'à 5 tables sur un côté, et pour les autres, nous avons formulé un encadrement. Nous avons aussi décrit une technique pour placer les surveillants en nombre réduit même si ce n'est pas toujours le minimum.
Mots clés : optimisation discrète, pavage
 
Article : Courbes fermées ou infinies ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Ce travail présente une analyse des courbes obtenues en répétant une séquence de déplacement donnée composées d’une alternance entre déplacement et rotation de 90°. Cette analyse porte sur le caractère fermé des courbes obtenues fonction du nombre et de la longueur des déplacements. L’étude porte sur un cas précis d’une séquence de 3 mouvements qui est ensuite étendue à des longueurs et un nombre de séquences variables. Enfin, une conjecture est donnée pour caractériser le caractère finie ou infinie de la courbe obtenue en fonction des propriétés de la séquence répétée.
Mots clés : géométrie, simulation
 
Article : A sweet problem - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
A cake as a cuboid has to be served by 100 persons at a birthday party. The person who celebrates his birthday has to cut the cake such that everybody who is there can eat a piece in order to taste the sweet cake. Pieces can be every shape or size; they do not have to be equal, but they cannot be rearranged after any cut. The cake can be cut every direction. We find out which one is the minimum number of cuts the celebrated person should do in order to satisfy all guests (everybody tastes the cake), which one is the minimum number of cuts in order to get equal pieces, the dimensions of the cake that has maximum volume.
Mots clés : cube, volume maximal, minimum
 
Article : Snowflakes - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Les élèves s'intéressent aux objets fractals et notamments au flocon de von Koch. Ils retrouvent le ''paradoxe'' bien connu de cet objet, à savoir qu'ils possèdent une aire finie mais un périmètre de longueur infinie. Ils calculent notamment l'aire exacte du flocon.
Mots clés : fractal·e
 
Article : On time - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Our team has completed a set of tasks related to a classic clock, such as: how many degrees lie between the hour hand and the minute hand when the clock shows 4:32, which is the first moment between 7 and 8 o’clock when the angle determineted by the hour hand and the minute hand measures 1000, which is the probability that the hour hand lies between 7 and 10 o’clock.
Mots clés : temps, angle, probabilité
 
Article : Pizza time - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Cet article étudie cinq problèmes indépendants qui s’intéressent à des propriétés géométriques de découpages de pizzas.
Mots clés : géométrie, cercle, combinatoire
 
Article : A not so fair game - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Cet article (en anglais) étudie un jeu de hasard avec trois dés préparés où le premier joueur en choisit un et, quelque soit son choix, le second peut en choisir un autre avec plus de chances de gagner. À chaque lancer, le perdant verse une somme fixée au gagnant et le temps moyen mis pour que l'un des joueurs soit ruiné est calculé.
Mots clés : probabilité, dé, effet Condorcet
 
Article : Lattice - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Dans cet article les auteurs cherchent à répondre aux questions suivantes :

1. Combien de lignes traversent exactement deux nœuds d'un réseau ?

2. Combien peut-on construire de carrés dont les sommets sont les nœuds d'un réseau ?

3. Quelle est la probabilité que 4 points d'un réseau soient les sommets d'un carré ?

4. Quelle est la probabilité que 3 points d'un réseau soient les sommets d'un triangle ?
Mots clés : géométrie plane, combinatoire, probabilités, réseau
 
Article : A very short alphabet - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
The number of words of length 7 in an alphabet of 4 letters is calculated under several constraints: forbidden sub-words, even number of apparitions of a letter. Induction formulas give a more general result applying to words of all lengths. [On calcule le nombre de mots de longueur 7 dans un alphabet de 4 lettres sous plusieurs contraintes : sous-mots interdits, nombre pair d’apparitions d’une lettre. Des formules de récurrence donnent un résultat plus général s’appliquant aux mots de toutes longueurs].
Mots clés : mot, combinatoire, combinatoire des mots
 
Article : Dents et engrenage - Lycée Saint Paul (Roanne)
Article
Quelle forme faut-il choisir pour les dents d'un engrenage ?
Question plus difficile qu'il n'y paraît, où apparaissent des développantes de cercle !
Mots clés : géométrie, trigonométrie
 
Article : Flower Beds and a Little Geometry - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Cet article, écrit en anglais, introduit une transformation de triangles et de quadrilatères ainsi que les cercles de Conway d'un triangle. Ainsi, des triangles sont construits à partir de triangles initiaux, des quadrilatères à partir de quadrilatères initiaux, avec des propriétés de conservation du centre de gravité, entre autres. On démontre aussi que les cercles de Conway sont tous centrés sur le centre du cercle inscrit. Ces différentes formes permettent de dessiner des jolies figures que l'on peut imaginer sur le sol d'un jardin public, avec fontaines, statues, arbres, portes d'entrées, et plate-bandes fleuries...
Mots clés : géométrie, géométrie des triangles, symétrie, quadrilatère, cercle de Conway
 
Article : Géométrie Tropicale - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Article
Cet article donne une présentation générale des algèbres Min-Plus et leur version symétrisée. Ces algèbres sont étroitement reliées à la notion d’analyse idempotente. L’article fait apparaître les difficultés et spécificités liées à ces algèbres et notamment à leur symétrisations qui est incompatible, dans des cas non triviaux, avec l’associativité et l’idempotence. A cet effet il est montré comment l’on peut construire une classe d’équivalence permettant de contourner cette difficulté. Cette structure est parallèle, dans son principe, à celle qui permet de passer des nombres naturels aux entiers relatifs.
Mots clés : algèbre tropicale, analyse idempotente, algèbre min-plus, géométrie tropicale
 
Article : Simulateur d’avalanches - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo) Liceo de Mirano (Mirano, Italie)
Article
This article presents some experiments for a problem named “Avalanche simulator”.
It consists in considering a grid a cell containing a given number of snow flake. If this number is greater than 4, at a given timestep, then 4 flakes are flowing on each neighboring cell (let, right, up, down). This process repeats until it reaches stability. The problem consists in finding a relation between the radius r when stability is reached and the number N of snow flake that is put initially in the central cell of the grid. They have implemented a program to produce simulation results and analyzed them to figured out a possible relation.
Mots clés : automate cellulaire, Conway, jeu de la vie
 
Article : Fractions Egyptiennes - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Article
Cet article, rédigé en anglais, propose au cours des 43 pages d’étudier différentes méthodes pour trouver la décomposition d’une fraction inférieure à 1 (« proper fraction ») en somme de fractions égyptiennes (fractions dont le numérateur est 1). Les auteurs commencent par présenter la méthode de Fibonacci. Elle est simple et les preuves utilisent essentiellement les résultats sur les fractions. Mais elle est peu efficace. L’algorithme de calcul est dit « glouton » : il prend vite du temps. Elle a aussi l’inconvénient de donner des décompositions où les dénominateurs deviennent vite grands.
Les auteurs proposent ensuite d’étudier la méthode de Golomb. Plus complexe, elle s’appuie sur les le théorème de Bézout et l’algorithme d’Euclide. Les preuves sont de bons exercices d’arithmétique avec un travail d’encadrement utilisant la partie entière. En outre, l’algorithme permet d’avoir une décomposition en fraction égyptienne avec des dénominateurs moins grands que la première et bornés par b(b-a) où b…
Mots clés : fraction égyptienne, Fibonacci, méthode de Golomb
 
Article : Les critères de divisibilité - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Article
L'article s'intéresse au critère de divisibilité par 3 ou 9 en base 10 et montre que ce critère est vrai seulement pour 3 ou 9. Il montre également que ce critère est vrai en base p pour tout diviseur de p-1.
Mots clés : critère de divisibilité, système de numération
 
Article : Arbres - Lycée Jean Puy (Roanne)
Article
Cette étude consiste à déterminer l’aire et le périmètre d’un arbre construit à l’aide d’un procédé itératif à partir d’un carré de base.
Mots clés : aire, périmètre, théorème de Pythagore, itération, fractal·e
 
Article : Un tableau pas très bien attaché - Collège Henri de Navarre (Coutras) Collège Paul-Emile Victor (Branne)
Article
Est-il possible d’accrocher un tableau à un mur avec des clous et une ficelle de telle sorte que si l’on enlève un des clous, le tableau tombe ? A l’aide d’un codage sous forme de mots, les élèves prouvent que cela est possible pour un nombre arbitraire de clous !
Mots clés : groupe, groupe libre, commutateur
 
Article : Des cartes, de la magie et des maths. - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
Article
L'article étudie un tour de cartes : "un magicien dispose sur une table 15 cartes à jouer différentes en 3 lignes et 5 colonnes, faces visibles. Il vous demande de choisir une carte, puis de lui dire dans quelle ligne elle se trouve ; il rassemble les cartes et les redistribue de façon différente. Après avoir demandé trois fois dans quelle ligne se trouve votre carte il est capable de vous dire quelle carte vous avez choisie.
Mots clés : tour de cartes
 
Article : Le porteur d’eau - Collège Henri de Montherlant (Neuilly en Thelle)
Article
On veut apporter le maximum d'eau à un champ avec un âne âgé. Sachant que le champ est séparé d'une citerne (de contenance 150L) par 50m de distance et que l'âne ne peut porter que 50L à l'aide d'un bidon percé qui perd 1L par mètre, et qu'on dispose d'une réserve qu'on peut poser où on veut sur le chemin.
Mots clés : optimisation
 
Article : gateaux empoisonnés - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
Article
L'objectif est d’endormir son professeur en lui offrant un nombre de gâteaux dont certains contiennent du somnifère. Le professeur mange deux gâteaux et s'endort s'il ingère au moins un gramme de somnifère. L'article commence par traiter quelques exemples puis étudie différents cas en fonction de la décomposition du grammage. Enfin, la question de l'optimisation de la répartition du grammage en fonction du nombre de gâteaux et de la quantité de somnifère est étudiée.
Mots clés : optimisation discrète, probabilité
 
Article : Une analyse combinatoire autour du jeu de Dobble - Lycée Żmichowska (Varsovie)
Article
L'article décrit mathématiquement les ensembles de Dobble (basés sur un jeu de société) : ensemble de cartes portant toutes un même nombre k de symboles tel que 2 cartes différentes ont toujours un unique symbole commun. L'article montre que l'ensemble des cartes du jeu du commerce n'est pas maximal (on peut en rajouter 2), et donne un critère permettant de savoir si un ensemble est maximal. Il donne également une méthode pour construire un ensemble de Dobble pour un ensemble de symboles donné.
Mots clés : Dobble, jeu, ensemble, inégalité, optimisation
 
Article : Localiser un robot - Lycée la Versoie (Thonon les Bains)
Article
Localiser un robot qui se déplace sur un graphe en connaissant certaines distance à certains points.
Mots clés : graphe, graphe complet
 
Article : Qui chat peut être ? - Lycée Maurice Genevoix (Ingré)
Article
L’article porte sur une analyse un jeu proche du « Qui est-ce ? ». Les auteurs recherchent tout d’abord le nombre de questions maximum pour retrouver le bon personnage sous condition que l’autre joueur ne ment pas. Puis ils proposent une amélioration du jeu pour pouvoir détecter et corriger un éventuel mensonge de l’adversaire.

Mots clés : code correcteur, jeu, binaire
 
Article : C’est du lard. - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Article
Dans l’article, les auteurs proposent une méthode géométrique pour déterminer le nombre de gardiens à placer dans une galerie d’art pour pouvoir surveiller toute la galerie.
Les résultats ne sont pas démontrés mais expliqués avec des schémas.
Mots clés : polygone, convexe, concave, construction géométrique, triangulation
 
Article : Un jeu de Nim - Lycée Douanier Rousseau (Laval)
Article
Les jeux de Nim sont des jeux de stratégie se jouant à 2. Ce travail étudie la variante où chaque joueur doit prendre dans un tas d’un certain nombre de bâtons tour à tour. Le premier joueur doit en laisser au moins un, puis chacun peut prendre un nombre de bâtons au plus égal au double du nombre de bâtons pris par le précédent. Celui qui gagne est celui qui prend le dernier bâton. Selon le nombre de bâtons au départ, il est établi une stratégie gagnante pour l'un ou l'autre des joueurs, qui fait apparaître la suite de Fibonacci et la décomposition de Zeckendorf.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégie de jeu, suite de Fibonacci, Zeckendorf
 
Article : Nombres premiers d’un certain type fixé à l’avance - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
Article
Ce sujet repose sur l’étude d’un objet mathématique créé par le mathématicien Stanisław Marcin Ulam : la spirale d’Ulam. Elle s'obtient en enroulant les entiers naturels selon des carrés croissants, puis en mettant en évidence les nombres premiers. On peut alors rapidement observer que les nombres premiers ont une tendance à s’aligner sur certaines diagonales. Le but du sujet est de comprendre l’origine de ces alignements. Les élèves en viennent à étudier la fréquence des nombres premiers parmi les valeurs de polynômes du second degré à coefficients entiers.
Mots clés : spirale d'Ulam, nombre premier
 
Article : Smileys tassés et pokémons bien serrés. - Collège Carnot (Lille)
Article
Comment mettre un maximum de smileys dans un espace rectangulaire? Par une approche expérimentale, les élèves ont testé différentes configurations, puis ils ont démontré leurs conjectures. Il se sont ensuite demandé quelles seraient les dimensions d'un rectangle "parfaitement ajusté" pour placer un grand nombre de smileys.
Mots clés : optimisation, aire, disque, triangle, carré, rectangle, aire maximale, proportion
 
Article : Quelques automates cellulaires - Lycée de Provence (Marseille)
Article
Comment se crée un embouteillage de voitures sur une route ? À quelles conditions sur le trafic peut-il au contraire se résorber ? Dans cet article, la circulation des voitures sur une route au cours du temps est modélisée par un automate cellulaire. Un code en TI-Basic est donné permettant la simulation directe. Enfin, sous certaines conditions de trafic (les voitures arrivent sur la route selon des instants périodiques) une condition nécessaire et suffisante est donnée pour la résorption (ou au contraire la préservation) d'un bouchon.
Mots clés : modélisation, automate cellulaire, programmation, suite récurrente
 
Article : Une crêpe très fragile - Lycée Carnot (Paris) Lycée Maurice Ravel (Paris)
Article
En partant d’une crêpe cuite sur seulement une de ses deux faces, initialement face cuite dessous, on fixe un angle a et on retourne une portion de la crêpe sur le secteur angulaire [0,a]. On fait ensuite de même sur le secteur angulaire [a,2a], et ainsi de suite. Pour quelles valeurs de a ce processus aboutit-il à un retournement complet de la crêpe ? Les élèves démontrent que les angles de type a=360°/n pour un entier positif n conviennent, et seulement ceux-ci.

Mots clés : géométrie, système dynamique
 
Article : Parking - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Article
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont étudié les possibilités qu’ont un certain nombre de
voitures de se garer dans un parking comportant autant de places que de voiture, chacune de ces
dernières ayant une « place préférée ». Ils se sont intéressés à l’existence et au dénombrement de cas
permettant à toutes les voitures de se garer. Ils ont pour cela relié leur sujet aux projets « Arbres
binaires planaires » et « Triangulation » de leurs établissements.
Mots clés : combinatoire, dénombrement, arbre binaire
 
Article : Arbres binaires planaires - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Article
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont dénombré le nombres d'arbres binaires planaires possibles en fonction du nombre d'entrées. Pour la formule générale, le sujet a été mis en relation avec le sujet de recherche triangulation donc les solutions sont au même nombre.
Mots clés : arbre binaire, dénombrement, nombre de Catalan
 
Article : Triangulation - Collège Michelet (Toulouse) Collège Jolimont (Toulouse)
Article
Les élèves des collèges Michelet et Jolimont ont trouvé une formule déterminant le nombre de découpages en triangles de polygones convexes. La formule a été mis en évidence et vérifiée mais non démontrée pour le cas général.
Mots clés : polygone, triangle, dénombrement, nombre de Catalan
 
Article : Magic’ Maths - Lycée Claude Bernard (Villefranche-sur-Saône)
Article
Un magicien, aidé par un complice, va épater un joueur. Le joueur choisit p lettres dans un alphabet de n lettres, qu'il dit au complice. Ce dernier en dit p-1 au magicien, qui trouve alors la dernière carte choisie par le joueur. L'article établit à l'aide du lemme des mariages la condition entre p et le nombre de lettres de l'alphabet pour que le tour soit possible, et décrit des stratégies possibles pour quelques valeurs de n et de p.
Mots clés : tour de magie, combinatoire, arrangement, combinaison, lemme des mariages
 
Article : Faire routage - Collège Le Grand Som (St Laurent du Pont)
Article
Cet atelier propose une étude combinatoire de répartitions de nombres satisfaisant différentes contraintes arithmétiques.
Mots clés : combinatoire, somme d'entiers, Scratch
 
Article : Tu coches, je te coupe et te mange... - Collège Saint Pierre (Plouha)
Article
Ce jeu se joue à deux sur un rectangle quadrillé de dimensions m x n. Les joueurs jouent à tour de rôle. le premier joueur place une croix où il le souhaite dans une case, puis le second joueur coupe sur une ligne du quadrillage et enlève la partie contenant la croix. À son tour, il place sa croix dans une case et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une seule case ; le joueur qui met sa croix dans la dernière case gagne la partie. Les dimensions du rectangle initial et les stratégies qui permettent soit au premier joueur, soit au second, de gagner à coup sûr sont établies pour un bon nombre de cas, avec une conjecture pour le cas général
Mots clés : jeu, stratégie, stratégie gagnante
 
Article : Piques et Pick et polygrammes...Heu ! Polygones ! - Collège Saint Pierre (Plouha)
Article
Former un polygone en étirant un élastique sur les clous d'une planche de fakir, compter le nombre de clous à l'intérieur du polygone, le nombre de clous sur le bord du polygone... et en déduire l'aire ? C'est l'objet de cet article qui étend même le résultat à des polygones "troués" (c'est-à-dire auxquels on retire des polygones eux-mêmes formés sur la grille). Ainsi, la formule de Pick est conjecturée par une accumulation d'exemples, puis démontrée pas à pas en commençant par des rectangles alignés sur la grille, en continuant par les triangles, et en finissant par les polygones (comme réunion de triangles) et les polygones "troués".
Mots clés : géométrie, grille, calcul d'aire, polygone, formule de Pick
 
Article : La bataille d’eau VS le linge de maman - Lycée Diderot (Carvin)
Article
Un enfant joue avec un pistolet à eau dans un jardin alors que du linge est étendu sur la terrasse. Il s'agit de déterminer la probabilité que l'enfant touche le linge avec son tir. Partant d'une étude géométrique, plusieurs méthodes sont présentées, conduisant à des estimations de la probabilité que le linge soit mouillé : en utilisant un quadrillage et un tableur ou une simulation à l'aide d'un algorithme. L'article détaille les méthodes utilisées et les formules trouvées.
Mots clés : probabilité, géométrie, algorithme, simulation, tableur
 
Article : Décrochage de décorations - Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne) Cité scolaire Lacassagne (Lyon)
Article
L'article reprend certaines des configurations présentées lors du Congrès de Marseille.
Mots clés : jeu de Hackenbush, jeu combinatoire
 
Article : le théorème de Pick - Collège de Marciac (Marciac)
Article
Sur une feuille quadrillée, on dessine un polygone (non aplati et sans trou) dont les sommets sont des points d’intersection des lignes verticales et horizontales du quadrillage. Trouvez une formule mathématique simple qui déduit l’aire dudit polygone en fonction des points du quadrillage qu’il contient.
Ces points étant distingués en i points intérieurs et b points sur le bord, l’article établit la formule, associée au théorème de Pick, pour l’aire A du polygone : A = i + b/2 – 1
Celle-ci est établie pour un rectangle, puis un triangle rectangle, puis un triangle quelconque avant d’être généralisée à tout polygone pouvant se construire par ajouts successifs de triangles, bord à bord.
Mots clés : géométrie discrète, polygone, triangulation, formule de Pick
 
Article : Puissances de 2 - restes de divisions euclidiennes - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Cet article décrit le comportement des restes des puissances d'un nombre entier dans leur division euclidienne par un diviseur. Les auteurs s'intéressent d'abord aux restes des puissances de 2 divisés par 5 puis généralisent à d'autres diviseurs et puissances. Des règles assez générales sont énoncées et démontrées pour calculer rapidement certains restes.Quelques conjectures, notamment sur « les sommes des restes » sont aussi énoncées.
Mots clés : arithmétique, division euclidienne
 
Article : Accident ferroviaire - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Le problème étudié dans cet article est le suivant: deux trains identiques sont rentrés en collision et se sont accrochés en désordre formant un cercle. On s'intéresse au nombre minimal de coupes qu'il faut faire pour reconstituer les deux trains (sans tenir compte de l'ordre original des wagons). Les auteurs établissent que le nombre minimal de coupes est pair et supérieur ou égal à deux, décrivent totalement le cas où les wagons de différents types sont alternés et formulent une conjecture pour le cas général.

Mots clés : combinatoire des mots, mot cyclique, partition, optimisation discrète
 
Article : Résolution de sudoku - Lycée Mont Blanc René Dayve (Passy)
Article
Cet article présente la résolution des sudokus par un algorithme récursif, et deux programmes de création de grilles aléatoires permettant de tester l'algorithme et de comparer le nombre de solutions obtenues au nombre de chiffres pré-remplis pour ces grilles. Les algorithmes présentés ont été écrits par les élèves en langage Scilab, avec l'aide des chercheurs et des professeurs.
Mots clés : sudoku, algorithme, algorithme récursif
 
Article : Polyèdre et origami - Collège Reine de Sancié (Sauveterre-de-Béarn) Collège Gaston Febus (Orthez)
Article
Cet article présente une classification des solides de Platon et présente une construction de certains de ceux-ci, ainsi que d’autres polyèdres moins réguliers dont en particulier un tore, en origami modulaire.
Mots clés : polyèdre, solide de Platon, formule d'Euler, origami
 
Article : Calendrier, fractions, Méthode de Brocot - Collège Gaston Febus (Orthez)
Article
Nous nous sommes intéressés à la construction des calendriers solaire et lunaire et à l'approximation de la partie décimale
du nombre de jours dans une année, en approximant ce décalage par des fractions. En effet, les horloges astronomiques fonctionnent à partir de rouages.
Comment les astronomes ont-ils pris en compte
ce décalage ?
Pourquoi avoir des années bissextiles ?
Comment sont construits les calendriers ?
Mots clés : calendrier, fraction, arbre de Stern-Brocot
 
Article : Le pays dont on ne s’échappe jamais - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Article
Dans cet article, les auteurs cherchent à déterminer le plus court chemin reliant deux points à l'intérieur d'un carré en imposant la contrainte suivante : si un chemin rencontre l'un des côtés du carré en un point, alors ce dernier est envoyé sur le point symétrique qui se trouve sur le côté opposé. En utilisant le logiciel de géométrie dynamique « GeoGebra », les auteurs ont traité en détail les cas selon que le chemin rencontre 0, 1 ou 2 côtés du carré.
Mots clés : géométrie des triangles, plus court chemin
 
Article : Le puzzle qui rend fou - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Article
Il s'agit de comprendre un puzzle formé de neuf pièces carrées qu'il faut assembler en respectant des contraintes de couleurs et de formes. Une méthode de recherche systématique de solution en créant un arbre des possibilités est exposée, celle-ci permet de déterminer les 4 solutions du puzzle. Des variantes du puzzle sont ensuite étudiées (une seule couleur, un seul type de pièces, …). Pour finir divers puzzles sont construits dont un qui ne possède qu'une seule solution.
Mots clés : combinatoire, algorithme
 
Article : Une drôle de salle de bain - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
On veut carreler une salle de bain carrée avec n*n carreaux, de telle sorte que (1) sur une même ligne ou sur une même colonne, les carreaux soient tous de couleurs distinctes (2) pour tout carré k×k contenu dans le grand carré n×n, les carreaux des quatre coins soient tous de couleurs distinctes, ou bien soient de deux couleurs distinctes. Quel est le nombre minimal de couleurs dont on a besoin pour satisfaire ces contraintes ? Il est clair que l'on a besoin de n couleurs au minimum, mais peut-on toujours le faire avec n couleurs exactement ? Les élèves donnent des exemples de nombre n où cette borne inférieure est insuffisante, mais présentent également deux techniques pour construire un carrelage optimal (avec n couleurs) pour certains n.
Mots clés : combinatoire, arithmétique
 
Article : Les tours de Futurville - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Cet article présente une ville imaginaire constituée de tours, de ponts reliant les tours et de tentures colorées entre les ponts. Il énonce et démontre par récurrence une relation entre le nombre de tours, de ponts et de tenture. L'article présente également le nombre maximal de ponts et de tentures que peut contenir une ville ayant un nombre de tours donné.
Mots clés : combinatoire, graphe, récurrence
 
Article : Qui mangera le plus de pizza ? - Collège Alain Fournier (Orsay)
Article
Une pizza est découpée en parts de tailles différentes. Deux personnes mangent cette pizza en prenant une part chacun à leur tour : une fois qu'une part a été mangée, on ne peut manger qu'une part adjacente à une part déjà mangée. L'article établit des stratégies pour que la première personne qui se sert en mange au moins la moitié dans les cas de 2, 3, 4, 5 parts et dans le cas d'un nombre pair de parts. Pour le cas d'un nombre de parts impair, un contre-exemple est donné où la seconde personne pourra toujours manger plus de la moitié.
Mots clés : partage, partage équitable, stratégie
 
Article : Ficelles en folie - Cité scolaire Lacassagne (Lyon) Collège des Gratte Ciel (Villeurbanne)
Article
Des boules de décoration sont reliées entre elles et suspendues à un plafond. Deux joueurs coupent une ficelle l'un après l'autre. Celui qui retire la dernière ficelle a perdu. Sur une configuration donnée, quelle est la stratégie permettant de savoir lequel des deux joueurs va gagner ? Quel algorithme permet de jouer la partie la plus longue ?
Mots clés : graphe, jeu de Nim, récurrence, algorithme
 
Article : Une échelle pour ranger des cartes - Lycée V. et H. Basch (Rennes) Lycée Rabelais (Saint Brieuc)
Article
Cet article décrit un algorithme de tri reposant sur l’échange de deux éléments consécutifs.
Mots clés : algorithmes de tri, complexité
 
Article : Etude de la forme des alvéoles des abeilles - Lycée Jules Supervielle (Oloron Sainte Marie)
Article
Il s'agit d'étudier les formes géométriques des alvéoles dans les ruches construites par les abeilles et d'en comprendre les certaines règles d'optimisation.
Mots clés : pavage, aire, volume, optimisation, patron
 
Article : Jeu de Babylone - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
Cet article analyse le jeu de Babylone : jeu de type duel opposant deux joueurs qui doivent tout à tour empiler des tuiles selon certaines règles jusqu’à ce qu’un des joueurs ne puissent plus faire de mouvement. L’article montre la difficulté de décrire tous les mouvements possibles à l’aide d’un arbre malgré l’introduction d’une notation simple. Il étudie ensuite trois versions simplifiées du jeu et démontre pour chacune d’elles que l’un des joueurs a une stratégie gagnante.


Mots clés : jeu de Babylone, jeu de stratégie, combinatoire, algorithme
 
Article : Croisements dans un graphe - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
Un graphe est constitué de points reliés entre eux par des arêtes. Un graphe étant donné, on cherche la façon de le représenter en utilisant le moins possible de croisements entre ses arêtes.
Les auteurs travaillent sur la représentation d’un graphe avec un nombre minimum de croisements entre les arêtes. Ils s’intéressent plus particulièrement aux graphes complets où, en considérant le nombre de sommets, le nombre d’arêtes et le nombre de régions, ils donnent une borne inférieure du nombre minimal de croisements en fonction du nombre de sommets. Enfin ils s’intéressent aux graphes bipartis où ils montrent qu’il est impossible de relier trois maisons à trois sources (eau, gaz et électricité) sans que les connections se croisent. Ils donnent en fin d’article une conjecture intéressante sur la représentation optimale en termes de nombre de croisements d’un graphe biparti.
Mots clés : graphe, graphe planaire, formule d'Euler
 
Article : Jeu de Ping - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
Une grille est recouverte de pions à deux couleurs (une pour le recto, une pour le verso). Quand on choisit une case, on retourne tous les pions adjacents. L'article étudie si, connaissant les dimensions de la grille, on peut ou non retourner tous les pions. Une réponse complète est donnée pour les grilles 1 x n, 2 x n, et pour certaines grilles carrées.
Mots clés : jeu de réflexion, grille, retournement
 
Article : Pavage par des tatamis - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
On s'intéresse ici aux pavages de certains rectangles par des tatamis. Les tatamis sont des rectangles de dimension 1*2 mais il ne doit jamais y en avoir 4 qui se rejoignent au même point.
Mots clés : pavage
 
Article : Winning Bets - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Article
Dans un casino on parie sur les résultats de 7 rencontres ; deux résultats sont possibles pour cves rencontres : ou bien l'équipe hôte gagne ou bien c'est l'équipe « visiteurs ». Le premier prix est remporté quand on donne les 7 bons résultats, le second lorsqu'on en donne 6 sur 7. Divers problèmes sont abordés : probabilité de gagner le premier prix en remplissnt une liste de résultats au hasard, combien de listes au minimum doit on déposer pour être sûr·e de gagner soit le premier prix soit le deuxième prix. On se demande ce qui change lorsque trois résultats pour chaque rencontre sont possibles (il peut y avoir match nul), ou plus de rencontres.
Mots clés : probabilité
 
Article : The Game of Differences - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie)
Article
On s’intéresse à la transformation qui à 4 nombres a,b,c,d associe les quatres nombres : |a - b|, |b - c|, |c – d|, |d – a|.
En partant de 4 nombres entiers particuliers et en itérant cette transformation on finit par obtenir 0,0,0,0.
La question est de montrer que c’est toujours le cas, puis de généraliser de deux façons :
1) en changeant le nombres d’entiers de départ (et d’arrivée), autrement dit est-ce encore vrai pour 5, 6 voire n nombres ?
2) en prenant 4 nombres rationnels au départ, ou en prenant 4 nombres réels,le résultat est-il encore vrai ?
Mots clés : arithmétique, modulo 2
 
Article : Le Dobble - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
Article
L’article présente le jeu de Dobble et explique comment sont conçues les cartes.

Mots clés : combinatoire, dénombrement, Dobble
 
Article : Match the Maths - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
Our research deals with the mathematical construction of a soccer ball, that is made of regular pentagons and
hexagons. Given the diameter of the ball, we shall approximate the length of the stitch and the area of the ball. Conversely, if the length of the pentagons is given, we shall approximate the size of the ball.
Mots clés : pentagone, hexagone, icosaèdre, aire, volume, ballon de foot
 
Article : Pyramids - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
The tower is built of matching cubes, of side 1, stacked one over the other and glued to the corner of a wall.
Calculate the number of cubes used to build a tower of height of 30.
A number n≥3 of cubes placed side by side covers perfectly a square. Calculate the values of n such that we can build a pyramid (as the initial tower) rearranging the cubes, without remaining any unused cubes. For every found value of n calculate the height of the built pyramid.
Build a regular triangular pyramid by overlapping some spheres of diameter 1 (instead of cubes). Calculate the height of such a pyramid formed with 1330 balls.
Find the volume of the minimal tetrahedron in which the pyramid found at point c) can be inscribed.
Mots clés : pyramide, cube, empilement, sphère, volume, récurrence
 
Article : Paths on a grid - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
Article
On imagine une triangulation cartésienne d'un rectangle qui représente les rues d'une ville et les points de la triangulation représentent les points d'intérêt touristique de la ville. La question est de compter le nombre des chemins possibles pour arriver d'un coin de la ville au coin diamétralement opposé, en prenant aussi en compte certaines contraines de circulation (certaines rues sont fermées) ou le passage par un point précis de la ville est imposé. On considère comme règle de déplacement du coin inférieur gauche vers le coin diamétralement opposé, qu'il faut avancer soit en montant soit en se déplaçant vers la droite. Pour résoudre cette question, plusieurs méthodes sont proposées : une comptant le nombre des chemins qui passent par chaque point de la triangulation, méthode qui est aussi programmée sur C++, ainsi qu'une méthode utilisant des arguments combinatoires. Le nombre maximal des rues qui peuvent être fermées de manière concomitante tout en gardant chaque point…
Mots clés : chemin, triangulation, principe d'inclusion-exclusion, probabilité
 
Article : Croissance des cristaux - Lycée d’Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Article
Article franco-roumain qui traite d'une modélisation de croissance d'un cristal.
On part d'un cube. A chaque nouvelle génération, on colle sur chaque face libre un nouveau cube. On s'intéresse au nombre de cubes du cristal à la n-ième génération
Mots clés : suite, évolution, géométrie dans l'espace, récurrence
 
Article : Problème du Carreleur - Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc) Lycée Montaigne (Bordeaux)
Article
Ces travaux portent sur le pavage du plan par des pentagones de taille égale, et visent à trouver un pavage qui maximise le taux de surface couverte. Trois motifs sont étudiés, en fleur, en ligne et en cercle, avec leur taux de couverture calculé à partir des formules de trigonométrie. Enfin un dernier pavage complexe est proposé, avec son taux de couverture calculé à l’aide du logiciel GeoGebra.
Mots clés : pavage, pentagone, trigonométrie
 
Article : Jeu de dominos - Lycée la Versoie (Thonon les Bains) Institut Florimont (Petit Lancy, Suisse)
Article
Le jeu est constitué d’un quadrillage de taille variable (n*n) avec des dominos de taille (2*1) que l’on peut disposer soit verticalement soit horizontalement.
Il existe deux variantes de ce jeu :
¤ Une où le joueur qui ne peut plus jouer perd
¤ L’autre où le joueur qui ne peut plus poser de dominos gagne
Notre objet d’étude sera de trouver une stratégie gagnante.
Par la suite nous étudierons comment le jeu s’organise lorsqu’on a des grilles de tailles rectangulaires.
Mots clés : jeu combinatoire, domino, stratégie gagnante
 
Article : L’oncle d Amérique - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
Article
Une lettre vous apprend que vous avez hérité, de la part d’un mystérieux oncle d’Amérique,de trois terrains. L’un d’entre eux est un triangle, les deux autres sont des quadrilatères (convexes). Vous ne connaissez par ce courrier que la longueur des côtés de chaque terrain mais n’avez pas de plan précis. La lettre stipule en outre que, dans la région où ils se trouvent, la surface minimale pour qu’un terrain soit constructible est de 1000 m2. Les longueurs des côtés du triangle étant 125 m, 90 m et 40 m, celles du premier quadrilatère étant (en tournant) 35 m, 30 m, 20 m et 50 m et celles du deuxième quadrilatère étant (en tournant) 40 m, 20 m,25 m et 50 m, on doit trouver l’aire de ces terrains et on dire s'ils sont constructibles ou non.
Mots clés : aire, formule de Héron, formule de Bretschneider
 
Article : Choisissez les bons poids ! - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
Article
On se donne un système de poids composé de masses pesantes, les poids de ces masses allant de 1 à 2k ,grammes, de puissance de 2 en puissance de 2. Est-il possible de peser avec ce système tous les objets dont les poids sont de nombres entiers entre 1 et 500 ? L'article montre que si k=7 (ou plus généralement si k<8), cela est impossible. Il est également démontré que une condition nécéssaire pour que l'exposant k convie,,e est que k≥ 8. Les méthodes utilisées vont de la vérification « à la main » via des algorithmes et l'utilisation d'un ordinateur ou via l'arithmétique et l'utilisation de la base 2 de numération puis de la base 3de numération quand on remplace les puissances de 2 par celles de 3.
Mots clés : base de numération
 
Article : Les motifs évitables - Lycée Condorcet (Saint Quentin)
Article
L’objectif est de créer des mots infinis (exemple : abbaabab… ) à l’aide d’un alphabet défini (exemple : avec uniquement les caractères"a" et "b"), tout en évitant la répétition d’un certain motif. Dans l’article, les auteurs prouvent qu’il n'est pas possible de créer un mot infini à l’aide d’un alphabet de 2 caractères en évitant le motif carré (répétition de deux ensembles de caractères identiques et successifs), mais qu’il est possible d’éviter le motif cube (répétition de trois ensembles de caractères identiques et successifs). La preuve s’appuie sur l’existence du mot de Morse qui, par construction, ne contient pas de motif cube. Ensuite, les auteurs prouvent qu’il est possible de créer un mot infini avec un alphabet de 3 caractères en évitant le motif carré.
Mots clés : combinatoire des mots
 
Article : Plus court chemin - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
Article
C'est un article qui reprend la progression et la recherche des élèves tout au long de l'année.
Les élèves ont commencé par faire des essais pour calculer les longueurs sur la sphère terrestre : certains ont été assez concluant d'autres non.
Étant bloqués par de la technicité le chercheur leur a fourni les "outils" pour continuer.
Finalement ils ont vérifié ce que leur avait donné le chercheur sur les différentes villes qu'ils ont testé, et ils ont réussi à obtenir des résultats cohérents.
Mots clés : chemin, minimum, géodésique
 
Article : rentrer chez soi - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Article
Le problème étudié dans cet article est le suivant: on se situe sur une grille carrée et on trace un chemin, potentiellement infini, au hasard, c’est-à-dire qu’à chaque intersection, on choisit au hasard une direction (y compris celle d’où l’on vient). On se demande quelle est la probabilité de retourner au point de départ. Les auteurs étudient dans un premier temps le problème en dimension un puis en dimension 2. Ils calculent la probabilité d’être au point de départ au temps 2n (ils ont d’abord prouvé qu’on ne peut jamais être au point de départ en un temps impair), puis s’intéressent aussi à la probabilité de premier retour au temps 2n, et à la probabilité de retour avant le temps 2n (au sens large) pour n petit. Les résultats obtenus et quelques simulations à l’aide d’un algorithme les mènent à conjecturer que l’on revient toujours au point de départ.


Mots clés : marche aléatoire sur une grille, graphe, chemin fermé, probabilité
 
Article : Allo ? La communication est-elle bien passée ? - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège Saint Joseph (Lannion)
Article
Il s’agit, pour « modéliser » la transmission de données à travers l’espace, de trouver une stratégie permettant de trouver un nombre entier compris entre 1 et 2^n en posant des questions dont les réponses possibles sont « oui » ou « non ». Les élèves trouvent cette stratégie dans le cas où la personne questionnée ne ment pas, puis lorsqu’elle ment une fois au plus.
Mots clés : codage, bruit, message binaire
 
Article : Jeu de Nim - Collège Saint Pierre (Plouha) Collège Saint Joseph (Lannion)
Article
Le jeu de Nim est un jeu qui se joue à deux. Face aux joueurs, on installe des coupelles et des pierres dans les coupelles. A tour de rôle, chaque joueur choisit une coupelle et retire le nombre de pierres qu'il désire dans cette coupelle. Le but du jeu est de prendre les dernières pierres du jeu. Dans cet article sont étudiés, pour deux ou trois coupelles, en fonction du nombre de pierres dans chacune d'entre elles, les possibilités de gain ou de perte pour le premier joueur. Naturellement, chaque joueur joue le mieux possible.
Mots clés : jeu, stratégie, jeu de Nim, Nim-addition
 
Article : Topins et Gelins - Lycée la Versoie (Thonon les Bains)
Article
Le but de cet article est d'étudier le jeu suivant.
On part de n points. Deux joueurs s'affrontent. A chaque tour, un des joueurs trace une ligne entre 2 points et ajoute un point sur cette ligne. Le nombre de lignes auxquelles appartient un point est limité à un entier dmax. Les lignes ne peuvent pas se croiser. Le premier joueur à être bloqué perd la partie.
Dans un premier temps, les élèves présentent l'étude du nombre maximal de tours du jeu en fonction du nombre de points initial, en utilisant une suite arithmétique.
Ensuite, on peut lire des essais de stratégies gagnantes pour chacun des deux joueurs dans le cas où le nombre de points initial vaut 3.
Enfin d'autres pistes de recherche sont présentées, pour généraliser et essayer de simuler informatiquement une partie du jeu.


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Mots clés : stratégie, graphe, suite
 
Article : L’awalé - Collège Frédéric Mistral (Avignon) Collège Gérard Philipe (Avignon)
Article
Présentation du problème : "peut-on passer d'une configuration à n'importe quelle autre au jeu de l'awalé?" avec une présentation des possibilités à l'aide de graphes.
Mots clés : Awalé, configuration, graphe