La Suite Auto-Descriptive - Lycée du Pays d'Aunis (Surgères)

Considérons une suite finie de chiffres (a1,a2, . . . ,an) où chaque ai est entre 0 et 9. Cette suite est dite auto-descriptive si pour tout k de 0 à 9, le nombre d’occurrences de k dans la suite est égal à ak+1 (en supposant que la suite est indexée à partir de 1).
Par exemple, la suite (1,2,1,0) est auto-descriptive :
Le chiffre 0 apparaît 1 fois (et a1 = 1).
Le chiffre 1 apparaît 2 fois (et a2 = 2).
Le chiffre 2 apparaît 1 fois (et a3 = 1).
Le chiffre 3 apparaît 0 fois (eta4 = 0).
1) Trouvez toutes les suites auto-descriptives de longueur n pour n = 4,5,6, . . .
2) Que peut-on dire de la somme a1 +a2 +· · ·+an ?
3) Existe-t-il une suite auto-descriptive de longueur n pour tout n ? Sinon, pour quels n en existe-t-il ?
4) Généralisation : Imaginez une suite qui décrit le compte de ses chiffres dans une base b différente (e.g., binaire, hexadécimale).
Qu’observe-t-on ?