Gribouillages - Lycée Jules Ferry (Paris)

Deux amis s’ennuient dans une salle d’attente et attrapent un magazine sur lequel ils commencent à dessiner. Chacun dessine une courbe (fermée ou non, en un seul ou en plusieurs morceaux), puis comme l’attente devient vraiment longue, ils continuent leur dessin en entourant complètement la courbe initiale avec une nouvelle courbe qui suit la première à une (petite) distance constante, et ainsi de suite, en ajoutant à chaque fois une nouvelle courbe entourant la précédente, toujours en restant à la même distance de celle-ci.
Que peut-on dire de la forme du dessin après un grand nombre d’étapes? Quels sont le périmètre et l’aire de la figure après n étapes ?
On pourra aussi d’intéresser à la généralisation en dimension plus grande, par exemple avec un solide (par exemple un pavé droit) que l’on recouvre par des couvertures successives d’épaisseurs constantes. Que deviennent la forme, le volume et la surface après plusieurs étapes ?