Des échelles dans les montagnes - Collège Villey Desmeserets (Caen)

On étudie dans ce problème des montagnes un peu particulières. Pour un nombre donné "n", une montagne est un mélange des n nombres entre 1 et n, correspondant aux altitudes successives. On considèrera toujours un début et une fin de montagne à l’altitude 0. Dans la Figure 2, vous trouverez un exemple d’une montagne munie d’échelles. (Voir le PDF en PJ)
Une échelle est un ensemble de points de la montagne qui évoluent toujours dans le même sens (soit en montant, soit en descendant). Sur la figure, deux échelles montantes (rouge et verte) et une échelle descendante sont représentées. L’échelle rouge comporte 3 segments, les échelles verte et bleue 4 segments.
On s’intéresse aux longueurs des échelles dans les montagnes, en fonction du nombre de points n. Vous verrez bien qu’il y a des montagnes qui permettent des échelles très longues. Mais quelle montagne minimise la plus longue échelle ? Y a-t-il des montagnes dont la plus longue échelle ne monte pas jusqu’au sommet ? Quid si on s’intéresse uniquement à des échelles contigües ?