Publications MATh.en.JEANS
Vous trouverez ici les productions écrites des élèves (articles, diaporamas, posters, etc.)
Ces travaux sont des travaux d'élèves. Ils peuvent comporter des oublis et imperfections qui sont autant que possible signalées par nos relecteurs dans des notes d'édition.
Enseignants MATh.en.JEANS : pour déposer une contribution de vos élèves, connectez-vous et éditez le sujet. N'oubliez pas de vérifier que votre publication est conforme à la charte d'édition. Pour les articles, merci de respecter le modèle de mise en page.
Article : Les routes de la ville - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
Il était une fois une ville comptant 10 maisons mais aucune route. Il était fort difficile de se déplacer en temps de pluie car les voitures avaient une fâcheuse tendance à s'embourber. Après de nombreuses plaintes des habitants le bourgmestre se décide à faire construire des routes et demande donc à des experts de préparer un plan de ville sur base de deux principes simples et sains : il faut que n'importe quelles deux maisons soient joignables par la route ; il faut que cela coûte le moins cher possible. Si le prix d'une route est linéaire en sa longueur, quelle est la construction optimale?
Article : Light trap - Lycée Żmichowska (Varsovie) Lycée Vicat (Souillac)
Consider a plane figure f made of two sides AB and BC of a triangle and a ray of sun that slides into f and then emerges after 3 reflections. Find the measure of the angle and the direction of the ray so that we will obtain the maximum of reflections? Is it possible to obtain 4 / 5/ 6 / 11 reflections? Is it possible that the ray never comes out, that is to say, the number of reflections is infinite? If not, can we build another non-closed plane figure for which we can determine a ray of sun that gets trapped?
Mots clés : géométrie, Geogebra, réflexionArticle : Bras articulés I - Lycée Stéphane Hessel (Vaison la Romaine)
Il s’agit de déterminer les ponts atteignables par l’une des extrémités d’un bras articulé lorsque l’autre extrémité est fixe. Deux cas sont étudiés : le bras articulé-en deux parties (cas entièrement traité) et le cas où le bras est formé de trois segments (dans ce cas seules des conjectures sont données)
Mots clés : lieu géométrique, cercle, distanceArticle : Des couples - Collège Fernand Puech (Laval)
Trois, quatre ou cinq couples dansent ensemble avec la contrainte que ni deux hommes ni deux femmes ne dansent ensemble, et qu'aucune femme ne danse avec son conjoint. On détermine le nombre de danses possibles si on veut changer de configuration à chaque danse.
Mots clés : permutation, dérangementArticle : Les dominos - Collège Fernand Puech (Laval)
Peut-on recouvrir un échiquier avec des dominos, en retirant une ou deux cases?
Mots clés : domino, pair, impair, recouvrementArticle : Déplacement et arithmétique - Lycée Montchapet (Dijon)
Le texte s'intéresse aux cases atteignables sur une droite, puis sur un plan, en itérant un certain nombre de translations entières. Le cas du problème du cavalier d'Euler (mais sur un échiquier infini) est typique de cette problématique.
Mots clés : arithmétique, échiquier, BézoutArticle : A constant sum - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie) Lycée Arago (Perpignan)
Un polygone convexe est appelé équilibré si la somme des distances entre un point à
l’intérieur du polygone et les côtés de ce polygone ne dépend pas de la position du point.
Cet article s’intéresse à la catégorisation de polygones équilibrés. Les auteurs y recherchent en
particulier des propriétés des polygones équilibrés afin d’aboutir à une généralisation de cette
caractéristique. Après avoir observé plusieurs polygones réguliers, cet article montre que tout
polygone régulier est équilibré, et s’intéresse enfin aux caractéristiques que doivent présenter
des quadrilatères pour être équilibrés.
Mots clés : géométrie plane, aire, triangulationl’intérieur du polygone et les côtés de ce polygone ne dépend pas de la position du point.
Cet article s’intéresse à la catégorisation de polygones équilibrés. Les auteurs y recherchent en
particulier des propriétés des polygones équilibrés afin d’aboutir à une généralisation de cette
caractéristique. Après avoir observé plusieurs polygones réguliers, cet article montre que tout
polygone régulier est équilibré, et s’intéresse enfin aux caractéristiques que doivent présenter
des quadrilatères pour être équilibrés.
Article : Propagation d’une épidémie - Lycée Koeberlé (Sélestat) Lycée Marguerite Yourcenar (Erstein)
On étudie la propagation d’une épidémie, en s’intéressant particulièrement à l’effet de la vaccination d’une partie de la population. L’étude montre, en s’appuyant sur des simulations au moyen d’un programme, que vacciner une partie de la population protège également les non-vaccinés.
Mots clés : épidémie, modélisationArticle : Solar system - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
This topic's purpose is finding what happens of the planets of the Solar System if we remove the Sun. In the article we are trying to answer the question and more to generalise the subject: what happens to the Solar System if any of the planets is removed?
Mots clés : loi, simulationArticle : Check-mate - Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie) Lycée Arago (Perpignan)
Il s’agit de déterminer le nombre de positions possibles de n Rois disposés sur un échiquiers de 2x2n cases de sorte qu’aucun ne soit en prise.
Mots clés : suite, combinatoireArticle : „Leaky choice” game - Lycée Żmichowska (Varsovie) Lycée Vicat (Souillac)
Two players alternately pull stones out of a hat which contains 7 stones (our players know that there are 7 of them). At each move, each player has only two possibilities: he removes either 1 or 3 stones (he cannot pull out 2 stones – that is why the choice is “leaky”). The one who pulls out the last stone wins. It is easy to find a winning strategy for one of the players. Then the problem is generalized to any number of stones and to different “leaky choices” for the number of stones the players are allowed to remove.
Mots clés : jeu, stratégie de jeuArticle : Graduations perdues - Collège Robespierre (St Pol sur Mer) Collège Lucie Aubrac (Dunkerque), Collège Jean Zay (Dunkerque)
On dispose d'une règle dont la longueur est un nombre entier supérieur à 4.
On place un certain nombre de graduations sur la règle.
On se demande si ces graduations permettent d'effectuer toutes les mesures entières
possibles, auquel cas on dira que la graduation est optimale.
Mots clés : algèbreOn place un certain nombre de graduations sur la règle.
On se demande si ces graduations permettent d'effectuer toutes les mesures entières
possibles, auquel cas on dira que la graduation est optimale.
Article : Sotto la pioggia - Sous la pluie - Lycée Stendhal (Milan)
Sous la pluie, vaut-il mieux courir ou marcher pour être moins mouillé ? Sur ce sujet jumelé avec le Liceo R. Bruni de Padoue, les élèves du lycée Stendhal de Milan donnent une modélisation du problème et déterminent la quantité de pluie reçue en fonction de la vitesse de la personne, selon celles de la pluie et du vent. Il apparaît qu’il n’est pas toujours optimal de se déplacer le plus vite possible…
Mots clés : modélisation, minimisationArticle : Un ascenseur particulier - Collège Michelet (Toulouse) Collège Stendhal (Toulouse)
Il s'agit de trouver les sommes possibles d'un ensemble d'entiers naturel fixé et de trouver le nombre minimal à partir duquel tous les entiers s'écrivent comme sommes d'éléments de l'ensemble initial.
Mots clés : arithmétiqueArticle : Échanger sur Internet de manière sûre - Collège Côte Rousse (Chambéry) Lycée Louis Armand (Chambéry Le Haut)
Comment échanger des données de manière sûre ? Nous avons essayé d'inventer de nouveaux codes (3 propositions) pour brouiller nos messages, puis face à la difficulté de programmation des symboles (ou méthodes) imaginés, nous avons travaillé sur le codage affine, facile d'accès à tous, plus difficile à programmer. Quels sont ses avantages et inconvénients ?
Mots clés : cryptographie, codage affineArticle : Le décorateur farceur - Collège Michelet (Toulouse) Collège Stendhal (Toulouse)
Un décorateur farceur est chargé d’accrocher des tableaux dans une maison. Il lui vient alors l’idée d’accrocher un tableau avec plusieurs clous et une ficelle, de telle sorte que si on enlève n’importe quel clou, le tableau tombe. Existe-t-il un nœud pour accrocher ainsi le tableau avec 4 clous ? L’article analyse la situation avec 1, 2 puis 3 clous et en déduit une formulation permettant d’étendre un nœud solution lorsqu’on ajoute un clou supplémentaire. Une solution est ainsi donnée pour 4 clous et il est démontré qu’elle répond à la question posée.
Mots clés : nœud, récurrence, formalisation algébriqueArticle : Nombranagrammes - Lycée Jean Lurçat (Perpignan)
Un nombre de k chiffres en base 10 est dit "nombranagramme" si chacun de ses produits avec les nombres,1,2, 3,..., k donne une" anagrammme" de ce nombre, c'est-à-dire un nombre obtenu par permutation du nombre initial par permutation de ses chiffres. Existe-t-il de tels nombres ? Le but de cet article est de montrer qu'excepté les nombres à un chiffre, il n'existe qu'un seul nombranagramme.
Mots clés : nombre entierArticle : Aire d’un polygone dans un réseau de points - Collège Stella Maris (Saint Quay Portrieux)
Dans cet article, les élèves cherchent une formule qui donne l'aire A d'un polygone dont les sommets sont des points à coordonnées entières dans un repère orthonormé, en fonction du nombre B de points à coordonnées entières sur le bord du polygone et du nombre I de points à coordonnées entières à l'intérieur du polygone. Les points à coordonnées entières sont figurés par des clous plantés dans une planche à intervalle régulier de 1 cm et les polygones par des élastiques tendus entre ces clous.
Les auteurs trouvent une formule qui est valable pour tous les polygones qu'ils ont testés en cherchant d'abord une formule à I fixé puis en généralisant. Ils conjecturent que cette formule A=B/2+I-1 reste valable pour tous les polygones dont les sommets sont des points à coordonnées entières et ils réussissent à la montrer pour tous les rectangles.
Leur recherche documentaire montre que cette formule est la formule de Pick.
Mots clés : géométrie, réseau, formule de PickLes auteurs trouvent une formule qui est valable pour tous les polygones qu'ils ont testés en cherchant d'abord une formule à I fixé puis en généralisant. Ils conjecturent que cette formule A=B/2+I-1 reste valable pour tous les polygones dont les sommets sont des points à coordonnées entières et ils réussissent à la montrer pour tous les rectangles.
Leur recherche documentaire montre que cette formule est la formule de Pick.
Article : Survie de papillons - Collège Stella Maris (Saint Quay Portrieux)
On a un pays rectangulaire de taille mxn. Chaque cellule de ce pays est un champ dans lequel il peut y avoir ou non une colonie de papillons.
Les papillons peuvent migrer dans les champs adjacents suivant des règles précises. Ainsi, leur position évolue en fonction du temps.
La question est de savoir s'il est possible de trouver une position de départ pour chaque taille de pays afin que les papillons vivent éternellement.
Nous avons trouvé que cela était possible pour tout pays à l'exception des pays de taille 1x1 et 3x1.
Nous avons même réussi à construire des pays qui vivaient éternellement uniquement à partir de pays de taille 2x1, 6x1, 7x1 et 3x3.
Mots clés : jeu de la vie, automate cellulaire, système dynamiqueLes papillons peuvent migrer dans les champs adjacents suivant des règles précises. Ainsi, leur position évolue en fonction du temps.
La question est de savoir s'il est possible de trouver une position de départ pour chaque taille de pays afin que les papillons vivent éternellement.
Nous avons trouvé que cela était possible pour tout pays à l'exception des pays de taille 1x1 et 3x1.
Nous avons même réussi à construire des pays qui vivaient éternellement uniquement à partir de pays de taille 2x1, 6x1, 7x1 et 3x3.
Article : Des couples - Lycée Douanier Rousseau (Laval)
Cinq couples sont invités à une soirée dansante. A chaque morceau de musique, les dix personnes danseront simultanément, chaque fois un homme avec une femme, et sans répéter deux fois la même configuration. De plus, il est convenu que deux époux ne danseront jamais ensemble. Combien de morceaux de musique pourra-t-on passer pendant la soirée ? Comment résoudre ce problème pour n couples ?
Mots clés : permutation, dérangementArticle : Accès à l’électricité - Lycée français Théodore Monod (Abu Dhabi) Lycée Bellepierre (Saint Denis De La Reunion), Lycée franco-qatarien Voltaire (Doha, Qatar)
Sur une planète carrée de 1km de côté, seules les personnes habitant plus proches du centre que d’un côté ont accès à de l’électricité. Dans quelle zone de la planète peuvent-ils habiter ? Quelle est l’aire de cette partie ? Que se passe-t-il si la planète est un triangle équilatéral, un rectangle, un pentagone régulier, un hexagone ou plus généralement un polygone régulier convexe à n-cotés ? Réponses à ces questions.
Mots clés : algorithme, distance, distance minimale, théorème de Pythagore, polygoneArticle : Dominos anthragoniens - Collège Alain Fournier (Orsay)
Les règles du jeu de dominos anthragoniens sont très simples. Dans un jeu complet, il n'y a que quatre dominos, de valeur un, deux, trois ou quatre. Un côté de chaque domino est blanc, l'autre noir. A partir d'un arrangement initial proposé par un joueur, son adversaire
doit mettre, en moins de 13 coups, les quatre dominos dans l'ordre, et avec leur face blanche visible. A chaque coup, on doit permuter deux dominos adjacents et, en même temps, retourner un de ces dominos. Si l'on n’y parvient pas en moins de treize coups, on a perdu.
Proposez une solution à partir de cet arrangement initial : 4 noir - 3 blanc - 2 noir - 1 blanc.
Et à partir de celui-ci : 3 blanc - 2 blanc - 1 blanc - 4 blanc.
Plus généralement, quels sont les arrangements initiaux qui permettent de gagner ?
Mots clés : permutationdoit mettre, en moins de 13 coups, les quatre dominos dans l'ordre, et avec leur face blanche visible. A chaque coup, on doit permuter deux dominos adjacents et, en même temps, retourner un de ces dominos. Si l'on n’y parvient pas en moins de treize coups, on a perdu.
Proposez une solution à partir de cet arrangement initial : 4 noir - 3 blanc - 2 noir - 1 blanc.
Et à partir de celui-ci : 3 blanc - 2 blanc - 1 blanc - 4 blanc.
Plus généralement, quels sont les arrangements initiaux qui permettent de gagner ?
Article : Algorithme de Kaprekar - Collège Alain Fournier (Orsay)
Ce sujet étudie l'action de l'algorithme de Kaprekar sur les nombres dont l'écriture décimale est constituée d'au plus quatre chiffres.
Mots clés : algorithme, Kaprekar, numérationArticle : Formule d’Euler - Collège Alain Fournier (Orsay)
On choisit des points (les sommets), on relie certains de ces sommets par des arêtes ; les arêtes dessinent des faces. A-t-on une formule d'Euler, qui relie les nombres de sommets, d'arêtes et de faces ? L'article discute la question dans le cas des graphes planaires ainsi que dans celui des polyèdres en dimension 3.
Mots clés : graphe planaire, géométrie, polyèdre, formule d'Euler, triangulationArticle : Balade en chameau - Collège Alain Fournier (Orsay)
Nous sommes avec un chameau au centre d’un désert, décrit par un carré de 10 km recollé sur les bords. Lorsqu'on traverse un côté, on réapparaît au même endroit sur le côté opposé. Nous choisissons une direction et lançons notre chameau, depuis le centre, en ligne droite dans cette direction.
On se demande si le chameau va toujours revenir au point de départ et si c'est le cas, sachant que le chameau se déplace à 3 km/h, combien de temps il mettra.
Mots clés : carré, recollement, tore, distance, théorème de PythagoreOn se demande si le chameau va toujours revenir au point de départ et si c'est le cas, sachant que le chameau se déplace à 3 km/h, combien de temps il mettra.
Article : The coin changing problem - ISISS M. Casagrande (Pieve di Soligo)
Le but de ce travail est tout d'abord d'étudier les propriétés de la puissance itérée d'une application qui a deux ensembles A et B associe le nouvel ensemble formé des sommes x+y d'éléments de A et de B. On calcule alors le cardinal de la puissance itérée d'un ensemble A, dans plusieurs cas de figure en fonction du cardinal de A et des propriétés des éléments de A. Dans une deuxième partie, l'objectif est d'étudier un système de monnaie consistant en une famille finie d'entiers et de savoir dans quelle mesure n'importe quelle somme d'argent peut être obtenue avec un minimum de pièces constituant ce système. La notion de système canonique est alors évoquée par le biais d'un algorithme glouton et plusieurs résultats de canonicité sont énoncés et montrés pour des familles de petite taille (1, 2, 3, 4) ainsi que pour des cas particuliers (article en anglais).
Mots clés : cardinal, système monétaire, algorithme glouton, arithmétiqueArticle : Jeux des pousses et du métro - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Une étude du jeu des pousses et d'une des variantes, le jeu du métro
Mots clés : analyse de cas, analyse de jeuArticle : Le jeu de Hex - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les élèves ont étudié le jeu de Hex. Elles ont cherché des stratégies gagnantes sur
les plateaux de petite dimension et développé des attaques ou contre-attaques à certaines configurations en grande dimension.
Mots clés : Jeu de Hex, théorie des jeux, stratégie gagnante, optimisationles plateaux de petite dimension et développé des attaques ou contre-attaques à certaines configurations en grande dimension.
Article : Les Tours de Hanoï - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
Les auteur·trice·s ont étudié les tours de Hanoï. Il s’agit d’un jeu de réflexion consistant à déplacer des anneaux de tailles différentes d’une colonne de départ à une autre passant par une colonne intermédiaire, en respectant certaines contraintes et si possible en un minimum de coup.
Ils ont réalisé deux algorithmes, un en Scratch et un en Python, fournissant pour tout nombre d’anneaux une procédure réalisant le déplacement. Ils ont également énoncer et montrer le nombre de déplacements minimal pour réaliser l’objectif.
Mots clés : tour de HanoïIls ont réalisé deux algorithmes, un en Scratch et un en Python, fournissant pour tout nombre d’anneaux une procédure réalisant le déplacement. Ils ont également énoncer et montrer le nombre de déplacements minimal pour réaliser l’objectif.
Article : Escalier de Kapla - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
En posant des Kapla les uns sur les autres, de manière décalée, les auteurs s'intéressent aux deux questions : quelle longueur aura le plus grand escalier qu'ils pourront construire et de combien de marches sera-t-il formé ?
Mots clés : centre de gravité, série harmoniqueArticle : Jouer avec des allumettes - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Il s'agit un jeu d’allumettes pour deux joueurs. On connaît le nombre d’allumettes sur la table. Le premier joueur prend 1 ou 2 allumettes. Ensuite, à tour de rôle, chaque joueur prend sur la table un nombre d’allumettes compris entre 1 et le double du nombre d’allumettes pris par l’autre joueur au coup précédent. Le gagnant est celui qui prend la dernière allumette sur la table. On cherche une stratégie qui permet de gagner dès que la situation le permet.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, jeu de Nim, suite de Fibonacci, FibonacciArticle : Les espions au téléphone - Lycée Baudelaire (Cran Gevrier) Collège Ernest Perrier de la Bathie (Ugine)
Le problème s’intéresse au nombre d’échanges minimum entre des espions pour se communiquer des informations.
Un nombre suffisant de relations est démontré mettant bien en évidence la différence entre une condition suffisante et la condition nécessaire et suffisante que doit vérifier un minimum.
Il y a de nombreux éléments de logiques et de mathématiques intéressants. Ainsi pour résoudre ce problème de dénombrement, les auteurs ont fait appel à des raisonnements par récurrence, à l’utilisation de graphes ou encore à de la programmation. Le traitement de la situation à l’aide des graphes les a orientés vers une approche plutôt intuitive soulevant des questions sur l’exhaustivité des cas.
Pour vérifier la solidité de la conjecture (non démontrée) du nombre minimal de relation, les auteurs ont utilisé un programme testant de façon aléatoire tous les cas possibles et l’ont fait tourner un grand nombre de fois. L’idée est séduisante.gra
Mots clés : graphe, récurrence, suite, minimum, dénombrementUn nombre suffisant de relations est démontré mettant bien en évidence la différence entre une condition suffisante et la condition nécessaire et suffisante que doit vérifier un minimum.
Il y a de nombreux éléments de logiques et de mathématiques intéressants. Ainsi pour résoudre ce problème de dénombrement, les auteurs ont fait appel à des raisonnements par récurrence, à l’utilisation de graphes ou encore à de la programmation. Le traitement de la situation à l’aide des graphes les a orientés vers une approche plutôt intuitive soulevant des questions sur l’exhaustivité des cas.
Pour vérifier la solidité de la conjecture (non démontrée) du nombre minimal de relation, les auteurs ont utilisé un programme testant de façon aléatoire tous les cas possibles et l’ont fait tourner un grand nombre de fois. L’idée est séduisante.gra
Article : Amida Kuji : Répartitions de rôles - Lycée Jean Puy (Roanne)
L'amida-kuji est un jeu de hasard japonais qui permet de faire une répartition aléatoire de tâches. Les auteurs se posent le problème de l’atteignabilité de chaque répartition possible.
Mots clés : permutation, transpositionArticle : Barycentre sur une sphère - Lycée Paul Guérin (Niort)
Dans cet article nous essayons de définir une notion du barycentre de trois points sur la sphère. Pour cela,
nous utilisons une projection sur la sphère. Nous aboutissons à une construction stable de l’isobarycentre
mais qui ne vérifie pas la relation vectorielle.
Mots clés : géométrie, barycentre, isobarycentre, sphère, projectionnous utilisons une projection sur la sphère. Nous aboutissons à une construction stable de l’isobarycentre
mais qui ne vérifie pas la relation vectorielle.
Article : Jeu du Maximum - Collège des Petits Ponts (Clamart) Collège Penn Ar C’hleuz (Brest)
Le jeu du maximum est un jeu de dés. Le but est d'obtenir avec un certain nombre de lancer de dés le plus grand score possible (de 1 à 6). Pour cela il faut choisir à chaque lancer si on garde ou on relance sachant qu'au dernier lancer (s’il a lieu) il est obligatoire de garder le score affiché sur le dé. Pour être le plus performant à ce jeu, il faut avoir une stratégie. Nous avons donc étudié ce jeu, et trouvé la stratégie optimale.
Mots clés : jeu, maximum, optimisation, probabilités, lancer de dés, espérance, stratégie optimaleArticle : Jeu des 100 boîtes - Lycée de la Venise Verte (Niort) Lycée Paul Guérin (Niort)
On considère un jeu auquel cent personnes, numérotées de un à cent, participent. On a disposé cent boîtes, et l'on a réparti aléatoirement les nombres de un à cent dans ces boîtes. Les boîtes ont été déposées dans une salle sans fenêtres.
Chacun leur tour, les joueurs vont rentrer dans la salle et ouvrir cinquante boîtes. Si chacun des joueurs a réussi à trouver son numéro, tous les joueurs gagnent, sinon ils perdent tous.
Dans cet article, les autrices proposent l'analyse de différentes stratégies afin de maximiser les chances de gagner au jeu décrit ci-dessus. Après avoir proposé une analyse des chances de gagner si
les joueurs ouvrent les boîtes au hasard, les autrices étudient les chances de réussite des joueurs si il décident quelles boîtes ouvrir à l'avance, ou si ils décident des boîtes à ouvrir en fonction du numéro trouvé dans les boîtes ouvertes au début du tour du joueur.
Leur analyse s'appuie sur une modélisation informatique du jeu et des…
Mots clés : analyse de stratégie, étude de probabilités, modélisation informatiqueChacun leur tour, les joueurs vont rentrer dans la salle et ouvrir cinquante boîtes. Si chacun des joueurs a réussi à trouver son numéro, tous les joueurs gagnent, sinon ils perdent tous.
Dans cet article, les autrices proposent l'analyse de différentes stratégies afin de maximiser les chances de gagner au jeu décrit ci-dessus. Après avoir proposé une analyse des chances de gagner si
les joueurs ouvrent les boîtes au hasard, les autrices étudient les chances de réussite des joueurs si il décident quelles boîtes ouvrir à l'avance, ou si ils décident des boîtes à ouvrir en fonction du numéro trouvé dans les boîtes ouvertes au début du tour du joueur.
Leur analyse s'appuie sur une modélisation informatique du jeu et des…
Article : Paper cups - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
On étudie la propagation d’une épidémie, en s’intéressant particulièrement à l’effet de la vaccination d’une partie de la population. L’étude montre, en s’appuyant sur des simulations au moyen d’un programme, que vacciner une partie de la population protège également les non-vaccinés.
Mots clés : épidémiologie, programme, cylindre, côneArticle : Tiling design - Colegiul National C. Negruzzi (Iași - Roumanie)
This work focuses on counting the number of different tiling designs that can be obtained on a rectangular grid, using three types of tiles: 1 x 1 squares, dominos and L-shaped trominos. For 2 x n grids, the authors consider tilings by dominos, or by dominos and 1 x 1 squares, or by triominos, dominos and 1 x 1 squares; they study also the number of tilings of a 3 x n grid by dominos. In each case they derive appropriate recurrence relations and they able to find the number of all possible tilings.
Mots clés : pavage, domino, triomino, dénombrementArticle : All the stones on the white face - Lycée Vicat (Souillac) Lycée Żmichowska (Varsovie)
Consider a game with following rules:
• It is a one player game
• There is a rectangular board m x n
• On each square there are stones with two sides - white and black (these are regular game pawns)
• At the beginning of the game all of the stones are on their black side (the board is all black)
• Every time a stone is chosen, stones around reverse, except for the one that had been chosen
• The objective is to obtain a completely white board
Mots clés : jeu, stratégie• It is a one player game
• There is a rectangular board m x n
• On each square there are stones with two sides - white and black (these are regular game pawns)
• At the beginning of the game all of the stones are on their black side (the board is all black)
• Every time a stone is chosen, stones around reverse, except for the one that had been chosen
• The objective is to obtain a completely white board
Article : Le billard - Collège Max Linder (Saint-Loubès)
On considère un billard rectangulaire dont les côtés ont des longueurs entières. Une boule de billard, considérée comme un point, est placée dans un coin. Elle est tirée avec un angle de 45°.
Elle se déplace en ligne droite et lorsqu'elle touche un côté du billard, elle rebondit de telle sorte que l'angle de la trajectoire avec la perpendiculaire au côté est conservé.
Est-ce que la boule finira par arriver dans un coin ? Si oui, lequel ? Au bout de combien de rebonds ?
Mots clés : billardElle se déplace en ligne droite et lorsqu'elle touche un côté du billard, elle rebondit de telle sorte que l'angle de la trajectoire avec la perpendiculaire au côté est conservé.
Est-ce que la boule finira par arriver dans un coin ? Si oui, lequel ? Au bout de combien de rebonds ?
Article : Algorithme des jeux vidéo - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon)
A two-dimensional modelisation of the flight of birds in groups.
Mots clés : modélisation, simulation, algorithmeArticle : Distances on Earth - Lycée Vicat (Souillac) Lycée Żmichowska (Varsovie)
Les auteurs se posent le problème de trouver le plus grand nombre de points pouvant être placés à la surface de la Terre en imposant que la distance entre chacun d'eux soit d'au moins 10 000 kilomètres. Ils se posent également le même problème dans trois autres cas en remplaçant 10 000 par 16 000, 8300 et 7800.
Mots clés : géométrie sphérique, aire, arc de courbe, cosinus, distanceArticle : Le loup, la chèvre et le chou - Lycée Edouard Herriot (Lyon) Collège Raoul Dufy (Lyon)
Les élèves se sont intéressés au problème suivant : un berger, un loup, une chèvre et une salade sont sur une même rive. Comment le berger doit-il faire pour faire traverser tout le monde sans laisser le loup seul avec la chèvre ou la chèvre seule avecla salade. Le berger ne disposant que de deux places dans sa barque.
Ils ont cherché à démontrer — à un nombre de chèvres, loups et salades donné — le nombre optimal de traversées nécessaires. Puis ont étudié le cas — à nombre d’animaux et traversée fixés — du nombre de places nécessaires. Enfin, pour complexifier le modèle, ils ont envisagé la possibilité
d’introduire de nouveaux types de prédateurs et de traiter le problème à l’aide de graphes.
Mots clés : dénombrement, optimisation discrète, grapheIls ont cherché à démontrer — à un nombre de chèvres, loups et salades donné — le nombre optimal de traversées nécessaires. Puis ont étudié le cas — à nombre d’animaux et traversée fixés — du nombre de places nécessaires. Enfin, pour complexifier le modèle, ils ont envisagé la possibilité
d’introduire de nouveaux types de prédateurs et de traiter le problème à l’aide de graphes.
Article : La route des fourmis - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon)
The problem we were presented with is:
The first ant makes 10 random moves, each having a length of one unit and, at each moves, she leaves a mark. After the tenth move, she reaches food and sends a radio signal back to the anthill. A second ant goes along the first half of the first segment, then, from the middle of it to the middle of the second and so on, until she reaches the middle of the last segment, from where it goes to the food. A third ant follows the same strategy, following the second ant’s path.
a) Is the second path shorter than the first?
b) Will the ants tend to find the shortest itinerary between the two points?
What question B asks for is to actually describe howa given polygonal chain behaves, asymptotically, after the above described algorithm, is repeated infinitely.
Mots clés : inégalité, triangle de Pascal, limiteThe first ant makes 10 random moves, each having a length of one unit and, at each moves, she leaves a mark. After the tenth move, she reaches food and sends a radio signal back to the anthill. A second ant goes along the first half of the first segment, then, from the middle of it to the middle of the second and so on, until she reaches the middle of the last segment, from where it goes to the food. A third ant follows the same strategy, following the second ant’s path.
a) Is the second path shorter than the first?
b) Will the ants tend to find the shortest itinerary between the two points?
What question B asks for is to actually describe howa given polygonal chain behaves, asymptotically, after the above described algorithm, is repeated infinitely.
Article : Les élections - Colegiul National Emil Racovita (Cluj, Roumanie) Lycée d’Altitude (Briancon)
Lors d’une élection avec trois A, B et C, il est montré que le résultat du scrutin peut être représenté dans un triangle équilatéral de façon que la distance du résultat R au côté du triangle opposé au sommet A soit proportionnelle au pourcentage de voix pour le candidat A, et de même pour B et C. On détermine les zones où un candidat est gagnant soit à la majorité absolue, soit à la majorité relative. Enfin cette représentation est généralisée pour 4 candidats.
Mots clés : vote, proportion, représentationArticle : Les maths, ça nous boîtes ! - Lycée Notre Dame (Bordeaux) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
On considère un ensemble fini E d'entiers naturels, et on cherche à classer les entiers dans des boites de telle façon que 2 entiers ne sont pas dans la même boite si la valeur absolue de la différence est dans E. Le but est de trouver le nombre minimum de boites. On répond à la question pour certains ensembles E.
Mots clés : arithmétique, triArticle : Thésée et le dédale magique - Lycée Notre Dame (Bordeaux) Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Un promeneur cherche à parcourir toutes les cases d'un damier à m lignes et n colonnes, en respectant les règles de déplacement suivantes :
• La première case est toujours la case, en haut à gauche.
• On passe d'une case à une autre horizontalement ou verticalement.
• On ne repasse jamais par une case déjà visitée.
Les auteurs cherchent le nombre de parcours possibles, ils établissent un résultat lorsque m=1 et m=2, ils proposent un algorithme récursif qui répond à la question, sans pouvoir trouver de formule.
Mots clés : dénombrement, arbre de choix, chemin, algorithme, algorithme récursif• La première case est toujours la case, en haut à gauche.
• On passe d'une case à une autre horizontalement ou verticalement.
• On ne repasse jamais par une case déjà visitée.
Les auteurs cherchent le nombre de parcours possibles, ils établissent un résultat lorsque m=1 et m=2, ils proposent un algorithme récursif qui répond à la question, sans pouvoir trouver de formule.
Article : Une histoire de pompons - Lycée Louis Massignon (Casablanca)
Les professeurs d’une classe de neige ont proposé un jeu à leurs élèves :
• Ces élèves sont réunis en cercle et les professeurs déposent un pompon soit jaune soit vert sur leur tête. Ils peuvent voir la couleur du pompon de leurs camarades, mais pas la leur.
Quelle(s) stratégie(s) développer pour qu'un maximum d'élèves devine la couleur du pompon qu'il porte.
Mots clés : parité• Ces élèves sont réunis en cercle et les professeurs déposent un pompon soit jaune soit vert sur leur tête. Ils peuvent voir la couleur du pompon de leurs camarades, mais pas la leur.
Quelle(s) stratégie(s) développer pour qu'un maximum d'élèves devine la couleur du pompon qu'il porte.
Article : Bien gérer sa taverne - Lycée V. et H. Basch (Rennes)
Étude des probabilités de résultats d’un modèle où à la fin de chaque mois on obtient aléatoirement soit une perte, soit un gain de montant donnés. Plusieurs variantes sont envisagées.
Mots clés : probabilités, schéma de BernoulliArticle : La constante de Darchicourt - Lycée Darchicourt (Hénin-Beaumont)
Considérons la suite récurrente dont le premier terme est le nombre « 1 », chaque
terme suivant s’obtenant en lisant le précédent à haute voix et en notant les chiffres ainsi cités. Les
premiers termes de la suite sont donc 1, 11 (un « 1 »), 21 (deux « 1 »), 1211 (un « 2 » un « 1 »),
111221, … Cette suite est appelée suite « audioactive » de Conway. En notant L_n la longueur du
nième terme de la suite, Conway a obtenu en 1986 la valeur de la limite des rapports L_(n+1)/L_n;
la constante ainsi obtenue (unique racine positive d’un polynôme du 71ème degré) est appelée
« constante de Conway ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse à une variation sur la suite de
Conway, obtenue en énumérant non plus les termes en système numérique décimal (c’est-à-dire
avec les chiffres de 0 à 9) mais en système numérique binaire (c’est-à-dire uniquement avec des 0 et
des 1). Les premiers termes sont maintenant 1, 11, 101 (deux s’écrivant 10 en binaire), 111011, ……
Mots clés : suite récurrente, suite de Conway, diagonalisation, valeur propre, vecteur propreterme suivant s’obtenant en lisant le précédent à haute voix et en notant les chiffres ainsi cités. Les
premiers termes de la suite sont donc 1, 11 (un « 1 »), 21 (deux « 1 »), 1211 (un « 2 » un « 1 »),
111221, … Cette suite est appelée suite « audioactive » de Conway. En notant L_n la longueur du
nième terme de la suite, Conway a obtenu en 1986 la valeur de la limite des rapports L_(n+1)/L_n;
la constante ainsi obtenue (unique racine positive d’un polynôme du 71ème degré) est appelée
« constante de Conway ». Dans cet article, l’auteur s’intéresse à une variation sur la suite de
Conway, obtenue en énumérant non plus les termes en système numérique décimal (c’est-à-dire
avec les chiffres de 0 à 9) mais en système numérique binaire (c’est-à-dire uniquement avec des 0 et
des 1). Les premiers termes sont maintenant 1, 11, 101 (deux s’écrivant 10 en binaire), 111011, ……
Article : Le couloir semi-infini - Collège de Staël (Paris)
Un enfant est perdu dans un couloir qui a une porte d’un côté et qui continue à l’infini de l’autre côté. On suppose que l’enfant n’a pas de moyen visuel ni auditif qui lui indique de quel côté se trouve la sortie. Comment fait l’enfant pour sortir du couloir ?
Mots clés : algorithme, stratégie, suite de nombres entiers, suite croissanteArticle : La Tour de Pise - Collège de Staël (Paris)
On empile des dominos identiques en porte à faux. Comment obtenir la plus grande avancée possible ?
Mots clés : centre de gravité, suite, série harmoniqueArticle : Analyse du jeu Tetris - Collège de Staël (Paris)
L’article présente le problème de dénombrement de pièces de tetris à n carrés. Les auteurs proposent deux modélisations des pièces construites à partir de plus petites qui leurs permettent de majorer le nombre de pièces possibles.
Mots clés : dénombrement, configuration, combinatoireArticle : Fractions with a nice profile - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
A positive fraction is said to have a nice profile if it can be written as a sum of other fractions, all different, each one of the form 1/p with p a positive integer.
For instance, the fraction 5/6=1/2+1/3 has a nice profile.
There are a lot of questions that can be asked about that topic. For example, which fractions have a nice profile? Is it possible to find general and automatic methods to write any given fraction in this way? If a fraction has a nice profile, how many ways are there to break it down? What if we are interested in sums of two fractions only? etc…
Mots clés : fraction, fraction égyptienne, calcul algébriqueFor instance, the fraction 5/6=1/2+1/3 has a nice profile.
There are a lot of questions that can be asked about that topic. For example, which fractions have a nice profile? Is it possible to find general and automatic methods to write any given fraction in this way? If a fraction has a nice profile, how many ways are there to break it down? What if we are interested in sums of two fractions only? etc…
Article : Les prisonniers et les chapeaux - Lycée Bichat (Luneville)
Cet article présente des problèmes classiques de prisonniers et de chapeaux :
un directeur de prison propose à des prisonniers un jeu dans lequel il leur donne un chapeau de couleur chacun et propose de les libérer si ils devinent la couleur de leur chapeau. Dans le premier cadre que les auteurs étudient, les prisonniers sont mis en file indienne sur un escalier, il n’y a que deux couleurs de chapeau et les prisonniers doivent deviner la couleur de leur chapeau chacun leur tour en commençant par la fin. Ils compliquent ensuite la situation en autorisant plus que deux couleurs. Enfin, dans la dernière situation, les prisonniers sont placés en rond mais cette fois, chaque prisonnier indique la couleur de son chapeau sans que les autres ne l’entendent. Cependant, pour que tous les prisonniers soient libérés, il suffit qu’un seul des prisonniers devine la couleur de son chapeau. Dans les deux premiers cas, les auteurs donnent une solution qui permet de sauver tous les prisonniers sauf peut-être un et,…
Mots clés : parité, congruenceun directeur de prison propose à des prisonniers un jeu dans lequel il leur donne un chapeau de couleur chacun et propose de les libérer si ils devinent la couleur de leur chapeau. Dans le premier cadre que les auteurs étudient, les prisonniers sont mis en file indienne sur un escalier, il n’y a que deux couleurs de chapeau et les prisonniers doivent deviner la couleur de leur chapeau chacun leur tour en commençant par la fin. Ils compliquent ensuite la situation en autorisant plus que deux couleurs. Enfin, dans la dernière situation, les prisonniers sont placés en rond mais cette fois, chaque prisonnier indique la couleur de son chapeau sans que les autres ne l’entendent. Cependant, pour que tous les prisonniers soient libérés, il suffit qu’un seul des prisonniers devine la couleur de son chapeau. Dans les deux premiers cas, les auteurs donnent une solution qui permet de sauver tous les prisonniers sauf peut-être un et,…
Article : Suicide collectif - Université de Bordeaux (Talence) Université de La Rochelle
Des soldats se tuent mutuellement suivant un procédé déterminé à l'avance.
Cet article donne des algorithmes pour déterminer le survivant, ainsi que des formules permettant de trouver le survivant en fonction du nombre de soldats.
Mots clés : algorithme, suite récurrente, base 2Cet article donne des algorithmes pour déterminer le survivant, ainsi que des formules permettant de trouver le survivant en fonction du nombre de soldats.
Article : Bleu Blanc Rouge - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
Soit un quadrillage rectangulaire de cases blanches. Deux joueurs, un bleu et un rouge, qui à tour de rôle choisissent une case blanche.Cela a pour effet de colorier dans leur couleur toute la ligne et toute la colonne correspondante.
Soit l la plus petite dimension et L la plus grande du quadrillage . On prouve que le joueur jouant en premier gagne avec L cases coloriées de plus lorsque l est impair et perd avec l cases en moins lorsque l est pair. Cela est obtenu en calculant les scores algébriques de chaque joueur à chaque coup et en effectuant leur somme.
Mots clés : analyse de jeu, arithmétiqueSoit l la plus petite dimension et L la plus grande du quadrillage . On prouve que le joueur jouant en premier gagne avec L cases coloriées de plus lorsque l est impair et perd avec l cases en moins lorsque l est pair. Cela est obtenu en calculant les scores algébriques de chaque joueur à chaque coup et en effectuant leur somme.
Article : La course aux décimales - Collège de Marciac (Marciac)
Plusieurs méthodes sont présentées en vue d'obtenir une valeur approchée de π, puis leur efficacité est comparée.
Mots clés : Nombre π, approximation décimale, périmètre, aire, Geogebra, ScratchArticle : Plan de table - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Un maître d'hôtel, mathématicien amateur, a disposé 9 verres sur une table de réception de manière à ce qu'ils forment 10 alignements de 3 verres. Dans cet article, on donne cette disposition, puis on montre que c'est la seule possible et qu'il n'est pas possible de faire mieux que 10 alignements.
Mots clés : géométrie plane, dénombrement, alignementArticle : Noix de coco dans la tour Montparnasse - Collège Alain Fournier (Orsay)
Cet article présente un problème de dénombrement et d’optimisation de stratégie.
Les noix de coco ont une certaine résistance et se cassent quand on les lâche depuis une certaine hauteur, toujours la même, qui est inconnue. On se propose de déterminer cette hauteur par essais successifs sachant qu’on ne dispose que d’un nombre limité de noix de coco.
L’article présente plusieurs stratégies et évalue le coût de chacune d’entre elles en termes de déplacements.
Mots clés : stratégie, algorithme, dénombrement, optimisationLes noix de coco ont une certaine résistance et se cassent quand on les lâche depuis une certaine hauteur, toujours la même, qui est inconnue. On se propose de déterminer cette hauteur par essais successifs sachant qu’on ne dispose que d’un nombre limité de noix de coco.
L’article présente plusieurs stratégies et évalue le coût de chacune d’entre elles en termes de déplacements.
Article : A special sequence - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
A sequence of integers is defined by a_1=2, a_2=3 and, for each n≥2:
either a_(n+1)=2a_(n-1) or a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1).
Can that sequence reach any of the following numbers: 17? 21? 1600? 1536? 2017?
Mots clés : suiteeither a_(n+1)=2a_(n-1) or a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1).
Can that sequence reach any of the following numbers: 17? 21? 1600? 1536? 2017?
Article : Needle thread - Lycée Arago (Perpignan)
On lance une aiguille au hasard sur un parquet composé de lattes parallèles de même largeur. Quelle est alors la probabilité pour que l'aiguille tombe à cheval sur deux lattes ? Cet article présente une méthode apportant une réponse à cette question en fonction de la longueur de l'aiguille.
Mots clés : probabilité, intégrale, dérivée, trigonométrie, aiguille de BuffonArticle : We get 2017 - Lycée Arago (Perpignan) Colegiul National B.P. Hasdeu (Buzau, Roumanie)
The question: "At the beginning you only have an empty blackboard. At each step you can either write twice the number 1 on the blackboard or delete two numbers equal to n already written and replace them by n-1 and n+1. How many steps at least will be necessary in order to reach the number 2017?"
A "good" strategy leads to the result much more efficiently than what can appear at first approach. Then, the authors give a complete description of the process, and determine the number of steps.
Mots clés : récurrence, algorithme, complexité algorithmiqueA "good" strategy leads to the result much more efficiently than what can appear at first approach. Then, the authors give a complete description of the process, and determine the number of steps.
Article : Navettes spéciales - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Des navettes spatiales endommagées sont réparties sur les différentes planètes d’un système solaire. Elles doivent retrouver leurs planètes d’origine, tout en respectant des contraintes fortes en termes de déplacement (nombre de places limité sur les planètes, trajet entre des planètes consécutives uniquement, etc).
Dans l’article, les auteurs se confrontent à plusieurs choix de contraintes. Ils cherchent des algorithmes permettant à toutes les navettes de retrouver leurs planètes d’origine, et ce quelle que soit la configuration de départ. Les algorithmes trouvés sont testés à l’aide de Scratch, mais restent à l’état de conjectures.
Mots clés : algorithmique, programmationDans l’article, les auteurs se confrontent à plusieurs choix de contraintes. Ils cherchent des algorithmes permettant à toutes les navettes de retrouver leurs planètes d’origine, et ce quelle que soit la configuration de départ. Les algorithmes trouvés sont testés à l’aide de Scratch, mais restent à l’état de conjectures.
Article : Duels de gaufres - Collège Chepfer (Villers lès Nancy)
Le duel consiste à manger alternativement un morceaux d'une gaufre sachant que le carré de gaufre en bas à gauche est empoisonné. Manger un morceau de gaufre, c'est choisir un carré de gaufre, le manger ainsi que tous ceux qui sont à sa droite et au dessus. Celui qui mange le carré empoisonné a perdu le duel.
On montre que le premier joueur a une stratégie gagnante et on indique cette stratégie dans le cas de gaufres rectangulaires en allant jusqu’au cas de gaufres à 4 lignes et 5 colonnes. Puis on se pose la même question avec les règles du duel légèrement différentes. Il y a une contrainte supplémentaire, on ne peut choisir un carré de gaufre que s'il est situé sur la même ligne, la même colonne ou la diagonale qui passe par le carré qui vient d’être mangé. Là encore le premier joueur a une stratégie gagnante
Mots clés : stratégie gagnante, jeu de ChompOn montre que le premier joueur a une stratégie gagnante et on indique cette stratégie dans le cas de gaufres rectangulaires en allant jusqu’au cas de gaufres à 4 lignes et 5 colonnes. Puis on se pose la même question avec les règles du duel légèrement différentes. Il y a une contrainte supplémentaire, on ne peut choisir un carré de gaufre que s'il est situé sur la même ligne, la même colonne ou la diagonale qui passe par le carré qui vient d’être mangé. Là encore le premier joueur a une stratégie gagnante
Article : Quadrille de Conway - Lycée Henri Matisse (Cugnaux) Lycée Jean Pierre Vernant (Pins-Justaret)
Quatre danseurs sont munis de deux cordes. Ils effectuent des suites de deux instructions (échange et rotation). L'article donne deux manières de déterminer comment revenir au point de départ,
Mots clés : algorithme, division euclidienne, nœud, groupeArticle : Drawing Fibonacci - Colegiul Național din Iași (Iași - Roumanie) Collège Sainte Véronique (Liège)
Define the Fibonacci word sequence as follows:
f_0 = 0, f_1 = 01, f_n = f_(n-1)f_(n-2) (the concatenation of f_(n-1) and f_(n-2)), for n ≥ 2. For example, f_2 = 010, f_3 = 01001, f_4 = 01001010, f_5 = 0100101001001, ...
The infinite Fibonacci word is the "limit" of these sequences. Let w_n be the n-th symbol in the infinite Fibonacci word.
The Fibonacci curve is a sequence of segments, drawn as follows:
- at step 0, draw a segment of length 1 from left to right;
- at step n,
- if w_n = 0, then draw segment of length 1 in the same direction as the previous segment
- if w_n = 1, then draw segment of length 1, turning 90º right if n is even and 90º left if n is odd.
Which are the properties of the given curve (e.g.: Does it intersect itself, does it have autosimilarities...). What happens if we change the angle of rotation? What if we change the Fibonacci word with a Sturm word?
Mots clés : suite de Fibonacci, algorithme récursiff_0 = 0, f_1 = 01, f_n = f_(n-1)f_(n-2) (the concatenation of f_(n-1) and f_(n-2)), for n ≥ 2. For example, f_2 = 010, f_3 = 01001, f_4 = 01001010, f_5 = 0100101001001, ...
The infinite Fibonacci word is the "limit" of these sequences. Let w_n be the n-th symbol in the infinite Fibonacci word.
The Fibonacci curve is a sequence of segments, drawn as follows:
- at step 0, draw a segment of length 1 from left to right;
- at step n,
- if w_n = 0, then draw segment of length 1 in the same direction as the previous segment
- if w_n = 1, then draw segment of length 1, turning 90º right if n is even and 90º left if n is odd.
Which are the properties of the given curve (e.g.: Does it intersect itself, does it have autosimilarities...). What happens if we change the angle of rotation? What if we change the Fibonacci word with a Sturm word?
Article : Une suite de chiffres - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
On étudie le développement décimal d'un quotient de deux entiers.
Mots clés : suite, développement décimalArticle : Un nouvel opérateur - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Dans cet article, il est question d’étudier un nouvel opérateur arithmétique sur des paires d’entiers suivant certains axiomes. Le but de cet article est d’exhiber une formule fermée découlant des axiomes. La formule fermée proposée utilise le pgcd des deux opérandes. La preuve du résultat principal se base sur l’algorithme d’Euclide.
Mots clés : algorithme d’EuclideArticle : Les nombres parfaits - Lycée Blaise Pascal (Orsay)
Dans cet article, on s’intéresse aux nombres parfaits et plus exactement à la façon de les reconnaitre. Après avoir caractérisé les nombres parfaits pairs, on trouve l’étude de quelques formats de nombres impairs et des liens possibles ou non avec les nombres parfaits.
Attention : un minimum de connaissances en arithmétique est nécessaire pour lire cet article.
Mots clés : parfait, arithmétiqueAttention : un minimum de connaissances en arithmétique est nécessaire pour lire cet article.
Article : Illusions d’optique - Collège Gaston Fébus (Orthez)
Au travers de trois exemple classiques, dont le triangle de Penrose, les élèves montrent qu’on doit se méfier de notre œil quand on regarde des dessins géométriques. Ce qui semble être une ligne droite peut être en effet une ligne brisé, des droites visiblement sécantes peuvent être parallèles et méfions-nous d’objets 3D dessinés sur un papier : l’objet 3D peut ne même pas exister ! Conclusion : les démonstrations en mathématiques sont bien utiles, voire indispensables.
Mots clés : triangle, théorème de Thalès, homothétieArticle : Des nombres un peu particuliers… - Lycée de Carquefou (Carquefou) Lycée la Herdrie (Basse-Goulaine)
Un entier naturel est un nombre Harshad (« nombre H ») s’il est divisible par la somme de ses chiffres. Par exemple 18 : 1 + 8 = 9 et 18 est divisible par 9. En revanche, 17 n’est pas un nombre H (1 + 7 = 8 et 8 ne divise pas 17). Cet article présente un algorithme pour trouver ces nombres nombres H et étudie quelques unes de leurs propriétés. On recherche en particulier les nombres H consécutifs et plus généralement les pas entre un nombre H et le suivant.
Mots clés : écriture décimale, divisibilité, HarshadArticle : Robot et labyrinthe - Lycée Marguerite de Navarre (Bourges) Lycée Alain Fournier (Bourges)
L’article s’intéresse à plusieurs stratégies permettant de sortir d’un labyrinthe, avec des notions de théorie des graphes et de probabilités.
Mots clés : labyrinthe, robot, matrice, graphe, stratégie, algorithmeArticle : Mathématiques et Musique - Collège Gaston Fébus (Orthez) Lycée Gaston Fébus (Orthez)
L’article s’intéresse à l’utilisation des mathématiques pour comprendre et analyser les gammes musicales. Les auteurs expliquent d’abord comment le cycle des quintes permet de créer différentes gammes (les différents modes) puis comment, en considérant les approximations rationnelles données par l’algorithme des fractions continues, on arrive à créer d’autres gammes dont la gamme classique à 12 degrés.
Mots clés : gamme musicale, fraction continue, approximation rationnelle, logarithmeArticle : Suite de nombres - Lycée Rive Gauche (Toulouse)
On prend un entier naturel. On fait le produit de tous les chiffres qui le composent. On répète cette opération avec le résultat du calcul précédent à chaque fois jusqu’à obtenir un chiffre. La conjecture est qu'il semblerait que la suite se finisse toujours en moins de 11 étapes. L'article établit quelques propriétés de ces suites et présente les programmes réalisés.
Mots clés : arithmétique, suite de nombres entiers, persistanceArticle : La cueillette - Collège Théodore Monod (Lesquin) Collège Jacques Monod (Pérenchies)
Cet article présente une étude statistique du jeu de la « cueillette ». Après une présentation du jeu, de la problématique et des stratégies étudiées, une description des développements informatiques réalisés en Scratch, Python et à l’aide d’un tableur est donnée. Enfin, les résultats de simulation pour chacune des 3 réalisations sont comparés et permettent de valider l’approche utilisée.
Mots clés : jeu, simulation, statistiqueArticle : À la poursuite du dernier carré - Lycée de la mer (Gujan Mestras)
Il s'agit d'un jeu à deux sur un damier rectangulaire quadrillé. À tour de rôle, chaque joueur colorie une zone carrée du damier dont aucune case n'est encore coloriée. Le joueur qui colorie la dernière case gagne la partie.
Les élèves établissent des stratégies gagnantes pour le premier joueur dans un grand nombre de cas (longueur et largeur de même parité ou longueur paire). Le cas d'une longueur impaire et d'une largeur paire reste ouvert.
Mots clés : jeu, stratégie de jeu, stratégie gagnanteLes élèves établissent des stratégies gagnantes pour le premier joueur dans un grand nombre de cas (longueur et largeur de même parité ou longueur paire). Le cas d'une longueur impaire et d'une largeur paire reste ouvert.
Article : La boîte de gateaux - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
L’étude porte sur le remplissage de boites avec un étage de gâteaux circulaires. Les rédacteurs ont commencé par des boites carrées, puis triangulaires, en forme de losange et ont fini par des boites circulaires. Trois types d’outils sont utilisés : un logiciel de géométrie, un tableur et des calculs algébriques (malheureusement les démonstrations ne sont pas présentes)
Mots clés : géométrie, optimisation, triangle équilatéral, trigonométrieArticle : Les embouteillages - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Ce travail modélise la circulation de véhicules sur un circuit fermé. Il étudie la formation d’embouteillages en fonction du nombre de véhicules et de leur vitesse. Le circuit est modélisé par des cases, chaque case ne pouvant contenir qu’un seul véhicule. A chaque étape les véhicules tentent de se déplacer d’un certain nombre de cases vers l’avant. Les simulations effectuées montrent qu’en fonction de la densité du trafic les embouteillages vont se résorber ou non. Ces simulations sont en accord avec les propriétés démontrées par la suite.
Mots clés : modélisation, simulation, embouteillage, graphe, algorithme, programme, AlgoboxArticle : L’anneau des nains - Lycée Edouard Branly (Chatellerault)
Recherche de patrons d'un anneau formé de huit cubes.
Mots clés : 3D, patron, arbre de possibilités