Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Massacre en cercle - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Article : C est du billard! - Lycée Guy Moquet (Chateaubriant)
Cet article traite des trajectoires rectilignes d’une boule soumise à un ou plusieurs rebonds successifs le long des bandes d’un billard. Après s’être intéressés à la construction de la trajectoire de la boule de billard, les auteurs ont émis des conjectures et des pistes de démonstration concernant la délimitation des zones atteignables ou non par cette boule après un ou plusieurs rebonds.
Mots clés : billard, réflexion, trajectoire, domaine, frontièreArticle : Périmètre borné et aire constante - Lycée Saint Joseph (Bressuire) Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Est-il possible de construire une figure d'aire finie et de périmètre infini ? En particulier, peut-on modifier une figure pour augmenter son périmètre sans changer son aire ?
Mots clés : géométrie, fractal·eArticle : Jeu du chat et de la souris - Lycée Français (Berlin)
Une souris et un chat se déplacent sur les cases d'un échiquier. La chat va-t-il arriver à manger la souris ? Combien de tours la souris peut-elle espérer survivre ? Dans cet article, les auteurs utilisent des outils probabilistiques pour répondre à ces questions dans le cas d'un échiquer de dimension 2x2. Dans les différentes configurations considérées (différentes situations initiales, chat immobile ou non, utilisation d'une stratégie par le chat et/ou la souris, …), la souris n'a malheusement pratiquement aucune chance de s'en sortir … ou heureusement, selon le point de vue.
Mots clés : probabilité, espérance, limite, récurrenceArticle : Aurez-vous la grippe cet hiver ? - Ecole Internationale (Manosque)
L'article propose une modélisation de la propagation du virus de la grippe. Les auteurs proposent un premier modèle, basé sur leur intuition et le confrontent à l'avis d'un médecin. Sur base de cet avis, ils tentent de dégager les facteurs importants de contamination afin d'améliorer leur modèle. Ils comparent alors les prévisions des différents modèles envisagés avec la réalité grâce aux données du site "Sentinelles". Suite à cette comparaison, le modèle linéaire à seuil semble être le plus probant. Repartant de celui-ci, les auteurs testent la sensibilité des différents paramètres intervenant grâce à l'utilisation d'un solveur, les plus sensibles étant le taux de contamination et le taux de vaccination.
Enfin, les auteurs concluent en donnant certaines pistes d'amélioration de leur modèle, notamment en tenant compte d'autres paramètres comme la météo ou la répartition géographique de la population.
Mots clés : modélisation, fonction, tableurEnfin, les auteurs concluent en donnant certaines pistes d'amélioration de leur modèle, notamment en tenant compte d'autres paramètres comme la météo ou la répartition géographique de la population.
Article : Le jeu de set : être sûr de gagner - Lycée Bichat (Luneville)
L'article traite du jeu de SET. Le jeu est constitué de 81 cartes toutes différentes qui se distinguent selon 4 caractéristiques : le nombre (1, 2 ou 3) d'objets identiques (losange, ovale, vague) d'une même couleur (rouge, vert ou violet) avec un même remplissage (vide, hachuré ou plein). Un SET est un ensemble de trois cartes qui, pour chaque critère, sont soit toutes différentes, soit toutes identiques. Le but du jeu est de trouver le plus grand nombre de set.
Les élèves répondent aux questions suivantes dans cet article. Pour deux cartes définies, y a-t-il toujours une et une seule carte qui complète le SET ? Combien y a-t-il de sets possibles au jeu de SET ?
Mots clés : jeu, dénombrement, jeu de Set, permutation, combinaisonLes élèves répondent aux questions suivantes dans cet article. Pour deux cartes définies, y a-t-il toujours une et une seule carte qui complète le SET ? Combien y a-t-il de sets possibles au jeu de SET ?
Article : Multiplier sur vos doigts - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Tout le monde connaît bien ses tables d'addition (j'espere !), et aussi ses tables de
multiplication (j'espère aussi !) bien qu'elles soient réputées plus difficiles a apprendre !
Savez-vous multiplier jusqu'à dix en ne connaissant que vos tables de multiplication jus-
qu'a cinq, celle par dix, et en n'utilisant que vos doigts ?
Il est montré comment on peut se servir de nos doigts pour multiplier . Si on veut multiplier a par b tels que a et b sont compris entre 5 et 10, il suffit de connaître ses tables de multiplications jusqu'à 5 et la multiplication par 10, et de se servir de ses doigts.
La technique est étendue pour des chiffres compris entre 5k et 10k pour différentes valeurs de k. Mais il faut alors de plus grandes mains !
Mots clés : compter, doigt, nombre, multiplicationmultiplication (j'espère aussi !) bien qu'elles soient réputées plus difficiles a apprendre !
Savez-vous multiplier jusqu'à dix en ne connaissant que vos tables de multiplication jus-
qu'a cinq, celle par dix, et en n'utilisant que vos doigts ?
Il est montré comment on peut se servir de nos doigts pour multiplier . Si on veut multiplier a par b tels que a et b sont compris entre 5 et 10, il suffit de connaître ses tables de multiplications jusqu'à 5 et la multiplication par 10, et de se servir de ses doigts.
La technique est étendue pour des chiffres compris entre 5k et 10k pour différentes valeurs de k. Mais il faut alors de plus grandes mains !
Article : Pont de Kaplas - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Comment empiler des Kaplas sur le bord d'une table de manière à ce qu'ils dépassent le bord de la table le plus possible ? ...
On s’intéresse ici à la construction d'un pont de Kaplas, qui sont des parallélépipèdes rectangulaires en bois d'une longueur de 12cm, et de faible épaisseur. Il s'agit de les empiler sur le rebord d'une table, afin de s'écarter de celle-ci le plus possible. Dans un premier temps, plusieurs configurations avec 3 Kaplas sont testées, ce qui conduit les auteurs à se limiter à un certain type d'empilement jugé optimal, dans lequel un seul Kaplas par niveau est autorisé. Ensuite, à partir d'expériences impliquant un petit nombre de Kaplas, une loi générale donnant la distance maximale atteignable avec un nombre de Kaplas donné est proposée. Cette loi est vérifiée expérimentalement pour des ponts comportant jusqu'à 8 étages. Grâce à un tableur, une conjecture est faite sur la taille maximale de ponts composés de 20 Kaplas au plus.
Mots clés : Kapla, pont, empilement, surplomb, centre de gravitéOn s’intéresse ici à la construction d'un pont de Kaplas, qui sont des parallélépipèdes rectangulaires en bois d'une longueur de 12cm, et de faible épaisseur. Il s'agit de les empiler sur le rebord d'une table, afin de s'écarter de celle-ci le plus possible. Dans un premier temps, plusieurs configurations avec 3 Kaplas sont testées, ce qui conduit les auteurs à se limiter à un certain type d'empilement jugé optimal, dans lequel un seul Kaplas par niveau est autorisé. Ensuite, à partir d'expériences impliquant un petit nombre de Kaplas, une loi générale donnant la distance maximale atteignable avec un nombre de Kaplas donné est proposée. Cette loi est vérifiée expérimentalement pour des ponts comportant jusqu'à 8 étages. Grâce à un tableur, une conjecture est faite sur la taille maximale de ponts composés de 20 Kaplas au plus.
Article : Partage de boissons - Collège Albert Vinçon (Saint Nazaire) Collège Iles de Loire (St Sébastien sur Loire)
Trois cruches d'eau ont une contenance respective de trois, cinq et huit litres. Celle de huit litres est remplie d'eau et les deux autres sont vides. Comment obtenir une quantité de quatre litres en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ? ...
L'article propose une méthode pour régler le problème suivant : comment obtenir une quantité de 4L d'eau lorsqu'on possède une cruche de 8L remplie, et deux cruches vides respectivement de 5L et 3L, uniquement en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ?
Les auteurs proposent une méthode pour coder toutes les versement possibles et déterminer tous les chemins possibles pour obtenir les 4L d'eau.
Mots clés : partage, entier, transvasement, dénombrement, optimisationL'article propose une méthode pour régler le problème suivant : comment obtenir une quantité de 4L d'eau lorsqu'on possède une cruche de 8L remplie, et deux cruches vides respectivement de 5L et 3L, uniquement en versant de l'eau d'une cruche à l'autre ?
Les auteurs proposent une méthode pour coder toutes les versement possibles et déterminer tous les chemins possibles pour obtenir les 4L d'eau.
Article : Le jeu du Colonel Blotto - Lycée Pierre Mendes-France (Epinal) Lycée Louis Lapicque (Epinal)
Le jeu du Colonel Blotto est un jeu qui se joue à deux. Il se déroule sur 3 terrains. Chaque joueur dispose d’une armée de 12 soldats qu’il faut répartir sur trois terrains en suivant ces règles : le nombre de soldats placés sur le terrain A doit être supérieur ou égal au nombre de soldats placés sur le terrain B, et le nombre de soldats sur le terrain B doit être supérieur ou égal à celui du terrain C. Sur chacun des terrains, les soldats de chaque joueur s’affrontent et gagnent à chaque fois qu’ils sont en supériorité numérique. Lorsque les deux joueurs ont placé leurs soldats, il peut se produire l'un des deux cas de figure suivant : ou bien l'un des deux joueurs remporte au moins deux victoires, celui-ci est le gagnant et son adversaire est le perdant, ou bien les deux joueurs ont une victoire, une défaite et une égalité, ou encore trois égalités, ce qui compte pour un match nul. Y a-t-il une stratégie pour gagner ? Y a-t-il une stratégie pour ne pas perdre à long terme ? Que se passe-t-il…
Mots clés : théorie des jeux, jeu séquentiel finiArticle : Suite de Pile ou Face - Lycée Grandmont (Tours)
On lance une pièce bien équilibrée jusqu’à ce que le nombre de piles deviennent plus grand que le nombre de faces. Dans l’article est calculée la probabilité que cet événement se réalise au n-ième lancer, puis le lien est fait avec les nombres de Catalan.
Mots clés : probabilité, arbre, dénombrement, nombre de CatalanArticle : Quelle aire est il ? - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Comment calculer l'aire d'une surface pour laquelle on ne connait pas de formule, par exemple un lac ? Les auteurs proposent et comparent plusieurs méthodes : remplir la surface de carrés et de triangles; une méthode probabiliste; et remplir la surface de rectangles très fins.
Mots clés : aire, approximation, Monte-Carlo, encadrement, calcul approché d'une intégraleArticle : Du chemin le plus court au chemin minimal - Collège Pierre de Coubertin (Le Luc)
Cet article traite du problème de relier trois villes par des routes en utilisant le moins de goudron possible. Il relate le cheminement qui a permis aux élèves de trouver la meilleure configuration accompagnant ainsi le lecteur.
Mots clés : géométrie, droites remarquables d'un triangleArticle : On vous a grillés ! - Collège Etienne Dolet (Orléans)
Cet article présente un tour de « magie » mathématique. Un spectateur choisit mentalement un nombre. Le magicien lui présente alors plusieurs cartes sur lesquelles les premiers entiers sont classés selon leur décomposition en base 2 par exemple (il est également proposé des variantes avec la base 3 et la base formée des nombres de Fibonacci). Le spectateur indique au magicien sur quelles cartes se trouve son nombre, et le magicien est alors en mesure de lui annoncer le nombre auquel il a pensé.
On évoque dans le corps de l'article, la décomposition de tout entier en base 2 (et son unicité) ainsi que la décomposition de tout entier à l'aide des entiers de Fibonacci.
Mots clés : numération, numération binaire, FibonacciOn évoque dans le corps de l'article, la décomposition de tout entier en base 2 (et son unicité) ainsi que la décomposition de tout entier à l'aide des entiers de Fibonacci.
Article : Tour de mathémagie de Fibonacci - Collège Etienne Dolet (Orléans)
Il s'agit de trouver des propriétés des suites de nombres définies par la données des deux premiers termes et la rêgle suivante : tout terme de la suite est égal à la somme des deux termes précédents.
Mots clés : calcul algébrique, divisibilité, fraction, nombre d'orArticle : L impair et l autre pas - Collège Etienne Dolet (Orléans)
On place quinze objets sur la table, chaque joueur en prend à son tour 1, 2 ou 3. Gagne celui qui (quand il n'y a plus d'objet sur la table) possède un nombre pair d'objets. Il s'agit ici de trouver une stratégie gagnante.
Mots clés : jeu de Nim, pair, impair, stratégie gagnanteArticle : La géométrie du tas de sable - Collège Vieux colombier (Le Mans)
On verse du sable régulièrement en un point d'une surface plane, un tas se forme. Voilà devant nous un bel « objet mathématique ». Que peut- on connaître de cet objet ? Mesurer ? Calculer ? Et que se passe-t-il si on verse encore plus de sable ? Et si on prend un autre sable ? Puis, on pourra observer ce qui se passe si on fait évoluer le tas. Par exemple en perçant un trou au centre de sa base. Et si, au lieu de verser le sable...
Article : Tout noir, tout blanc - Collège Le Chamandier (Gières)
Des pions bicolores recouvrent un damier, blancs dessus, noirs dessous. Quand on retourne
un pion, on retourne aussi ses voisins (4 voisins en général, sauf au bord) Peut-on passer
d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
un pion, on retourne aussi ses voisins (4 voisins en général, sauf au bord) Peut-on passer
d’un damier tout noir à un damier tout blanc ?
Article : Droles de touches - Lycée Saint Exupéry (Fameck)
Par erreur, notre calculatrice tombe et se détraque : elle affiche 0, et seules 4 touches fonctionnent encore. Les quatre touches sont les suivantes : ‐ Les touches 0 ; 4 ; 6 gardent leur fonction d’origine : le chiffre s’affiche à la droite du nombre affiché à l’écran. ‐ La touche 2 ne fonctionne plus de la même manière : quand elle est utilisée, si le nombre affiché est pair, elle le divise par 2 sinon elle ne fait rien
Article : Tableau électrique - Lycée du Parc des Loges (Evry)
Un électricien inexpérimenté se charge de l'installation électrique d'une maison et commet des erreurs...
Article : Les tablettes de chocolat - Lycée Môquet-Lenoir (Chateaubriant)
Les règles du jeu sont simples : une tablette, deux joueurs. Chacun son tour, un joueur mange une partie de la tablette en entamant par le coin supérieur droit. Le dernier carreau en bas à gauche est empoisonné. On mange un rectangle composé d'un nombre n de carreaux comprenant le coin supérieur droit. Le but du jeu est de contraindre l'adversaire à manger le dernier carreau. (fig. 1)
On ne peut manger que des ensembles de carreaux de forme rectangulaire dans le coin supérieur droit uniquement.
On ne peut manger que des ensembles de carreaux de forme rectangulaire dans le coin supérieur droit uniquement.
Article : Compter des droites finies - Lycée Môquet-Lenoir (Chateaubriant)
On appelle plan projectif fini un ensemble fini d'éléments appelés points, possédant un certain nombre de sous-ensembles appelés droites. Nous sommes ici dans la géométrie projective, c'est-à-dire que l'on suppose que deux droites quelconques se coupent toujours. On veut que les points et les droites vérifient certaines propriétés :
- deux droites distinctes se coupent toujours exactement en un point ; - il existe un ensemble F constitué de 4 points, tel qu'aucune droite ne coupe F en plus de 2 points ; (1) - par deux points distincts, il passe exactement une droite.
On cherche à déterminer de tels ensembles. On commence d'abord par essayer de déterminer des plans de petite taille, comme un plan projectif constitué de 4 points. On cherche à établir une liste des points et des droites de cet ensemble. Cependant, on se rend rapidement compte que c'est impossible.
On cherche ensuite des plans avec un…
- deux droites distinctes se coupent toujours exactement en un point ; - il existe un ensemble F constitué de 4 points, tel qu'aucune droite ne coupe F en plus de 2 points ; (1) - par deux points distincts, il passe exactement une droite.
On cherche à déterminer de tels ensembles. On commence d'abord par essayer de déterminer des plans de petite taille, comme un plan projectif constitué de 4 points. On cherche à établir une liste des points et des droites de cet ensemble. Cependant, on se rend rapidement compte que c'est impossible.
On cherche ensuite des plans avec un…
Article : La géométrie de la grenouille - Lycée d Altitude (Briancon)
Soit une grenouille dont l'espace de vie est l'ensemble des points du plan de coordonnées entières. Elle effectue des sauts uniquement de longueur √5 . (1)
Étant donnés deux points A et B de coordonnées entières de son espace de vie, on définit la distance_grenouille par Dg(A,B) = nombre minimal de sauts pour aller de A à B.
Comment est la géométrie des grenouilles ? Cercles, triangles, médiatrices...
Mots clés : cavalier, quadrillage, distance, plan, entier, géométrie, médiatrice, racine carrée de 5Étant donnés deux points A et B de coordonnées entières de son espace de vie, on définit la distance_grenouille par Dg(A,B) = nombre minimal de sauts pour aller de A à B.
Comment est la géométrie des grenouilles ? Cercles, triangles, médiatrices...
Article : La route des fourmis - Lycée d Altitude (Briancon)
Le but du sujet est d'arriver à proposer un modèle de comportement des fourmis, qui « voient » seulement à une distance inférieure ou égale à 1, pour trouver le plus court chemin de A1 à A10 (deux points fixés)
Article : Feux et contre-feux - Lycée Saint Joseph (Bressuire)
Ce triangle du feu compte 3 éléments différents, le combustible qui correspond à tout ce qui est susceptible de brûler comme la paille et le bois, le comburant qui correspond à l’air, composé d’azote, d’oxygène et de gaz rares, et enfin l’énergie d’activation, c'est à dire tout ce...
Article : La plage - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Dans une ville côtière, les rues sont toutes nord‐sud ou est‐ouest, et la distance entre deux carrefours voisins est toujours la même. Le front de la mer est au sud‐est. Pour aller à la plage depuis sa maison, Paul prend une pièce et à chaque carrefour tire à pile ou face. S’il obtient pile, il prend la rue vers le sud, s’il obtient face, celle vers l’est. Il arrive à la plage après n lancers. Combien de
chemins possibles peut‐il faire? Combien a‐t‐il de chances d’arriver à un endroit donné de la plage ?
Mots clés : probabilité, Bernoulli, combinatoire, combinaison, triangle de Pascal, chemin, quadrillage, réseau carré, coefficient binomial, combinatoire énumérativechemins possibles peut‐il faire? Combien a‐t‐il de chances d’arriver à un endroit donné de la plage ?
Article : La géométrie de Pierre - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Dans cet article, les auteurs étudient un jeu de géométrie qui se compose d’un gros cube et de 3 solides : un prisme triangulaire de base un triangle équilatéral, un parallélépipède rectangle de base un carré et un cylindre. Le gros cube a trois ouvertures. L’une des ouvertures a la forme d’un triangle équilatéral, une autre a la forme d’un carré et la dernière la forme d’un disque.
Le but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base triangulaire, le carré pour le parallélépipède, le disque pour le cylindre), et uniquement par celle-ci.
Mots clés : jeu de géométrie, théorème de Pythagore, théorème de ThalèsLe but de l'article est d'expliquer comment déterminer les dimensions des ouvertures pour que chaque solide puisse être inséré dans le gros cube en passant par l’ouverture qui lui correspond (le triangle pour le prisme à base triangulaire, le carré pour le parallélépipède, le disque pour le cylindre), et uniquement par celle-ci.
Article : A.R.U.I.: Advanced Research Unit Investigations - Athénée Royal d Uccle I Collège Saint Hubert (Bruxelles)
Résoudre des énigmes policières à l'aide de la théorie des graphes, voici la tâche de l'A.R.U.I.
Ils vont expliquer comment arrêter un kidnappeur d’enfants sur une île isolée, comment retrouver l’auteur d’un vol de tableau dans un grand musée bruxellois, comment démasquer l’auteur du vol des examens de mathématique à l’Athénée d’Uccle, comment expliquer la réussite de l’évasion spectaculaire de quatre dangereux malfaiteurs de la prison de haute sécurité de Tracalzar. Plusieurs concepts classiques de théorie des graphes (parité des degrés d'une marche dans un multi-graphe, 3-coloration, propriétés des graphes d'intervalles, algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré) sont mis en jeu. L'utilisation de ces outils théoriques permet de prouver qui est le malfaiteur.
Mots clés : graphe, théorie des graphes, enquête policière, algorithme de Dikjstra, circuit eulérien, graphe d'intervallesIls vont expliquer comment arrêter un kidnappeur d’enfants sur une île isolée, comment retrouver l’auteur d’un vol de tableau dans un grand musée bruxellois, comment démasquer l’auteur du vol des examens de mathématique à l’Athénée d’Uccle, comment expliquer la réussite de l’évasion spectaculaire de quatre dangereux malfaiteurs de la prison de haute sécurité de Tracalzar. Plusieurs concepts classiques de théorie des graphes (parité des degrés d'une marche dans un multi-graphe, 3-coloration, propriétés des graphes d'intervalles, algorithme de Dijkstra dans un graphe pondéré) sont mis en jeu. L'utilisation de ces outils théoriques permet de prouver qui est le malfaiteur.
Article : Une machine d humeur très changeante - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
Vous introduisez dans une machine un nombre entre 0 et 1 et régler un curseur sur une valeur entre 0 et 4. La machine transforme alors votre nombre de la façon suivante: elle lui soustrait son carré, multiplie le résultat par la valeur indiquée par le curseur, affiche le résultat, puis recommence avec cette nouvelle valeur et poursuit ainsi indéfiniment. Quelle est l'influence de valeurs choisies au départ sur le comportement des résultats affichés ?
Mots clés : fonction itérée, chaosArticle : Economie de bitume - Lycée Jean Lurçat (Perpignan) Lycée Maillol (Perpignan)
Quatre maisons sont situées aux coins d'un carré de côté 1 km. Quel est le réseau routier permettant de relier ces quatre maisons qui possède la plus courte longueur totale ?
Cet article étudie différentes alternatives concurrentes pour le plus court chemin entre les quatre coins d'un carré. Les élèves ont trouvé parmi une famille un chemin le plus court. Ils n'ont cependant pas pu montrer que c'était le chemin le plus court, ce résultat étant très difficile. Néanmoins, ils ont trouvé que cette conjecture avait été démontrée.
Mots clés : théorème de Pythagore, dérivation, minimisationCet article étudie différentes alternatives concurrentes pour le plus court chemin entre les quatre coins d'un carré. Les élèves ont trouvé parmi une famille un chemin le plus court. Ils n'ont cependant pas pu montrer que c'était le chemin le plus court, ce résultat étant très difficile. Néanmoins, ils ont trouvé que cette conjecture avait été démontrée.
Article : Automate cellulaire cyclique - Collège de Marciac (Marciac)
Les élèves du collège de Marciac ont étudié une familles d'automates cellulaires inspirée du jeu « pierre-feuille-ciseaux » (une case évolue vers le résultat obtenu en faisant jouer ladite case avec sa voisine de droite). Ils ont fait des observations permettant de prévoir comment une suite infinie de configurations initiales évoluera à l'infini. Ces observations ont été formalisées, et prouvées à l'aide d'un « algorithme » (décrivant les diverses évolutions possibles de « boîtes », qui sont des sous-suites composées de deux chiffres uniquement).
Mots clés : automate cellulaire, pierre-feuille-ciseaux, état stationnaire, évolutionArticle : Jeu de Nim - Collège de Marciac (Marciac)
l'article présente le jeu de Nim à un tas, jeu de type duel sans partie nulle. Une stratégie gagnante est présentée. La stratégie repose sur une propriété arithmétique simple. L'article contient une démonstration de la propriété et établit une preuve par induction de la stratégie gagnante.
Mots clés : jeu, jeu de Nim, stratégieArticle : Maths et magie - Collège de Marciac (Marciac)
Dans cet article, les élèves étudient une méthode de battage d'un paquet contenant un nombre
pair de cartes. Le paquet est séparé en deux tas, et le battage consiste à alterner une carte du
premier paquet avec une carte du second paquet. On s'interesse plus précisément au nombre d'étapes
nécessaires pour que toutes les cartes du paquet reviennent à leur position de départ. L'article
comporte en particulier : une conjecture sur le nombre d'étapes nécessaires pour un paquet de 2puissance n
cartes, n >ou = 1 ; un résultat démontré concernant l'équivalence entre retour d'une carte à sa position
initiale et retour de l'ensemble du paquet à sa position initiale, ceci lorsque le battage débute
à partir du tas situé en haut du paquet ; et une preuve de l'égalité entre le nombre de battages
nécessaires pour un paquet de 2p cartes en commençant par le tas du haut, et le nombre de battages
nécessaires pour un…
Mots clés : permutation, mélange, mélange de cartespair de cartes. Le paquet est séparé en deux tas, et le battage consiste à alterner une carte du
premier paquet avec une carte du second paquet. On s'interesse plus précisément au nombre d'étapes
nécessaires pour que toutes les cartes du paquet reviennent à leur position de départ. L'article
comporte en particulier : une conjecture sur le nombre d'étapes nécessaires pour un paquet de 2puissance n
cartes, n >ou = 1 ; un résultat démontré concernant l'équivalence entre retour d'une carte à sa position
initiale et retour de l'ensemble du paquet à sa position initiale, ceci lorsque le battage débute
à partir du tas situé en haut du paquet ; et une preuve de l'égalité entre le nombre de battages
nécessaires pour un paquet de 2p cartes en commençant par le tas du haut, et le nombre de battages
nécessaires pour un…
Article : Des nombres que l’on peut construire nous-même - Collège Victor Hugo (Nantes) Collège Paul Langevin (Coueron)
En partant d'une feuille contenant uniquement deux points espacés de 1 cm et en utilisant uniquement un compas et une règle non graduée, les auteurs se demandent s'il est possible pour n'importe quel nombre x de placer un point, à la distance x d'un des points de départ.
L'article présente des méthodes de construction pour les nombres entiers, les nombres rationnels et les racines carrées de nombres entiers. Il est annoncé, sans construction, que le nombre d'or est constructible, mais pas le nombre Pi.
Mots clés : nombre constructible, règle, compas, Nombre π, racine carréeL'article présente des méthodes de construction pour les nombres entiers, les nombres rationnels et les racines carrées de nombres entiers. Il est annoncé, sans construction, que le nombre d'or est constructible, mais pas le nombre Pi.
Article : Carrés magiques - Collège Victor Hugo (Nantes)
Cet article présente la notion de carré magique de taille 3x3, et une liste de 8 carrés de telle nature. Les auteurs donnent des arguments pour démontrer qu'il n'existe pas d'autres carrés magiques 3x3.
Mots clés : carré magique, dénombrement, combinatoireArticle : Des différences magiques - Collège Victor Hugo (Nantes) Collège Paul Langevin (Coueron)
Cet article traite du problème des « Boites à différences » proposée par Romain Bondil. A partir de quatre nombres entiers placés sur chacun des sommets d’un carré, calculer la différence entre ces nombres et placer ces chiffres sur les arêtes du carré. Tracer un nouveau carré ayant pour sommet les nombres des arêtes et répéter la première étape. Les questions posées sont : « combien de fois le procédé doit se répéter pour atteindre des différences égales à 0 ?» et « si le procédé s’arrête, pourquoi ?».
Mots clés : différence, problème de Ducci, algorithmeArticle : Alphaville - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
Dans une ville où les rues forment un quadrillage, on souhaite placer des pharmacies aux carrefours de sorte que chaque carrefour soit à une distance 0 ou 1 d'une pharmacie. Comment réussir cela en plaçant le moins de pharmacies possibles ?
Les auteurs présentent une méthode systématique où les pharmacies sont disposées en losanges et font l'analogie avec le déplacement d'un cavalier aux échecs.
Mots clés : quadrillage, graphe, distance, minimum, stratégie optimaleLes auteurs présentent une méthode systématique où les pharmacies sont disposées en losanges et font l'analogie avec le déplacement d'un cavalier aux échecs.
Article : Jeu de Nim - Collège Stéphane Mallarmé (Marseille)
Deux joueurs prélèvent à tour de rôle 1, 3 ou 5 allumettes dans un tas. Le but est d'éviter de prendre la dernière allumette. Les auteurs montrent que le résultat du jeu ne dépend pas de la manière de jouer, mais seulement de la parité du nombre d'allumettes de départ.
Mots clés : allumette, jeu de Nim, tas d'allumettes, parité, stratégie gagnanteArticle : Le Dragon - Lycée Emile Duclaux (Aurillac)
On s’intéresse à un dragon posé au sommet d’une planète cubique et crachant des flammes « en ligne droite ». L’article propose trois manières de définir ce concept de « ligne droite » : soit la ligne s’arrête lorsqu’un bord est atteint, soit la ligne est l’intersection d’un plan passant par le centre, par le sommet du dragon, et par un autre point du cube, soit la ligne correspond à une ligne droite lorsqu’elle est redessinée sur le patron du cube. Pour les trois types de définitions, l’article illustre quelles sont les zones accessibles par les flammes (les trois faces auquel le sommet appartient dans la première définition, le cube en entier dans les deux autres), et si le dragon peut faire une flamme qui lui revient dessus (ce n’est jamais le cas avec la première définition, c’est toujours le cas pour la deuxième, et cela peut arriver pour le dernier cas).
Mots clés : cube, patron, géodésique, construction géométrique, géométrie dans l'espace, géométrieArticle : Jeu des points et des demi-plans - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le jeu des points et des demi-plans. Soit D un disque du plan et r > 0. Il y a deux joueurs, le premier joue des points de D et le second joue des demi-plans. Le premier joueur choisit un point M1 dans D.
Article : Jeu de Miroirs - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le problème sur lequel nous avons travaillé est le suivant : Un faisceau lumineux se trouvant interrompu par la présence d’un solide opaque, le but est de contourner ce solide en utilisant des miroirs de telle fac¸on que le faisceau retrouve la même direction qu’il suivait au départ. L’intérêt est soit de minimiser la longueur du trajet parcouru par le rayon lumineux, soit de minimiser le nombre de miroirs.
Article : Perturbations sonores - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
« Tic et Tac communiquent avec des mots binaires ( ex. 010011 ) par téléphone. Toutefois, la ligne n’est pas très bonne et il arrive que Tic ou Tac entende « BIIIIIIIIP » au lieu de 0 ou 1. -Tout d’abord, supposons que cela n’arrive pas plus d’une fois par mot. Quelle stratégie Tic et Tac peuvent-ils adopter pour poursuivre leurs conversations sans perte d’information ? -Décidément le téléphone, c’est ringard ; ils décident de correspondre par mail. Mais alors, à cause de certaines interférences, il arrive qu’un chiffre soit modifié, c'est-à-dire un 0 transformé en 1 ou bien un 1 en 0. Pas plus de un par mot, par contre Tic et Tac n’ont aucun moyen de savoir lequel. Que peuvent-ils faire ? »
Article : Le nombre chromatique du plan - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Le nombre chromatique du plan : c’est le nombre minimum de couleurs qu’on doit utiliser afin de colorier entièrement le plan en respectant la condition suivante : deux points de même couleur ne peuvent se trouver à une distance 1 ! Notons N ce nombre. Nous allons démontrer dans cet article que : 47 N≤ ≤ . Pour cela, nous allons nous placer successivement sur une droite, sur un cercle et sur un pavage hexagonal.
Article : La marche de l’ivrogne - Lycée Montaigne (Bordeaux) Lycée Sud Médoc (Le Taillan Médoc)
Après avoir bien bu, Monsieur Pierre, ivre, veut quitter le bistro pour rentrer chez lui. Quelle probabilité a-t-il d’arriver à son but sachant qu’il évolue au hasard dans un réseau de rues perpendiculaires ?
Article : The Snake - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu se joue avec 2 personnes ou 2 équipes sur un quadrillage. Le premier joueur doit commencer en avançant d’une case et le deuxième joueur continue. Ils ne peuvent avancer que d’une case à la fois soit horizontalement soit verticalement. Celui qui retouche le serpent a perdu.
Article : Le jeu du serpent - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu se joue à deux joueurs ou bien avec deux équipes de plusieurs joueurs. Il consiste, chacun son tour, à construire un serpent dans un quadrillage.
Article : La riviere - Collège Henri Sellier (Bondy)
Ce jeu consiste à faire passer des indigènes et des explorateurs de l’autre coté de la rivière, sans que les explorateurs se fassent manger par les indigènes.
Article : Les carrelages - Collège Henri Sellier (Bondy)
Notre sujet consiste à faire un pavage avec un modèle de carrelage unique : c'est un carreau carré avec à l’intérieur deux quarts de cercle ayant pour centre deux sommets opposés.
Article : La géolocalisation - Lycée Benjamin Franklin (Auray)
Notre projet est né d'une volonté d'approfondir nos connaissances en mathématiques, plus particulièrement nous voulions aller plus loin que ce qui a été appris en cours. C'est dans cet état d'esprit que notre groupe du lycée Benjamin Franklin d'Auray s'est engagé dans l’expérience MATH.en.JEANS (MeJ). Il s'agit du premier groupe MeJ créé dans le Morbihan et ceci grâce à Mr. Sans, qui a pris ce projet très à cœur. Nos recherches furent effectuées en collaboration avec l'équipe du lycée Victor Hélène Bash de Rennes supervisée par leur professeure, Mme Forgeoux. C'est aussi grâce à Sébastien Gambs, chercheur à l'INRIA et maître de conférences à l'université Rennes 1, que nous avons avancé dans notre travail, ce dernier nous ayant proposé le sujet de recherche suivant :
How to define and quantify the concepts of "anonymity" and "privacy"?
How to define and quantify the concepts of "anonymity" and "privacy"?
Article : Crocnum - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Crocnum est un gentil monstre qui se nourrit de nombres. Il les aime tant qu'il veut en manger le plus possible. Mais Crocnum doit faire très attention : s’il se retrouve avec dans son ventre deux nombres dont la somme est égale à un autre nombre qu’il a aussi avalé, alors il explose !
Dans l'article, les élèves dialoguent avec Crocnum et l'aident à manger le plus de nombres possibles sans exploser. Crocnum est très gourmand et il en veut toujours plus.
Des méthodes sont proposées au glouton en vue d'augmenter ce qu'il peut manger. Certaines sont basées sur la parité, d'autres essayent en parcourant les nombres dans l'ordre croissant à partir d'un nombre donné de le manger dès qu'il ne cause pas directement une indigestion. Cette méthode fait apparaître des périodes qui sont étudiées dans l'article. Dans une première partie, Crocnum est un bonne santé et dans une deuxième partie, il est malade (les nombres peuvent se dupliquer dans son ventre…
Mots clés : nombre entier, somme, proportion, ensemble infini, périodicitéDans l'article, les élèves dialoguent avec Crocnum et l'aident à manger le plus de nombres possibles sans exploser. Crocnum est très gourmand et il en veut toujours plus.
Des méthodes sont proposées au glouton en vue d'augmenter ce qu'il peut manger. Certaines sont basées sur la parité, d'autres essayent en parcourant les nombres dans l'ordre croissant à partir d'un nombre donné de le manger dès qu'il ne cause pas directement une indigestion. Cette méthode fait apparaître des périodes qui sont étudiées dans l'article. Dans une première partie, Crocnum est un bonne santé et dans une deuxième partie, il est malade (les nombres peuvent se dupliquer dans son ventre…
Article : Des coloriages économiques - Lycée Atlantique (Luçon)
Les élèves ont étudiés deux problèmes de coloriage :
1. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les pays d’une carte de géographie sur une planète sphérique, polyédrique, torique, sans que
deux pays limitrophes soient de la même couleur. Ils conjecturent que quatre couleurs sont suffisantes et ont des idées pour montrer que cela est possible avec cinq couleurs.
2. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier un plan, sans que deux points distants d’une unité soient de la même couleur. Ils donnent une construction avec sept couleurs et montrent que quatre couleurs sont impossible.
Mots clés : coloriage d'un plan, nombre chromatique, théorème des quatre couleurs, graphe planaire1. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier les pays d’une carte de géographie sur une planète sphérique, polyédrique, torique, sans que
deux pays limitrophes soient de la même couleur. Ils conjecturent que quatre couleurs sont suffisantes et ont des idées pour montrer que cela est possible avec cinq couleurs.
2. Chercher le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier un plan, sans que deux points distants d’une unité soient de la même couleur. Ils donnent une construction avec sept couleurs et montrent que quatre couleurs sont impossible.
Article : Le jeu de Hex - Lycée d Altitude (Briancon) Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie)
Le jeu de Hex se joue sur un damier en forme de losange dont les cases sont hexagonales. Deux côtés opposés du damier sont rouges, les deux autres sont bleus. Il y a un joueur bleu et un joueur rouge. Chaque joueur, à tour de rôle, colorie une case (quelconque mais non coloriée) de sa couleur. Le but du jeu pour chaque joueur est de relier les deux côtés de sa couleur par un chemin constitué de cases adjacentes de sa couleur.
Les élèves des deux ateliers ont d’abord étudié le cas d’un damier 3x3, c’est à dire à 9 cases. Ils ont déterminé dans ce cas le nombre de coloriages possibles du damier (si toutes les cases sont coloriées) lorsque les rouges commencent à jouer. Il ont montré qu’alors il y avait toujours un gagnant et que dans deux tiers des cas, c’était les rouges (qui ont commencé) qui gagnaient. Ils ont aussi déterminé pour un damier à 9 cases une stratégie gagnante. Si celui qui commence colorie d’abord la case centrale, il est assuré de gagner (s’il joue bien).
Les élèves ont…
Mots clés : combinatoire, dénombrement, stratégie de jeuLes élèves des deux ateliers ont d’abord étudié le cas d’un damier 3x3, c’est à dire à 9 cases. Ils ont déterminé dans ce cas le nombre de coloriages possibles du damier (si toutes les cases sont coloriées) lorsque les rouges commencent à jouer. Il ont montré qu’alors il y avait toujours un gagnant et que dans deux tiers des cas, c’était les rouges (qui ont commencé) qui gagnaient. Ils ont aussi déterminé pour un damier à 9 cases une stratégie gagnante. Si celui qui commence colorie d’abord la case centrale, il est assuré de gagner (s’il joue bien).
Les élèves ont…
Article : Le jeu du XXX - Lycée de la mer (Gujan Mestras) Université de Bordeaux (Talence)
Le problème étudié concerne un jeu combinatoire proche du jeu de Nim (jeu des allumettes). Face à divers lignes de jetons, les joueurs peuvent retirer à tour de rôle, un jeton isolé, deux jetons sur le bord d'une ligne ou trois jetons consécutifs. L'objectif est de ne pas prendre le dernier jeton. Cette publication vise à déterminer si une situation est gagnante ou perdante ainsi qu'une stratégie gagnante dans le premier cas. Plus précisément, il est dit que le reste de la division euclidienne par 14 de la longueur d'une plus longue ligne de jetons consécutifs, permet de de classifier les différentes situations. Cette idée s'avère fausse bien qu'étonnamment proche du premier raisonnement (faux également) mené par l'inventeur de ce jeu (faute précisée dans l'épilogue).
Mots clés : jeu combinatoire, analyse des jeux, fonction de Gründy, jeu, stratégie gagnante, stratégieArticle : Le solitarium - Collège Robespierre (Epinay) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
Des cases, disposées en cercle, contiennent chacune un pion Peut-on amener tous les pions dans une même case en s'imposant de déplacer à chaque coup 2 pions en sens contraire, chacun vers un case voisine.? Les auteurs donnent un méthode lorsque le nombre de cases, N, est impair et donnent un formule pour le nombre de coup nécessaire. Ils conjecturent que le problème est impossible pour N pair et établissent cette impossibilité pour N=4.
Mots clés : jeu, combinatoire, solitaire, pion, case, cycle, nombre, invariant, arrangement avec répétitionArticle : Voir sans être vu - Collège Molière (Ivry sur Seine) Collège Romain Rolland (Ivry sur Seine)
Le texte exact du problème traité ne nous est pas parvenu. Il s'agissait d'étudier la visibilité à l'intérieur de diverses formes planes, comme si celles-ci étaient le plan d'une pièce à surveiller. Au lieu de chercher pour une forme donnée la meilleure manière de disposer des caméras (qui permettent d'observer sans être vu), comme dans le problème "des gardiens de musées" , il s'agit ici d'étudier les formes qui permettent la surveillance de tout l'intérieur (bord compris) avec un nombre donné de postes d'observation. Le titre de l'exposé des auteurs au congrès 1998 était "Étude d'écrans"
Article : Chemin minimal - Lycée de La Mure (Isère)
Sujet : A,B,C,D, ... étant des points du plan, on cherche un point M qui rende la somme MA+MB+MC+MD+.... la plus petite possible. Cette question a été appelée "problème du chemin minimal" par les auteurs. Seul le cas de 3 points est abordé ici.
Article : Le centre de la France - Collège Condorcet (Pontault-Combault)
Nous avons commencé par chercher à mettre en équilibre différentes figures sur une épingle, puis sur le tranchant d' une règle.Nous avons observé une figure qui tient en équilibre sur une épingle. Nous avons appelé le point qui permet d'équilibrer la figure "centre de gravité".
Article : La duplication du cube - Lycée Georges Braque (Argenteuil)
La mission qui m’a été confiée cette année est de construire un cube C’ de volume double d’un cube C avec pour seuls gadgets une règle non graduée et un compas. Je n’étais pas le premier agent à m’ être confronté à cette difficile mission. Celle-ci est apparue au VI ième avant J.-C. et de nombreux autres agents (Platon, Descartes...) ont organisé des interventions pour résoudre le problème. Pour mon rapport, j’ai pris le parti de vous présenter les stratégies d’attaque du sujet des agents Huygens, puis Nicomède, mais après vous avoir fait découvrir plus en détail la situation géométrique et mathématique initiale.
Article : Découpage de polygones - Lycée Georges Braque (Argenteuil) Lycée Romain Rolland (Goussainville)
Deux polygones ont même aire. Est-il possible de passer du premier au second, à l'aide d'un découpage en un nombre fini de morceaux ?
Article : Communiquer dans une grille - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Réussira-t-on à informer tout le monde en respectant les règles de communication en vigueur dans le réseau ?
Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Des personnes (ou des relais électroniques, si vous préférez) sont régulièrement disposées dans un plan.
Chaque personne peut envoyer des informations à d'autres personnes, à condition de respecter certaines règles.
Ces règles, bien précises et immuables, sont les mêmes pour toutes les personnes. En fait, à proprement parler, c'est l'ensemble de ces règles qui définit le réseau.
Article : Fractions égyptiennes - Lycée Montaigne (Bordeaux)
Les fractions dites égyptiennes sont celles de la forme 1/n, n étant un entier naturel.Il existe de nombreux problèmes...
Mots clés : fraction égyptienneArticle : Un drôle d arbre - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article s'intéresse à l'arbre de Pythagore, construit par étapes à partir de carrés et de triangles rectangles isocèles. Il présente une méthode pour calculer la hauteur de l'arbre après n'importe quel nombre d'étapes et permettant de conjecturer que la hauteur totale de l'arbre reste finie. Il est également montré, en utilisant le théorème de Pythagore, que l'aire des carrés ajoutés à chaque étape reste constante, mais que ces carrés se chevauchent à partir de la sixième.
Quelques variantes sont ensuite testées avec des triangles rectangles non isocèles ou avec des hexagones. On constate que l'arbre semble toujours finir par se chevaucher, mais que le nombre d'étapes pour y arriver est variable.
Mots clés : arbre, théorème de Pythagore, géométrie, aireQuelques variantes sont ensuite testées avec des triangles rectangles non isocèles ou avec des hexagones. On constate que l'arbre semble toujours finir par se chevaucher, mais que le nombre d'étapes pour y arriver est variable.
Article : Jeu de Hex et stratégie gagnante - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les auteurs expliquent les règles du jeu de Hex et donnent une stratégie
gagnante pour les petits plateaux.
Mots clés : jeu, stratégie gagnante, Jeu de Hexgagnante pour les petits plateaux.
Article : Jeu des différences - Collège Alain Fournier (Orsay)
On dispose d’une suite d’au moins 3 nombres dont on calcule les écarts. On recommence en calculant les écarts de ces derniers et on continue ainsi de suite tant qu’on n’a pas obtenu des écarts tous nuls. L’objectif est donc de savoir s’il est toujours possible d’aboutir à cette suite nulle. Dans l’article, il est prouvé que le jeu se termine obligatoirement dans les cas où l’on démarre avec 2 ou 4 nombres. Pour les cas à 3 ou 5 nombres, une analyse de ce qui empêche la victoire est proposée .Une conjecture est proposée pour le cas général.
Mots clés : jeu numérique, suite numérique, arithmétiqueArticle : Saute-moutons - Collège Alain Fournier (Orsay)
Comment faire se croiser deux troupeaux de moutons en file indienne en les faisant sauter les uns par dessus les autres ? Cet article étudie d'abord les exemples de troupeaux composés de 2, 3 ou 4 moutons avant d'en déduire et de démontrer par récurrence une formule donnant le nombre de coups pour n'importe quel nombre de moutons, puis de décrire une méthode permettant d'atteindre ce nombre de coups. À la fin de l'article la question de l'extension à trois troupeaux est posée avec quelques pistes de réflexion qui restent à explorer.
Mots clés : permutation, dénombrement, saute-mouton, solitaireArticle : Probabilités et pièces d’or - Collège Alain Fournier (Orsay)
On propose l'étude d'un jeu de manière probabiliste. On procède à un tirage de pièces sans remise, et suivant la nature de la dernière pièce tirée, on perd ou on gagne le jeu. On veut déterminer la probabilité de perdre. L'article propose une étude suivant la nature des pièces. Dans des cas particuliers, le problème a été résolu à l'aide d'arbres, et ensuite, la démonstration générale est proposée par récurrence.
Mots clés : probabilité, arbre, récurrence, programmationArticle : Tour de cartes - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Le « tour des 21 cartes » est un tour de magie lors duquel le prestidigitateur utilise un algorithme simple pour déterminer la carte secrètement choisie par un volontaire parmi 21 cartes. L'algorithme consiste à (i) successivement répartir les cartes face visible dans trois piles distinctes (deux cartes consécutives étant placées dans deux paquets différents) ; (ii) demander au volontaire de désigner dans quelle pile se trouve la carte qu'il a choisie ; (iii) empiler les trois paquets de 7 cartes en veillant à ce que la pile désignée par le volontaire soit placée au milieu. Il suffit au prestidigitateur de répéter ces trois étapes trois fois, après quoi il est certain que la carte désignée par le volontaire se trouve en 11ème position. Une recherche exploratoire permet aux auteurs de déterminer le rôle spécial de la « 11ème place » dans cet algorithme; plusieurs extensions (à un nombre pair de cartes, à un nombre différent de piles) sont également discutées.
Mots clés : jeu, carte, tour de cartes, tour de magie, division euclidienneArticle : Jeu de couleurs - Collège Fernand Garandeau (La Tremblade)
Cet article concerne le remplissage d’une feuille de papier de points de couleurs de sorte que deux points distants d’exactement 2 cm soient toujours de couleurs différentes. Dans un premier temps, les auteurs se sont intéressés à la coloration de certains pavages (triangulaire, carré, trihexagonal), qu’ils ont obtenu par symétries à partir de certaines figures géométriques dont ils ont colorié les sommets. Ils obtiennent ainsi des manières de remplir une feuille de points de couleur avec 6, 3, 2 et 1 couleurs. Les auteurs ont ensuite cherché à colorier entièrement une feuille, en translatant certaines formes
géométriques colorées. Ils obtiennent ainsi des coloriages d’une feuille avec 9, 8 et 7 couleurs. Les auteurs montrent ensuite que le nombre minimal de couleurs nécessaires au coloriage de la feuille (nombre chromatique du plan) est au moins 3.
Mots clés : construction géométrique, couleur, pavage, graphe, coloriage d'un plan, colorationgéométriques colorées. Ils obtiennent ainsi des coloriages d’une feuille avec 9, 8 et 7 couleurs. Les auteurs montrent ensuite que le nombre minimal de couleurs nécessaires au coloriage de la feuille (nombre chromatique du plan) est au moins 3.
Article : La fin des carrés - Lycée Jules Ferry (Coulommiers)
Certains nombres de pions peuvent se mettre en forme carrée : 1=1x1, 4=2x2, 9=3x3, 16=4x4, 25=5x5, 36=6x6, puis 49, 64, 81, 100, 121, etc. On appelle ces nombres des carrés parfaits ou simplement des carrés. Quels sont ces nombres ? Par quels chiffres se terminent-ils ? Comment les reconnaître ?
Mots clés : carré, carré parfaitArticle : Surfaces rectangulaires - Collège Molière (Ivry sur Seine)
On utilise indifféremment les mots "carrelage" ou "pavage" pour parler du découpage d'une surface en plusieurs morceaux juxtaposés, sans vide ni chevauchement : les morceaux sont appelés les "CARREAUX". Dans cet article, les surfaces que l'on cherche à carreler ainsi sont des RECTANGLES et tous les morceaux du carrelage doivent être "égaux" au carreau de base : autrement dit, les carreaux doivent pouvoir être superposés à cette figure, par déplacement direct ou après retournement. On ne peut pas couper les carreaux ; l'unité d'aire est le carré, l'unité de longueur est le côté du carré.
Article : Roulette hollandaise - Lycée Guillaume Apollinaire (Thiais)
On dispose au départ de billes réparties en plusieurs tas de manière arbitraire. L'opération de base, le prélèvement, consiste à prélèver une bille de chaque tas pour constituer un nouveau tas. Que se passe-t-il lorsqu'on enchaîne indéfiniment cette opération de prélèvement ? Précisons qu'à ce jeu de la "roulette hollandaise", les tas qui deviennent vides sont purement et simplement ignorés
Les auteurs mettent en évidence que certaines répartitions réapparaissent périodiquement. L'étude de ces "cycles de configurations", en particulier des configurations invariantes (répartitions qui se reproduisent à l'identique à chaque prélèvement) et de celles de période 2 (qui reviennent tous les 2 coups), aboutit à une conjecture très générale qui déterminerait, avec la seule donnée du seul nombre total de bille, le nombre de configurations cycliques possibles et les période des divers cycles où elles apparaissent. Cette conjecture est vérifiée jusqu'à 45…
Mots clés : roulette, itération, cycleLes auteurs mettent en évidence que certaines répartitions réapparaissent périodiquement. L'étude de ces "cycles de configurations", en particulier des configurations invariantes (répartitions qui se reproduisent à l'identique à chaque prélèvement) et de celles de période 2 (qui reviennent tous les 2 coups), aboutit à une conjecture très générale qui déterminerait, avec la seule donnée du seul nombre total de bille, le nombre de configurations cycliques possibles et les période des divers cycles où elles apparaissent. Cette conjecture est vérifiée jusqu'à 45…
Article : Partie de cache-cache avec le cabricube - Lycée Pablo Neruda (St Martin d’Hères) Lycée Emmanuel Mounier (Grenoble)
Comment réaliser, grâce au logiciel Cabri-Géomètre® la vue mobile d'un cube en perspective. L'image de ce "cabricube" est conforme à ce que perçoit l'œil humain.
Mots clés : perspective, cube, Cabri-géomètre, rotation, géométrie, dynamique, vue, logicielArticle : Les brenoms - Collège Pierre de Ronsard (Montmorency) Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice)
Les brenoms généralisent les nombres entiers usuels : un brenom est une succession illimitée de chiffres écrite de droite à gauche. Exemple : ...562951413. On peut additionner et multiplier les brenoms de la manière habituelle, puisque ces opérations (sur les nombres) se font de droite à gauche. Les auteurs cherchent des brenoms qui, multipliés par eux-mêmes, ne changent pas : autrement dit ils étudient l'équation x^2=x. Ils trouvent 4 solutions : ...0000,...0001 et deux autres solutions.
Mots clés : brenom, nombre p-adique, chiffre, addition, soustraction, multiplication, division, carré, solution d'une équation, équation, anneau, anneau de nombresArticle : L algorithme de Kaprekar - Lycée Bartholdi (Colmar)
On part d'un nombre de 4 chiffres N. En rangeant les chiffres par ordre décroissant on obtient un nombre A. En les rangeant par ordre croissant on obtient un nombre B. En complétant éventuellement la différence A-B par des 0 à gauche, on obtient un nouveau nombre de quatre chiffres f(N). Les auteurs montrent que si les 4 chiffres de départ ne sont pas égaux, on finit par tomber, en réitérant le procédé, sur le nombre 6174.
Mots clés : nombre entier, chiffre, algorithme de Kaprekar, soustraction, convergence, itération, KaprekarArticle : L infini - Lycée Racine (Paris) Lycée Jean Jaurès (Argenteuil)
Un hôtel au nombre de chambres fini affiche complet ; un voyageur arrive et souhaiterait en obtenir une, mais l'hôtelier ne peut que le renvoyer gentiment. Ce voyageur continue sa route et arrive devant un autre hôtel qui affiche lui aussi complet. Toutefois cet établissement comprend un nombre infini de chambres. Peut-il convaincre l'hôtelier de lui donner une chambre ?
Mots clés : infini, ensemble infini, bijection, cardinal, équivalence, segment, N, Z, Q, R, série harmonique, inverse, somme infinieArticle : Dames sur un échiquier - Collège L’Ardillière de Nézant (St Brice) Collège Charles Lebrun (Montmorency)
Combien peut-on mettre de dames sur un échiquier de nxn cases sans qu'elles se mangent les unes les autres ? Les auteurs prouvent qu'on ne peut en mettre plus de n en général et proposent une méthode simple de placement suivant des mouvements de cavalier, qui donne des solutions lorsque le reste de la division de n par 6 n'est ni 2 ni 3. Pour n=8, 32 solutions sont trouvées et le défi est lancé pour n=9.
Mots clés : problème des dames, dame, échiquier, maximum, indépendant, congruenceArticle : Où est la fausse pièce - Lycée Romain Rolland (Argenteuil) Lycée Paul Eluard (Saint-Denis)
François et Olive disposent d’une pièce étalon (c’est-à-dire une vraie pièce) et d’une balance à plateaux pour trouver en un minimum de pesées une fausse pièce (de poids différent) perdue dans un tas de pièces. Plusieurs méthodes sont proposées : les auteurs expliquent notamment comment François et Olive peuvent repérer une fausse pièce parmi (3^k-1)/2 pièces sans dépasser k pesées.
Mots clés : pesée, fausse pièce, pièce, minimum, étalon, balanceArticle : Les crêpes - Lycée de La Mure (Isère)
Comment avec une simple palette, remettre dans l'ordre les crêpes d'une pile ? Au départ, n crêpes (de tailles toutes différentes) sont empilées n'importe comment. On veut les ranger par ordre décroissant, de la plus grande en bas à la plus petite en haut, en effectuant le moins de manipulation possible. La seule opération permise est d'insérer une palette entre deux crêpes et de retourner en bloc le haut de la pile. En explorant l'arbre des possibilités, les auteurs de cet article obtiennent un minoration du nombre de mouvements nécessaires. Ils proposent une méthode qui, pour n≥5, n'utilise pas plus de 2n-5 mouvements.
Mots clés : tri, pile, permutation, retournement, ordre croissant, algorithme, minimum, arbre de possibilitésArticle : La percolation - Lycée d Altitude (Briancon)
Dans une grille 10*10, on colorie un certain nombre de cases en noir, qui sont appelées obstacles. Le nombre de cases noires en pourcentage est noté d, densité d'obstacles. On cherche à savoir si en versant un fluide en haut de la grille, celui-ci va atteindre le bas de la grille. Si c'est le cas on dit qu'il y a percolation. Grâce à un tableur, puis à un programme en Python, des simulations de grilles ont été réalisées pour différentes densités d . A partir de ces simulations, on a pu observer l'allure de la courbe de la fréquence de percolation en fonction de la densité d d'obstacles.
Mots clés : percolation, simulation, programmation, fréquenceArticle : Les taches des girafes - Lycée d Altitude (Briancon)
Étant donnés n points A1, A2, ..., An , on appelle diagramme de Voronoï de A1, A2, ..., An l'ensemble des cellules Ci={M tel que d(M,Ai)<d(M,Aj) pour tout j ≠ i}. Le but de l'article est de construire et étudier les diagrammes de Voronoï. Les élèves sont arrivés à définir un algorithme pour réaliser le diagramme de Voronoï d'un réseau de points quelconques. Parallèlement ils ont trouvé le nombre maximal de médiatrices de n points. Ils ont aussi élaboré un jeu lié au diagramme de Voronoï et proposé des stratégies gagnantes.
Mots clés : diagramme de Voronoï, médiatrice, jeu
Un certain nombre m de gobelins décident de s'entre-tuer de la manière suivante : ils se placent en cercle et comptent jusqu'à un nombre n inférieur à m, celui qui dit n est tué, et le décompte reprend à partir de 1 le long du cercle. Le prochain qui prononce n est tué, etc.
Le but est de trouver où sont placés les survivants. Les cas n=2 et n=3 sont traités. Dans le cas n=2, une formule explicite pour la place du survivant parmi m gobelins est introduite, en utilisant le raisonnement par récurrence puis l'écriture en binaire. Pour le cas n=3, on voit apparaître une relation de récurrence entre la place des deux survivants parmi m gobelins et la place des deux survivants parmi m+1 gobelins.